Γιώργος ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ 1, Πρόδρομος ΨΑΡΡΟΠΟΥΛΟΣ 2, Γιάννης ΤΣΟΜΠΑΝΑΚΗΣ 3

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 28 Άρθρο 1884 Επίδραση της εδαφικής μη-γραμμικότητας στη σεισμική συμπεριφορά άκαμπτων αντιστηρίξεων Effect of soil nonlinearity on the dynamic response of rigid retaining walls Γιώργος ΠΑΠΑΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ 1, Πρόδρομος ΨΑΡΡΟΠΟΥΛΟΣ 2, Γιάννης ΤΣΟΜΠΑΝΑΚΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Αν και οι αντιστηρίξεις χαρακτηρίζονται από δομοστατική απλότητα, η σεισμική τους συμπεριφορά είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη καθώς πρόκειται ουσιαστικά για ένα σύνθετο πρόβλημα δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής, το οποίο γίνεται ακόμα πιο σύνθετο όταν υπεισέρχονται μηχανικές ή γεωμετρικές μη-γραμμικότητες. Η παρούσα εργασία εξετάζει κατά πόσον η δυνητική μη-γραμμική συμπεριφορά του αντιστηριζόμενου εδάφους μπορεί να επηρεάσει τη δυναμική συμπεριφορά ενός άκαμπτου τοίχου αντιστήριξης και τη σεισμική απόκριση του εδάφους. Για τον λόγο αυτό πραγματοποιείται μία παραμετρική ανάλυση η οποία βασίζεται σε διδιάστατες δυναμικές αναλύσεις πεπερασμένων στοιχείων, όπου η μη-γραμμικότητα του υλικού λαμβάνεται υπόψη μέσω μίας ισοδύναμα-γραμμικής επαναληπτικής διαδικασίας. Το εξεταζόμενο προσομοίωμα εξετάζεται υπό διαφορετικές σεισμικές διεγέρσεις και διάφορα επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης. Τα αποτελέσματα επιβεβαιώνουν την υπόθεση ότι η μη-γραμμική συμπεριφορά έχει σημαντικότατη επίδραση στις δυναμικές ωθήσεις που ασκούνται στον τοίχο καθώς και στην ενίσχυση των επιταχύνσεων που αναπτύσσονται στα ανάντη. Συνεπώς, είναι προφανές ότι οι αντισεισμικοί κανονισμοί καθώς και η σχεδιαστική πρακτική θα πρέπει να λαμβάνουν σοβαρά υπόψη την αλληλεπίδραση αυτή. ABSTRACT : The present paper aims to examine how and to what extent the potential soil non-linearity may affect: (a) the dynamic distress of a rigid fixed-base retaining wall, and (b) the seismic response of the retained soil layer. For this purpose, a parametric study is conducted which is based on two-dimensional dynamic finite-element analyses. Soil nonlinearity is realistically taken into account via the commonly used equivalent-linear procedure. In order to examine more thoroughly the influence of material non-linearity, the numerical model is studied under various idealized seismic excitations and several intensity levels of the imposed ground acceleration. The results justify that the non-linear soil behavior has a considerable impact, not only on the dynamic earth pressures developed on the wall, but on the amplification of the acceleration developed on the backfill as well. Therefore, seismic norms and geotechnical design practice should take this impact into serious consideration. 1 Μεταπτυχιακός Φοιτητής Γενικό Τμήμα, Πολυτεχνείο Κρήτης, email: gpapazafeiropoulos@yahoo.gr 2 Μεταδιδακτορικός Ερευνητής, Γενικό Τμήμα, Πολυτεχνείο Κρήτης, email: prod@central.ntua.gr 3 Επίκουρος Καθηγητής, Γενικό Τμήμα, Πολυτεχνείο Κρήτης, email: jt@science.tuc.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αναμφισβήτητα οι τοίχοι αντιστήριξης χρησιμοποιούνται συχνά σε πρακτικές εφαρμογές της γεωτεχνικής μηχανικής. Οι κρηπιδότοιχοι λιμανιών, τα ακρόβαθρα γεφυρών, ή οι βαθιές εκσκαφές είναι μερικές από τις περιπτώσεις όπου κατασκευάζεται ένας άκαμπτος τοίχος βαρύτητας ή ένας εύκαμπτος τοίχος αντιστήριξης. Παρόλη τη δομοστατική τους απλότητα, η σεισμική απόκριση των τοίχων αντιστήριξης (ακόμα και όταν αντιστηρίζουν ένα μόνο εδαφικό στρώμα) είναι ένα σχετικά πολύπλοκο πρόβλημα. Η δυναμική αλληλεπίδραση ανάμεσα στον τοίχο και στο αντιστηριζόμενο έδαφος είναι αυτό που κάνει αυτήν την απόκριση τόσο πολύπλοκη, ειδικά όταν υπεισέρχεται μηχανική ή γεωμετρική μη-γραμμικότητα (Kramer, 1996; PIANC, 21; Wu και Finn, 1999; Green και Ebeling, 22). Η σεισμική απόκριση διαφόρων τύπων τοίχων αντιστήριξης που αντιστηρίζουν ένα μεμονωμένο εδαφικό στρώμα έχει εξεταστεί από έναν αριθμό ερευνητών στο παρελθόν, πειραματικά, αναλυτικά και αριθμητικά (Veletsos και Younan, 1997; Iai, 1998; Psarropoulos et al., 25). Με βάση τη θεωρούμενη μηχανική συμπεριφορά του αντιστηριζόμενου εδάφους και τον δυνητικό τρόπο μετακίνησης του τοίχου, υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες αναλυτικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται στον αντισεισμικό σχεδιασμό τοίχων αντιστήριξης: α) οι ψευδοστατικές μέθοδοι, οι οποίες βασίζονται στην αρχή της οριακής ισορροπίας (λύσεις τύπου Mononobe Okabe) και υποθέτουν ενδόσιμους τοίχους και ανένδοτη - τελείως πλαστική συμπεριφορά του αντιστηριζόμενου εδάφους (Okabe, 1926; Mononobe και Matsuo, 1929; Seed και Whitman, 197), και β) οι ελαστικές λύσεις, οι οποίες θεωρούν το έδαφος ως ένα γραμμικό ελαστικό ή ιξωδοελαστικό συνεχές μέσο (Scott, 1973; Wood, 1975; Veletsos και Younan, 1997). Σύμφωνα με μια πρακτική απλοποίηση της μεθόδου Mononobe-Okabe, που αναπτύχθηκε από τους Seed και Whitman (197), η (μέγιστη) κανονικοποιημένη δυναμική ενεργητική δύναμη που ενεργεί στον τοίχο είναι: ΔPAE Δ P =.4 (1) AE 2 AρH όπου A είναι η μέγιστη επιτάχυνση στη βάση, ρ είναι η πυκνότητα του εδάφους, και H είναι το ύψος του τοίχου. Όμως, οι ελαστικές λύσεις που αναπτύχθηκαν στις αρχές της δεκαετίας του 8 από τους Scott (1973) ή Wood (1975) υποδεικνύουν ότι στην περίπτωση διεγέρσεων βάσης που περιλαμβάνουν χαμηλές συχνότητες (οιονεί-στατικές), φαινόμενο σύνηθες σε πολλά προβλήματα της πράξης, η κανονικοποιημένη δυναμική ενεργητική δύναμη που αναπτύσσεται σε έναν δύσκαμπτο πακτωμένο τοίχο είναι: Δ 1 (2) P AE Είναι προφανές ότι αυτή η ποσότητα είναι σχεδόν 2.5 φορές μεγαλύτερη σε σύγκριση με την πρόταση που έγινε από τους Seed και Whitman (197). Πρέπει να αναφερθεί επίσης ότι, όπως θα αποδειχθεί αργότερα, αυτή η διαφορά μπορεί να είναι ακόμα πιο έντονη όταν η θεμελιώδης συχνότητα της διέγερσης στη βάση προσεγγίζει αυτή του αντιστηριζόμενου εδαφικού στρώματος υπό μονοδιάστατες (1-Δ) συνθήκες, δηλαδή: 2

f o V G S max = = (3) 4H 4H ρ όπου V S είναι η ταχύτητα διάδοσης των διατμητικών κυμάτων στο έδαφος, και G max είναι το αντίστοιχο μέτρο διάτμησης για μικρές παραμορφώσεις. Εντούτοις, οι δύο προαναφερθέντες τρόποι συμπεριφοράς του συστήματος τοίχου-εδάφους είναι μάλλον ακραίοι και πολλές φορές δεν αντιπροσωπεύουν την πραγματικότητα, αφού σε πολλές περιπτώσεις οι υποθέσεις της κάθε μεθόδου δεν είναι ρεαλιστικές. Οι λύσεις της οριακής ισορροπίας υποδηλώνουν την ικανότητα του συστήματος να αναπτύσσει σχετικά μεγάλες μετατοπίσεις (γεωμετρική μη-γραμμικότητα) μαζί με τον σχηματισμό πλαστικών ζωνών (μη-γραμμικότητα υλικού). Από την άλλη πλευρά, οι ελαστικές λύσεις περιλαμβάνουν μόνο τη δυνητική γεωμετρική μη-γραμμικότητα λαμβάνοντας υπόψη την ευκαμψία του τοίχου ή την ενδοσιμότητα της θεμελίωσής του (Veletsos και Younan, 1997). Σε μερικές πρακτικές περιπτώσεις (όπως ακρόβαθρα γεφυρών, εκσκαφές με αντηρίδες, ή τοίχοι υπογείων) η ύπαρξη κινηματικών περιορισμών στην κίνηση του τοίχου είναι ασύμβατη με την έννοια της οριακής ισορροπίας, ενώ απεναντίας οι διαθέσιμες ελαστικές λύσεις παραβλέπουν την πιθανή μη-γραμμική συμπεριφορά του αντιστηριζόμενου εδάφους οδηγώντας κατ αυτόν τον τρόπο σε υπερσυντηρητικό σχεδιασμό. Ο αντικειμενικός σκοπός της παρούσας μελέτης είναι να εξεταστεί πληρέστερα η επίδραση της μη-γραμμικότητας υλικού στη δυναμική καταπόνηση ενός τοίχου που αντιστηρίζει μία και μοναδική εδαφική στρώση. Για τον σκοπό αυτό πραγματοποιήθηκαν διδιάστατες αριθμητικές προσομοιώσεις, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, με σκοπό να διερευνηθούν μερικά από τα πιο σημαντικά ζητήματα αυτού του σύνθετου φαινομένου δυναμικής μη-γραμμικής αλληλεπίδρασης εδάφους τοίχου. Για να «απομονωθούν» οι επιδράσεις της μη-γραμμικότητας του υλικού στην απόκριση του συστήματος, ο τοίχος θεωρείται ότι είναι άκαμπτος και πακτωμένος στη βάση του (βλ. Σχήμα 1). H ρ, G(γ), ξ(γ) A(t) Σχήμα 1. Το εξεταζόμενο σύστημα αντιστήριξης: ένας άκαμπτος πακτωμένος τοίχος που αντιστηρίζει μία εδαφική στρώση με συμπεριφορά υλικού που εξαρτάται από την εκάστοτε παραμόρφωση, και τα δυο διεγειρόμενα στη βάση από μια χρονοϊστορία επιτάχυνσης A(t). Πέραν από τις δυναμικές εδαφικές ωθήσεις που αναπτύσσονται στον τοίχο, δίδεται έμφαση και στην εδαφική ενίσχυση της επιτάχυνσης της βάσης. Σημειώνεται ότι οι σύγχρονοι αντισεισμικοί κανονισμοί (όπως ο EC8 ή ο ΕΑΚ), βασιζόμενοι σε μεθόδους οριακής 3

ισορροπίας, υποτιμούν το ρόλο της εν δυνάμει εδαφικής ενίσχυσης. Για να εξεταστεί το κατά πόσον το μέγεθος της επιβαλλόμενης επιτάχυνσης μπορεί να επηρεάσει τις δυναμικές εδαφικές ωθήσεις που ασκούνται στον τοίχο πραγματοποιήθηκε μια παραμετρική ανάλυση. Η μη-γραμμικότητα του υλικού λαμβάνεται υπόψη με έναν απλουστευτικό, αλλά επαρκή τρόπο, μέσω μιας επαναληπτικής ισοδύναμης-γραμμικής διαδικασίας κατά την οποία το μέτρο διάτμησης G και ο λόγος απόσβεσης ξ εξαρτώνται από τις παραμορφώσεις κάθε πεπερασμένου στοιχείου και διορθώνονται κατά τη διάρκεια των επαναλήψεων μέχρι να συγκλίνουν, όπως επεξηγείται στη συνέχεια. Η δυναμική απόκριση οποιουδήποτε συστήματος εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της σεισμικής διέγερσης (τόσο στο πεδίο του χρόνου, όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων). Ωστόσο, στην παρούσα αριθμητική μελέτη οι διεγέρσεις περιορίστηκαν σκοπίμως σε απλές αρμονικές και απλούς παλμούς με σκοπό να εξεταστούν εκτενώς τα πολύπλοκα φαινόμενα της μη-γραμμικής δυναμικής αλληλεπίδρασης εδάφους τοίχου. Τα αποτελέσματα παρέχουν μια σαφή ένδειξη της άμεσης δυναμικής αλληλεπίδρασης μεταξύ ενός τοίχου αντιστήριξης και του αντιστηριζόμενου εδάφους, ενώ η δυνητική μη-γραμμικότητα του εδάφους φαίνεται να αυξάνει το βαθμό πολυπλοκότητας του προβλήματος, όντας ευεργετική ή επιζήμια για την καταπόνηση του τοίχου, ανάλογα με τις εκάστοτε περιστάσεις. Αυτό το γεγονός δικαιολογεί την ανάγκη για μια πιο λεπτομερή θεώρηση αυτών των αλληλοσυσχετιζόμενων φαινομένων στον αντισεισμικό σχεδιασμό των τοίχων αντιστήριξης. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Για να εξεταστεί η μη-γραμμική δυναμική αλληλεπίδραση εδάφους τοίχου πραγματοποιήθηκαν διδιάστατες (2-Δ) αριθμητικές προσομοιώσεις του συστήματος αντιστήριξης που απεικονίζεται στο Σχήμα 1. Οι προσομοιώσεις έγιναν με χρήση του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων QUAD4M (Hudson et al. 1993), ο οποίος εκτελεί δυναμικές μη-γραμμικές αναλύσεις χρησιμοποιώντας την ευρύτατα διαδεδομένη επαναληπτική ισοδύναμη γραμμική διαδικασία. Κάθε επανάληψη περιλαμβάνει: (α) μια γραμμική δυναμική ανάλυση του προσομοιώματος με άμεση ολοκλήρωση, (β) τον υπολογισμό της μέγιστης πραγματικής διατμητικής παραμόρφωσης, γ eff, για κάθε στοιχείο (υπολογισμένη ως ένα ποσοστό της μέγιστης παραμόρφωσης), και (γ) τον υπολογισμό του μέτρου διάτμησης G(γ eff ) και του κρίσιμου λόγου απόσβεσης ξ(γ eff ) που είναι συμβατά με την υπολογισθείσα παραμόρφωση για να χρησιμοποιηθούν στην επόμενη επανάληψη, διαμέσου καμπύλων G/G max -γ και ξ-γ. Η διαδικασία τερματίζεται όταν προκύψει σύγκλιση των G και ξ. Οι καμπύλες που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διερεύνηση αντιστοιχούν σε αμμώδες υλικό (Seed και Idriss 197; Idriss, 199). Εν γένει, οι ιδιότητες του εδαφικού υλικού (G, ρ) και το ύψος του τοίχου δεν επηρεάζουν τις δυναμικές εδαφικές ωθήσεις στον τοίχο, καθώς η ευκαμψία του τοίχου εξετάζεται σε σχέση με τη δυστμησία του εδάφους και οι εδαφικές ωθήσεις κανονικοποιούνται ως προς ρ και H (Veletsos και Younan, 1997; Psarropoulos et al., 25). Συνεπώς, όλες οι αναλύσεις έγιναν θεωρώντας τον τοίχο του Σχήματος 1 με ύψος ίσο με 8m. Το αντιστηριζόμενο εδαφικό στρώμα χαρακτηρίζεται από μια σχετικά μικρή ταχύτητα διάδοσης διατμητικών κυμάτων, που αντιστοιχεί σε μικρές παραμορφώσεις (στα όρια της ελαστικότητας) ίση με 1m/s και πυκνότητα υλικού ίση με 1.8 Mg/m 3. Η διακριτοποίηση του αντιστηριζόμενου εδάφους έγινε 4

με τετρακομβικά τετράπλευρα στοιχεία επίπεδης παραμόρφωσης. Το προσομοίωμα ήταν αρκετά μακρύ έτσι ώστε να μπορεί να αναπαράγει επαρκώς τις συνθήκες μονοδιάστατης απόκρισης στη δεξιά πλευρά του προσομοιώματος (βλ. Σχήμα 1). Ο δύσκαμπτος τοίχος προσομοιώθηκε από μία πολύ δύσκαμπτη στήλη με γραμμικώς ελαστική συμπεριφορά. Χρησιμοποιήθηκε η απλοποιητική παραδοχή της μη αποκόλλησης και της ανυπαρξίας σχετικής ολίσθησης στη διεπιφάνεια τοίχου εδάφους. Η βάση τόσο του τοίχου όσο και της εδαφικής στρώσης θεωρήθηκε ότι διεγείρονταν από μια οριζόντια κίνηση. Το προσομοίωμα υποβλήθηκε καταρχάς σε αρμονικές διεγέρσεις δύο διαφορετικών συχνοτήτων. Η πρώτη ισούται με τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα που αντιστοιχεί σε χαμηλές παραμορφώσεις του εδαφικού στρώματος f o, και η δεύτερη είναι έξι φορές μικρότερη της πρώτης (f = f o /6) με σκοπό να προσεγγίσει μια οιονεί-στατική διέγερση. Χρησιμοποιήθηκαν διάφορες τιμές επιβαλλόμενης επιτάχυνσης, στοχεύοντας έτσι στην ανάπτυξη διαφόρων επιπέδων μη-γραμμικότητας του εδαφικού υλικού. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Η δυναμική γραμμική απόκριση μίας άπειρης εδαφικής στρώσης υπό μονοδιάστατες συνθήκες έχει μελετηθεί από πολλούς ερευνητές και στη βιβλιογραφία μπορούν να βρεθούν αναλυτικές λύσεις για αρμονική διέγερση (Roesset, 1977; Kramer, 1996). Στην περίπτωση της αρμονικής διέγερσης η απόκριση ρυθμίζεται από τον λόγο f/f o, όπου f είναι η δεσπόζουσα συχνότητα της διέγερσης και f o είναι η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα της εδαφικής στρώσης. Στην εξεταζόμενη περίπτωση η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα της εδαφικής στρώσης f o ισούται περίπου 3.1Hz. Η διάρκεια της ημιτονικής διέγερσης ήταν τέτοια που να επιτρέπει στο σύστημα να φτάνει σε συνθήκες σταθερής κατάστασης ταλάντωσης. Στην περίπτωση αυτή ο μέγιστος παράγοντας εδαφικής ενίσχυσης για γραμμική απόκριση δίνεται από τη σχέση: AF 2 1 πξ 2n + 1 (4) όπου ξ είναι ο κρίσιμος λόγος απόσβεσης και n ο αριθμός της ιδιομορφής ταλάντωσης. Για την πρώτη ιδιομορφή (n = ) και ξ = 5%, ο συντελεστής AF είναι περίπου 12.7. Η παρουσία ενός τοίχου αντιστήριξης ουσιαστικά επιβάλλει μια κάθετη συνοριακή συνθήκη, οδηγώντας έτσι σε ένα 2-Δ προσομοίωμα. Επιπλέον, αυτό το προσομοίωμα έχει μια θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα χαμηλών παραμορφώσεων λίγο μικρότερη από αυτήν που αντιστοιχεί στο 1-Δ προσομοίωμα, εξαιτίας του γεγονότος ότι η ύπαρξη του άκαμπτου τοίχου κάνει το προσομοίωμα πιο δύσκαμπτο. Όμως, η διαφορά των δύο τιμών θεωρείται αμελητέα, αφού είναι μικρότερη από.3 Hz. Στην παρούσα μελέτη η απόκριση του εδαφικού στρώματος κάτω από 1-Δ συνθήκες συγκρίνεται με το αντίστοιχο 2-Δ, που οφείλεται στην ύπαρξη του τοίχου (βλ. Σχήμα 1). Η κατανομή της εδαφικής ενίσχυσης (AF) στην επιφάνεια του εδάφους στην περίπτωση της αρμονικής διέγερσης σε συντονισμό (f = f o ) παριστάνεται στο Σχήμα 2. Είναι προφανές ότι για τον άκαμπτο πακτωμένο στη βάση τοίχο που εξετάζεται, η κίνηση κοντά του πρακτικά προκαλείται από τον ίδιο τον τοίχο, και συνεπώς δεν 5

παρατηρείται ενίσχυση (AF = 1). Ο παράγοντας εδαφικής ενίσχυσης συγκλίνει στη μέγιστη τιμή (AF 12.7) σε μια απόσταση από τον τοίχο ίση με 1H, αφού στην απόσταση αυτή επικρατούν μονοδιάστατες συνθήκες. Πρέπει να επισημανθεί ότι αυτή η απόσταση υπολογίστηκε επίσης από τον Wood (1975) ως η ελάχιστη απαιτούμενη απόσταση για να εκμηδενιστούν οι επιδράσεις του τοίχου στο έδαφος. Σχήμα 2. Κατανομή του συντελεστή εδαφικής ενίσχυσης (ΑF) κατά μήκος της ελεύθερης επιφάνειας του αντιστηριζόμενου εδάφους στην περίπτωση της αρμονικής διέγερσης σε συντονισμό (f=f o ). Σημειώνεται ότι ο AF είναι ίσος με 1 ακριβώς πίσω από τον άκαμπτο τοίχο. 1.8.6 y/h.4 f = fo/6.2 f = fo 1 2 3 4 5 σ x /AρH Σχήμα 3. Καθ ύψος κατανομή των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων που προκαλούνται για τις δύο αρμονικές διεγέρσεις. Στο Σχήμα 3 παρουσιάζεται η καθ ύψος κατανομή των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων για τις δύο αρμονικές διεγέρσεις που εξετάζονται. Γίνεται αντιληπτό ότι, όταν η θεμελιώδης συχνότητα της επιβαλλόμενης διέγερσης f πλησιάζει αυτήν της 6

αντιστηριζόμενης εδαφικής στρώσης f o, η κανονικοποιημένη πρόσθετη δυναμική δύναμη Δ P AE είναι σχεδόν τρείς φορές μεγαλύτερη στην περίπτωση του συντονισμού, συγκριτικά με την αντίστοιχη τιμή στην περίπτωση της οιονεί-στατικής διέγερσης, η οποία σύμφωνα με την Εξίσωση 2 είναι περίπου ίση με 1. ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Τα προηγούμενα αποτελέσματα που αναφέρονται στην περίπτωση της γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους ισχύουν για πολύ χαμηλά επίπεδα επιτάχυνσης στη βάση, ενώ οι προκαλούμενες παραμορφώσεις παραμένουν μικρές (γ <.5%). Ωστόσο, όταν η μέγιστη επιτάχυνση που ενεργεί στην εδαφική μάζα παίρνει τιμές που πλησιάζουν περισσότερο τις πραγματικές, οι προκαλούμενες παραμορφώσεις είναι σημαντικά μεγαλύτερες, οπότε η επίδραση της μη-γραμμικότητας του υλικού (που εκφράζεται μέσω των καμπύλων G/G max - γ και ξ - γ) γίνεται πιο εμφανής. Η συμπεριφορά του συστήματος τοίχουεδάφους εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό όχι μόνο από το επίπεδο της επιβαλλόμενης επιτάχυνσης, αλλά επίσης και από το λόγο f/f o, γεγονός που προκύπτει από τα ακόλουθα αποτελέσματα. Η κατανομή της εδαφικής ενίσχυσης στην επιφάνεια του εδάφους στην περίπτωση της αρμονικής διέγερσης σε συντονισμό (f = f o ) παριστάνεται στο Σχήμα 4 για πέντε επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση:.1g (που πρακτικά αντιστοιχεί σε γραμμική συμπεριφορά του εδάφους),.12g,.24g,.36g, και.5g, καλύπτοντας ένα ευρύ φάσμα των προκαλούμενων δυναμικών παραμορφώσεων. Όπως ήταν αναμενόμενο, ο αυξανόμενος βαθμός μη-γραμμικότητας του εδάφους κάνει το σύστημα πιο «μαλακό», μειώνει τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητά του, και οδηγεί σε αποσυντονισμό, ένα φαινόμενο που χαρακτηρίζεται από σημαντικά μειωμένες τιμές του AF. Σημειώνεται ότι για την περιοχή των μικρών διατμητικών παραμορφώσεων (μικρότερων ή ίσων του 1%) ο κρίσιμος λόγος απόσβεσης, ξ, επιλέχθηκε να είναι 5%, αντί για τις πολύ μικρότερες τιμές που προτείνουν οι Seed και Idriss (197) για συνθήκες χαμηλών παραμορφώσεων. Επιπρόσθετα, το Σχήμα 5 απεικονίζει την κατανομή καθ ύψος των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων για τα πέντε επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση που εξετάστηκαν στην περίπτωση της αρμονικής διέγερσης με f = f o. Όσο η επιβαλλόμενη επιτάχυνση αυξάνει τόσο οι δυναμικές εδαφικές ωθήσεις μειώνονται. Ειδικότερα, η κανονικοποιημένη πρόσθετη δυναμική δύναμη στον τοίχο περιορίζεται σε τιμές που κυμαίνονται από.6 σε.9 (που αντιστοιχούν σε A =.5g και A =.12g, αντίστοιχα) συγκρινόμενη με την τιμή ίση με 3 που υπολογίστηκε προηγουμένως για την περίπτωση της γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους. Είναι προφανές ότι στην περίπτωση διεγέρσεων με δεσπόζουσα συχνότητα που προσεγγίζει την θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα που αντιστοιχεί στις μικρές παραμορφώσεις της αντιστηριζόμενης εδαφικής στρώσης, η μη-γραμμική συμπεριφορά του εδαφικού υλικού επιδρά μόνο με ευεργετικό τρόπο. Η περίπτωση της οιονεί-στατικής διέγερσης έχει μεγαλύτερο ενδιαφέρον. Στο Σχήμα 6 παριστάνεται η κατανομή καθ ύψος των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων για την περίπτωση της οιονεί-στατικής αρμονικής διέγερσης (f = f o /6) για τις πέντε τιμές της μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση που εξετάστηκαν. Το Σχήμα 7 προκύπτει από τα 7

αποτελέσματα που φαίνονται στα Σχήματα 5 και 6, αφού παριστάνει την Δ P AE ως συνάρτηση της μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση A. Λαμβάνοντας επίσης υπόψη τις τιμές που υπολογίζονται με χρήση των Εξισώσεων 1 και 2 (δηλαδή.4 και 1, αντίστοιχα), θα μπορούσε εύκολα να παρατηρηθεί ότι για την οιονεί-στατική διέγερση στη γραμμική περίπτωση (δηλαδή για A =.1g), η κανονικοποιημένη πρόσθετη δυναμική δύναμη προσεγγίζει την τιμή 1, ενώ για υψηλότερα επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση (που επιφέρουν μη-γραμμική απόκριση του συστήματος αντιστήριξης) οι κανονικοποιημένες δυναμικές εδαφικές ωθήσεις είναι πάντα μεγαλύτερες από αυτές που αντιστοιχούν στη γραμμική ελαστική απόκριση. 16 12 AF 8.1g A =.1g.12g A =.12g.24g A =.24g.36g A =.36g.5g A =.5g 4 2 4 6 8 1 12 x/h Σχήμα 4. Κατανομή του συντελεστή εδαφικής ενίσχυσης (ΑF) κατά μήκος της επιφάνειας του αντιστηριζόμενου εδάφους στην περίπτωση αρμονικής διέγερσης με συχνότητα f ίση με τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα f o. Παρουσιάζονται και οι πέντε περιπτώσεις μέγιστης εδαφικής επιτάχυνσης. Αυτή η φαινομενική ασυμφωνία αποδίδεται στο γεγονός ότι για ορισμένα αυξημένα επίπεδα της προκαλούμενης παραμόρφωσης η μείωση της δυσκαμψίας του συστήματος τοίχουεδάφους που αναφέρθηκε προηγουμένως μετατοπίζει τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητά του πιο κοντά στη συχνότητα συντονισμού με την επιβαλλόμενη διέγερση, για αυτό και οδηγεί σε αυξημένη καταπόνηση. Για ακόμη μεγαλύτερα επίπεδα προκαλούμενης παραμόρφωσης, ο συντονισμός αποτρέπεται, καθόσον η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα του συστήματος αντιστήριξης μειώνεται και γίνεται μικρότερη από τη συχνότητα της διέγερσης. Έτσι, στην περίπτωση της οιονεί στατικής αρμονικής διέγερσης, η επίδραση της μη-γραμμικότητας του υλικού μπορεί να είναι ευεργετική ή επιζήμια ανάλογα με τις περιστάσεις. 8

1.8.6 y/h.4.2 A =.1g A =.12g A =.24g A =.36g A =.5g 1 2 3 4 5 σ x /AρH Σχήμα 5. Καθ ύψος κατανομή των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων για αρμονική διέγερση με συχνότητα f ίση με τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα f o. Παρουσιάζονται και οι πέντε περιπτώσεις εδαφικής επιτάχυνσης. 1.8.6 y/h.4 A =.1g A =.12g A =.24g A =.36g A =.5g.2.5 1 1.5 2 σ x /AρH Σχήμα 6. Καθ ύψος κατανομή των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων για την οιονείστατική αρμονική διέγερση (f=f o /6) Παρουσιάζονται και οι πέντε περιπτώσεις εδαφικής επιτάχυνσης. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΕ ΑΠΛΟΥΣ ΠΑΛΜΟΥΣ Όπως προαναφέρθηκε, εκτός από αρμονικές διεγέρσεις, στην παρούσα μελέτη χρησιμοποιήθηκαν και απλοί παλμοί, πιο συγκεκριμένα χρησιμοποιήθηκε ένας απλός παλμός Ricker με κεντρική συχνότητα f R = 2Hz (Ricker, 196). Παρόλη την απλότητα της κυματομορφής του, αυτό το μικρό κύμα καλύπτει ομαλά μια μεγάλη γκάμα συχνοτήτων έως και περίπου 3f R ( 6Hz). Η χρονοϊστορία επιτάχυνσης και το αντίστοιχο φάσμα Fourier του παλμού αυτού δίνονται στο Σχήμα 8. 9

3 f = fo f = fo/6 2 ΔP AE 1.1.2.3.4.5 A (g) Σχήμα 7. Μέγιστη κανονικοποιημένη πρόσθετη δυναμική δύναμη ως συνάρτηση της μέγιστης εδαφικής επιτάχυνσης στη βάση (Α) για τις δύο αρμονικές διεγέρσεις. 1.5.25 A : m/s 2 1..5. -.5-1. FFT.2.15.1.5-1.5.2.4.6.8 1 1.2 t : s. 1 2 3 4 5 f : Hz Σχήμα 8. (α) Χρονοϊστορία επιτάχυνσης (η οποία είναι κανονικοποιημένη σε μέγιστη επιτάχυνση 1 m/s 2 ) και (β) Φάσμα Fourier του παλμού Ricker (με κεντρική συχνότητα f R = 2 HZ). To Σχήμα 9 απεικονίζει τις χρονοϊστορίες επιτάχυνσης στην επιφάνεια της αντιστηριζόμενης εδαφικής στρώσης, για την περίπτωση κατά την οποία ο άκαμπτος τοίχος διεγείρεται με τον παλμό Ricker. Είναι φανερό ότι κοντά στον δύσκαμπτο τοίχο η ενίσχυση συγκλίνει στο 1. Η κατανομή καθ ύψος των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων στην περίπτωση της διέγερσης παλμού Ricker παριστάνεται στο Σχήμα 1 για τρείς από τις εξεταζόμενες τιμές της μέγιστης επιτάχυνσης της βάσης. Η δυναμική απόκριση του συστήματος που παρατηρήθηκε στο Σχήμα 5 επαναλαμβάνεται και σε αυτήν την περίπτωση, εξαιτίας του γεγονότος ότι ο παλμός της διέγερσης περιλαμβάνει ένα ευρύ φάσμα συχνοτήτων που είναι κοντά στη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του αντιστηριζόμενου εδαφικού στρώματος (f o 3Hz), όπως φαίνεται και από το φάσμα Fourier του παλμού αυτού (βλ. Σχήμα 8β). Ως αποτέλεσμα, παρά τα χαμηλότερα επίπεδα των εδαφικών ωθήσεων στην 1

1 2 3 περίπτωση αυτή, η απόκριση του συστήματος είναι παρόμοια με αυτήν που προκαλείται από την αρμονική διέγερση σε συντονισμό. t (s) 3 2 1 H Σχήμα 9. Κυματομορφές της επιτάχυνσης κατά μήκος της επιφάνειας της αντιστηριζόμενης εδαφικής στρώσης που διεγείρεται με τον παλμό Ricker. Είναι προφανές ότι κοντά στον άκαμπτο τοίχο δεν υπάρχει ενίσχυση. Επειδή ο παλμός Ricker καλύπτει ομαλά το εύρος συχνοτήτων ανάμεσα στα 1 και 5 Hz, παρέχει έναν αποτελεσματικό τρόπο για να κατανοηθεί η επίδραση της μη-γραμμικότητας υλικού στην καταπόνηση του τοίχου και στο πεδίο των συχνοτήτων. Στο Σχήμα 11 παρουσιάζεται η μεταβολή του Συντελεστή Ενίσχυσης Ωθήσεων (PAF) ως συνάρτηση της συχνότητας. Ο συντελεστής PAF ορίζεται ως εξής: 11

FFT P t PAF = FFT A t AE Δ () (5) [ ()] όπου ο όρος FFT P AE Δ () t είναι το φάσμα Fourier της κανονικοποιημένης χρονοϊστορίας της πρόσθετης δυναμικής δύναμης Δ PAE ( t), και ο όρος FFT [ A( t )] είναι το φάσμα Fourier της χρονοϊστορίας της επιτάχυνσης του παλμού Ricker με μοναδιαία μέγιστη τιμή (βλ. Σχήμα 8). 1.8 y/h.6.4.2 A =.1g A =.24g A =.36g.5 1 1.5 2 2.5 σ x /ρha Σχήμα 1. Καθ ύψος κατανομή των κανονικοποιημένων δυναμικών εδαφικών ωθήσεων στην περίπτωση της διέγερσης με τον παλμό Ricker. Εξετάζονται τρία διαφορετικά επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση. Είναι προφανές ότι στην περίπτωση της γραμμικής συμπεριφοράς του εδάφους (δηλαδή για A=.1g) το PAF παίρνει τη μέγιστη τιμή του για συχνότητες κοντά στη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα της αντιστηριζόμενης εδαφικής στρώσης. Αυτό το αποτέλεσμα συμφωνεί με την τιμή που υπολογίστηκε προηγουμένως για την περίπτωση της γραμμικής αρμονικής απόκρισης σε συντονισμό ( ΔP AE 3 ). Ομοίως, για χαμηλόσυχνες διεγέρσεις η τιμή του PAF συγκλίνει σε αυτήν που προτάθηκε από τους Scott (1973) και Wood (1975). Για την περίπτωση μεγαλύτερων τιμών μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση (δηλαδή για A =.24g ή.36g), η ανάπτυξη της (βαθμιαία αυξανόμενης) μη-γραμμικότητας υλικού όχι μόνο επηρεάζει τη μέγιστη τιμή του PAF, αλλά επίσης μετατοπίζει το εύρος των μέγιστων τιμών του προς τις μικρότερες συχνότητες. Αυτό το φαινόμενο μπορεί να είναι είτε ευεργετικό είτε επιζήμιο, γεγονός που εξαρτάται από την δεσπόζουσα συχνότητα της επιβαλλόμενης διέγερσης. 12

3 2.1g A =.1g.1g.24g A =.24g.36g A =.36g PAF 1 1 2 3 4 5 f : Hz Σχήμα 11. Διακύμανση του συντελεστή ενίσχυσης εδαφικών ωθήσεων (PAF) για τρία διαφορετικά επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση. Τέλος, το Σχήμα 12 (το οποίο ουσιαστικά αποτελεί μια επέκταση του Σχήματος 7) παρουσιάζει τη μέγιστη κανονικοποιημένη πρόσθετη δυναμική δύναμη ως συνάρτηση της μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση A και για τις τρείς διεγέρσεις που εξετάστηκαν. Σημειώνεται ότι στο ίδιο διάγραμμα συμπεριλαμβάνονται ως σημείο αναφοράς και οι τιμές της Δ P AE που προτείνουν ο Wood (1975) και οι Seed και Whitman (197). Παρατηρείται ότι στην περίπτωση της γραμμικής απόκρισης, η καταπόνηση του τοίχου κυριαρχείται από το συχνοτικό περιεχόμενο της διέγερσης. Ειδικότερα, το Δ P AE μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών 1 και 3 και είναι έτσι πάντα μεγαλύτερο από τις πρότυπες άνω και κάτω οριακές τιμές που υιοθετούνται από τους αντισεισμικούς κανονισμούς (Wood και M-O). Όσο ο βαθμός της μηγραμμικότητας αυξάνεται τόσο η καταπόνηση μειώνεται κατά πολύ, κυμαινόμενη ανάμεσα στα προαναφερθέντα όρια στην περίπτωση του συντονισμού. Αντίθετα, η καταπόνηση στην περίπτωση της χαμηλόσυχνης (οιονεί-στατικής) διέγερσης και μη-γραμμικής απόκρισης είναι σταθερά μεγαλύτερη από το άνω όριο (λύση του Wood) για όλα τα επίπεδα μέγιστης επιτάχυνσης στη βάση, ενώ είναι περίπου 5% μεγαλύτερη από αυτήν της λύσης του Wood. Ένα σημαντικό συμπέρασμα που προκύπτει από το διάγραμμα του Σχήματος 12 είναι το γεγονός ότι για μεγάλες τιμές της επιβαλλόμενης επιτάχυνσης η δύναμη που προκύπτει προσεγγίζει γενικά αυτήν που πρότειναν οι Seed και Whitman, έστω και αν οι συνθήκες οριακής ισορροπίας (που επιβάλλονται με τη στατική θεωρία του Coulomb ή την ψευδοστατική της επέκταση των M-O) δεν ισχύουν στο συγκεκριμένο σύστημα αντιστήριξης. Αυτό σημαίνει ότι η δύναμη που ενεργεί πίσω από έναν (πλαστικά) ενδόσιμο τοίχο αντιστήριξης (που προκύπτει από το βάρος μιας άκαμπτης σφήνας εδάφους πάνω από μια επίπεδη επιφάνεια αστοχίας, σύμφωνα με τη θεωρία Μ-Ο) συμπίπτει με τη δύναμη που ενεργεί πίσω από έναν δύσκαμπτο πακτωμένο τοίχο (που προκύπτει από τις εδαφικές ωθήσεις ενός εδαφικού υλικού που περνά στην πλαστική περιοχή). 13

3 f = fo Seed & Whitman (M-O) f = fo/6 Wood (1973) 2 Ricker 2Hz ΔP AE 1.1.2.3.4.5 A (g) Σχήμα 12. Μέγιστη κανονικοποιημένη πρόσθετη δυναμική δύναμη ως συνάρτηση της μέγιστης εδαφικής επιτάχυνσης στη βάση (Α) για τις τρεις διεγέρσεις που εξετάζονται. Το γράφημα περιλαμβάνει επίσης τις προτάσεις τoυ Wood (1973) και των Seed και Whitman (197). ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η παρούσα μελέτη εξέτασε με ποιον τρόπο και σε ποιο βαθμό η δυνητική μη-γραμμικότητα του εδάφους, την οποία μπορεί να εκδηλώσει μία αντιστηριζόμενη εδαφική στρώση μπορεί να επηρεάσει: (α) τη δυναμική καταπόνηση ενός άκαμπτου πακτωμένου τοίχου αντιστήριξης, και (β) τη σεισμική απόκριση του ίδιου του αντιστηριζόμενου εδαφικού στρώματος. Διαπιστώθηκε ότι η μη-γραμμικότητα του εδάφους μειώνει γενικά την εδαφική ενίσχυση του αντιστηριζόμενου εδάφους και τις δυναμικές εδαφικές ωθήσεις, οδηγώντας έτσι σε μικρότερη καταπόνηση του τοίχου. Ωστόσο, καθώς η μη-γραμμικότητα του εδάφους μεταβάλλει τις ιδιοσυχνότητες του συστήματος τοίχου-εδάφους, υπάρχει (υπό συγκεκριμένες συνθήκες) μεγάλη πιθανότητα η αυξημένη μη-γραμμικότητα να οδηγήσει σε ενισχυμένη απόκριση. Αυτό το φαινόμενο είναι περισσότερο πιθανό να συμβεί όταν το συχνοτικό περιεχόμενο της διέγερσης είναι στενό και συγκεντρωμένο γύρω από μια θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα που είναι μικρότερη από τη γραμμική ιδιοσυχνότητα του εδαφικού στρώματος. Σε κάθε περίπτωση, τα αποτελέσματα παρέχουν μια σαφή ένδειξη ότι η ενδεχόμενη μη-γραμμικότητα αυξάνει το βαθμό πολυπλοκότητας, αφού είναι είτε ευεργετική είτε επιζήμια για την καταπόνηση του τοίχου, ανάλογα με τις ιδιαιτερότητες του συγκεκριμένου προβλήματος. Το γεγονός αυτό δικαιολογεί την ανάγκη για μία λεπτομερέστερη και ρεαλιστικότερη θεώρηση αυτών των αλληλοσχετιζόμενων φαινομένων στον αντισεισμικό σχεδιασμό των τοίχων αντιστήριξης. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οι συγγραφείς ευχαριστούν θερμά τους Στέφανο Τσιμπουράκη και Βαρβάρα Ζανιά για τα εποικοδομητικά τους σχόλια. 14

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ EAK (2), Greek Seismic Code, Greek Ministry of Public Works, Athens, Greece. EC8 (23), Eurocode 8: Design of structures for earthquake resistance, European standard CEN-ENV-1998-1, European Committee for Standardization, Brussels. Green R.A. and Ebeling R.M. (22), Seismic analysis of cantilever retaining walls, Phase I Report ERDC/ITL TR-2-3, U.S. Army Corps of Engineers, Washington, DC. Hudson M.B., Idriss I.M. and Beikae M. (1993), QUAD4M: A computer program for evaluating the seismic response of soil-structures, Center for Geotechnical Modeling, Department of CEE, Univ. of California, Davis, California. Iai S. (1998), Seismic analysis and performance of retaining structures, in Dakoulas P., Yegian M. and Holtz R.D. (Eds.), Proc. of Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics III, Geotechnical Special Publ. No. 75, Vol. 2, ASCE, pp. 12 144. Idriss I.M. (199), Response of soft soil sites during earthquakes, in Duncan J.M. (Ed.), Proceedings of H. Bolton Seed Memorial Symposium, BiTech Publishers, Vol. 2, pp. 273-289. Kramer S. (1996), Geotechnical Earthquake Engineering, Prentice Hall. Mononobe N. and Matsuo H. (1929), On the determination of earth pressures during earthquakes, Proceedings of the World Engineering Congress, Tokyo, Japan, Vol. 9, Paper 388. Okabe S. (1926), General theory of earth pressures, Journal of the Japan Society of Civil Engineering, 12(1). PIANC (21), International Navigation Association: Seismic Design Guidelines for Port Structures, Balkema Publishers, Netherlands. Psarropoulos P.N., Klonaris G. and Gazetas G. (25), Seismic earth pressures on rigid and flexible retaining walls, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 25, pp. 795-89. Roesset J.M. (1977), Soil amplification of earthquakes, in Desai C.S. and Christian J.T. (Eds.), Numerical Methods in Geotechnical Engineering, McGraw-Hill, pp. 639-682. Scott R.F. (1973), Earthquake-induced pressures on retaining walls, Proceedings of the 5 th World Conference on Earthquake Engineering, Vol. 2, pp. 1611 162. Seed H.B. and Idriss I.M. (197), Soil moduli and damping factors for dynamic response analyses, Report EERC 7-1, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. Seed H.B. and Whitman R.V. (197), Design of earth retaining structures for dynamic loads, Proceedings of the Special Conference on Lateral Stresses in the Ground and Design of Earth Retaining Structures, ASCE, pp. 13 147. Veletsos A.S. and Younan A.H. (1997), Dynamic response of cantilever retaining walls, ASCE Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 123, pp. 161 172. Wood J.H. (1975), Earthquake induced pressures on a rigid wall structure, Bulletin of New Zealand National Earthquake Engineering, 8, pp. 175 186. Wu G. and Finn W.D.L. (1999), Seismic lateral pressures for design of rigid walls, Canadian Geotechnical Journal, 36(3), pp. 59-522. 15