ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο μελέτης ανά τους αιώνες στις επιστήμες της φιλοσοφίας, της γλωσσολογίας και των μαθηματικών. Καθένας από τους παραπάνω επιστημονικούς κλάδους προσεγγίζει τη λογική με διαφορετική οπτική γωνία. Ας πάρουμε το παράδειγμα της διαλεκτικής λογικής. Θεμελιωμένη από το «σκοτεινό» φιλόσοφο Ηράκλειτο, αναιρεί την ταυτότητα και υποστηρίζει ότι από το όμοιο μπορεί να προκύψει το ανόμοιο. Η διαλεκτική λογική βρίσκει εφαρμογή στην ερμηνεία της φύσης και της ιστορίας αλλά είναι σχεδόν αδύνατο να εφαρμοστεί στα μαθηματικά. Βλέπουμε λοιπόν, ότι η λογική διαφοροποιείται ως έννοια ανάλογα με το επιστημονικό πεδίο εφαρμογής. Στο παρόν σύγγραμμα δεν επιθυμούμε να δώσουμε μια γενική εικόνα της έννοιας της λογικής. Στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε ένα συγκεκριμένο λογικό σύστημα και να δούμε πως εφαρμόζεται στους χώρους των φυσικών επιστημών και της τεχνολογίας. Οι περισσότεροι επιστήμονες που ασχολούνται με τη λογική, συμφωνούν ότι ένα αντικείμενο μπορεί να έχει ή να μην έχει κάποια ιδιότητα. Μερίδα βέβαια επιστημόνων αμφισβητούν έντονα αυτή την ιδέα βλέποντας ότι σε αρκετές περιπτώσεις δεν είναι δυνατό να αποφανθούμε για την αλήθεια ή όχι μιας πρότασης. Έτσι λοιπόν θεωρήθηκε αναγκαία η εισαγωγή της τρίτιμης λογικής. Η τρίτη τιμή αλήθειας, οι άλλες δύο είναι το αληθές και το ψευδές, ονομάσθηκε απροσδιόριστη και βρήκε χρήση στον χαρακτηρισμό προτάσεων της μορφής: «Υπάρχει ζωή στον πλανήτη Άρη;». Μετά την τρίτιμη λογική, και δεδομένης της αγάπης των μαθηματικών για γενίκευση των εννοιών, ο Πολωνός μαθηματικός Lukasiewicz, πατέρας της τρίτιμης λογικής, εισήγαγε τη λογική απείρων τιμών αλήθειας. Στη λογική αυτή, οι τιμές αλήθειας αναπαριστάνονται από ένα θετικό ακέραιο αριθμό, χαρακτηρίζουν δε το βαθμό στον οποίο κάποια πρόταση ισχύει ή όχι. Έτσι αν θεωρήσουμε ότι ο αριθμός 5 εκφράζει την αλήθεια μιας πρότασης και ο αριθμός το ψεύδος, χαρακτηρίζοντας την αλήθεια της πρότασης «Υπάρχει ζωή στον πλανήτη Άρη;» με δείχνουμε ότι μάλλον δεν είμαστε και

τόσο αισιόδοξοι για το ενδεχόμενο να υπάρχει ζωή στον Άρη. Αν και ο Lukasiewicz παρουσίασε τις ιδέες του στη δεκαετία του 9, έπρεπε να περάσουν αρκετές ακόμη δεκαετίες μέχρι οι ιδέες του να παρουσιασθούν σε διαφορετική μορφή αυτή τη φορά. Η σύλληψη της ιδέας της Ασαφούς Λογικής πραγματοποιήθηκε το 965 απ τον Lofti Zadeh, καθηγητή του Πανεπιστημίου Berkley της Καλιφόρνιας. Ήδη από το 96 ανέφερε: «Χρειαζόμαστε ένα ριζικά διαφορετικό είδος μαθηματικών, τα μαθηματικά των ασαφών ή νεφελωδών ποσοτήτων που δε μπορούν να περιγραφούν με όρους Συναρτήσεων Κατανομής Πιθανοτήτων. Πράγματι, η ανάγκη γι αυτά τα Μαθηματικά γίνεται όλο και περισσότερο εμφανής ακόμη και στην πραγματικότητα των μη κινούμενων συστημάτων, αφού στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές τόσο τα αρχικά δεδομένα όσο και τα κριτήρια με τα οποία κρίνεται ένα ανθρώπινο σύστημα απέχουν πολύ από το να είναι ακριβή ή από το να έχουν απόλυτα καθορισμένες συναρτήσεις κατανομής». Η Ασαφής Λογική αποτελεί μία ισχυρή μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων με πάμπολλες εφαρμογές στους τομείς του Μηχανικού. Εκτός των άλλων μας παρέχει απλούς και εντυπωσιακούς τρόπους στην εξαγωγή συμπερασμάτων χρησιμοποιώντας ασαφείς, διφορούμενες ή ανακριβείς πληροφορίες. Από μία άποψη η διαδικασία εξαγωγής συμπερασμάτων με τη βοήθεια της ασαφούς λογικής μοιάζει με το μηχανισμό εξαγωγής συμπερασμάτων του ανθρώπινου συλλογισμού με τη χρήση αβέβαιων και ανακριβών πληροφοριών. «Σχεδιάστηκε» για να εκφράσει από μαθηματική άποψη την αβεβαιότητα και την ασάφεια και να παρέχει τυποποιημένα εργαλεία για να αντιμετωπίσει την εγγενή σε πολλά προβλήματα ανακρίβεια. Όλο το οικοδόμημα των Μαθηματικών κτίσθηκε στα θεμέλια που έθεσε ο Αριστοτέλης και πιο συγκεκριμένα στους δύο βασικούς νόμους της «αντίφασης» και του «αποκλειόμενου τρίτου». Η αρχή του αποκλειόμενου τρίτου δηλώνει ότι μία πρόταση μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Όταν προτάθηκε ο παραπάνω νόμος από τον Παρμενίωνα το 4 π.χ. υπήρξαν ισχυρές και άμεσες αντιρρήσεις. Ο Ηράκλειτος, για παράδειγμα, ισχυρίστηκε ότι μία πρόταση μπορεί να είναι ταυτόχρονα αληθής και μη αληθής. Ο Πλάτωνας έθεσε τα θεμέλια της ασαφούς λογικής αφού

3 θεώρησε ότι υπήρχε μία Τρίτη περιοχή πέρα από το αληθές και ψευδές. Σήμερα πολλοί αμερικάνοι μαθηματικοί-φιλόσοφοι ισχυρίζονται ότι τα θεμέλια της ασαφούς λογικής ετέθησαν από τον Βούδα, ο οποίος ισχυρίστηκε ότι το κακό και το καλό συνυπάρχουν. Αυτό δεν είναι αληθές, ο Ηράκλειτος ήταν προγενέστερος του Βούδα. H «Λογική του Αριστοτέλη» ή «Λογική του άσπρου-μαύρου» αποτέλεσε το θεμέλιο όλου του οικοδομήματος των Μαθηματικών που κτίστηκε μέχρι σήμερα. Η απόδειξη μιας πρότασης στα Μαθηματικά είναι αληθής ή ψευδής. Δεν νοείται ένα θεώρημα στα Μαθηματικά να είναι αληθές κατά, και κατά,8. Η Λογική του Αριστοτέλη όμως υστερεί όταν προσπαθούμε να μοντελοποιήσουμε τα φυσικά φαινόμενα. Πράγματι, η περιγραφή των φυσικών νόμων - φαινομένων δε μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας σύνολα με «κοφτά» σύνορα. Ας πάρουμε για παράδειγμα το χαρακτηρισμό των ημερών ως προς την ηλιοφάνεια. Μία μέρα ηλιόλουστη με καταγάλανο ουρανό χαρακτηρίζεται ηλιόλουστη με βαθμό. Μια μέρα με λίγα σύννεφα χαρακτηρίζεται ηλιόλουστη με βαθμό αλήθειας από.4.9. Μια μέρα με πιο πολλά σύννεφα είναι πάλι ηλιόλουστη αλλά σε πολύ μικρότερο βαθμό. Τον ίδιο συλλογισμό μπορούμε να ακολουθήσουμε στην περιγραφή των ημερών και των τόπων ως προς τη βροχόπτωση, την ένταση των ανέμων, την υγρασία, την ομίχλη, τη χιονόπτωση κα. αλλά και ως προς φαινόμενα που δεν είναι τόσο «φυσικά» : την κίνηση των οχημάτων, την εκπομπή καυσαερίων και ούτω καθεξής. Τα σύνολα που δεν έχουν σαφή όρια είναι αυτά που θα παίζουν βασικό ρόλο στην μελέτη μας, τα λεγόμενα ασαφή σύνολα. Τα κλασικά σύνολα έχουν σαφή αλλά κοφτά όρια: γνωρίζουμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή δεν ανήκει σ αυτά και όπως ήδη έχουμε πει δεν εξυπηρετούν τις ενδιάμεσες ασαφείς καταστάσεις. Βασίλειος Παπαδόπουλος ΞΑΝΘΗ, 6

---------------------------------------------------------------------------------- 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΚΛΑΣΙΚΑ ΣYΝΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΙ ΤYΠΟΙ ----------------------------------------------------------------------------------. Ορισμοί Όπως ήδη έχουμε αναφέρει τα κλασικά σύνολα έχουν σαφή όρια. Το σύνολο των φοιτητών του Γ έτους του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, για παράδειγμα, είναι ένα κλασικό σύνολο με σαφή όρια. Ένας οποιοσδήποτε φοιτητής του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Ξάνθης ανήκει στο σύνολο αυτό ή δεν ανήκει. Ξεκινάμε από ένα σύνολο αναφοράς Χ. Ένα υποσύνολο Α του Χ ( Α Χ ) είναι ένα σύνολο με στοιχεία του Χ. Κάθε υποσύνολο Α του Χ μπορεί να περιγραφεί με τους εξής τρόπους:. Με αναγραφή των στοιχείων του: απαριθμούμε τα στοιχεία του Α ένα προς ένα.. Με περιγραφή των στοιχείων του: αντί να γράφουμε όλα τα στοιχεία αναφέρουμε απλά την κοινή τους ιδιότητα. Παράδειγμα : Έστω Χ = ΙΝ το σύνολο των φυσικών αριθμών, τότε το σύνολο των άρτιων αριθμών μεγαλυτέρων του 3 και μικρότερων του 5 γράφεται με τους δύο παραπάνω τρόπους ως εξής:. A = {4} (με αναγραφή των στοιχείων). A = { ΙΝ / 3 < < 5} (με περιγραφή των στοιχείων) Ένας άλλος τρόπος παράστασης ενός υποσυνόλου Α του συνόλου αναφοράς Χ είναι με την χαρακτηριστική του συνάρτηση.

6 Σε κάθε υποσύνολο Α Χ αντιστοιχούμε την χαρακτηριστική συνάρτηση του Α, ΧΑ: Χ {, } που ορίζεται ως εξής: X () A =, αν, αν A A Μπορούμε να «ταυτίσουμε» το υποσύνολο Α Χ με τη χαρακτηριστική του συνάρτηση ΧΑ (όπως λέμε στην «αλγεβρική γλώσσα» υπάρχει ένας ισομορφισμός από το σύνολο των υποσυνόλων του Χ στο σύνολο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων). Παραδείγματα : α) Το σύνολο των υψηλών θερμοκρασιών στην Ελλάδα: Σχήμα. Δηλαδή πάνω από 3 C θεωρούμε την θερμοκρασία υψηλή και κάτω από 3 C τη θεωρούμε όχι υψηλή! Το παραπάνω σύνολο είναι «κοφτό» (crisp). Είναι δυνατόν η θερμοκρασία των 3 C να θεωρείται υψηλή και η θερμοκρασία των 9,9 C όχι υψηλή;

7 β) Το σύνολο των μέτριων θερμοκρασιών στην Ελλάδα: Σχήμα. γ) Το σύνολο των χαμηλών θερμοκρασιών στην Ελλάδα: Σχήμα.3. Πράξεις Αν Α Χ, Β Χ τότε οι βασικές πράξεις των κλασικών συνόλων είναι: α) Η ένωση Α Β = { Χ: A ή Β } X A B A B Σχήμα.4

8 β) Η τομή Α Β = { Χ : A και Β } X A A B B Σχήμα.5 γ) Το συμπλήρωμα Α C = { Χ : A } X A c A Σχήμα.6 Οι παραπάνω πράξεις με τη βοήθεια των χαρακτηριστικών συναρτήσεων εκφράζονται με βάση την παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Αν Α Χ,Β Χ, ΧΑ είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του Α, ΧΒ η χαρακτηριστική συνάρτηση του Β, XA B η χαρακτηριστική συνάρτηση του Α Β, ΧΑ Β η χαρακτηριστική συνάρτηση του Α Β και XA c η χαρακτηριστική συνάρτηση του Α C τότε: i) XA B ( ) = ma { XA(), XΒ() }, X ii) XA B() = min { XA(), XΒ() }, X iii) XA c ( ) = - XA( )

9 Απόδειξη: i) Έστω τυχαίο X. Τότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν Α και Β, τότε ΧΑ( ) =, ΧB() = αλλά A B, δηλαδή ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( ) = ma { XA( ), XΒ() }, γιατί = ma {, }. Aν A και B, τότε ΧΑ( ) =, ΧB( ) = αλλά A B, δηλαδή ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( )= ma { XA(), XΒ() }, γιατί = ma {, }. Αν A και B, τότε ΧΑ( ) =, ΧB( ) = αλλά A B, δηλαδή ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( ) = ma { XA( ), XΒ( ) }, γιατί = ma {, }. Aν A και B, τότε ΧΑ( ) =, ΧB( ) = αλλά A B, δηλαδή ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( )= ma { XA( ), XΒ() }. Τελικά σε κάθε περίπτωση ισχύει ΧA B ( ) = ma { XA(), XΒ() }. ii) Έστω τυχαίο X. Τότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν Α και Β, τότε ΧΑ( ) =, ΧB( ) = άρα min { XA(), XB() } =. Αλλά A B ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( ) = min { XA( ), XΒ( ) }. Αν Α και Β, τότε ΧΑ( ) =, ΧB( ) = άρα min { XA(), XB() } =. Αλλά A B ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( ) = min { XA(), XΒ() } Αν Α και Β, τότε ΧΑ( ) =, ΧB( ) = άρα min { XA(), XB() } =. Αλλά A B ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( ) = min { XA(), XΒ() }.

Αν Α και Β, τότε ΧΑ( ) =, ΧB( ) = άρα min { XA(), XB() } =. Αλλά A B ΧA B( ) =. Άρα ΧA B( ) = min { XA(), XΒ() }. Τελικά σε κάθε περίπτωση ισχύει ΧA B( ) = min { XA(), XΒ() }. iii) Έστω τυχαίο X. Τότε έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν Α, τότε Α C Άρα ΧΑ( ) = και ΧΑ C ( ) =. Οπότε ισχύει XA c ( ) = - XA() Αν Α, τότε Α C. Άρα ΧΑ( ) = και ΧΑ C ( ) =. Οπότε ισχύει XA c ( ) = - XA( ) Όλοι οι παραπάνω ορισμοί θα μας είναι πολύ χρήσιμοι παρακάτω για την γενίκευση των πράξεων στην περίπτωση των ασαφών συνόλων..3 Ιδιότητες των πράξεων κλασικών συνόλων Έστω Χ ένα σύνολο αναφοράς και Α Χ, Β Χ, Γ Χ. Τότε:. A B = B A ( αντιμεταθετικότητα της ένωσης ). ( A B ) Γ = A ( B Γ ) ( προσεταιριστικότητα της ένωσης ) 3. A = Α 4. A Α = Α 5. A Α C = X (αρχή του αποκλειόμενου τρίτου)

6. Α Β A B = Β 7. A B = B A ( αντιμεταθετικότητα της τομής ) 8. ( A B ) Γ = A ( B Γ ) ( προσεταιριστικότητα της τομής ) 9. A =. A Α = Α. A Α C = ( αρχή της αντίφασης ). A ( B Γ ) = ( A B ) ( A Γ ) ( επιμεριστικότητα της τομής ως προς την ένωση) 3. A ( B Γ ) = ( A B ) ( A Γ ) (επιμεριστικότητα της ένωσης ως προς την τομή) Δίνουμε έμφαση στην αρχή του αποκλειόμενου τρίτου και στην αρχή της αντίφασης α) Αρχή της αντίφασης A Α C = : δεν μπορεί ένα στοιχείο να ανήκει στο Α και να μην ανήκει σ αυτό, ή χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των πιθανοτήτων δεν μπορεί κάτι να συμβαίνει και να μην συμβαίνει. β) Αρχή του αποκλειόμενου τρίτου A Α C = X : το τυχόν Χ ανήκει στο Α ή (αποκλειστικά) στο Α C, ή χρησιμοποιώντας πιθανοθεωρητική γλώσσα συμβαίνει πάντα ή το Α ή το Α C. Θα δούμε ότι στην περίπτωση των ασαφών συνόλων δεν ισχύουν οι δύο παραπάνω αρχές..4 Σύνολα φραγμένα άνω (supremum) και φραγμένα κάτω (infimum) Έστω Α R. Το Α λέγεται φραγμένο άνω αν υπάρχει k R, ώστε α k, α Α. Το Α λέγεται φραγμένο κάτω αν υπάρχει l R, ώστε α l, α Α. Είναι γνωστό το εξής θεώρημα: Αν Α είναι φραγμένο άνω τότε έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα που λέγεται supremum του Α και συμβολίζεται με supa ( προφανώς αν το Α είναι πεπερασμένο τότε supa=maa ). Άρα ένας αριθμός m είναι το supa, δηλαδή m = supa αν

i. α m, α Α και ii. ε >, υπάρχει α Α, α - ε < m < α ε. Όμοια αν το Α είναι φραγμένο κάτω υπάρχει το μέγιστο κάτω φράγμα που λέγεται infimum και συμβολίζεται με infα και έχει τις δυϊκές από τις παραπάνω ιδιότητες του supremum. Παράδειγμα Αν Α = (, ) τότε supa =, infα =. Αν Α = (, ] τότε supa = maa =, infα =..5 Προτασιακοί τύποι στην κλασική λογική Κάθε πρόταση στην κλασική μαθηματική λογική έχει δύο τιμές αλήθειας ή (ψευδές ή αληθές). Αν p, q δύο προτάσεις τότε ορίζονται: α) Η διάζευξη Η p q συμβολίζει τη διάζευξη δύο προτάσεων με τιμές αλήθειας: p q p q Πίνακας. Με άλλα λόγια η p q είναι αληθής αν η μία απ τις p, q είναι αληθής. p q = ma {p, q} Παράδειγμα

3 Αν p: ο αριθμός είναι πρώτος q: ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 3 Τότε: p q : o είναι πρώτος ή το είναι πολλαπλάσιο του 3 έχει τιμή αλήθειας. β) Η σύζευξη Η p q συμβολίζει τη σύζευξη δύο προτάσεων με τιμές αλήθειας: p q p q Πίνακας. Δηλαδή η σύζευξη δύο προτάσεων είναι αληθής αν και μόνο αν οι δύο προτάσεις είναι αληθείς. p q = min { p, q } Παράδειγμα Αν p: η αντοχή του κτιρίου είναι ικανοποιητική είναι αληθής q: το υπέδαφος είναι αργιλώδες είναι αληθής Τότε: p q: η αντοχή του κτιρίου είναι ικανοποιητική και το υπέδαφος είναι αργιλώδες έχει τιμή αλήθειας. γ) Η άρνηση Με p συμβολίζουμε την άρνηση της πρότασης p με τιμές αλήθειας: p ~p

4 Πίνακας.3 Παράδειγμα Αν p: η βροχόπτωση στην Ξάνθη κατά τον μήνα Ιούλιο είναι μεγαλύτερη από mm είναι ψευδής Τότε: p : η βροχόπτωση στην Ξάνθη κατά τον μήνα Ιούλιο είναι μικρότερη ή ίση από mm είναι αληθής. δ) Η συνεπαγωγή Έστω p, q δύο προτάσεις. Με p q εννοούμε ότι η p συνεπάγεται της q. Ορίζουμε την p q = p q Αυτό σημαίνει ότι για να βρούμε τον πίνακα αλήθειας του p q αρκεί να βρούμε τον πίνακα αλήθειας της p q : p q ~ p ~ p q Πίνακας.4 Άρα οι τιμές αλήθειας της p q είναι : p q p q

5 Πίνακας.5 Η συνεπαγωγή p q είναι αληθής πάντα εκτός της περίπτωσης που η p είναι αληθής και η q είναι ψευδής.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΠΟ ΤΑ ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΤΑ ΑΣΑΦΗ ΣYΝΟΛΑ ----------------------------------------------------------------------------------. Ασαφή σύνολα κατά κλασικών συνόλων Ορισμός ασαφούς συνόλου Έστω Χ ένα κλασικό σύνολο αναφοράς. Κάθε συνάρτηση Α : Χ [, ] λέγεται ασαφές υποσύνολο του Χ. Αν X, τότε η τιμή Α( ) λέγεται τιμή συμμετοχής του ( membership value) και εκφράζει τον «βαθμό» που το «ανήκει» στο ασαφές σύνολο ή αλλιώς το βαθμό αλήθειας της πρότασης. Στην βιβλιογραφία πολλές φορές χρησιμοποιείται ο παρακάτω συμβολισμός για τον ορισμό ενός ασαφούς υποσυνόλου ενός συνόλου Χ: Ένα ασαφές υποσύνολο Α του Χ θεωρείται η δυάδα ( Χ, μα ), όπου μα : X [, ]. Δηλαδή με τον συμβολισμό αυτό θεωρούμε Α=(Χ, μα) και την συνάρτηση μα ονομάζουμε συνάρτηση συμμετοχής (membership function). Προφανώς κάθε κλασικό σύνολο είναι ασαφές καθόσον κάθε κλασικό σύνολο Α «ταυτίζεται» με την χαρακτηριστική συνάρτηση ΧΑ : Χ {, }. X () A, αν Α =, αν Α

7 Mε τα κλασικά σύνολα (crisp sets) έχουμε σοβαρά προβλήματα περιγραφής διαφόρων συνόλων και καταστάσεων από την καθημερινή μας ζωή. Παράδειγμα Θέλουμε να εκφράσουμε το σύνολο των ψηλών ανθρώπων α) Με τη βοήθεια των κλασικών συνόλων αυτό το σύνολο παριστάνεται Σχήμα. Καταλαβαίνουμε ότι σύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή των ψηλών ανθρώπων, ένας άνθρωπος με ύψος,89 μ. δεν είναι ψηλός ενώ ένας άνθρωπος με ύψος,9 μ. είναι ψηλός. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι με την βοήθεια των κλασικών συνόλων δεν μπορούμε να δώσουμε τον ακριβή χαρακτηρισμό του συνόλου των ψηλών ανθρώπων. Θα θέλαμε να χαρακτηρίσουμε και τον άνθρωπο με ύψος,89 μ. ψηλό όχι βέβαια με βαθμό αλήθειας, αλλά για παράδειγμα με βαθμό αλήθειας,8. β) Με τη βοήθεια των ασαφών συνόλων αυτό το σύνολο μπορεί να παρασταθεί Σχήμα.

8 Παράδειγμα Yψηλή θερμοκρασία α) Με τη βοήθεια των κλασικών συνόλων το σύνολο που παριστάνει την υψηλή θερμοκρασία μπορεί να παρασταθεί από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, A( ) =, αν 3 αν < 3 Σχήμα.3 β) Με τη βοήθεια των ασαφών συνόλων αυτό το σύνολο μπορεί να παρασταθεί Σχήμα.4 χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης:, αν A( ) =, αν 3 8 8, αν 3

9 Παράδειγμα Μέτρια θερμοκρασία α) Με τη βοήθεια των κλασικών συνόλων αυτό το σύνολο μπορεί να παρασταθεί Σχήμα.5 β) Με τη βοήθεια των ασαφών συνόλων αυτό το σύνολο μπορεί να παρασταθεί Σχήμα.6 Παράδειγμα Χαμηλή θερμοκρασία α) Με τη βοήθεια των κλασικών συνόλων αυτό το σύνολο μπορεί να παρασταθεί Σχήμα.7

β) Με τη βοήθεια των ασαφών συνόλων αυτό το σύνολο μπορεί να παρασταθεί Σχήμα.8. Διάφορες μορφές παράστασης ασαφών συνόλων Ένα ασαφές σύνολο μπορεί να έχει και τις παρακάτω μορφές: Σχήμα.9 Σχήμα.

y y Σχήμα. y y Σχήμα. Τα προηγούμενα ασαφή σύνολα είναι συνεχή, γιατί το σύνολο αναφοράς Χ ήταν συνεχές..3 Ειδική γραφή ασαφών συνόλων Αν Χ = {,, 3,, ν } είναι το σύνολο αναφοράς και Α ένα ασαφές υποσύνολο του Χ Α : Χ [, ] με Α( ) = α, Α( ) = α,, Α( ν ) = αν τότε το ασαφές σύνολο Α γράφεται και ως εξής: A = α / / α /... α ν ν

.4 Σχέση ασαφών συνόλων και συναρτήσεων πιθανότητας α) Συνεχής περίπτωση Υποθέτουμε ότι το Χ είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Μια συνάρτηση f() είναι συνάρτηση πιθανότητας αν ( ) f ( ) d = f και Έστω ότι η τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή δηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας αυτής είναι: f ) = e σ π ( μ ) ( σ o Έστω μ = ( μέση τιμή ), τότε: f ) = e σ π ( ) ( σ Η f() είναι ασαφές σύνολο όταν f(). o Για = έχουμε: f ( ) = σ π Παρατηρούμε ότι > > σ π σ < σ π π Άρα αν σ < τότε f()> και επομένως η f() δεν είναι ασαφές σύνολο. π

Βέβαια αν σ =, τότε η f() είναι ασαφές σύνολο γιατί f ( ) =. π 3 Συμπερασματικά κάθε συνεχής συνάρτηση πιθανότητας δεν είναι κατ ανάγκη ασαφές σύνολο. Προσοχή! Αν η f() είναι μια συνάρτηση πιθανότητας τότε το f(), όπου είναι μία τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, δεν εκφράζει τίποτα. Αν όμως η f() είναι ασαφές σύνολο τότε με f() δηλώνουμε την τιμή αληθείας με την οποία το «ανήκει» στο ασαφές σύνολο. Όπως γνωρίζουμε η πιθανότητα ( α, β ) ορίζεται από τη σχέση: P ( α < Χ < β ) = f ( ) d β α β) Διακριτή περίπτωση Έστω Χ = {,,, ν, } τότε η f( ) είναι συνάρτηση πιθανότητας αν i.) ( ), i =,,... f i i= ii.) f ( ) = i Τότε ως γνωστό ( ) f και ) = P( X = ) i f. ( i i Δηλαδή κάθε συνάρτηση πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής παριστάνει ένα ασαφές σύνολο. Τα παραπάνω γίνονται κατανοητά με το τετράγωνο του Kosko.

.5 Τετράγωνο του KosKo 4 Έστω Χ = { α, β } ένα σύνολο αναφοράς. Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε το τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Ο (,), Α (,), Β (,), Γ (,). y Β (,) M (,y) Ν (κ,λ) Γ (,) O (,) Α (,) Σχήμα.3 Σε κάθε σημείο Μ (, y ) του τετραγώνου, όπου, y αντιστοιχούμε ένα ασαφές σύνολο ως εξής: Θεωρούμε ότι το δηλώνει τον βαθμό που το α «ανήκει» στο ασαφές σύνολο και ότι το y δηλώνει τον βαθμό που το β «ανήκει» στο ασαφές σύνολο. Έτσι στο σημείο Μ (, y ) αντιστοιχούμε το ασαφές σύνολο: Μ: X [, ] με Μ( α ) =, Μ( β ) = y. α) Ποια ασαφή σύνολα αντιστοιχούν στις 4 κορυφές; Στο Α(, ) αντιστοιχεί το ασαφές σύνολο: Α : X [, ] με Α( α ) =, Α( β ) = άρα Α = { α }. Στο Β (, ) αντιστοιχεί το { β }. Στο Ο (, ) αντιστοιχεί το. Στο Γ (, ) αντιστοιχεί το X = { α, β }

Άρα στις τέσσερις κορυφές του τετραγώνου αντιστοιχούν τα 4 κλασικά υποσύνολα του Χ. 5 β) Ποια ασαφή σύνολα αντιστοιχούν στην διαγώνιο ΑΒ; Έστω τυχόν σημείο Ν( κ, λ ) της διαγώνιου ΑΒ. Έστω Ν το ασαφές σύνολο που αντιστοιχεί στο Ν, δηλαδή: Ν : X [, ] με Ν( α ) = κ, Ν( β ) = λ. Επειδή όμως κ λ =, παρατηρούμε ότι η Ν είναι μία συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Ν, όπου ο Χ = { α, β } θεωρείται δειγματικός χώρος. Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι ξεκινώντας από ένα σύνολο αναφοράς Χ = { α, β }, κατασκευάζουμε τόσα ασαφή σύνολα όσα τα σημεία του τετραγώνου ( εσωτερικά και περιμετρικά ). Από αυτά τα ασαφή σύνολα οι τέσσερις κορυφές του τετραγώνου αντιστοιχούν στα 4 κλασικά υποσύνολα. Τα ασαφή σύνολα της διαγωνίου ΑΒ είναι όλες οι συναρτήσεις πιθανότητας που κατασκευάζονται από τον δειγματικό χώρο Χ = { α, β }.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 6 3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ---------------------------------------------------------------------------------- 3. Ένωση δύο ασαφών συνόλων Έστω Χ ένα σύνολο αναφοράς και F( Χ ) το σύνολο των ασαφών υποσυνόλων του Χ, δηλαδή F( Χ ) = { Α όπου Α : X [, ] }. Αν Α F( Χ ), Β F( Χ ), τότε το ασαφές σύνολο Α Β ορίζεται ως εξής: Α Β F( Χ ) με ( Α Β )( ) = ma { A( ), B( ) },για κάθε X. Η ένωση δύο ασαφών συνόλων είναι μία εσωτερική πράξη, δηλαδή μία απεικόνιση: : F( X ) F( X ) F( X ), έτσι ώστε ( Α, Β ) Α Β ( Με τον όρο εσωτερική πράξη εννοούμε κάθε πράξη από ένα σύνολο Α Α Α ). Στην ένωση ασαφών συνόλων ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες που μπορούν να αποδειχθούν πολύ εύκολα: i.) Α Β = B A (αντιμεταθετική) ii.) ( Α Β ) Γ = Α ( Β Γ ) (προσεταιριστική) 3. Τομή δύο ασαφών συνόλων Έστω Χ ένα σύνολο αναφοράς και F( Χ ) το σύνολο των ασαφών υποσυνόλων του Χ, δηλαδή F( Χ ) = { Α όπου Α: X [, ] }. Αν Α F( Χ ), Β F( Χ ), τότε το ασαφές σύνολο Α Β ορίζεται ως εξής:

Α Β F( Χ ) με ( Α Β )( ) = min { A( ), B( ) },για κάθε X. 7 Η τομή δύο ασαφών συνόλων είναι μία εσωτερική πράξη, δηλαδή μία απεικόνιση: : F( X ) F( X ) F( X ), έτσι ώστε ( Α, Β ) Α Β Στην τομή ασαφών συνόλων ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες που μπορούν να αποδειχθούν πολύ εύκολα: iii.) Α Β = B A (αντιμεταθετική) iv.) ( Α Β ) Γ = Α ( Β Γ ) (προσεταιριστική) 3.3 Συμπλήρωμα ενός ασαφούς συνόλου Έστω Χ ένα σύνολο αναφοράς και F( Χ ) το σύνολο των ασαφών υποσυνόλων του Χ, δηλαδή F( Χ ) = { Α όπου Α : X [, ] }. Αν Α F( Χ ) τότε το ασαφές σύνολο Α C ορίζεται ως εξής: Α C F( Χ ) με Α C ( ) = - A( ), για κάθε X. Γραφική παράσταση των πράξεων Αν έχουμε τα ασαφή σύνολα Α και Β Σχήμα 3.

8 Σχήμα 3. Τότε το Α Β παριστάνεται γραφικά: Σχήμα 3.3 Το Α Β παριστάνεται γραφικά: Σχήμα 3.4 Το Α C παριστάνεται γραφικά:

9 Σχήμα 3.5 3.4 Ιδιότητες της τομής και της ένωσης Έστω Χ ένα σύνολο αναφοράς και F( Χ ) το σύνολο των ασαφών υποσυνόλων του Χ, δηλαδή F( Χ ) = { Α όπου Α : X [, ] }. Πρόταση: Αν Α F( Χ ), Β F( Χ ), Γ F( Χ ), τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Α. Α ( Β Γ ) = ( Α Β ) ( Α Γ ) ( επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση ) Β. Α ( Β Γ ) = ( Α Β ) ( Α Γ ) ( επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή ) Απόδειξη: Α. Έστω τυχαίο X, αρκεί να αποδείξουμε ότι [ Α ( Β Γ ) ]( ) = [ ( Α Β ) ( Α Γ ) ]( ) Α( ) ( Β Γ )( ) = ( Α Β )( ) ( Α Γ )( ) Α( ) [ Β( ) Γ( )] = [ Α( ) Β( )] [Α( ) Γ( ) ] αληθής, γιατί: αν θέσουμε για λόγους απλότητας ma {, y } = y min {, y } = y

προφανώς, y, z R ισχύουν: 3 ( y z ) = ( y ) ( z ) Β. Η απόδειξη είναι παρόμοια με την Α. 3.5 Η αρχή της αντίφασης στα ασαφή σύνολα Στα ασαφή σύνολα δεν ισχύει η αρχή της αντίφασης ( Α Α C = ) και για να το δείξουμε αυτό αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον X που ικανοποιεί την σχέση: min[ A( ), - A( ) ] Η σχέση ικανοποιείται για κάθε τιμή A( ) (, ) και μόνο για A( ) = ή A( ) = δεν ικανοποιείται. Γραφική παράσταση των Α( ) και Α C ( ) : Σχήμα 3.6 Γραφική παράσταση του ( Α Α C ) ( ) : Σχήμα 3.7

Από το παραπάνω σχήμα συμπεραίνουμε αμέσως ότι η τομή Α Α C. 3 3.6 Η αρχή του αποκλειόμενου τρίτου στα ασαφή σύνολα Στα ασαφή σύνολα δεν ισχύει η αρχή του αποκλειόμενου τρίτου ( Α Α C = Χ ) και για να το δείξουμε αυτό αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον X που ικανοποιεί την σχέση: ma[ A( ), - A( ) ] Η σχέση ικανοποιείται για κάθε τιμή A( ) (, ) και μόνο για A( ) = ή A( ) = δεν ικανοποιείται. Γραφική παράσταση των Α( ) και Α C ( ) : Σχήμα 3.8 Γραφική παράσταση του ( Α Α C )( ) : (A A C) () y Σχήμα 3.9 Από το παραπάνω σχήμα συμπεραίνουμε αμέσως ότι δεν ισχύει η αρχή του αποκλειόμενου τρίτου.

3 3.7 Παράσταση της τομής Α Α C και της ένωσης Α Α C στο τετράγωνο του Kosko Έστω Χ = { α, β } και Α το ασαφές σύνολο Α: Χ [, ], ώστε Α( α ) = κ, Α( β ) = λ. Τότε: Α C είναι το ασαφές σύνολο Α C : Χ [, ], ώστε Α C ( α ) = κ, Α C ( β ) = λ. i.) Α Α C είναι το ασαφές σύνολο Α Α C : Χ [, ], ώστε ( Α Α C )( α ) = min{ κ, κ } ( Α Α C )( β ) = min{ λ, λ } ii.) Α Α C είναι το ασαφές σύνολο Α Α C : Χ [, ], ώστε ( Α Α C )( α ) = ma { κ, -κ } ( Α Α C )( β ) = ma{ λ, λ } Yποθέτοντας ότι κ <,5 και λ >,5 τα σύνολα Α, Α C, Α Α C, Α Α C παριστάνονται όπως παρακάτω στο τετράγωνο του Kosko y K (,) Α Ε = Α Α C Λ (,) Α Α C = Η Α C = Ζ Ν (,) Μ (,) Σχήμα 3. 3.8 A σαφής εντροπία και τετράγωνο του Kosko Aς θεωρήσουμε στο τετράγωνο του Kosko ένα ασαφές σύνολο Α και ας παραστήσουμε τα ασαφή σύνολα Α C, Α Α C, Α Α C.

33 y Β (,) Α Α Α C Γ (,) λ - λ Α Α C Α C O (,) κ Α (,) - κ Σχήμα 3. Έστω min λ = ma { KA, AM } { KA, AM } Όσο πιο πολύ πλησιάζει στο ο λόγος λ, τόσο «πιο ασαφές» είναι το σύνολο Α. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι όσο πιο πολύ το λ πλησιάζει στο, τόσο πιο πολύ το Α Α C πλησιάζει στο Α Α C στο κέντρο (½, ½). Το κέντρο του τετραγώνου είναι «το πιο ασαφές» σύνολο του τετραγώνου. Στο σημείο αυτό Α Α C = Α Α C. Το παρακάτω σκίτσο χρησιμοποιείται πολύ σε αμερικάνικα βιβλία. Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Η Σ Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Η Σ Β Ο Υ Δ Α Σ Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Η Σ Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Η Σ Σχήμα 3.

34 Για την μία διάσταση Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Η Σ Β Ο Υ Δ Α Σ Α Ρ Ι Σ Τ Ο Τ Ε Λ Η Σ Σχήμα 3.3 Παρατήρηση Η παραπάνω ορισθείσα ένωση μπορεί να γενικευθεί ως εξής: Έστω Αj F( ), j J όπου J είναι ένα σύνολο δεικτών, τότε A j F ( ) και ορίζεται ως εξής: ( Aj )( ) = sup { Aj ( ) : j J } j J j J A j F ( ) και ορίζεται ως εξής: ( Aj )( ) = inf { Aj ( ) : j J } j J j J

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο 35 4 ΔYΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΑΣΑΦΟYΣ ΛΟΓΙΚΗΣ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4. Η αρχή της επέκτασης Εικόνα ενός ασαφούς συνόλου μέσω μιας συνάρτησης. Θεωρούμε δύο κλασικά Χ και Y. Έστω f : X Y μία συνάρτηση απ το σύνολο Χ στο σύνολο Y και Α Χ. Η εικόνα του Α μέσω της συνάρτησης f είναι το σύνολο f( A ), όπου f( A) = { y Y έτσι ώστε να υπάρχει ένα τουλάχιστον A με f( ) = y } Y X Y A f (A) Σχήμα 4. Αν τα σύνολα Χ, Y είναι υποσύνολα του R η f λέγεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Ας υποθέσουμε ότι το γράφημά της έχει τη παρακάτω μορφή: y y Σχήμα 4.

ν θεωρήσουμε το σύνολο Α στον άξονα, τότε το σύνολο f( A ) είναι στον άξονα y y. 36 y f(a) y A Σχήμα 4.3 Έστω τώρα ότι το σύνολο Α είναι ένα ασαφές σύνολο Α : Χ [, ] Θα βρούμε την εικόνα f( A ) του Α μέσω της συνάρτησης f. X Σχήμα 4.4 f A ασαφές υποσύνολο του Χ Y I f (A) ασαφές υποσύνολο του Υ όπου Ι είναι το κλειστό διάστημα [, ]. Ο παρακάτω ορισμός αποτελεί την αρχή της επέκτασης (etension principle) στην θεωρία των ασαφών συνόλων. Ορισμός ( Αρχή της επέκτασης ) Έστω Χ, Y δύο κλασικά σύνολα και f : X Y μία συνάρτηση. Έστω Α : Χ Ι = [, ] ένα ασαφές υποσύνολο του Χ, τότε με f( A ) ορίζουμε το ασαφές υποσύνολο του Y, ως εξής: f( A ) : Y I = [, ] με f( A )( y ) = sup{ A( ) : f( ) = y }

Αν το Α είναι πεπερασμένο, τότε στον παραπάνω ορισμό το sup = ma. 37 Θα δώσουμε ένα παράδειγμα για να γίνει πιο κατανοητός ο παραπάνω ορισμός. Παράδειγμα Έστω Χ = {,, 3, 4, 5 }, Y = { y, y, y3 } και f : X Y, που ορίζεται ως εξής X 3 4 5 Y y y y 3 Σχήμα 4.5 Ας θεωρήσουμε ένα ασαφές υποσύνολο Α του Χ A =..5.3.6.4 3 4 5 Θα βρούμε το ασαφές σύνολο f( Α ) : Y [, ]. Από την αρχή της επέκτασης γνωρίζουμε ότι πρέπει να βρεθούν οι τιμές f( A )( y ), f( A ) (y ), f( A )( y3 ). Βρίσκουμε πρώτα το f( A )( y ) ως εξής: ο βήμα : Βρίσκουμε όλα τα i X που έχουν εικόνα το y, δηλαδή f( i ) = y. Αυτά είναι τα,. ο βήμα : Βρίσκουμε τις τιμές Α( ), Α( ) : Α( ) =,, Α( ) =,5 3 ο βήμα : Βρίσκουμε το μέγιστο των παραπάνω τιμών ma { Α( ), Α( ) } =,5 Απάντηση: f( A )( y ) = ma { Α( ), Α( ) } =,5

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε: 38 f( A )( y ) = ma{α( 3 ), Α( 4 ) } =,6 f( A )( y3 ) = ma{ Α( 5 )} = Α( 5 ) =,4 Άρα τελικά έχουμε: f( Α ) : Y [, ], με f( A )( y ) =,5 f( A )( y ) =,6 f( A )( y3 ) =,4 Παρατήρηση Αν η συνάρτηση f : X Y είναι μία συνάρτηση, ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f της f και για κάθε y Y υπάρχει μόνο ένα X τέτοιο ώστε f( ) = y = f ( y ). Επομένως: f( A )( y ) = {Α( ) : f( ) = y } = Α (f - ( y ) ) Συνεπώς στην περίπτωση που η f είναι τότε: η εικόνα του f( Α ) ορίζεται ως εξής: f( A )( y ) = Α (f - ( y ) ) δηλαδή f( Α ) = Α ο f - ( σύνθεση συναρτήσεων ) Αυτό διασαφηνίζεται και με το παρακάτω διάγραμμα: Y f - X f (A) A Σχήμα 4.6 I

39 4. Αντίστροφη εικόνα ενός ασαφούς συνόλου μέσω μιας συνάρτησης Έστω Χ και Y δύο κλασικά σύνολα. Έστω f : X Y είναι μία συνάρτηση απ το σύνολο Χ στο σύνολο Y και Β Y. Η αντίστροφη εικόνα του Β μέσω της συνάρτησης f είναι το σύνολο f - ( Β ), όπου f - ( Β )={ X έτσι ώστε f( ) B } X. Έστω Χ, Y υποσύνολα του R και f μία πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Ας υποθέσουμε ότι το γράφημά της έχει την παρακάτω μορφή: y y Σχήμα 4.7 Αν θεωρήσουμε το σύνολο B στον άξονα y y, τότε το σύνολο f - (B) είναι στον άξονα. y B y f - (B) Σχήμα 4.8 Έστω τώρα ότι το σύνολο B είναι ένα ασαφές σύνολο B : Y [, ]. Θα βρούμε την αντίστροφη εικόνα f - (B) του Β μέσω της συνάρτησης f. Η αντίστροφη εικόνα του ασαφούς συνόλου Β είναι το ασαφές υποσύνολο

f - ( B ) : X I = [, ] με (f - ( B ) ) ( ) = B( f ( ) ). 4 Σχηματικά αυτά δηλώνεται με το παρακάτω διάγραμμα: X f Y B o f = f - (B) B I Σχήμα 4.9 Παράδειγμα Έστω f : R R με f( ) = και το ασαφές σύνολο Β : R [, ] με: B( ) = αν αν αλλού Θα ορίσουμε το ασαφές σύνολο f - ( B ). Έχουμε ότι: f - ( B ) : R I = [, ] με: ( f ( B))( ) = B( f ( )) = αν αν αλλού [, ] [, ] Γιατί: A B f = { Rκαι f ( ) [, ]} = { Rκαι } = { Rκαι } = { Rκαι } = { Rκαι } = Ομοίως και στην περίπτωση που f ( ) [, ].

4 4.3 α - τομές ασαφών συνόλων. (Ειδικά ασαφή σύνολα) Ορισμός Έστω Α F( X ) ( το Α είναι ασαφές υποσύνολο του Χ, δηλαδή Α : Χ Ι = [, ] ). Ονομάζουμε α - τομή ( α cut ) του Α το κλασικό σύνολο α Α = { X : A( ) α }, όπου α [, ]. Παρατήρηση Το α Α είναι κλασικό σύνολο και η χαρακτηριστική του συνάρτηση είναι XA : Χ {, } με XA( ) = αν A( ) α αλλού Σχηματικά: Σχήμα 4. Για κάθε α-τομή α Α ενός ασαφούς συνόλου Α ορίζεται ένα ασαφές σύνολο που το συμβολίζουμε αα και το ονομάζουμε ειδικό α-ασαφές σύνολο. Ορισμός Έστω Α F( X ) ( το Α είναι ασαφές υποσύνολο του Χ, δηλαδή Α: Χ Ι = [, ] ) και α [, ]. Ονομάζουμε ειδικό α-ασαφές σύνολο ( special fuzzy set ) το ασαφές σύνολο: αα : Χ {, α },έτσι ώστε (αα)( ) = α α Α ( ), με συνάρτηση συμμετοχής :

α Α : Χ {, α } με ( α Α )( )= α αν A( ) α αλλού 4 Παράδειγμα Εύρεση των α-τομών ενός ασαφούς συνόλου Έστω το πεπερασμένο ασαφές σύνολο Α:..4.3 3. 4 με σύνολο αναφοράς το Χ = {,, 3, 4 }. Προφανώς έχει νόημα να βρούμε μόνο τις α-τομές με α=., α=., α=.3, α=.4. a.. Α ={,, 3, 4} b.. Α ={,, 3} c..3 Α ={, 3} d..4 Α ={} Παράδειγμα Έστω A( ) = αν αν αλλού Θα βρούμε τις α-τομές του Α. Έχουμε Σχήμα 4.

Για να βρούμε τις α-τομές, βρίσκουμε τα, από τη λύση της εξίσωσης Α( ) = α. 43 Α( ) = α = α Άρα = α A( ) = = α = α Άρα = α Απάντηση: α Α = [ α, α ]. 4.4 Πρώτο Θεώρημα Ανασύνθεσης Πρώτο Θεώρημα Ανασύνθεσης (First Decomposition Theorem). Κάθε ασαφές υποσύνολο Α του Χ, ( Α : Χ Ι = [, ] ) γράφεται με τη μορφή A= α Α, όπου αα α (,] είναι το ειδικό α-ασαφές σύνολο και συμβολίζει την ένωση ασαφών συνόλων. Απόδειξη: Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε X, A( ) = sup α (,] α Α (). Έστω A( ) = β. Τότε sup α (,] A( )=ma{ sup α (, β ] Α α (), sup α (,] α Α ()}. Υπολογίζουμε το sup α ( β,] α Α ( ) επειδή α Α ()= α αν A( ) α αλλού Β = Α( ) α άρα sup α ( β,] Α α ( )= sup =. α ( β,] Επομένως sup α (,] Α α ()=ma supα Α( ), = sup α (, β ) α (, β ] α Α () Αλλά α (, β ) α < β α < A( ) Α α ( ) = α. Επομένως: sup α (, β ] Α α ( ) = sup α (, β ] α = β = A( ) και τελικά sup α (,] Α α ( ) = Α( )

Άρα α Α = Α. α (,] 44 Παράδειγμα Αν A =..5..4.3 3 4 5.8 6 Να υπολογισθούν: α) Οι α-τομές. β) Να υπολογισθεί το Α με βάση το πρώτο Θεώρημα Ανασύνθεσης. α) Έχουμε Χ={,, 3, 4, 5, 6}. Α = {,, 3, 4, 5, 6 }. Α = {, 3, 4, 5, 6 }.3 Α = {, 4, 5, 6 }.4 Α = {, 4, 6 }.5 Α = {, 6}.8 Α = {6} β) Θεωρούμε τώρα γνωστές τις προηγούμενες α-τομές και με τη βοήθεια αυτών προσπαθούμε να βρούμε το Α. ο βήμα: Βρίσκουμε τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις των Α α.. Α = 3 4 5 6

45 Α. = 6 5 4 3 Α.3 = 6 5 4 3 Α.4 = 6 5 4 3 Α.5 = 6 5 4 3 Α.8 = 6 5 4 3 ο βήμα: Βρίσκουμε τα σύνολα Α α = α Α α..α = 6 5 4 3...... Α. = 6 5 4 3......3 Α = 6 5 4 3.3.3.3.3 Α.4 = 6 5 4 3.4.4.4 Α.5 = 6 5 4 3.5.5 Α.8 = 6 5 4 3.8 3 ο βήμα: Εφαρμόζουμε το πρώτο θεώρημα ανασύνθεσης: Α= Α. Α. Α.3 Α.4 Α.5 Α.8

A( ) = (. Α. Α.3 Α.4 Α.5 Α.8 Α )() = = ma(. Α (),. Α (),.3 Α (),.4 Α (),.5 Α (),.8 Α ())= 46 = ma(.,,,,,, ) =. A( ) =.5 A( 3 ) =. A( 4 ) =.4 A( 5 ) =.3 A( 6 ) =.8 Απάντηση: Α =..5. 3.4 4.3 5.8 6 Παράδειγμα Αν α Α = [ α, α ], α [, ] να βρεθεί το ασαφές σύνολο Α που προκύπτει. α Α : Χ {,α} με ( α Α )( )= α αν A( ) α αλλού Α = = ( ) α α = [ α [,] sup [ α [,] α α [,] α Α α ( ) Α Α( ) = ] = ( ) ] = α α, αν Α sup α [,], αλλού Αν [ α, α ], α [, ] τότε Α( ) = sup αα Α( ) = sup Α( ) =. Αν [ α, α ], α [, ] τότε Α( )= supαα Α( )= supα. Το ανήκει στο παραπάνω διάστημα και πρέπει α. Επειδή α [, ] εξετάζω τη σχέση μεταξύ του και του.

Αν τότε α άρα supα= και 47 αν τότε α άρα supα=. Ακόμα πρέπει α α. Ομοίως εξετάζω τη σχέση μεταξύ του και του. Αν τότε α άρα supα = και αν τότε α άρα supα =. Τοποθετώ όλα τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα. - Sup{α: α}=a - - Sup{α: -α}=β - - - Min{Α, Β) - - - Α() - Πίνακας 4. Το ασαφές σύνολο Α που προκύπτει είναι: A( ) = αν αν αλλού Παράδειγμα Αν α Α = [ α, 3 α ], α [, ] να βρεθεί το ασαφές σύνολο Α που προκύπτει. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα: Αν α Α, α [, ] τότε Α( )=supαα Α( ) = sup Α( ) =. Αν = [ α, 3 α ], α [, ] τότε Α( )=supαα Α( ) = supα. Το ανήκει στο παραπάνω διάστημα και πρέπει α. Επειδή α [, ] εξετάζω τη σχέση μεταξύ του και του.

Αν τότε α άρα supα = και 48 αν τότε α άρα supα =. Ακόμα πρέπει 3-α α 3-3. Ομοίως εξετάζω τη σχέση μεταξύ του 3- και του. Αν 3 τότε α 3 άρα supα=3 και Αν 3 τότε α 3 άρα supα =. Τοποθετώ όλα τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα - 3 Sup{α: α}=a - - Sup{α: 3-α}=Β - 3- - Min{Α, Β) - 3- - Α() 3- Πίνακας 4. Παράδειγμα Αν α Α = ( -, α ] [ α, ), α [, ] να βρεθεί το ασαφές σύνολο Α που προκύπτει. Ομοίως με το προηγούμενο παράδειγμα Αν α Α, α [, ] τότε Α( ) = supαα Α( ) = sup Α( ) =. Αν ( -, α ] [ α, ), α [, ] τότε Α( )=supαα Α( ) = supα. Το ανήκει στο παραπάνω διάστημα και πρέπει α α -. Επειδή α [, ] εξετάζω τη σχέση μεταξύ του - και του. Αν - τότε α - άρα supα = - και αν - τότε α - άρα supα =.

Ακόμα πρέπει -α α -. 49 Ομοίως εξετάζω τη σχέση μεταξύ του - και του. Αν τότε α άρα supα = και αν τότε α άρα supα =. Τοποθετώ όλα τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα: - Sup{α: α}=a - - - Sup{α: -α}=β - - - Α() - - Πίνακας 4.3 Παράδειγμα Αν α Α = [ a,5 a], a [, / ] [ 4a,5 a], a [ /,] να βρεθεί το ασαφές σύνολο Α που προκύπτει. Ομοίως με το προηγούμενο παράδειγμα. Αν α Α, α [, ] τότε Α( ) = supαα Α( ) = sup Α( ) =. Αν = α Α, α [, ½ ] τότε Α( ) = supαα Α( ) = supα. Το ανήκει στο παραπάνω διάστημα και πρέπει α. Επειδή α [, ½ ] εξετάζω τη σχέση μεταξύ του / και του ½. Αν / / τότε α / / άρα supα = / και αν / / τότε α / / άρα supα = /. Ακόμα πρέπει 5 - α α 5 4,5.

Ομοίως εξετάζω τη σχέση μεταξύ του 5- και του. 5 Αν 5 / 4,5 τότε α 5 / άρα supα = 5 και αν 5 / 4,5 τότε α / 5 άρα supα = /. Τοποθετώ όλα τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα: - 4,5 Sup{α: α}=a - / ½ ½ - Sup{α: 5-α}=Β - ½ ½ ½ 5- Min{Α, Β) - / ½ ½ - Α() / ½ ½ Πίνακας 4.4 Αν αα, α [ ½, ] τότε Α( ) = supαα Α( ) = supα. Το ανήκει στο παραπάνω διάστημα και πρέπει 4α α /4. Επειδή α [ ½, ] εξετάζω τη σχέση μεταξύ του /4 και του. Αν /4 4 τότε α /4 άρα supα = /4 και αν /4 4 τότε α /4 άρα supα =. Ακόμα πρέπει 5-α α 5-4,5. Ομοίως εξετάζω τη σχέση μεταξύ του 5- και του. Αν 5 4 τότε α 5 άρα supα = 5 και αν 5 4 τότε α 5 άρα supα =. Τοποθετώ όλα τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα

5 \ - 4 4,5 5 Sup{α: 4α}=A - /4 - - Sup{α: 5-α}=Β - 5- - - Min{Α, Β) - /4 - - Α() /4 5- Πίνακας 4.5 Τοποθετώ τα Α ( ) και Α ( ) σε κοινό πίνακα. \ - 4 4,5 5 Α() / ½ ½ ½ 5- Α() /4 5- Ma{Α(),Α(} / ½ /4 5-5- Α() / ½ /4 5-5- Πίνακας 4.5