Θα προσπαθήσω να αναφέρω τα βασικά συµπεράσµατα στα οποία καταλήγω σχετικά µε τη διδασκαλία των ταλαντώσεων.

Διδάσκοντας ταλαντώσεις Θα προσπαθήσω να αναφέρω τα βασικά συµπεράσµατα στα οποία καταλήγω σχετικά µε τη διδασκαλία των ταλαντώσεων. Απλή Αρµονική Ταλάντωση είναι η µονοδιάστατη κίνηση υλικού σηµείου κάτω από την επίδραση χωρο-εξαρτώµενης συνισταµένης δύναµης της µορφής F= Dx. Η κίνηση αυτή για λόγους λεκτικής ισορροπίας µε άλλες κινήσεις λέγεται και ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς απόσβεση Όταν όµως σε κάποια περιοχή της Φυσικής, όπως η ΑΑΤ, ορίζονται µεγέθη µε συνέπεια και µαθηµατική αυστηρότητα, σίγουρα δε θα χωρέσει η ρευστότητα όλων όσων εκτελούν παλινδροµική κίνηση. Επιβάλλεται να συνειδητοποιήσουµε, ότι λέγοντας «απλή αρµονική ταλάντωση» δεν εννοούµε απλά µια κίνηση µε εξίσωση x=αηµ(ωt+φ), αλλά ένα ολόκληρο «πακέτο» χαρακτηριστικών µε τα οποία η χωροεξαρτώµενη συντηρητική δύναµη F= Dx προικίζει αυτή την συγκεκριµένη κίνηση. Ας πάρουµε τα πράγµατα µε τη σειρά: 1) Ο ορισµός της ΑΑΤ µέσω της εξίσωσης χ=αηµ(ωt+φ) είναι λανθασµένος, αφού µε την ίδια εξίσωση περιγράφονται και άλλες κινήσεις που δεν έχουν τα χαρακτηριστικά της ΑΑΤ. Κίνηση µε εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) µπορούν να εκτελούν: i) Ο απλός αρµονικός ταλαντωτής. ii) iii) iv) Ο εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβεση στη µόνιµη κατάσταση και ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες που του επιβλήθηκαν. Ο εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής µε απόσβεση ευθύς εξαρχής µόλις του επιβληθούν κατάλληλες αρχικές συνθήκες. Ο εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση µε κατάλληλες όµως αρχικές συνθήκες. 1

Κάθε κίνηση που υπακούει στην εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) είναι αρµονική ταλάντωση αλλά όχι απαραίτητα Απλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ). Για να εκτελεί ένα σώµα ΑΑΤ δεν αρκεί η συνισταµένη δύναµη να είναι απλά της µορφής F=-Dχ. Θα πρέπει να εξασφαλίσουµε ότι είναι γνήσια χωροεξαρτώµενη και ότι το υλικό σηµείο είτε έχει αρχική αποµάκρυνση xo, είτε αρχική ταχύτητα υo είτε και τα δύο. Αν µηδενιστούν και οι δύο αρχικές συνθήκες το υλικό σηµείο δε θα εκτελέσει ΑΑΤ, έστω και αν γύρω του υπάρχει πεδίο δυνάµεων F=-Dχ. Σε αυτή την περίπτωση το σώµα θα είναι ακίνητο σε θέση ευσταθούς ισορροπίας. Η δύναµη επαναφοράς δεν είναι δύναµη κάποιας ορισµένης φύσης, αλλά µορφή που µπορούν να εξασφαλίσουν δυνάµεις διαφόρων φύσεων και «µηχανισµών». H κίνηση ενός υλικού σηµείου εύκολα µπορεί να πληροί όλες τις προϋποθέσεις για να χαρακτηριστεί AAT είτε είναι σε πεδία δυνάµεων φύσης ηλεκτροστατικής, είτε είναι σε πεδία δυνάµεων φύσης βαρυτικής, είτε σε συνδυασµούς αυτών, είτε... είτε... Το πακέτο (µε τα χαρακτηριστικά της ΑΑΤ) 1. Η συνισταµένη δύναµη που ελέγχει µια ΑΑΤ είναι της µορφής F(x)= Dx. Κατά συνέπεια είναι χωροεξαρτώµενη και λόγω της µορφής της, συντηρητική. Όπως όλες οι συντηρητικές δυνάµεις, η F(x) συνδέεται µε την έννοια της δυναµικής ενέργειας U ( x ), µέσω της σχέσης F( du( x ) x ) = dx. Στην ΑΑΤ υπάρχει ελκτικό κέντρο στο x=. Αν σταµατήσουµε το υλικό σηµείο στο ελάχιστο της δυναµικής του ενέργειας ή αλλιώς στο ελκτικό κέντρο της χωροεξαρτώµενης δύναµης που δέχεται, θα βρεθεί σε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας 3. Η µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου διατηρείται 4. Οι συναρτήσεις που αφορούν τη δύναµη και τη δυναµική ενέργεια θα πρέπει να µένουν ίδιες, όταν επιβάλλονται άλλες συνθήκες (αρχικές ή εξωτερικές), εξαρτώµενες αποκλειστικά από το «χώρο» και όχι από το χρόνο. Συνήθως στο πεδίο ορισµού τους να είναι συνεχείς συναρτήσεις. Αν υπάρξει (σπάνια) ασυνέχεια θα πρέπει να φαίνεται στο πεδίο ορισµού τους. Γενικά ακολουθούν τη συµπεριφορά της δύναµης επαναφοράς. 5. Η δύναµη επαναφοράς που ελέγχει την ΑΑΤ είναι χωροεξαρτώµενη, δηλαδή χρονοανεξάρτητη και συνεπώς δεν πρέπει να εξαρτάται από το

«µέλλον» ή από κάποιο «φαινόµενο» που θα συµβεί στο «µέλλον» του υλικού σηµείου του οποίου την κίνηση εξετάζουµε. Οι δυνάµεις χρονικά πρέπει να µένουν «όπως είναι» και να µπορούν να προφητεύουν το µέλλον µε τον ίδιο εννοιολογικό και µαθηµατικό φορµαλισµό, µιας και στο µέλλον ίδιες θα είναι, αφού είναι άχρονες. Υπάρχουν «περίεργες» ασκήσεις, µε συστήµατα εξισώσεων στα οποία αν εµπλακεί έστω και µια χωροεξαρτώµενη (χρονοανεξάρτητη) δύναµη της µορφής F= Dx, θα µας καταστήσει ικανούς να βρούµε όλες τις υπόλοιπες δυνάµεις συναρτήσει αυτής της χωροεξαρτώµενης δύναµης. Τότε όλες οι δυνάµεις της άσκησης, αφού θα αποκτήσουν την ίδια µορφή F= Dx, θα απαιτήσουν να τις θεωρήσουµε χωροεξαρτώµενες. Και τότε, στις περίεργες αυτές ασκήσεις, αν οι δυνάµεις που θα γίνουν χωροεξαρτώµενες δεν είναι τριβές ώστε να έχουµε και κάποια άµυνα για να τις αποκλείσουµε από το χαρακτηρισµό, θα εµπλουτιστούν µε ιδιότητες που στην πραγµατικότητα δε θα έχουν. Οι τριβές (και γενικότερα οι δυνάµεις) σε ένα πρόβληµα µπορεί να εκφράζονται συναρτήσει του x, αλλά αυτό γίνεται, όχι γιατί είναι χωροεξαρτώµενες δυνάµεις και άρα συνδεδεµένες µε δυναµική ενέργεια (και µε ΑΑΤ), αλλά γιατί απλούστατα λύσαµε τις σχέσεις που γράψαµε ως προς τις συντηρητικές δυνάµεις. Έτσι λοιπόν, το γεγονός ότι µετά την επίλυση οι τριβές ή οι συνισταµένες δυνάµεις εκφράζονται συναρτήσει του x, δε σηµαίνει απολύτως τίποτε. Αν µείνουµε µόνο στη µορφή F= Dx και όχι στη φιλοσοφία της, πολλές δυνάµεις που δεν είναι χωροεξαρτώµενες, θα εισχωρήσουν στο µοντέλο ΑΑΤ και γρήγορα θα το τινάξουν στο αέρα. Δεχόµενοι λοιπόν ΜΟΝΟ τα χαρακτηριστικά 1-3 του «πακέτου» χαρακτηριστικών της ΑΑΤ α) Θα πρέπει να συνηθίσουµε µε λύσεις, όπου θα εµπλέκεται δυναµική ενέργεια τριβής β) Θα πρέπει να συνηθίσουµε ότι τη χωροεξαρτώµενη δύναµη την καθορίζει ΜΟΝΟ η µορφή και ότι στις συναρτήσεις που δίνουν χωροεξαρτώµενες δυνάµεις και τις δυναµικές τους ενέργειες, µπορούν να υπάρχουν µαθηµατικές ασυνέχειες οι οποίες να µην µπορούν να αποδοθούν µε µαθηµατικά 3

γ) Θα πρέπει να συνηθίσουµε Την παρουσία δυνάµεων που ενώ είναι χωροεξαρτώµενες, δε µπορούν να υπάρξουν µόνες τους στο χώρο. Την παρουσία δυνάµεων που ενώ είναι χωροεξαρτώµενες, δε µπορούν να υπάρξουν αν το σώµα κρατηθεί ακίνητο Την παρουσία δυνάµεων που ενώ είναι χωροεξαρτώµενες και έχουν τιµή µηδέν όσο το σώµα είναι ακίνητο, αποκτούν ακαριαία άλλη τιµή στην ίδια ακριβώς θέση του χώρου, µόλις το σώµα αφεθεί ελεύθερο. Το µοντέλο ΑΑΤ, αφορά την κίνηση υλικού σηµείου σε πεδίο χωροεξαρτώµενης δύναµης F= Dx Άµεση συνέπεια του παραπάνω είναι ότι: Το µοντέλο ΑΑΤ, σε κόσµο όπου τα σώµατα έχουν διαστάσεις, αφορά την κίνηση του κέντρου µάζας ενός (απόλυτα) στερεού σώµατος σε πεδίο χωροεξαρτώµενης δύναµης F= Dx Για το ποιος θα εξασφαλίσει αυτή τη δύναµη δεν είναι κάτι που αφορά το µοντέλο. Και καλά κάνει, γιατί µοντέλο είναι και δεν είναι δυνατό να επιβάλλει άχρηστους περιορισµούς. Ή για να το πούµε καλύτερα, µοντέλο είναι και πρέπει να µην επιβάλλει τέτοιους περιορισµούς, ώστε να εξασφαλίσει την όσο το δυνατό µεγαλύτερη εφαρµογή του, σε όσο το δυνατό διαφορετικές περιοχές, µε όσο το δυνατό περισσότερα «εργαλεία». Ένα συγκεκριµένο ερώτηµα: Στερεό εκτελεί (µεταφορική κίνηση) Απλή Αρµονική Ταλάντωση. Τα διάφορα τµήµατά του (τα κοµµάτια του, τα υλικά του σηµεία) τί κίνηση κάνουν; Απάντηση: Όταν λέµε ότι το στερεό εκτελεί ΑΑΤ εννοούµε ότι το κέντρο µάζας του εκτελεί ΑΑΤ ή πιο αναλυτικά ότι η συνισταµένη των δυνάµεων που µεταφέρουµε στο κέντρο µάζας του στερεού είναι µια (γνήσια) χωροεξαρτώµενη, συντηρητική δύναµη F= Dx. Όταν λοιπόν το στερεό εκτελεί ΑΑΤ 4

Τα κοµµάτια του στερεού δε µπορούν να «χειριστούν» ως «δικές τους» κινητικές ενέργειες, δυναµικές ενέργειες, ορµές, δυνάµεις, αρχές διατήρησης, νόµους κ.λ.π. Τα κοµµάτια του στερεού δηλαδή δε µπορούν να συµµετάσχουν µόνα τους σε κανένα φαινόµενο. Αυτό σηµαίνει ότι δε µπορούν να µπουν σε συνεπή θεωρητική και πειραµατική Φυσική, κάτι που κάνει µόνο ολόκληρο το στερεό. Τα κοµµάτια του στερεού δεν «αλληλεπιδρούν» µε το περιβάλλον ανεξάρτητα, παρά µόνο µέσα από την έννοια του στερεού. Τα κοµµάτια του στερεού δε µπορούν «να πάθουν κάτι» που να αφορά αποκλειστικά αυτά και να µην αφορά ολόκληρο το στερεό Η εξίσωση κίνησης των κοµµατιών ενός στερεού που εκτελεί ΑΑΤ χωρίς να περιστρέφεται (εκτελεί µεταφορική κίνηση) σίγουρα είναι της µορφής x=αηµ(ωt+φ). Αλλά αυτό είναι µια σκέτη εξίσωση κίνησης, αλλά όχι κίνηση. Αυτό το τελευταίο, δηλώνει πως οτιδήποτε πάµε να συνδέσουµε µαζί της θα είναι κάτι που ή θα αφορά ολόκληρο το στερεό ή αν αποδοθεί στο κοµµάτι ποτέ δε θα µπορέσει να χρησιµοποιηθεί από το κοµµάτι σε κανένα φαινόµενο, σε καµιά πρόβλεψη αν δεν «παρευρεθεί» ολόκληρο το στερεό. Άρα είναι κάτι που δεν έχει καµιά αξία για το κοµµάτι του στερεού, παρά µόνο για το στερεό. Δηλαδή: Το στερεό εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, στην οποία σαφώς και συµµετέχουν τα κοµµάτια του. Αν τώρα την κίνηση των κοµµατιών θέλουµε για την εννοιολογική ισορροπία «το στερεό κάνει ΑΑΤ άρα και τα κοµµάτια του πρέπει να κάνουν το ίδιο» να την πούµε απλή αρµονική, ας την πούµε, γνωρίζοντας όµως ότι ποτέ αυτή η κίνηση δε θα έχει τα «προικιά» µιας ΑΑΤ γιατί ποτέ δε θα µπορέσει να υπάρξει µόνη της. Η ασκησιολαγνεία θα µας φέρει γρήγορα σε υπολογισµούς «µεγεθών» (επιµέρους σταθερές επαναφοράς D, επιµέρους δυναµικές και κινητικές, επιµέρους συντηρητικές δυνάµεις, επιµέρους ορµές, τριβές και αντιδράσεις δαπέδων που έγιναν συντηρητικές κ.λ.π.) που δεν πρόκειται ποτέ να υπάρξουν. Το ίδιο ισχύει και για τα δύο σώµατα που είναι το ένα πάνω στο άλλο. Όσο δεν υπάρχει σχετική µετατόπιση των δύο σωµάτων το σύστηµα κάνει ΑΑΤ και τα σώµατα µια αρµονική ταλάντωση. Αν δεν ενδιαφερθώ για κανένα στοιχείο της 5

κίνησης των επί µέρους σωµάτων ας έχω την ικανοποίηση της εννοιολογικής µου ισορροπίας και ας πω ότι και τα δύο σώµατα κάνουν ΑΑΤ Αν όµως πρόκειται να µπω σε υπολογισµούς µεγεθών (δυνάµεων, σταθερών, δυναµικών ενεργειών κ.λ.π.) που αφορούν τα επί µέρους σώµατα σίγουρα αυτά πρέπει να αφοπλιστούν από κάθε φρασεολογία που αφορά την ΑΑΤ και η εξέταση να γίνει ως αρµονική ταλάντωση και όχι ως απλή, ώστε να µη βρεθούν τριβές και αντιστάσεις δαπέδων µε δυναµικές ενέργειες. Από όλα τα παραπάνω µπορούµε λοιπόν να συµπεράνουµε ότι: Οι αρµονικοί όροι µιας ανάλυσης Fourier δεν είναι α.α.τ Ιµάντες, τροχοί, µοτέρ, µηχανικοί παλµογράφοι και πιστόνια που πάνε πέρα δώθε, δεν είναι α.α.τ. Σκιές, προβολές γεωµετρικών σηµείων, φωτεινές δέσµες, µύτες από περιστρεφόµενα διανύσµατα κ.λ.π. δεν είναι α.α.τ. Η κύλιση στερεού, πάνω στο οποίο εκτός των άλλων δυνάµεων δρα και στατική τριβή, δεν είναι α.α.τ. Τριβές, αντιδράσεις δαπέδων, τάσεις σχοινιών κ.λ.π. δεν επιτρέπεται να αντιµετωπίζονται ως χωροεξαρτώµενες συντηρητικές δυνάµεις και να σχετίζονται µε α.α.τ. έστω κι αν πάρουν τη µορφή Dx. Η µορφή αυτή είναι ψεύτικα χωροεξαρτώµενη, οφειλόµενη αποκλειστικά σε µαθηµατικά τερτίπια και κυρίως στο γεγονός ότι έχει εµπλακεί στους υπολογισµούς µας (γνήσια) χωροεξαρτώµενη δύναµη ως προς την οποία λύθηκε το σύστηµα των διαφόρων δυνάµεων. Ό,τι έχει ως εξίσωση κίνησης την x=αηµ(ωt+φ) δεν είναι απαραίτητα α.α.τ. Ο ορισµός της α.α.τ. δε µπορεί να είναι κινηµατικός δοσµένος µέσω της εξίσωσης κίνησης x=αηµ(ωt+φ), αλλά υποχρεωτικά πρέπει να γίνει αναφορά στη δύναµη F= Dx και στις αρχικές συνθήκες που θα επιβληθούν στο υλικό σηµείο Δεν αρκεί να λέµε «για να αποδείξω ότι το σώµα κάνει α.α.τ. αρκεί να δείξω ότι η συνισταµένη έχει τη µορφή F= Dx», αλλά να το εννοούµε µε την αυστηρότητα των µαθηµατικών. Τι γίνεται µε τις ενέργειες;;; 6

Μια συντηρητική δύναµη F που δρα σε ένα κινητό συνδέεται µε την αντίστοιχη du δυναµική ενέργεια U του κινητού µε τη σχέση F = (1) dx Η σχέση αυτή αποτελεί τον ορισµό της δυναµικής ενέργειας αν δίνεται η συντηρητική δύναµη που ασκείται στο κινητό ή τον ορισµό της συντηρητικής δύναµης αν δίνεται η δυναµική ενέργεια του κινητού. Εφαρµόζοντας το ο Νόµο του Νεύτωνα έχουµε: d x d x D d x ω Σ F = ma Dx= m + x= + x= () dt dt m dt όπου D ω = m Μία από τις δυνατές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης () είναι η: x= Aηµ ( ωt+ ϕ) (3) µε υ m υ x A= x + = x + και ϕ< π µε ηµϕ= και ω D A υ συνϕ = ωα Το πλάτος καθορίζεται αποκλειστικά από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος δηλαδή από την αρχική θέση και αρχική ταχύτητα του κινητού. Η δυναµική ενέργεια του ταλαντωτή προκύπτει από τη σχέση (1): du du du x du x F = = F = ( Dx) = Dx dx Dxdx dx dx dx = dx x x 1 du = D xdx U = Dx (Στην πιο πάνω ολοκλήρωση θεωρήσαµε ότι η δυναµική ενέργεια του κινητού είναι µηδέν στη θέση χ=.) Η ενέργεια του κινητού είναι: 1 1 E K U m Dx = + = υ + (4) 7

Ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας του κινητού είναι: de dk du dυ dx d x d x = + = mυ + Dx = mυ + Dxυ = υ( m + Dx) = dt dt dt dt dt dt dt αφού λόγω της (): d x Dx m dt + =. Άρα η ενέργεια του απλού αρµονικού ταλαντωτή διατηρείται σταθερή. Μια σταθερή δύναµη είναι χωροεξαρτώµενη συντηρητική; Μια σταθερή δύναµη F, είναι καταρχάς από µαθηµατική της δοµή, χωροεξαρτώµενη και συντηρητική και άρα τελείως νόµιµα µπορεί να συνδεθεί µε δυναµική ενέργεια U. Πράγµατι: F du = από όπου U= Fx dx Ως σηµείο αναφοράς (µηδενισµού) της δυναµικής ενέργειας επιλέξαµε το x=. Τα F και x θεωρούνται αλγεβρικά Όµως αν δεν πάρουµε υπόψη µας τα χαρακτηριστικά 4 και 5 του «πακέτου» και δεν προσέξουµε, µπορεί η οποιαδήποτε σταθερή δύναµη F, να γίνει χωροεξαρτώµενη, συντηρητική και να συνδεθεί µε δυναµική ενέργεια. Αν δεχτούµε ΜΟΝΟ τα χαρακτηριστικά 1-3 του «πακέτου» χαρακτηριστικών της ΑΑΤ, θα πρέπει, από συνέπεια κάθε µορφής, να δεχτούµε ΜΟΝΟ τα χαρακτηριστικά 1-3 του αντίστοιχου «πακέτου» των σταθερών δυνάµεων. Τότε α) Θα πρέπει να συνηθίσουµε µε λύσεις, όπου θα εµπλέκεται δυναµική ενέργεια τριβής β) Θα πρέπει να συνηθίσουµε ότι τη χωροεξαρτώµενη δύναµη την καθορίζει ΜΟΝΟ η µορφή και ότι στις συναρτήσεις που δίνουν χωροεξαρτώµενες δυνάµεις και τις δυναµικές τους ενέργειες, µπορούν να υπάρχουν µαθηµατικές ασυνέχειες οι οποίες να µην µπορούν να αποδοθούν µε µαθηµατικά 8

γ) Θα πρέπει να συνηθίσουµε Την παρουσία δυνάµεων που ενώ είναι χωροεξαρτώµενες, δε µπορούν να υπάρξουν µόνες τους στο χώρο. Την παρουσία δυνάµεων που ενώ είναι χωροεξαρτώµενες, δε µπορούν να υπάρξουν αν το σώµα κρατηθεί ακίνητο Την παρουσία δυνάµεων που ενώ είναι χωροεξαρτώµενες και έχουν τιµή µηδέν όσο το σώµα είναι ακίνητο, αποκτούν ακαριαία άλλη τιµή στην ίδια ακριβώς θέση του χώρου, µόλις το σώµα αφεθεί ελεύθερο (Και τα τραγικά δε θα έχουν τέλος, µιας κι αν αρχίσουµε να παίζουµε µε τις µορφές των δυνάµεων και να µένουµε µόνο στις µορφές, θα δούµε αποσβέσεις να αποκτούν ιδιότητες άλλες αντί άλλων. Και να γίνονται όλα χωρο-εξαρτώµενα και συντηρητικά και ΑΑΤ και ελεύθερες πτώσεις και στο τέλος να καταρρέουν όσα έχουµε µάθει) Αν θέλουµε να γλιτώσουµε την έννοια της δυναµικής ενέργειας, αν θέλουµε να µη εκφυλίσουµε µέχρι διάλυσης την έννοια της µηχανικής ενέργειας, αν δε θέλουµε να διαλύσουµε ό,τι χειριστήκαµε µέχρι τώρα µε συνέπεια και επιτυχία, πρέπει οπωσδήποτε να δεχτούµε και τα 5 χαρακτηριστικά του «πακέτου» της ΑΑΤ Όποια δύναµη έχει τη µορφή µιας χωρο-εξαρτώµενης συντηρητικής δύναµης, δε σηµαίνει ότι είναι και τέτοια. Μπορεί ένα µαθηµατικό τρυκ ή η τύχη να την οδήγησε στη µορφή µιας χωρο-εξαρτώµενης συντηρητικής δύναµης, αλλά σίγουρα δε θα έχει καµιά από τις «χάρες» της. Για να ξεχωρίσουµε αν µια δύναµη είναι γνήσια χωρο-εξαρτώµενη, πρέπει ως πρώτο βήµα να «σταµατήσουµε» το χώρο και να αφήσουµε το χρόνο να κυλήσει. Πρέπει έστω νοητικά να σταµατήσουµε το σώµα σε κάποιο σηµείο. Αν η δύναµη µε σταµατηµένο το σώµα είναι ακριβώς ίδια όπως και πριν το σταµατήσουµε (εφόσον είµαστε στο ίδιο σηµείο), είναι µια καλή ένδειξη ότι µπορεί και να είναι χωροεξαρτώµενη. Αν η δύναµη µε σταµατηµένο το σώµα αλλάξει, σίγουρα δεν είναι χωροεξαρτώµενη. Έτσι αποκλείονται οι φιλοδοξίες των τριβών να γίνουν συντηρητικές δυνάµεις!!! Ένα παράπλευρο συµπέρασµα 9

Δεν αρκεί να λέµε «Για να αποδείξουµε ότι ένα υλικό σηµείο κάνει α.α.τ. αρκεί να αποδείξουµε ότι η συνισταµένη των δυνάµεων πάνω του είναι της µορφής F= Dx.» Πρέπει να λέµε (εννοείται όχι στους µαθητές, οι οποίοι έτσι κι αλλιώς έχουν «χάσει το παιχνίδι» και µόνο µε τον κινηµατικό ορισµό της α.α.τ, αλλά στον εαυτό µας πρώτα απ όλα) «Για να αποδείξουµε ότι ένα υλικό σηµείο κάνει α.α.τ. αρκεί να αποδείξουµε ότι Η συνισταµένη των δυνάµεων πάνω του είναι της µορφής F= Dx Η συνισταµένη αυτή δύναµη είναι (γνήσια) χωροεξαρτώµενη δύναµη Το υλικό σηµείο δε βρίσκεται αρχικά στο ελκτικό κέντρο x= της δύναµης µε ταχύτητα µηδέν (γιατί αλλιώς θα βρίσκεται σε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας και δε θα κινείται)» Οι εξισώσεις κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή Αν x η αρχική θέση του κινητού στον άξονα x και υ η αρχική ταχύτητά του κατά τη διεύθυνση του άξονα x, τότε η εξίσωση κίνησης x(t) του απλού αρµονικού ταλαντωτή µπορεί να δοθεί µε τις παρακάτω µορφές, όπου φαίνονται οι τιµές και οι περιορισµοί των διαφόρων σταθερών, οι οποίες έχουν υπολογιστεί συναρτήσει των αρχικών συνθηκών: 1η µορφή: x(t)=α ηµ(ω t+φ) t, D υ ω =, A= x + > και φ<π m ω x υ ηµϕ =, συνϕ = και άρα A ω A εϕϕ = x ω υ 1

η µορφή: x(t)=a συν(ω t+θ) t, D υ ω =, A= x + > και θ<π m ω υ ηµθ =, ω A x υ συνθ = και άρα εϕθ = A x ω 3η µορφή: x(t)=c 1 συνω t+c ηµω t t, = D m ω, C 1 και C πραγµατικοί αριθµοί µε C 1 = x και C υ = ω Αξίζει να σηµειώσουµε ότι οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης είναι ισοδύναµες. Εποµένως για δεδοµένες αρχικές συνθήκες, όποια από τις τρεις και να επιλέξουµε θα περιγράψει την κίνηση µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Στις διάφορες µορφές που µπορεί να πάρει η εξίσωση κίνησης του απλού αρµονικού ταλαντωτή παρατηρούµε ότι, όχι µόνο ο χρησιµοποιούµενος τριγωνοµετρικός αριθµός είναι διαφορετικός, αλλά και η ποσότητα που υπεισέρχεται σ αυτούς τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς είναι κάθε φορά τελείως διαφορετική. Σύµφωνα µε τα παραπάνω: 11

) Η ποσότητα που υπεισέρχεται στους τριγωνοµετρικούς αριθµούς δεν είναι κάτι που αφορά την ταλάντωση, αλλά τη συγκεκριµένη εξίσωση κίνησης που χρησιµοποιείται για να περιγράψει την ταλάντωση. Για παράδειγµα η ποσότητα ω t+φ δεν είναι η φάση της ταλάντωσης. Όµοια η φ δεν είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης. Είναι η φάση και η αρχική φάση αντίστοιχα της αποµάκρυνσης, όταν χρησιµοποιηθεί ως εξίσωση κίνησης η x(t)=α ηµ(ω t+φ). Είναι µάλλον προτιµότερο να λέµε: στην εξίσωση κίνησης x(t)=αηµ(ω t+φ) η φάση της αποµάκρυνσης είναι ω t+φ, ενώ η αρχική φάση της αποµάκρυνσης είναι φ. Στο σηµείο αυτό αξίζει να αναφερθεί ότι σε πολλά ξενόγλωσσα βιβλία η εξίσωση κίνησης x(t) του απλού αρµονικού ταλαντωτή δίνεται µε τη 3 η µορφή από τις πιο πάνω. Π.χ: στο Engineering Mechanics των Timoshenko and Young στη σελίδα 8 γράφει: The differential equation for free vibrations of a particle is: kg ɺɺ x+ p x= ( p = ) W The general solution of this equation is: x= C cos( pt) + C sin( pt) 1 in which C 1 and C are the two arbitrary constants. By an appropriate choice of the constants C 1 and C we can adapt this solution to any initial conditions of motion of the weight W.. Differentiating this equation once with respect to time, we obtain the general velocity-time equation: xɺ = pc sin( pt) + pc cos( pt) 1 3) Ενώ στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση, κίνηση που οφείλεται σε χωρο-εξαρτόµενες δυνάµεις, η ολική ενέργεια διατηρείται σταθερή σε κάθε σηµείο της τροχιάς, στην εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση η ολική ενέργεια δεν έχει σταθερή τιµή E ολ = 1 DA στη διάρκεια της περιόδου. Στη µόνιµη κατάσταση, η ενέργεια του ταλαντωτή είναι αρµονική συνάρτηση του χρόνου µε µέση τιµή: 1

1 E= ma ( ωο + ω ) 4 και συχνότητα διπλάσια από εκείνη της δύναµης του διεγέρτη. Οι γραφικές παραστάσεις της δυναµικής, της κινητικής και της ολικής ενέργειας όταν ω< ω ο δίνονται στο επόµενο διάγραµµα: 1 mω οα 1 4 m(ω +ω ο ) Α 1 1 4 1 4 mω Α mω Α ο mω Α Κ U E T T t Αντίστοιχα όταν ω> ωο επικρατεί η κινητική: 13

Δεν πρέπει να ξεχνάµε ότι: Κάθε κίνηση που υπακούει στην εξίσωση χ=αηµ(ωt+φ) είναι αρµονική ταλάντωση αλλά όχι απαραίτητα Απλή Αρµονική Ταλάντωση (ΑΑΤ). Το γεγονός ότι οποιαδήποτε κίνηση µε εξίσωση της µορφής x=aηµ(ωt+φ), οδηγεί σε επιτάχυνση α= ω x και άρα σε δύναµη της µορφής F= Dx όπου D=mω, δε σηµαίνει ότι η κίνηση έχει τα χαρακτηριστικά της ΑΑΤ. Αυτό είναι µια από τις αδυναµίες της κινηµατικής επεξεργασίας µιας κίνησης. Ξεκινώντας από την εξίσωση κίνησης µε παραγωγήσεις ο νόµος του Νεύτωνα θα µας οδηγήσει στη µορφή της δύναµης και ποτέ στην ποιότητά της. Για παράδειγµα, η µόνιµη κατάσταση ενός εξαναγκασµένου αρµονικού ταλαντωτή µε απόσβεση έχει εξίσωση κίνησης x=aηµ(ωt+φ). Έτσι, παρόλο που ανάµεσα στις δυνάµεις που δρουν στον εξαναγκασµένο υπάρχει και η τριβή Τ= bυ (δύναµη που εξαρτάται από ταχύτητα!!!!) και η χρονο-εξαρτώµενη δύναµη του διεγέρτη F δ =F ηµωt, η συνισταµένη δύναµη µπορεί να πάρει τη µορφή F= Dx όπου D=mω και έτσι να.. τη θεωρήσουµε χωρο-εξαρτώµενη δύναµη της µορφής F= Dx µε ότι τραγική συνέπεια θα έχει αυτό. 4) Στη φθίνουσα ταλάντωση, όπου η δύναµη αντίστασης είναι ανάλογη της t υ A A e Λ ταχύτητας F αντ = b, η εκθετική συνάρτηση = που θεωρείται ότι δίνει το πλάτος, δηλαδή τα τοπικά ακρότατα της τροχιάς, δεν αντιστοιχεί στις θέσεις στιγµιαίου µηδενισµού της ταχύτητας, άρα δεν µπορεί να είναι το πλάτος. Τις χρονικές στιγµές που το κινητό βρίσκεται στις θέσεις o x t = Ao e Λ που προβλέπει η Λt εκθετική συνάρτηση έχει ταχύτητα υ = Λ A e µη µηδενική, δηλαδή κινείται προς τα αρνητικά, προς τη θέση αναφοράς χ=. Προφανώς οι θέσεις αυτές δε µπορεί να είναι t ακραίες δηλαδή δε µπορεί να είναι θέσεις πλάτους. Η εκθετική συνάρτηση A e Λ είναι η συνάρτηση της µιας περιβάλλουσας στην καµπύλη της αποµάκρυνσης και ως τέτοια πρέπει να αποκαλείται. Οριοθετεί το «χώρο» στο επίπεδο x-t µέσα στο οποίο γίνεται η ταλάντωση. o o Τα παραπάνω φαίνονται στο ακόλουθο διάγραµµα: 14

Ένα συνηθισµένο λάθος είναι το ακόλουθο: Υλικό σηµείο µάζας m=kg κινείται στον άξονα x κάτω από την επίδραση δύο δυνάµεων, της F= - 36x (S.Ι.) και της F = - 1υ (S.Ι.) όπου υ η ταχύτητα του υλικού σηµείου. Τη χρονική στιγµή t= s η απόσταση του κινητού από τη θέση x= είναι,4m και η ταχύτητά του είναι µηδέν. Να µελετηθεί η κίνηση του υλικού σηµείου. Απάντηση: Η λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνει: Προσέξτε: Το Α δεν είναι το αρχικό πλάτος d=,4m και η αρχική φάση δεν είναι π/ (όπως συχνά υπονοείται κατά αντιστοιχία µε την αµείωτη!!!), αλλά π/4. 15

5) Σύνθεση ταλαντώσεων Η κίνηση ενός κινητού είναι µόνο µία και ένα κινητό µπορεί να εκτελεί µόνο µια κίνηση. Αν καµιά φορά η κίνησή του αυτή, η µόνο µία, εκλαµβάνεται ως σύνθεση (επαλληλία) κάποιων άλλων κινήσεων, δεν είναι σύνθεση πραγµατικών κινήσεων τις οποίες εκτελεί ταυτόχρονα ή µπορεί να αναγκαστεί να τις εκτελέσει ταυτόχρονα το κινητό, αλλά ένα απλό άθροισµα συναρτήσεων που συνήθως µοιάζουν µε τις εξισώσεις γνωστών µας κινήσεων και από τις οποίες διατηρούν άλλοτε περισσότερα και άλλοτε λιγότερα χαρακτηριστικά. Οι εξισώσεις κίνησης αν θέλουµε και αναλύονται και συνθέτονται. Οι κινήσεις όµως, κυριολεκτικά µιλώντας, ούτε αναλύονται ούτε συνθέτονται. Αν συνέβαινε κάτι τέτοιο θα έπρεπε η κάθε κίνηση να έχει τα δικά της φυσικά µεγέθη, τις δικές της µάζες, τις δικές της δυνάµεις, ταχύτητες, ενέργειες κ.λ.π. Και τα φυσικά µεγέθη της σύνθετης κίνησης να προέκυπταν απλώς αθροίζοντας τα επί µέρους. Ξέρουµε όµως ότι αυτό γενικά δεν ισχύει. Δε µπορούµε γενικά να βρούµε ενεργειακά µεγέθη (κινητική ενέργεια, δυναµική ενέργεια, ενεργειακοί ρυθµοί κ.λ.π.) της σύνθετης κίνησης, απλώς προσθέτοντας τα αντίστοιχα ενεργειακά µεγέθη των επιµέρους (συνιστωσών) κινήσεων. 16

Στην επαλληλία των εξισώσεων κίνησης, δε βρίσκουµε τις κινήσεις που κάνει το σώµα, ανεξάρτητα τη µία από την άλλη για να τις βάλουµε κατόπιν όλες µαζί να καταλήγουνε σε αυτή που µελετάµε. Η επαλληλία των εξισώσεων κίνησης είναι η προσπάθειά µας να διαβάσουµε τη διαφορική εξίσωση και τη λύση της µε έναν τρόπο που θα µας βοηθήσει να καταλάβουµε καλύτερα το φαινόµενο και πιθανώς καλύτερα να το διδάξουµε. Τίποτε άλλο. Σε κάθε σύνθεση µπορούµε να βρούµε την αποµάκρυνση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση της συνισταµένης κίνησης απλά προσθέτοντας τα αντίστοιχα µεγέθη των συνιστωσών. Αυτό οφείλεται στην ιδιότητα η παράγωγος του αθροίσµατος να ισούται µε το άθροισµα των παραγώγων. Οτιδήποτε άλλο χρειαστούµε πρέπει να καταφεύγουµε στη συνισταµένη κίνηση και στις δυνάµεις που δρουν στο κινητό. Δε µπορούµε, π.χ να ισχυριστούµε ότι για να βρούµε την ενέργεια της συνισταµένης κίνησης απλά προσθέτουµε τις ενέργειες των συνιστωσών κινήσεων. Η σύνθεση κινήσεων δεν είναι ούτε κάποια ξεχωριστή κίνηση, ούτε δύο ή περισσότερες κινήσεις που γίνονται ταυτόχρονα ή διαδοχικά η µία µετά την άλλη. Συµπέρασµα: Η φράση: «.το υλικό σηµείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις...» είναι λανθασµένη και στερείται φυσικού νοήµατος. 6) Εξαναγκασµένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (b=) Είναι συνηθισµένη πρακτική να θεωρούµε ότι ένας εξαναγκασµένος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση (b=), µετά από κάποιο µεταβατικό στάδιο κατά το οποίο εκτελεί µια πολύπλοκη κίνηση, θα εισέλθει σε µια µόνιµη κατάσταση όπου, ανεξάρτητα από τις αρχικές συνθήκες, θα εκτελεί µία µόνο αρµονική ταλάντωση µε σταθερό πλάτος. Το πλάτος αυτό θα είναι τόσο πιο µεγάλο όσο πιο κοντά στην ιδιοσυχνότητα f βρίσκεται η συχνότητα f του διεγέρτη. Στην περίπτωση µάλιστα του συντονισµού ( f=f ), αυτή η ταλάντωση θα έχει σταθερό άπειρο πλάτος (!!!) Όλα αυτά όµως για τον εξαναγκασµένο ταλαντωτή χωρίς απόσβεση (b=) δεν υφίστανται. Δεν υπάρχουν!!!» Η εξίσωση κίνησης του εξαναγκασµένου χωρίς απόσβεση είναι: 17

υ x(t) = ω ρω ρ ηµωt+ x συνω t+ ω ( ω ω ) ω ω ηµω t Η εξίσωση κίνησης αυτή µπορεί να εκληφθεί ως σύνθεση των εξισώσεων κίνησης δύο ταλαντώσεων: ρ Της αρµονικής ταλάντωσης x1 = ηµω t ω ω µε κυκλική συχνότητα ω εκείνη του διεγέρτη και πλάτος A 1 = ω ρ ω Της αρµονικής ταλάντωσης υ ρω x = ηµωt+ x συνω t ω ω ( ω ω ) µε κυκλική συχνότητα την κυκλική ιδιοσυχνότητα ω του ταλαντωτή και πλάτος Α υ ρω = + x ω ω( ω ω ) Άρα ο εξαναγκασµένος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση είναι παράδειγµα σύνθεσης ταλαντώσεων µε διαφορετικά πλάτη και διαφορετικές συχνότητες. Αφού λοιπόν ο εξαναγκασµένος ταλαντωτής χωρίς απόσβεση είναι σύνθεση ταλαντώσεων θα έχουµε όλα όσα µπορούµε να δούµε σε µια σύνθεση ταλαντώσεων. Για παράδειγµα αν η διαφορά των ω και ω είναι µικρή σε σχέση µε τις ω κα ω ξεχωριστά περιµένουµε να σχηµατίζονται διακροτήµατα Και κάτι άλλο πολύ σηµαντικό: Στην εξαναγκασµένη αυτή ταλάντωση ο διεγέρτης δεν επιβάλλει τη συχνότητά του στον ταλαντωτή, αλλά και οι δύο συχνότητες συνυπάρχουν στην κίνηση του ταλαντωτή. 18

Ο συντονισµός στον εξαναγκασµένο ταλαντωτή χωρίς απόσβεση δεν έχει και µεγάλη σχέση µε τον συντονισµό στον εξαναγκασµένο µε απόσβεση τουλάχιστον σε µια πρώτη εξέταση από άποψη φυσικής συµπεριφοράς. Στη πρώτη περίπτωση έχουµε ακατάπαυστη αύξηση του πλάτους της ταλάντωσης και στη δεύτερη, µόνιµη κατάσταση µε σταθερό µέγιστο πλάτος. Δηλαδή µετά από ένα µεταβατικό στάδιο θα έχουµε ταλάντωση µε σταθερό πλάτος. Στο συντονισµό ενός εξαναγκασµένου χωρίς απόσβεση, οι συχνότητες των δύο συνιστωσών αρµονικών ταλαντώσεων συµπίπτουν. Το γεγονός αυτό, ενώ σε άλλη περίπτωση θα οδηγούσε σε µια νέα ταλάντωση σταθερού πλάτους και ίδιας συχνότητας µε τις συνιστώσες ταλαντώσεις x 1 και x, εδώ δηµιουργεί άλλες συνθήκες γιατί απειρίζει τα πλάτη Α 1 και Α των δύο ταλαντώσεων. Με άλλα λόγια: Ο προοδευτικός µε την πάροδο του χρόνου απειρισµός των διαφόρων µεγεθών (πλάτους, ταχύτητας, ενέργειας κ.α) κατά το συντονισµό, φορµαλιστικά δεν οφείλεται στο ότι συνθέτουµε δύο ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, αλλά στο ότι συνθέτουµε δύο ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και απείρου πλάτους. 7) Στην ιδιόµορφη ταλάντωση, µε εξίσωση αποµάκρυνσης που προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο αρµονικών ταλαντώσεων x1 = Aηµ ( ω1t ) και x = Aηµ ( ω t) ισχύουν: x x x A t A t A t t x A ω t ω t ω t+ ω t 1 1 = 1+ = ηµω1 + ηµω = ( ηµω1 + ηµω ) = συν ηµ ( ω1 ω) t ( ω1+ ω) t x= Aσυν ηµ ( ω1+ ω) Η σχέση αυτή µπορεί να γραφεί στη µορφή: x= A ηµ t ( ω1 ω ) όπου A = Aσυν t 19

( ω1 ω ) Ο όρος: A' Aσυν t = δεν είναι το πλάτος της ιδιόµορφης ταλάντωσης, αλλά η µία περιβάλλουσα της χ(t), αφού το Α είναι πάντα τιµή της περιβάλλουσας αλλά όχι αναγκαστικά της χ(t). Η χ(t) λαµβάνει την τιµή Α µε ικανοποιητική προσέγγιση µόνο για µεγάλες παραπλήσιες συχνότητες, π.χ: x1 =,1 ηµ ( πt)( S. I ) και x =,1 ηµ (198 πt)( S. I ) Η εξίσωση αποµάκρυνσης από τη θέση χ=, της ιδιόµορφης ταλάντωσης, προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων κίνησης: x= x1+ x x=,1 ηµ ( πt) +,1 ηµ (198 πt) x=, συν ( πt) ηµ ( πt)( S. I) Οι µεγάλες συχνότητες εξασφαλίζουν µικρή περίοδο της ιδιόµορφης ταλάντωσης, το παραπλήσιες εξασφαλίζει µεγάλο χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών της περιβάλλουσας, άρα µεγάλο αριθµό ιδιόµορφων ταλαντώσεων µεταξύ των διαδοχικών µηδενισµών του Α'.

Στην αντίθετη περίπτωση όµως όπου οι συχνότητες δεν έχουν παραπλήσιες τιµές ΔΕΝ µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η χ(t) λαµβάνει την τιµή Α µε ικανοποιητική προσέγγιση, π.χ: Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται η ιδιόµορφη ταλάντωση που εκτελεί υλικό σηµείο, της οποίας η αποµάκρυνση από τη θέση χ= προκύπτει από την επαλληλία δύο εξισώσεων κίνησης: χ 1 =Αηµ(,1πt) µε f 1 =1,5 Hz και χ =Αηµ(1,9πt) µε f =,95 Hz. Η ιδιόµορφη ταλάντωση (κόκκινη γραµµή) έχει ως εξίσωση κίνησης τη: χ=ασυν(,1πt)ηµ(πt), t σε sec Η περιβάλλουσα τη γραφική παράσταση (πράσινη γραµµή) έχει εξίσωση: ' A = Aσυν πt (,1 ) Και από το διάγραµµα είναι εµφανές ότι η χ(t) δε λαµβάνει ποτέ την τιµή Α. Τελειώνοντας θέλω να αναφέρω ότι: 1

«Δε θέλω εγώ να εξωθούµαι σε προσεγγίσεις, από άλλους που δήθεν ξέρουν τα φαινόµενα ακριβώς. Θέλω εγώ να ξέρω ακριβώς τα φαινόµενα και να αποφασίσω εγώ την προσέγγιση. Θέλω οι άλλοι που ξέρουν να µου λένε το ακριβές φαινόµενο ή να µε παραπέµπουν στο ακριβές φαινόµενο και εγώ θα δω τι θα κάνω.» Θοδωρής Παπασγουρίδης papasgou@gmail.com