Δραστηριότητες σχετικά με κρυπτογραφία και ελέγχους ισοτιμίας Δραστηριότητα 6: Κωδικοί και κρυπτογραφία Το αντικείμενο της δραστηριότητας αυτής είναι η κατανόηση από την πλευρά των μαθητών μερικών στοιχειωδών μεθόδων κρυπτογράφησης. Στο τέλος της δραστηριότητας αναμένεται οι μαθήτριες και οι μαθητές να έχουν κατανοήσει την έννοια της κρυπτογράφησης και τον αλγοριθμικό χαρακτήρα της διαδικασίας κρυπτογράφησης-αποκρυπτογράφησης. Η βασική ιδέα είναι ένα μήνυμα που στέλνει κάποιος (αποστολέας) σε κάποιο άλλο πρόσωπο (αποδέκτης), αλλά με τρόπο τέτοιο, ώστε να μην είναι κατανοητό από κάποιον που θα θελήσει να το παραβιάσει, χωρίς να είναι ο αποδέκτης. Ως βασική τεχνική κρυπτογράφησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια πολύ απλή τεχνική αντικατάστασης γραμμάτων. Έτσι, με ένα συστηματικό τρόπο, μπορεί κανείς να αντιστοιχίσει ένα γράμμα σε ένα άλλο. Ειδικά για την Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, μπορεί εύκολα να δημιουργηθεί μια κατασκευή με χαρτί, ώστε οι μαθητές να κατανοήσουν τον τρόπο κρυπτογράφησης-αποκρυπτογράφησης: Πρόκειται για δυο λωρίδες χαρτιού, κομμένες και τυλιγμένες σε σχήμα κυλίνδρου (στη φωτογραφία είναι τυλιγμένες γύρω από ένα πλαστικό μπουκάλι). Περιστρέφοντας τη μια ή την άλλη αλλάζουν οι αντιστοιχίες. Έτσι αν αρχικά το Α=>Α, Β=>Β κ.λπ., μετατοπίζοντας τον κάτω κύλινδρο κατά μία «θέση» δεξιόστροφα (κατά τη φορά κίνησης δεικτών ρολογιού) οι αντιστοιχίες αλλάζουν, καθώς Α=>Β, Β=>Γ κ.λπ. Η αποκωδικοποίηση του μηνύματος είναι πολύ απλή, αν ξέρει κανείς τον αριθμό μετατοπίσεων θέσης. Ωστόσο η τεχνική αυτή δεν είναι πολύ αποδοτική, καθώς οι κωδικοποιήσεις φανερώνουν αρκετά στοιχεία. Για παράδειγμα, με αυτή τη μέθοδο κρυπτογράφησης, το μήκος των λέξεων παραμένει σταθερό. Αν λοιπόν το μήνυμα: ΑΥΡΙΟ ΤΟ ΠΡΩΙ κωδικοποιηθεί με έναν τρόπο σε: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 48/170
ΕΩΦΝΤ ΨΤ ΥΦΓΝ (4 μετατοπίσεις θέσεως), αυτός που αποπειράται να αποκωδικοποιήσει γνωρίζει ότι έχει να κάνει με τρεις λέξεις, μήκους 5,2,4 χαρακτήρων. Αν στην κωδικοποίηση προστεθεί και το κενό ως 25 ος χαρακτήρας (όπως στο πληκτρολόγιο), τότε η παραπάνω φράση «ΑΥΡΙΟ ΤΟ ΠΡΩΙ», θα κωδικοποιηθεί ως εξής (δες στην παραπάνω φωτογραφία: το κενό της επάνω λωρίδας αντιστοιχεί στο «Τ» της κάτω λωρίδας): ΕΩΦΝΤΔΨΤΔΥΦΓΝ ενώ, σε άλλη περίπτωση, η λέξη ΛΕΦΟΥΣΙ θα κωδικοποιηθεί ως ΟΙ ΤΩΧΝ. Αυτό ενδεχομένως αυξάνει το βαθμό δυσκολίας για όποιον θέλει να αποκρυπτογραφήσει το μήνυμα, χωρίς να είναι ο αποδέκτης. Ωστόσο, αν κάποιος καταφέρει να βρει έστω και μια αντιστοιχία, για παράδειγμα ότι το γράμμα «Γ» κρυπτογραφείται ως «Θ», τότε είναι πολύ εύκολο να προσδιορίσει όλες τις αντιστοιχίες. Ακόμη, η συχνότητα των γραμμάτων σε ένα κείμενο, μπορεί να δώσει ενδείξεις, καθώς το πιο συχνό γράμμα στην ελληνική γλώσσα είναι το «Α», με δεύτερο το «Ε», στην Αγγλική γλώσσα είναι το «e» κ.λπ. Μια ιδέα θα ήταν η κωδικοποίηση να είναι μεταβλητή: για παράδειγμα το πρώτο γράμμα του αρχικού μηνύματος να κωδικοποιηθεί με 3 μετατοπίσεις δεξιόστροφες, το δεύτερο με πέντε, το τρίτο με 8 κ.λπ. Ουσιαστικά τέτοιες τεχνικές κρυπτογράφησης έχουν χρησιμοποιηθεί πολύ συχνά με παραλλαγές. Στην τεχνική του (Blaise de) Viginère, χρησιμοποιείται ένας ορθογώνιος πίνακας όπως ο παρακάτω: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 49/170
Γ A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb Ι 1 Α A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb Α 2 Β B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A T 3 Γ Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Ρ 4 Δ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Ο 5 Ε Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Σ 6 Ζ Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Γ 7 Η Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Ι 8 Θ Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Α 9 Ι Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ T 10 Κ Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Ρ 11 Λ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Ο 12 Μ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Σ 13 Ν Ν Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Γ 14 Ξ Ξ Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ι 15 Ο Ο Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ Α 16 Π Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O T 17 Ρ Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ 18 Σ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Ο 19 T T Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ Σ 20 Υ Υ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Γ 21 Φ Φ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Ι 22 Χ Χ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Α 23 Ψ Ψ Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ T 24 Ω Ω bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ρ 25 bb bb A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ N Ξ O Π Ρ Σ T Υ Φ Χ Ψ Ω Έτσι το μήνυμα «ΕΠΙΘΕΣΗ» θα κρυπτογραφηθεί ως «ΕΡΛΛΙΨΕ». Παρατηρήστε ότι η συχνότητα των γραμμάτων δε διατηρείται, καθώς ένα γράμμα, το «Ε», κωδικοποιείται με διαφορετικό τρόπο ανάλογα με τη θέση του. Η ύπαρξη ενός κλειδιού, όπως η λέξη «ΓΙΑΤΡΟΣ» (στην πρώτη στήλη επαναλαμβανόμενη «ΓΙΑΤΡΟΣΓΙΑΤΡΟΣΓΙΑΤΡΟΣ», επιτρέπει μια ακόμη πιο περίπλοκη κωδικοποίηση. ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 50/170
Μια άλλη ιδέα είναι να χρησιμοποιηθεί μια άλλη ακολουθία ακεραίων, γνωστή, αλλά όχι προφανής, όπως τα ψηφία του π ή της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού, για παράδειγμα της τετραγωνικής ρίζας του 2, του 3 του 5 κ.λπ. Οι μαθητές ή ο εκπαιδευτικός μπορούν να κάνουν αναφορές στις σύγχρονες μεθόδους κρυπτογράφησης με κλειδί, τον ρόλο που παίζουν οι πρώτοι αριθμοί κ.λπ. εξαρτάται φυσικά από το επίπεδο των μαθητών στους οποίους απευθύνεται. Σημείωση: όλες οι παραπάνω διαδικασίες μπορούν πολύ εύκολα να προγραμματιστούν σε μια απλή γλώσσα προγραμματισμού (ίσως και σε ένα λογιστικό φύλλο όπως το Calc ή το Excel), ώστε η κρυπτογράφηση ή αποκρυπτογράφηση να γίνει αυτόματη. Το ουσιώδες είναι να έχουν κατανοήσει οι μαθητές τους αντίστοιχους αλγορίθμους, ώστε να αντιλαμβάνονται τον τρόπο λειτουργίας του προγράμματος. Ο βαθμός στον οποίο εμβαθύνει ο εκπαιδευτικός στις μεθόδους κρυπτογράφησης εξαρτάται φυσικά από το κοινό στο οποίο απευθύνεται κ.λπ. Σχετική δραστηριότητα στο Scratch υπάρχει έτοιμη στο: http://code.google.com/p/scratchunplugged/downloads/detail?name=scratch-unplugged-1-0.zip&can=2&q H κρυπτογραφία και οι κωδικοποιήσεις έχουν βέβαια μια ιδιαίτερη σημασία και πολλές ε- φαρμογές, όχι μόνο στο πεδίο των στρατιωτικών, αλλά και των σύγχρονων οικονομικών συναλλαγών. Εύκολα μπορεί κανείς να βρει στο διαδίκτυο πολλά σχετικά στοιχεία και τεχνικές κρυπτογράφησης, μερικά από τα οποία μπορούν να αποτελέσουν τη βάση για δραστηριότητες με τους μαθητές. Ιδιαίτερη είναι και η ιστορία του Enigma μιας πολύπλοκης μηχανής κρυπτογράφησης που επινόησαν και χρησιμοποίησαν οι Γερμανοί στο Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο. Η μηχανή επινοήθηκε από το Γερμανό Arthur Scherbius (πριν το 1930) και μέσα σε μια δεκαετία βελτιώθηκε πολύ. Ευτυχώς στην πλευρά των Συμμάχων αρχικά ο Πολωνός Rejewski Marian και στη συνέχεια μια ολόκληρη ομάδα επιλέκτων Μαθηματικών και ειδικών, στο Bletchley Park, κατόρθωσαν να «σπάσουν» τη διαδικασία κρυπτογράφησης, χωρίς να γίνουν αντιληπτοί από τους Γερμανούς. Στην ομάδα του Bletchley Park βασικό στέλεχος ήταν ο Alan Turing, οποίος, για τις ανάγκες της αποκρυπτογράφησης, σχεδίασε τον αναγνωριζόμενο ως πρώτο προγραμματιζόμενο Η.Υ., τον Colossus (http://en.wikipedia.org/wiki/colossus_computer). Δραστηριότητα 7: Έλεγχος ισοτιμίας (parity bits) Πρόκειται για μια δραστηριότητα η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, είτε στις πρώτες τάξεις του Γυμνασίου. Είναι μια δραστηριότητα η οπoία δεν απαιτεί την ύπαρξη Η.Υ. και αποσκοπεί στην κατανόηση του μηχανισμού του ελέγχου της ορθής μετάδοσης ενός μηνύματος κωδικοποιημένου στο δυαδικό σύστημα. Ο έλεγχος ισοτιμίας είναι μια σχετικά απλή μέθοδος για τον έλεγχο σφαλμάτων κατά τη μετάδοση μηνυμάτων (κωδικοποιημένων στο δυαδικό σύστημα ). Ο έλεγχος αυτός δεν είναι απαραίτητο να προσομοιωθεί οπωσδήποτε με δυαδικά ψηφία, αλλά μπορεί να πραγματοποιηθεί και με άλλα αναπαραστατικά μέσα τα οποία είναι λογικώς «ισοδύναμα» με το δυαδικό σύστημα. Έστω για παράδειγμα μια τετραγωνική διάταξη καρτών με τυχαία κατανομή της όψης τους ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 51/170
(άσπρο-μαύρο): Η προσθήκη μια ακόμη γραμμής και στήλης έτσι ώστε το άθροισμα των «μαύρων» σε όλες τις στήλες και γραμμές να είναι άρτιο, δίνει την εξής κατανομή: Στην παραπάνω διάταξη, τα «μαύρα» κάθε γραμμής και σειράς είναι άρτιου πλήθους. Το αναποδογύρισμα οιασδήποτε κάρτας θα αλλάξει αυτήν τη συνθήκη. Ο εκπαιδευτικός προσκαλεί τα παιδιά να αλλάξουν την όψη μιας κάρτας (να την αναποδογυρίσουν δηλαδή) χωρίς ο ίδιος να βλέπει την αλλαγή. Στο παράδειγμα που ακολουθεί: ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 52/170
είναι εύκολο να διακρίνει κανείς την κάρτα που άλλαξε όψη, αφού το πλήθος των «μαύρων» παύει να είναι άρτιο σε κάποια γραμμή και στήλη. Ο εκπαιδευτικός, λοιπόν, μπορεί εύκολα να «μαντέψει» ποια κάρτα αναποδογύρισαν οι μαθητές. Ο εκπαιδευτικός μπορεί να επαναλάβει μερικές φορές τη διαδικασία και να ζητήσει από τους μαθητές να του εξηγήσουν πώς βρίσκει την απάντηση. Εάν η απάντηση δεν προκύψει από τους μαθητές, μπορεί να τους καθοδηγήσει εξηγώντας με ποιον τρόπο επέλεξε να τοποθετήσει τις όψεις των καρτών στην πρόσθετη σειρά και στήλη (έτσι ώστε το άθροισμα των μαύρων να είναι πάντα άρτιο). Αφού οι μαθητές κατανοήσουν τον μηχανισμό, μπορεί να τους ζητήσει να εντοπίσουν περιπτώσεις στις οποίες το πρόβλημα να είναι πιο σύνθετο (για παράδειγμα: μια σειρά αλλαγών περισσοτέρων καρτών είναι πάντα ανιχνεύσιμη;). Σχετική δραστηριότητα στο Scratch υπάρχει έτοιμη στο: http://code.google.com/p/scratchunplugged/downloads/detail?name=scratch-unplugged-1-0.zip&can=2&q Ο έλεγχος ορθότητας ενός κωδικού είναι πολύ συνηθισμένη διαδικασία (στους λεγόμενους γραμμωτούς κώδικες» ΕΑΝ-13, γνωστούς ως barcodes, σε διάφορα προϊόντα και αλλού). Οι γραμμωτοί κώδικες αποτελούνται από 13 ψηφία, 12 σημαντικά και ένα ψηφίο ελέγχου. Τα πρώτα ψηφία είναι ο κωδικός της χώρας, ακολουθούν ψηφία που ταυτοποιούν την εταιρεία που κατασκεύασε το προϊόν και στη συνέχεια ο κωδικός του προϊόντος του ίδιου. Ο υπολογισμός του τελευταίου ψηφίου (του 13 ου ) προκύπτει ως εξής: αθροίζονται τα ψηφία ΙΤΥΕ Διόφαντος - Διεύθυνση Επιμόρφωσης και Πιστοποίησης 53/170
περιττής τάξεως. Αθροίζονται τα ψηφία αρτίας τάξεως και το άθροισμα πολλαπλασιάζεται επί 3. Τα δυο τελευταία αποτελέσματα αθροίζονται και υπολογίζεται το υπόλοιπο της διαιρέσεως του αριθμού που προκύπτει με το 10. Το προκύπτον υπόλοιπο αφαιρείται από το 10 ή χρησιμοποιείται ως έχει, εάν είναι 0. Στην παραπάνω εικόνα, το άθροισμα των ψηφίων περιττής τάξεως είναι: 9 + 8 + 6 + 9 + 1 + 0 = 33 Το άθροισμα των ψηφίων άρτιας τάξεως είναι: 7 + 8 + 7 + 9 + 2 + 7 = 40. Τριπλασιάζουμε: 40 x 3 = 120. 120 + 33 = 153. Το υπόλοιπο της διαιρέσεως με το 10 είναι 3, και αν το αφαιρέσω από το 10, προκύπτει 7, που είναι πράγματι το τελευταίο ψηφίο του κωδικού.