ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Μαθηµατικών ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή είναι µία πρώτη διερεύνηση του ρόλου του άξονα του ρόλου του άξονα των πραγµατικών αριθµών στην επίλυση σχετικών ασκήσεων µαθηµατικών από µαθητές Α Λυκείου. Πιο συγκεκριµένα αναφέρεται στις απαντήσεις 295 µαθητών της Α Λυκείου, σε ερωτηµατολόγιο ερωτήσεων που σχετίζονται έµµεσα ή άµεσα µε τον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι υπάρχει µια στεγανοποίηση των διαφόρων ασκήσεων ανάλογα µε τη µαθηµατική γνώση που απαιτείται για τη λύση των ασκήσεων αυτών. Εισαγωγή Ο άξονας των πραγµατικών αριθµών είναι µια ιδιαίτερα σύνθετη µαθηµατική κατασκευή που προέκυψε κατά τη µακρόχρονη εξέλιξη των µαθηµατικών. Είναι αναµενόµενο στο βαθµό που αυτή η κατασκευή προκάλεσε τόσους προβληµατισµούς σε µεγάλους µαθηµατικούς, ότι θα συνεχίζει να προκαλεί δυσκολίες και στους µαθητές µας σήµερα. Το ερώτηµα που τίθεται είναι το πώς µπορούµε ν ανιχνεύσουµε αυτές τις δυσκολίες. Στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση, ο άξονας των πραγµατικών αριθµών χρησιµοποιείται µόνο τοπικά, στην αναπαράσταση των ρητών αριθµών, στην επίλυση ανισώσεων κ.τ.λ. Είναι φανερό, ότι η µελέτη επιµέρους θεµάτων δε µπορεί να αναδείξει την ουσιαστική υπόσταση του άξονα, ούτε τις δυσκολίες κατανόησης του από τους µαθητές. Η εργασία αυτή αποτελεί µια πρώτη προσπάθεια διερεύνησης των δυσκολιών που ξεδιπλώνονται κατά το χειρισµό του άξονα των πραγµατικών αριθµών. Θεωρούµε ότι στη συνέχεια πρέπει να µελετηθούν τα προβλήµατα που υπάρχουν πριν προκύψει συστηµατική παρουσίαση του άξονα, ώστε να κατανοηθεί πως συνδέονται τα προβλήµατα των µαθητών µ αυτόν. Αυτό θα απαιτούσε µια δεύτερη µελέτη που θα ακολουθούσε την παρούσα εργασία. Η έρευνα
Σκοπός και ερευνητικές υποθέσεις Κύριος σκοπός της έρευνας είναι να εξετάσει τόσο το πως χειρίζονται οι µαθητές τη διάταξη όσο και το πως χρησιµοποιούν τον άξονα των πραγµατικών αριθµών, ώστε να παραστήσουν συγκεκριµένους (ρητούς ή άρρητους), καθώς και λύσεις ανισώσεων. Η χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών επιδέχεται πολλές εκδοχές στην κατανόησή της, στο βαθµό που δεν είναι εµφανείς σε όλη την πολυπλοκότητά τους οι εσωτερικές διεργασίες των µαθητών, που συνδέονται µε το µαθηµατικό αντικείµενο που διδάσκεται. Η ανίχνευση αυτή µπορεί να φανεί χρήσιµη για µια διδακτική µας παρέµβαση στο ξεπέρασµα των διαφορετικών επιπέδων δυσκολίας, που αντιµετωπίζουν οι µαθητές σε διαφορετικά στάδια της εξέλιξης της σκέψης τους. Μεθοδολογία Υποκείµενα έρευνας Τα υποκείµενα ήταν 295 µαθητές της Α τάξης από 7 τµήµατα 9 διαφορετικών Ενιαίων Λυκείων, της ευρύτερης περιοχής των Αθηνών. Στο αναλυτικό πρόγραµµα το οποίο ακολούθησαν όλοι αυτοί οι µαθητές, η διάταξη των πραγµατικών αριθµών είχε διδαχτεί στο πρώτο κεφάλαιο του βιβλίου της Άλγεβρας, καθώς επίσης ήταν γνωστή και από την αρχή της Γ τάξης του Γυµνασίου. Η έννοια της απόλυτης τιµής διδάσκεται επίσης στην Α Λυκείου αµέσως µετά την διάταξη των πραγµατικών αριθµών. Ο άξονας των πραγµατικών αριθµών εισάγεται σύµφωνα µε τον αναλυτικό πρόγραµµα στην Β Γυµνασίου όπως και ο ορισµός της απόλυτης τιµής (στην Α τάξη απλώς αναφέρεται η παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας), στη Γ τάξη του Γυµνασίου χρησιµοποιείται και πάλι ο άξονας των πραγµατικών αριθµών καθώς και η έννοια της διάταξης αλλά σχετικά µε την απόλυτη τιµή δεν αναφέρονται οι αντίστοιχες ιδιότητες αλλά αυτές διδάσκονται για πρώτη φορά στην Α τάξη του Λυκείου. Όργανο ιαµορφώθηκε ένα τεστ ερωτήσεων όπως φαίνεται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ το οποίο περιείχε: 5 ερωτήσεις διάταξης, από τις οποίες η µία περιείχε απόλυτη τιµή. ερώτηση αναπαράστασης του µήκους ευθυγράµµου τµήµατος που αντιστοιχεί στην απόσταση δύο συγκεκριµένων αριθµών. ερώτηση αναπαράστασης άρρητου αριθµού στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και τελευταία ερώτηση που συνδύαζε διάταξη, απόλυτη τιµή και προβολή σηµείου στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. 2
Έγινε µια προσπάθεια να εστιάσουµε την προσοχή των µαθητών τόσο στην διάταξη διακεκριµένων αριθµών, όπως επίσης και στις λύσεις ανίσωσης µε τη βοήθεια του άξονα των πραγµατικών αριθµών. Τα προβλήµατα αναφέρονταν σε έννοιες που πρέπει να ήταν γνωστές στους µαθητές, όπως προαναφέραµε. ιαδικασία Τα έντυπα µοιράστηκαν σε κάθε τµήµα και κάθε µαθητής απάντησε µόνο σ ένα έντυπο. εν δόθηκαν σχετικές εξηγήσεις απλά τους επισηµάνθηκε να διαβάσουν µε προσοχή τα ερωτήµατα και µετά να απαντήσουν. Ο χρόνος που διατέθηκε για την απάντηση του ερωτηµατολογίου, ήταν µια διδακτική ώρα (45 λεπτά). Μεταβλητές της έρευνας Οι µεταβλητές της έρευνας αντιπροσωπεύουν τις απαντήσεις των µαθητών σε όλα τα ερωτήµατα σχετικά µε τη διάταξη, την αναπαράσταση αριθµών στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, την κατανόηση και τον ορθό χειρισµό της απόλυτης τιµής καθώς επίσης και συνδυασµό των παραπάνω. a: διάταξη αριθµών στον άξονα των πραγµατικών αριθµών b: µείωση αριθµών κατά σταθερή θετική ποσότητα c: διάταξη αριθµών στον άξονα των πραγµατικών αριθµών 2: εύρεση λύσεων δοσµένης ανίσωσης, από συγκεκριµένο πεπερασµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών a, b, c, d, e, f: παράσταση λύσεων ανίσωσης πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών 4: χρήση ιδιοτήτων διάταξης 5: διάταξη αριθµών σε φθίνουσα σειρά, µε χρήση του αντίστοιχου συµβόλου 6: αναπαράσταση του µήκους ευθυγράµµου τµήµατος, που αντιστοιχεί στην απόσταση δύο συγκεκριµένων αριθµών 7a: αναπαράσταση άρρητου αριθµού στον άξονα των πραγµατικών αριθµών 7b: συνδυασµός διάταξης, απόλυτης τιµής και προβολής σηµείου στον άξονα των πραγµατικών αριθµών a, b, c, d, e: συνδυασµός διάταξης, απόλυτης τιµής και προβολής σηµείου στον άξονα των πραγµατικών αριθµών Κριτήρια βαθµολόγησης Για τη διόρθωση των ερωτηµατολογίων και την ανάλυση των δεδοµένων προτάθηκε η κατηγοριοποίηση των απαντήσεων όπως φαίνεται παρακάτω: 0 Λάθος απάντηση ή άρνηση απάντησης 0.5 Εν µέρει σωστή απάντηση (βρήκαν κάποιες αλλά όχι όλες τις λύσεις) Σωστή απάντηση
Αποτελέσµατα Σχετικά µε την a (4.4%), ήταν αναµενόµενο, θα λέγαµε, το υψηλό ποσοστό επιτυχίας, καθώς οι µαθητές είναι εξοικειωµένοι µε την θέση των ακεραίων πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών από τη διδασκαλία προηγούµενων ετών. Σχετικά µε τις µεταβλητές a (70.%), b (69%), έχουµε να παρατηρήσουµε ότι οι µαθητές έχουν άνεση στο να λύνουν ανισώσεις και έχουν συνδέσει µε επιτυχία την παράσταση αυτών των λύσεων µε τη βοήθεια του άξονα των πραγµατικών αριθµών. Όσον αφορά τα σηµεία, που φάνηκε ότι δυσκολεύτηκαν οι µαθητές όπως προκύπτει από τα αποτελέσµατα µας, αυτά εντοπίζονται στις µεταβλητές e (9.%) και f (7.%). Εδώ έχουµε να παρατηρήσουµε ότι οι δυσκολίες των µαθητών στην επίλυση ανισώσεων µε απόλυτες τιµές ( c µε ποσοστό επιτυχίας 29.5% και d µε 2.4%) γίνονται µεγαλύτερες όταν αυτές εµφανίζονται σε δευτεροβάθµιες γίνεται οξύτερο. Το µικρότερο ποσοστό επιτυχίας παρατηρείται στην 7b (.4%), όπου ελάχιστοι µαθητές έδωσαν απάντηση ενώ η συντριπτική πλειοψηφία θεώρησε ως ακριβή τοποθέτηση της τετραγωνικής ρίζας του 2, είτε το.4 είτε πλησίον του 2. A B C A B C D E F 7 B 4 2 6 7 A 5 C A E D B Arbre de similarite : C:\Documents and Settings\gagatsis\Desktop\ÁÐÏÔÅËÅÓÌÁÔÁ ÅÑÅÕÍÁÓ.csv ιάγραµµα : ιάγραµµα οµοιότητας Παρατηρήσεις συνεπαγωγικού διαγράµµατος ( ιάγραµµα 2) Παρατηρούνται τρεις () µεγάλες οµάδες συνεπαγωγών και δύο (2) µικρές. Η πρώτη οµάδα αφορά όλες τις µεταβλητές, χωρίς καµιά εξαίρεση, της άσκησης, (ανισώσεων), των οποίων ο αλγοριθµικός χαρακτήρας δίνει µια εύλογη συνάφεια στην οµάδα αυτή. Η δεύτερη οµάδα αφορά την άσκηση (a, b, c) µαζί µε την άσκηση 7α που είναι ακριβώς της ίδιας φύσης. 4
Η τρίτη οµάδα αφορά όλες τις µεταβλητές της άσκησης ( a, e και d). Η τετάρτη οµάδα δηλαδή η άσκηση 6 και η c χρειάζεται για τη λύση το Πυθαγόρειο θεώρηµα. Τέλος, οι ασκήσεις 4, 5 είναι διαφορετικής φύσης από τις άλλες. 0 7B 0. F E 0.2 D 0. C 0.4 4 B 0.5 0.6 A E 6 D 2 B 7A C 0.7 C B A 5 0. A 0.9 Graphe implicatif : C:\Documents and Settings\gagatsis\Desktop\ÁÐÏÔÅËÅÓÌÁÔÁ 99ÅÑÅÕÍÁÓ 95 90 5 ιάγραµµα 2: Συνεπαγωγικό διάγραµµα ) Το διάγραµµα αυτό εµφανίζει κατά σαφή τρόπο τον ξεχωριστό χαρακτήρα των αλγοριθµικών ασκήσεων. 2) Το αυτό παρατηρείται και για τις ασκήσεις (a, b, c). ) Η πλέον σηµαντική παρατήρηση είναι ότι οι µαθητές έχουν επιτυχία σε ασκήσεις όπως οι 2, 4, 6 και, εν τούτοις δεν πετυχαίνουν οπωσδήποτε (εφόσον δεν υπάρχει βέλος) τις ασκήσεις (a, b, c). Συµπεράσµατα Με βάση τα προηγούµενα διαγράµµατα του Gras και τις παρατηρήσεις µας, µια πιθανή ταξινόµηση των µαθηµατικών δραστηριοτήτων σε σχέση µε τον άξονα παρουσιάζεται στον ιάγραµµα. Αν και η ταξινόµηση αυτή δεν ενέχει χαρακτήρα ιεράρχησης, εντούτοις φαίνεται ότι επειδή κατά τη διδασκαλία δεν διακρίνεται ο γεωµετρικός χαρακτήρας του άξονα των 5
πραγµατικών αριθµών, όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή και αυτό αποτελεί την αιτία για τις δυσκολίες των µαθητών. Πράγµατι, όπως φαίνεται και από την ταξινόµηση που προέκυψε µε βάση την στατιστική επεξεργασία, δεν υπάρχουν αµοιβαίες σχέσεις µεταξύ όλων των προτεινόµενων οµάδων ασκήσεων, όπως θα προϋπόθετε µια ουσιαστική κατανόηση της φύσης του άξονα των πραγµατικών αριθµών. Ταξινόµηση µαθηµατικών δραστηριοτήτων σχετικών µε τον άξονα Ορισµός των σηµείων Λύση ανισώσεων Γεωµετρική αναπαράσταση Πυθαγόρειο Θεώρηµα µαθηµατικά κριτήρια Επίλυση αλγοριθµική ιάγραµµα : Ταξινόµηση ασκήσεων σε σχέση µε τον άξονα Πιθανές δραστηριότητες θα έχουν ως στόχο την ενοποίηση των δύο διαφορετικών οµάδων. Τρεις είναι λοιπόν οι στόχοι µιας επόµενης µελέτης σε σχέση µε τον πραγµατικό άξονα: Ο πρώτος αφορά µια ιστορική µελέτη που να αναδεικνύει µε σαφή τρόπο τον επιστηµονικό χαρακτήρα του πραγµατικού άξονα καθώς και τα επιστηµολογικά εµπόδια σε σχέση µε αυτόν όπως προκύπτουν από τα διάφορα µαθηµατικά κείµενα Ο δεύτερος σχετίζεται µε την ερµηνεία των δυσκολιών των µαθητών στις σχετικές µε τον πραγµατικό άξονα µαθηµατικές δραστηριότητες µε βάση την ιστορική µελέτη και τα επιστηµολογικά εµπόδια που σχετίζονται µε αυτόν. Τέλος, ο τρίτος αφορά την οργάνωση µιας κατάλληλης διδακτικής παρέµβασης η οποία θα είχε ως αποτέλεσµα την εµφάνιση αµοιβαίων σχέσεων µεταξύ όλων των προτεινόµενων διδακτικών δραστηριοτήτων στους µαθητές ώστε να εξασφαλίζεται µια ουσιαστική κατανόηση της φύσης του άξονα των πραγµατικών αριθµών. 6
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ-ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΘΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΛΟ : ΑΓΟΡΙ ΚΟΡΙΤΣΙ:. Nα σηµειώσετε τους αριθµούς -4 και στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Να τους µειώσετε κατά µονάδες. Ονοµάστε τις νέες θέσεις τους Α και Β αντίστοιχα 2. Ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς { -5, 0,-9, - 2 5,- 2,-6,2 } ικανοποιούν τις σχέ- σεις Χ<-6 ή Χ>-4. Να σηµειώσετε πάνω στον καθένα από τους παρακάτω άξονες τις λύσεις της αντίστοιχης ανίσωσης. Χ-< Χ->.................. -4 - -2-0 2 4-4 - -2-0 2 4 Χ -< Χ ->.................... -4 - -2-0 2 4 5-4 - -2-0 2 4 5 Χ 2 -< Χ 2 ->.................... -4 - -2-0 2 4 5-4 - -2-0 2 4 5 7
4. Αν -4<Χ<2 τότε το Χ-4 µεταξύ ποιών αριθµών είναι ; 5. Να διατάξετε κατά φθίνουσα σειρά τους παρακάτω τους παρακάτω αριθµούς, χρησιµοποιώντας το σύµβολο > -, +, 4, - 4 6. ίνονται οι αριθµοί -2 και. Σχεδιάστε στον άξονα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, που το µήκος του να παριστάνει την απόσταση d(-2,) 7. Να τοποθετήσετε τον αριθµό 2 στον άξονα των πραγµατικών αριθµών: α) κατά προσέγγιση β) µε ακρίβεια.. Αν το σηµείο Α µπορεί να πάρει οποιαδήποτε θέση πάνω στον κύκλο, σηµειώστε στις παρακάτω προτάσεις (Σ) αν είναι σωστή και (Λ) αν είναι λανθασµένη. α) Χ=2 β) Χ 2 γ) -2 Χ 2 Ψ Α(Χ,Ψ) δ) Χ 2-2 Ο Χ 2 ε) Χ =2