Εργασία ΦΥΕ 4-4 Κυλάφης Λύσεις Άσκηση : Ένας κυκλικός δίσκος µάζας M και ακτίνας R µπορεί να περιστρέφετε χωρίς τριβές γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ένα αβαρές νήµα είναι τυλιγµένο γύρω από τον δίσκο και από το άκρο του είναι αναρτηµένο σώµα µάζας m Για να έχοµε όλοι το ίδιο σχήµα ας θεωρήσοµε ότι ο δίσκος είναι στο κατακόρυφο επίπεδο x µε τον άξονα περιστροφής να συµπίπτει µε τον άξονα y Η συντεταγµένη x της µάζας m είναι ίση µε R Α) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του δίσκου Β) Για την τυχούσα χρονική στιγµή που η µάζα m πέφτει και ο δίσκος γυρίζει µε γωνιακή ταχύτητα ω να γραφεί το διάνυσµα της στροφορµής του συστήµατος (δηλαδή του δίσκου και του σώµατος) ως προς την αρχή των αξόνων ως συνάρτηση της γωνιακής ταχύτητας ω του δίσκου Γ) Για την τυχούσα χρονική στιγµή να γραφεί το διάνυσµα της ροπής ως προς την αρχή των αξόνων που ασκείται στο σύστηµα ) Χρησιµοποιώντας τον νόµο του Νεύτωνα για την κίνηση στερεών σωµάτων τ = d L / να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου Λύση: Α) Η επιφανειακή πυκνότητα του δίσκου είναι σ = M / π R Θεωρούµε δακτύλιο ακτίνας και πάχους d µε κέντρο το κέντρο του δίσκου Η µάζα του δακτυλίου είναι dm = σ π d Έτσι η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι I M R = di = dm = σ π d = MR Β) Το διάνυσµα της γωνιακής ταχύτητα είναι ω =ω ĵ Συνεπώς το διάνυσµα της στροφορµής του δίσκου είναι I ω = I ω ˆj Παρατήρηση: Σύµφωνα µε την εκφώνηση αν ο άξονας x είναι προς τα δεξιά και ο άξονας προς τα πάνω τότε υποχρεωτικώς ο άξονας y είναι προς τα µέσα για να είναι το σύστηµα δεξιόστροφο Η περιστροφή του δίσκου είναι τέτοια ώστε να µας δίνει στροφορµή προς τα µέσα δηλαδή προς το ĵ Η διανυσµατική ακτίνα της µάζας m την τυχούσα χρονική στιγµή είναι = R iˆ+ kˆ µε < Η ταχύτητα της µάζας m την τυχούσα χρονική στιγµή είναι = ( kˆ ) όπου = ω R είναι το µέτρο της ταχύτητας Συνεπώς το διάνυσµα της στροφορµής της µάζας m είναι m = ( Riˆ + kˆ) mω R( kˆ) = Rmω R ˆj = mr ω ˆj Το διάνυσµα της ολικής στροφορµής του συστήµατος είναι L= I ω ˆj + mr ω ˆj
Γ) Ροπή στο σύστηµα ασκεί µόνο η µάζα m συνεπώς τ = F = ( Riˆ + kˆ) mg ( kˆ) = Rmg ˆj ) Από τον νόµο του Νεύτωνα για την κίνηση στερεών σωµάτων έχοµε ή = τ d L / d Rmg ˆj I ˆ = ( ω j+ mr ω ˆ) j = ( I &+ ω mr & ω) ˆj από την οποία έχοµε mg ω& = M + m R Άσκηση : Θεωρείστε έναν τεράστιο κυλινδρικό διαστηµικό σταθµό ακτίνας R = km ο οποίος περιστρέφεται περί τον άξονά του µε γωνιακή ταχύτητα ω Οι άνθρωποι που ζουν εκεί περπατούν στην κυλινδρική επιφάνεια στο εσωτερικό του κυλίνδρου Φυσικά δεν καταλαβαίνουν ότι ο σταθµός τους περιστρέφεται Όπως και οι άνθρωποι στη Γη νοµίζουν ότι το Σύµπαν περιφέρεται γύρω από αυτούς Άρα είναι µη αδρανειακοί παρατηρητές και πρέπει να θεωρήσουν ότι η φυγόκεντρος ψευδοδύναµη (94) υπάρχει γι αυτούς Α) Βεβαιωθείτε ότι η φυγόκεντρος ψευδοδύναµη (94) είναι κάθετη στην επιφάνεια του κυλίνδρου µε κατεύθυνση προς τα έξω είναι δηλαδή σαν βαρύτητα! Β) Με τι γωνιακή ταχύτητα ω πρέπει να περιστρέφεται ο διαστηµικός σταθµός ώστε οι άνθρωποι που ζουν εκεί να αισθάνονται τεχνητή βαρύτητα ίση µε τη βαρύτητα της Γης; Γ) Θεωρείστε έναν αδρανειακό παρατηρητή κάπου έξω από τον διαστηµικό σταθµό Πως ερµηνεύει αυτός ότι οι άνθρωποι στον σταθµό ζουν σαν να υπήρχε βαρύτητα; Λύση: Α) Έστω ο άξονας του σταθµού Για άνθρωπο στον άξονα x στη θέση = R iˆ έχοµε m ( ) m R ˆ = ω ω = ω ω j= mω Riˆ F C Η δύναµη είναι από το κεφάλι προς τα πόδια άρα είναι σαν βαρύτητα 4 Β) Θέλοµε m ω R= mg Συνεπώς ω = g / R = / = 6 ad/s Γ) Οι άνθρωποι στον σταθµό περιγράφουν κύκλους και την κεντροµόλο δύναµη τη ασκεί το πάτωµα του σταθµού
Άσκηση : Θεωρώντας ότι ένα σύστηµα συντεταγµένων x y και ο παρατηρητής Π που βρίσκεται σε αυτό κάνουν στροφική ταλάντωση µε ω = ω( ) = ω sin kˆ γ σε σχέση µε ένα αδρανειακό σύστηµα όπου γ > είναι σταθερά βεβαιωθείτε ότι η ψευδοδύναµη λόγω γωνιακής επιτάχυνσης (96) που πρέπει να θεωρήσει ο Παρατηρητής Π είναι σαν να προκαλεί την αντίθετη στροφική ταλάντωση Λύση: Ας θεωρήσοµε ότι το & ω είναι (ας πούµε) κατακόρυφο και το (ας πούµε) οριζόντιο Τότε το εξωτερικό γινόµενο & ω είναι κάθετο και στα δύο δηλαδή κι αυτό οριζόντιο Σύµφωνα µε την έκφραση (96) γράφοµε όπου F = m & ω = mω γ cos( γ ) nˆ ω & nˆ = & Αυτό σηµαίνει ότι ο µη αδρανειακός παρατηρητής Π πρέπει να ω θεωρήσει µια αρµονική δύναµη που δρα στη µάζα m και τη σπρώχνει εναλλάξ προς το nˆ και το nˆ Με άλλα λόγια θεωρεί µια δύναµη που στρίβει τη µάζα αντίθετα από τη δική του στροφή Χάριν ευκολίας θεωρείστε µια ακίνητη µάζα m για έναν αδρανειακό παρατηρητή Ο παρατηρητής Π τη βλέπει να κάνει στροφική ταλάντωση Άσκηση 4: Τρία ελατήρια µε σταθερές k k k και φυσικά µήκη l l l αντιστοίχως καθώς και τρεις σηµειακές µάζες m m m είναι συνδεµένα στον οριζόντιο άξονα x ως εξής: Το ελατήριο έχει το αριστερό άκρο του στερεωµένο στη θέση x = Στο δεξί άκρο του βρίσκεται η µάζα m καθώς και το αριστερό άκρο του ελατηρίου Στο δεξί άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα m καθώς και το αριστερό άκρο του ελατηρίου Στο δεξί άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα m Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των τριών µαζών είναι x ) x ( ) x ( ) µε < x ( ) < x ( ) < x ( ) Βαρύτητα δεν υπάρχει ( Α) Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες x ) x ( ) x ( ) Β) Να βρεθούν οι θέσεις ισορροπίας x x x των µαζών ισ ισ ισ ( Γ) Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες ξ ) ξ ( ) ξ ( ) ( που µετρώνται από τις θέσεις ισορροπίας δηλαδή x ( ) = x ισ + ξ( ) και οµοίως για τα x ) x ( ) ( d x Λύση: Α) m = k( x l) + k ( x x l ) d x m = k ( x x l ) + k ( x x l ) d x m ( ) = k x x l
Β) Θέτοντας τις εξισώσεις κίνησης ίσες µε το µηδέν και λύνοντας ως προς x x x βρίσκοµε ισορ x = l x ισορ = l + l x ισορ = l + l + l Πρέπει να σας είναι προφανές ότι δεν λύσαµε το σύστηµα των εξισώσεων ως προς x x x αλλά γράψαµε την απάντηση µε διαίσθηση Γ) Θέτοντας στις εξισώσεις κίνησης του ερωτήµατος Α x ( ) = x ισ + ξ( ) και οµοίως για τα x ) x ( ) βρίσκοµε ( d ξ m = kξ + k ( ξ ξ) d ξ m = k ( ξ ξ) + k( ξ ξ ) d ξ m = k ( ξ ξ ) Και εδώ πρέπει να σας είναι προφανές ότι γράψαµε τις εξισώσεις χωρίς να κάνοµε πράξεις! Άσκηση 5: υο ελατήρια µε σταθερές k k και φυσικά µήκη l l αντιστοίχως καθώς και δυο σηµειακές µάζες m m είναι συνδεµένα στον κατακόρυφο άξονα (µε φορά προς τα πάνω) ως εξής: Το ελατήριο έχει το κάτω άκρο του στερεωµένο στο = ενώ στο πάνω άκρο του υπάρχει η µάζα m (µε συντεταγµένη ) και το κάτω άκρο του ελατηρίου Στο πάνω άκρο του ελατηρίου βρίσκεται η µάζα m (µε συντεταγµένη ) Την τυχούσα χρονική στιγµή οι θέσεις των δυο µαζών είναι ( ) ( ) µε < ( ) < ( ) Θεωρείστε σταθερό πεδίο βαρύτητας Α) Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες ( ) ( ) Β) Να βρεθούν οι θέσεις ισορροπίας των µαζών Γ) Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης των µαζών µε συντεταγµένες ξ ( ) ξ ( ) που µετρώνται από τις θέσει ισορροπίας d Λύση: Α) m = k( l) + k ( l ) d m = k ( l ) Β) ισορ = l ( m + m ) g / k ισορ = l m + m ) g / k+ l m g / ( k d ξ Γ) m = kξ + k ( ξ ξ) d ξ m ( ) = k ξ ξ
Άσκηση 6: Θεωρείστε ότι ο άξονας x έχει µάζα µε γραµµική πυκνότητα λ Να βρεθεί η δύναµη που ασκεί όλος ο άξονας x σε σηµειακή µάζα m που βρίσκεται στην τυχούσα θέση y > του άξονα y Λύση: Θεωρούµε ένα απειροστό κοµµάτι του άξονα x µεταξύ x και κοµµάτι αυτό έχει µάζα dm= λdx και ασκεί δύναµη στη µάζα m ίση µε x+ dx Το df dm m = G x + y nˆ όπου nˆ είναι ένα µοναδιαίο διάνυσµα που κατευθύνεται από τη µάζα m προς την απειροστή µάζα dm Το διάνυσµα από την m στην dm είναι A= y ˆ+ j xiˆ Άρα το µοναδιαίο διάνυσµα nˆ είναι A nˆ = A y ˆj + xiˆ = x + y Αντικαθιστώντας το nˆ και ολοκληρώνοντας την βρίσκοµε λm F = G ˆj y df από x = µέχρι x = + Άσκηση 7: Θεωρείστε στο επίπεδο xy κυκλικό δακτύλιο µάζας M ακτίνας R µε κέντρο την αρχή των αξόνων Να βρεθεί η δύναµη που ασκεί ο δακτύλιος σε σηµειακή µάζα m που βρίσκεται σε τυχόν σηµείο του άξονα Λύση: Κάθε απειροστό κοµµάτι dm του δακτυλίου έλκει τη µάζα m µε δύναµη που έχει µέτρο dm m df = G R + Το διάνυσµα αυτής της δύναµης κατευθύνεται από τη µάζα m προς την απειροστή µάζα dm και έχει δύο συνιστώσες: Μια οριζόντια και µια κατακόρυφη προς το kˆ Όταν θεωρήσοµε όλες τις απειροστές µάζες dm του δακτυλίου οι οριζόντιες συνιστώσες αλληλοαναιρούνται ενώ οι κατακόρυφες dm m df = G R + R + προστίθενται δηλαδή ολοκληρώνονται Έτσι
F m = kˆ df G kˆ = dm= G R + R + M Mm ( R + ) / kˆ Άσκηση 8: υο πλάκες µε πάχη L και L και θερµικές αγωγιµότητες k και k βρίσκονται σε θερµική επαφή µεταξύ τους Οι πλάκες έχουν επιφάνεια A και η επαφή τους είναι µέσω αυτής της επιφάνειας Οι θερµοκρασίες των εξωτερικών επιφανειών τους είναι T αυτής που έχει k και T αυτής που έχει k µε T > T Α) Προσδιορίστε τη θερµοκρασία στη διεπιφάνεια (δηλ στην επιφάνεια επαφής A των δυο πλακών) Β) Προσδιορίστε τον ρυθµό µεταφοράς ενέργειας µε θερµική αγωγή από την θερµή πλάκα στην ψυχρή σε συνθήκες σταθερής κατάστασης Λύση: Α) Αν T είναι η θερµοκρασία στη διεπιφάνεια τότε ισχύει T T T T H = k A = ka L L από την οποία έχοµε T k T L k L = + + k T L k L Β) Αντικαθιστώντας την τιµή της T στην H έχοµε H A( T T ) = L L + k k Άσκηση 9: Θεωρείστε ότι τα µόρια ενός αερίου σε ένα κουτί δεν είναι σε θερµοδυναµική ισορροπία και ότι ο αριθµός των µορίων µε µέτρο ταχύτητας µεταξύ και + d είναι d e / = d όπου = m/s και είναι ο ολικός αριθµός µορίων στο κουτί Α) Να βρεθεί η µέση ταχύτητα των µορίων Β) Να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα της µέσης τιµής του τετραγώνου της ταχύτητας δηλαδή η ms των µορίων Γ) Να βρεθεί η πιο πιθανή ταχύτητα των µορίων ) Τι ποσοστό µορίων έχει µέτρο ταχύτητας µεγαλύτερο από ; Λύση: Κατ αρχάς ελέγχοµε αν η συνάρτηση κατανοµής που µας δόθηκε είναι κανονικοποιηµένη δηλαδή αν την ολοκληρώσοµε ως προς όλες τις δυνατές ταχύτητες θα πάροµε τον συνολικό αριθµό µορίων ; ηλαδή αν e / d=
ή ισοδύναµα αν Παρατηρούµε ότι e / e d= / d = άρα η κατανοµή δεν είναι κανονικοποιηµένη και η κανονικοποιηµένη κατανοµή ταχυτήτων γράφεται διότι τώρα f ( ) = e f ( ) d / = και ο αριθµός των µορίων µε µέτρο ταχύτητας µεταξύ και + d είναι d / = e d Α) Για µια κανονικοποιηµένη κατανοµή ταχυτήτων f () η µέση ταχύτητα ορίζεται από τη σχέση Συνεπώς εδώ έχοµε = f ( ) d e / d= Β) Για µια κανονικοποιηµένη κατανοµή ταχυτήτων f () η ταχύτητα ms ορίζεται από τη σχέση Συνεπώς εδώ έχοµε / ms f ( ) d / / e d ms = = Γ) Η πιο πιθανή ταχύτητα είναι εκείνη για την οποία η f () έχει τη µεγαλύτερη τιµή Εδώ η f () έχει τη µεγαλύτερη τιµή στο = Άρα η πιο πιθανή τιµή της ταχύτητα είναι η = Παρατήρηση: Λέµε τη µεγαλύτερη τιµή και όχι τη µέγιστη τιµή διότι η συνάρτηση () f µπορεί να µην έχει µέγιστο όπως στην περίπτωσή µας εδώ
) Το ποσοστό των µορίων µε ταχύτητα µεγαλύτερη από είναι / ( / ) e d ( > ) Ποσοστό = % = % = % = 5% e Παρατήρηση: Αν η κατανοµή ταχυτήτων f () δεν είναι κανονικοποιηµένη και δεν θέλοµε να την κανονικοποιήσοµε τότε η µέση ταχύτητα δίνεται από τη σχέση και η ταχύτητα ms από f ( ) d f ( ) d f ( ) d ( ) f d / ms Άσκηση : Ένα mole µορίων υδρογόνου και ένα mole µορίων αζώτου καταλαµβάνουν υπό την ίδια θερµοκρασία και πίεση τα δύο ίσα µέρη ενός δοχείου που χωρίζονται από ένα διάφραγµα Οι συνθήκες θερµοκρασίας και πίεσης είναι τέτοιες ώστε τα δύο αέρια να µπορούν να θεωρηθούν ιδανικά Α) Αν η ταχύτητα ms των µορίων H είναι 85 m/s πόση είναι η ταχύτητα ms των µορίων ; Β) Ποιό από τα δύο αέρια έχει µεγαλύτερο ποσοστό µορίων µε ταχύτητες ( ms 5) m/s < < ( ms + 5) m/s; Γ) Αν αποµακρύνοµε το διάφραγµα που χωρίζει τα δύο αέρια έτσι ώστε αυτά να αναµιχθούν η µεταβολή S της εντροπίας του συστήµατος θα είναι θετική αρνητική ή µηδέν; ) Θεωρείστε ότι το δοχείο είναι θερµικά µονωµένο και υπολογίστε τη µεταβολή αυτή S Λύση: Α) Από τον τύπο () του βιβλίου σας για την ταχύτητα ms ιδανικού αερίου έχοµε ms ( ) / ms ( H ) = m( H ) / m( ) από την οποία παίρνοµε ms ( 8 ms ) = ( H ) = 4945 m/s
Β) Τα δύο ιδανικά αέρια βρίσκονται στην ίδια θερµοκρασία Οι κατανοµές ταχυτήτων των µορίων τους είναι κατανοµές Maxwell-Bolmann που διαφέρουν µόνο κατά τη µάζα των µορίων Αν τις σχεδιάσετε µαζί θα πάρετε δύο καµπύλες όπως για παράδειγµα οι καµπύλες T και T του σχήµατος (9) του βιβλίου σας Η καµπύλη T θα αντιστοιχεί στο Ν και η T στο Η Τα δύο εµβαδά που ορίζονται από τις καµπύλες αυτές είναι ίσα διότι τα εµβαδά είναι ο συνολικός αριθµός µορίων του κάθε αερίου που είναι ίσος µε τον αριθµό Avogado για το καθένα Συνεπώς σε µια µικρή λωρίδα εύρους m/s περί την ταχύτητα ms του κάθε αερίου η καµπύλη για το Ν θα παίρνει µεγαλύτερες τιµές Εποµένως µεγαλύτερο ποσοστό των µορίων του αερίου Ν θα έχει ταχύτητες στο διάστηµα (4445 m/s - 5445 m/s) από ότι µόρια Η στο διάστηµα (8 m/s - 9 m/s) Γ) Η ανάµιξη των δύο αερίων του προβλήµατος είναι µη αντιστρεπτή µεταβολή αφού κατά τη διαδικασία τα δύο αέρια περνάνε από ενδιάµεσες πολύπλοκες γενικά καταστάσεις µε στροβιλισµούς των αερίων µε πιέσεις και θερµοκρασίες να διαφέρουν από σηµείο σε σηµείο µέσα στο χώρο µε αποτέλεσµα να µην είναι δυνατόν να περιγράψοµε τη διαδροµή από την αρχική κατάσταση στην τελική µε µια καµπύλη στο επίπεδο P V Συνεπώς S = S τελ S > ) Η εντροπία εξαρτάται µόνο από την κατάσταση του συστήµατος Εποµένως για να υπολογίσοµε τη διαφορά S S ακόµα και για µια µη αντιστρεπτή µεταβολή τελ αρχ από την κατάσταση (αρχική) στην κατάσταση (τελική) µπορούµε να θεωρήσοµε µια οποιαδήποτε ΑΝΤΙΣΤΡΕΠΤΗ µεταβολή της αρεσκείας µας από την στην και να υπολογίσοµε για αυτήν τη διαφορά S S χρησιµοποιώντας τον τύπο που ισχύει για αντιστρεπτές µεταβολές δηλαδή αντιστρεπτής µεταβολής αρχ S S = dq /T κατά µήκος του δρόµου της Το σύστηµα που µας ενδιαφέρει εδώ είναι δύο ιδανικά αέρια mole καθένα µε ίσες αρχικές θερµοκρασίες και πιέσεις T και P Από τις καταστατικές τους εξισώσεις συµπεραίνοµε ότι έχουν αρχικά ίσους όγκους µε το καθένα να καταλαµβάνει όγκο V / όπου V είναι ο όγκος του δοχείου Μετά την αποµάκρυνση του διαφράγµατος το καθένα από τα αέρια αλλάζει κατάσταση από = ( P V = V / ) T µε P V / = RT σε = ( P = P / V = V = V T = T ) O λόγος που η τελική θερµοκρασία είναι ίση µε την αρχική είναι το ότι κατά τη µεταβολή το κάθε αέριο έχει W = (δεν παράγει ούτε αποδίδει έργο σε κάποιο κινούµενο έµβολο) και Q = αφού είναι θερµικά µονωµένο Άρα U = U εδοµένου ότι η εσωτερική ενέργεια των ιδανικών αερίων εξαρτάται µόνο από τη θερµοκρασία έχοµε T = T Mια αντιστρεπτή µεταβολή του ενός αερίου από την κατάσταση στην είναι µια ισόθερµη µε σταθερή θερµοκρασία T κατά την οποία προφανώς du = Οπότε dq= dw = PdV = RT dv / V = RTd lnv και dq / T = Rd lnv Εποµένως η µεταβολή της εντροπίας κάθε αερίου είναι S = R ln( V / V ) = R ln > (όπως
περιµέναµε) και η συνολική µεταβολή της εντροπίας του συστήµατος είναι S ολ = R ln