ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. α Α. β Α3. β Α. γ Α5. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή απάντηση είναι η α. Επειδή τη χρονική στιγµή t 0 0 το φορτίο του πυκνωτή είναι µέγιστο (q Q ), ισχύει: q Q συνω t. Τη χρονική στιγµή t 5Τ που ο διακόπτης µεταφέρεται στη θέση 8 το φορτίο του πυκνωτή είναι ίσο µε: q Q συν π Τ 5Τ 8 Q συν 5π - Q Οπότε για την ηλεκτρική ταλάντωση που ξεκινά στο κύκλωµα L C το µέγιστο φορτίο θα είναι ίσο µε: Q Q Όµως ω L C Άρα max, max, L C ω αφού L L. Ι ω Q Q Ι ω Q Q Ι max, Ι max,..
Β. Σωστή απάντηση είναι η α. Το µήκος κύµατος των κυµάτων που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής A, αφού η πηγή τον πλησιάζει, είναι: λ Α ηχ u η λ όπου ηχ u - u πραγµατική συχνότητα του ήχου που εκπέµπει η ηχητική πηγή. Το µήκος κύµατος των κυµάτων που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής B, αφού η πηγή αποµακρύνεται από αυτόν, είναι: λ Β u + u ηχ όπου u λ ηχ B υ ηχ υ S υ ηχ η πραγµατική συχνότητα του ήχου που εκπέµπει η ηχητική πηγή. Με πρόσθεση κατά µέλη των δύο σχέσεων προκύπτει: λ Α + λ Β ηχ u - u u + u + ηχ u ηχ λ + λ Α Β λ λ A B3. Σωστή απάντηση είναι η α. Σε µια ελαστική κρούση διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήµατος των σωµάτων, ενώ σε µια ανελαστική δεν διατηρείται. Θα υπογίσουµε την ική κινητική ενέργεια του συστήµατος µετά την κρούση και θα την συγκρίνουµε µε την αρχική κινητική ενέργεια του συστήµατος. ια να συγκρίνουµε πρέπει να υπογίσουµε τις σχέσεις µεταξύ των µαζών. Σε όλες τις κρούσεις ισχύει η διατήρηση της ορµής. r r p p συστ αρχ συστ τελ m υ m (- υ ) + m ( υ ) m υ - m υ + m υ 6 m υ m υ m 6m () Άρα αρχ Κ m υ και Κ m υ ' + m υ ' m τελ τελ Κ m υ ( + 6 ) m 6 6 υ υ 5 8 5 8 + 6 m αρχ Κ υ
Παρατηρούµε ότι τελ Κ < αρχ Κ άρα η κρούση είναι ανελαστική. Β. Η σωστή απάντηση είναι το γ. Το πλάτος της έντασης του ρεύµατος παίρνει τη µέγιστη τιµή όταν η συχνότητα της εναλλασσόµενης τάσης (διεγέρτης) γίνει ίση µε τη συχνότητα της ελεύθερης ηλεκτρικής ταλάντωσης (ιδιοσυχνότητα): 0 H συχνότητα π LC π LC (συντονισµός). για την οποία το πλάτος της έντασης του ρεύµατος είναι ίσο µε I είναι µεγαλύτερη από την 0. Άρα η συχνότητα, για την οποία το πλάτος της έντασης του ρεύµατος γίνεται ξανά ίσο µε Ι θα πρέπει να είναι µικρότερη από την 0 αφού το πλάτος της έντασης του ρεύµατος παίρνει την ίδια τιµή για δύο συχνότητες του διεγέρτη οι οποίες βρίσκονται εκατέρωθεν της ιδιοσυχνότητας 0 όπως φαίνεται και στο σχήµα. ΘΕΜΑ. Από την εξίσωση του στάσιµου κύµατος y 0, συν(0πχ) ηµ(0πt) (SI) έχουµε: A 0, m, 0πχ πχ λ λ 0, m και 0πt πt Τ T 0,05 άρα 0 Hz. Άρα οι εξισώσεις των κυµάτων είναι: y 0, ηµπ(0 t 5 χ) και y 0, ηµπ(0 t + 5 χ) (S.I.). Επειδή µεταξύ του σηµείου και της αρχής Ο (χ 0) υπάρχουν τρεις δεσµοί, το σηµείο θα είναι η η κοιλία του στάσιµου κύµατος (Ν 3), οπότε η θέση χ του σηµείου στον άξονα Οχ υπογίζεται ως εξής: χ Ν λ N 3 χ 3 0, 0,3 m. Η αποµάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: y 0, συν(0π χ ) ηµ(0πt) 0, συν(3π) ηµ(0πt) 0, (- ) ηµ(0πt) y - 0, ηµ(0πt) 0, ηµ(πt + π) (SI)
Η ταχύτητα ταλάντωσης του είναι ίση µε: V ω Α συν(πt + π) 0π 0, συν(πt + π) V - 6π συν(0πt) (SI) 3. Την χρονική στιγµή t 0 η εξίσωση του στάσιµου κύµατος είναι: y 0, συν(0πχ) ηµ0 0 0 άρα όλα τα σηµεία της χορδής βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους, δηλαδή η χορδή είναι οριζόντια. Στο σηµείο αντιστοιχεί κοιλία, η οποία είναι η τρίτη στη σειρά από το Ο, στο οποίο σχηµατίζεται κοιλία και το οποίο για t 0 έχει θετική ταχύτητα. Τα ζητούµενο στιγµιότυπο είναι: ψ (m) 0, 0 0, 0, 0,3 χ (m) - 0,. Η αποµάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: y 0, συν(0π χ ) ηµ(0πt) 0, συν(,5π) ηµ(0πt) y 0, συν(π + π ) ηµ(0πt) 0, (- ηµ(0πt) y 0, ηµ(0πt + π) (SI) ) ηµ(0πt) - 0, Επειδή φ φ (0πt + π) rad τα σηµεία, βρίσκονται σε συµφωνία φάσης.
ΘΕΜΑ. α. Ο κύλινδρος εκτελεί σύνθετη κίνηση. Εφαρµόζοντας το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για τη µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου έχουµε: Σ r mα r cm + T m α cm () Από το θεµελιώδη νόµο για την περιστροφική κίνηση έχουµε: Στ (Κ) Ι cm α γ r - Τ r m r α γ - Τ m r α γ () K N R mg T Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ισθαίνει ισχύει: α cm α γ r (3) Η σχέση () λόγω της σχέσης (3) γίνεται: - Τ m α cm () Προσθέτοντας τις () και () κατά µέλη παίρνουµε: 3 m α cm α cm 3 m α cm m/. β. ια να µην ισθαίνει ο κύλινδρος θα πρέπει η τριβή ανάµεσα σε αυτόν και το οριζόντιο επίπεδο να είναι στατική δηλαδή να ισχύει: Τ Τ στ(max) T µ Ν όπου µ ο συντελεστής οριακής τριβής ανάµεσα στον κύλινδρο και το οριζόντιο επίπεδο. Από τη σχέση () παίρνουµε: Τ m α cm T 3 N. T Όµως N mg άρα Τ µ mg µ µ 0,. m g γ. Ο αριθµός των περιστροφών που έχει κάνει ο κύλινδρος διανύοντας το διάστηµα Α είναι Ν 80 80, άρα: Ν (Α) π π (Α) 0 r 3 m Το έργο της δύναµης για την µετατόπιση (Α) είναι: µεταφορικής µεταφορικής W (Α) 9 3 W 88 J. W τ θ r θ (5) περιστροφικής π r
Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ισθαίνει ισχύει: (Α) S r θ άρα η σχέση (5) γίνεται: περιστροφικής περιστροφικής W S (Α) W 88 J. περιστροφικής W W + W 576 J. µεταφορικής Όµως (Α) α cm t t (Α) a cm 6 t. Η µέση ισχύς της δύναµης r από τη θέση Α έως τη θέση υπογίζεται από τη σχέση: W P J/. t δ. Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου στη θέση είναι ίση µε το άθροισµα της κινητικής ενέργειας λόγω της µεταφορικής του κίνησης και της κινητικής ενέργειας λόγω της περιστροφικής του κίνησης. µετ Κ m u. περ Κ Ι cm ω m r ω. Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ισθαίνει ισχύει: u ω r. Άρα: περ Κ m u και µετ περ 3 Κ Κ + Κ m u Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου, που είναι. στροφική στη θέση είναι: περ Κ m υ Κ 3 3 m υ Κ 00 Κ 3 περ %.
. α. ια να συµβεί ανακύκλωση πρέπει ο κύλινδρος στην ανώτατη θέση () της τροχιάς του να µην χάνει την επαφή του µε την κυκλική διαδροµή, δηλ. να ισχύει: N 0. Από το θεµελιώδη νόµο για την κυκλική κίνηση του κέντρου µάζας του στερεού σώµατος στη θέση Ν mg παίρνουµε: u u Σ R m R - r N + B m R - r u u Ν m R - r - B Ν m R - r - mg. Πρέπει: u u N 0 m - mg 0 m R - r R - r mg R - r g (R r) g u g ( R - r ) min όπου (R r) η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς που εκτελεί το κέντρο µάζας. Επειδή είναι r << R τότε (R r) R. Άρα η ελάχιστη ταχύτητα του κέντρου µάζας του σώµατος στο σηµείο για να κάνει ανακύκλωση είναι: υ g R 6,5 m/ min Η µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου στο οριζόντιο δάπεδο είναι οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα, άρα η ταχύτητα του στη θέση θα έχει µέτρο: υ α cm t υ 6 m/. Θα βρούµε την ταχύτητα του κέντρου µάζας του δίσκου στο σηµείο () εφαρµόζοντας Α..Μ.Ε. () () E Ε Κ () + U () Κ () + U () µηχ µηχ m u + Ι cm ω m u + m r ω m u + m r ω m u + Ι cm ω u + mg R + mg R U β 0 u R Κ Ν mg Ν Ζ Τ Ζ mg
Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ισθαίνει ισχύει: u ω r και u ω r. 3 3 Άρα: u + u u + υ + g R u - g R u υ υ m/. 3 υ - 8 g R 8 g R υ - 3 3 8 6-56 - 3 min Επειδή υ > υ ο κύλινδρος θα κάνει ανακύκλωση. β. Επειδή ο κύλινδρος στην κυκλική διαδροµή κυλίεται χωρίς να ισθαίνει και η µεταφορική και η περιστροφική κίνηση του από το στο θα είναι οµαλά επιβραδυνόµενες. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα η στατική τριβή Τ στη θέση Ζ να έχει φορά προς τα πάνω ώστε η ροπή της, ως προς το κέντρο Ο του κυλίνδρου, να έχει αντίθετη φορά από τη φορά περιστροφής και να επιβραδύνει τον κύλινδρο. ια τη µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου στη θέση Ζ ισχύει: Σ r ψ mα r cm T m g m (- α cm ) m g T m α cm (6) Από το θεµελιώδη νόµο για την περιστροφική κίνηση στη θέση Ζ έχουµε: Στ (Ο) Ι cm (- α γ ) - Τ R m R (- α γ ) Τ m R α γ (7) Επειδή ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ισθαίνει ισχύει: α cm α γ R (8) Η σχέση (7) λόγω της σχέσης (8) γίνεται: Τ m α cm (9) Από τις σχέσεις (6) και (9) παίρνουµε: Τ (m g T ) Τ mg T 3T mg T 0 N.
Άρα το µέτρο του ρυθµού µεταβής της στροφορµής του κυλίνδρου τη στιγµή που διέρχεται από το σηµείο Ζ θα είναι: dl dt (Ζ) Στ (Ο) Τ r dl dt (Ζ) N.