ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT)

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) Δημήτριος Α. Καρράς Δρ.Ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ

ΕΑΠ/ΠΛΗ από 74 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ι. ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Ι. DSB, AM, SSB ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΖΩΝΗΣ ΚΑΙ ΙΣΧΥΟΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι.. ΓΩΝΙΑΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ (PM FM) ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΖΩΝΗΣ ΜΕΤΑΔΙΔΟΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙI. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΙΙ. ΚΒΑΝΤΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ, ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ PCM ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΕΛΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΖΩΝΩΝ ΚΒΑΝΤΙΣΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 3 από 74 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΗΣ PCM (ΠΑΛΜΟΚΩΔΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΜΑΟΡΦΩΣΗΣ ΔΕΛΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙV. ΨΗΦΙΑΚΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΗΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΝΑΛΙΟΥ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ (Τυπος Shannon) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 από 74 Ε ΙΣΑΓΩΓΗ ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ.ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Α) Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις διαμόρφωσης DSB, AM, SSB με έμφαση στις ασκήσεις υπολογισμού διαμορφωμενόυ σήματος και φάσματος του διαμορφωμένου σήματος, καθώς και υπολογισμού του αντίστοιχου εύρους ζώνης και της ισχύος. Επιπλέον ανήκουν ασκήσεις υπολογισμού του αποδιαμορφωμένου σήματος και του κατάλληλου αποδιαμορφωτή. Β) Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις διαμόρφωσης γωνίας (PM-FM) και σύνθετες ασκήσεις διαμορφώσεων με έμφαση στις ασκήσεις υπολογισμού του σήματος πληροφορίας και του διαμορφωμένου σήματος καθώς και στις ασκήσεις υπολογισμού του εύρους ζώμης του μεταδιδόμενου σήματος ΙI. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις υπολογισμού της συχνότητας δειγματοληψίας τόσο ημιτονειδών όσο και μη ημιτονοειδών σημάτων είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο συχνοτήτων του σήματος. Επιπλεον αντιμετωπίζονται ασκήσεις διακριτοποίησης αναλογτικών σημάτων καθώς και δειγματοληψία πολυπλεγμένων σημάτων. ΙΙΙ. ΚΒΑΝΤΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ, ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ PCM ΔΕΛΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις υπολογισμού των ζωνών κβάντισης διακριτοποιημένων αναλογικών σημάτων καθώς και η κωδικοποίησή τους. Επιπλέον ασκήσεις υπολογισμού του εύρους ζώνης παλμοκωδικής διαμόρφωσης (PCM) καθώς και ασκήσεις υπολογισμού διαμορφωμένων κατά ΔΕΛΤΑ σημάτων ΙV. ΨΗΦΙΑΚΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις κωδικοποίησης δυαδικών ακολουθιών με τεχνικές κωδικοποίησης bis κατά AMI, Manheser, Bipolar κλπ. καθώς και ασκήσεις υπολογισμού της απαιτούμενης χωρητικότητας καναλιού μετάδοσης (Τυπος Shannon). Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 από 74 Ι. ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Ι.. DSB-ΑΜ-SSB Ι. Μεθοδολογία Βήμα. Ανάλυση στο πεδίο του χρόνου του σήματος και του φέροντος για να υπολογισθούν οι συχνότητες τους. Εάν δίδεται σύνθετο σήμα πρέπει με εφαρμογή τριγωνομετρικών ιδιοτήτων να απλοποιηθεί σε άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων εάν είναι δυνατόν. Εάν δίδεται σύστημα πρέπει με βάση το blok διάγραμμα και τις προκύπτουσες αναλυτικές σχέσεις να υπολογιστεί το ζητούμενο σήμα. Βήμα. Υπολογισμός του διαμορφωμένου σήματος στην περίπτωση DSB, AM. Στην περίπτωση SSB υπολογίζουμε το αντίστοιχο DSB σήμα κατ αρχήν. Βήμα 3 Υπολογισμός μέσω μ/σ Fourier του φάσματος (αμφίπλευρου η μονόπλευρου) του μεταδιδόμενου σήματος. Στην περίπτωση SSB αναγνωρίζουμε άνω/ κάτω πλευρική ζώνη. Στην περίπτωση που το σήμα ειέρχεται σε δεδομένο φίλτρο, υπολογίζονται οι συχνότητες του αρχικού σήματος που θα εξέλθουν από το φίλτρο με βάση το φάσμα του αρχικού σήματος που έχει ευρεθεί ανωτέρω καθώς και τις ιδιότητες του δεδομένου φίλτρου. Βήμα 4. Υπολογισμός του εύρους ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος από το φάσμα του και της ισχύος του μέσω θεωρήματος Parseval είτε απλούστερα από τους τύπους του διδακτικού υλικού. [ΘΕΜΑ 00-003 - η ΕΡΓΑΣΙΑ] Θεωρείστε την απο-διαμόρφωση συστήματος διπλο-πλευρικής ζώνης (DSB).. (a) Αξιολογείστε την επίδραση του σφάλματος φάσης στο τοπικό ταλαντωτή (σήμα os(π ) ) κατά τη σύγχρονη αποδιαμόρφωση DSB (b) Να αξιολογηθεί η επίδραση μικρού σφάλματος συχνότητας στον τοπικό ταλαντωτή κατά τη σύγχρονη αποδιαμόρφωση DSB 4. Να υπολογισθεί το εύρος ζώνης συχνοτήτων και η απαιτούμενης ισχύς πομπού των συστημάτων DSB, SSB και ΑΜ για την μετάδοση σήματος με εύρος ζώνης 0 ΚΗz και SNR εξόδου 40 dβ. Θεωρούμε ότι το κανάλι προκαλεί απώλεια ισχύος 40 db και οτι ο θόρυβος είναι λευκός με φασματική πυκνότητα ισχύος n/0-9 W/Hz. Θεωρούμε οτι μ0,5 για την ΑΜ διαμόρφωση. ΛΥΣΗ. (a) Βήμα Έστω οτι το σφάλμα φάσης του τοπικού ταλαντωτή είναι φ. Τότε η φέρουσα στον αποδιαμορφωτή είναι os(ω +φ). Θεωρούμε οτι το σήμα () στην έξοδο του διαμορφωτή θα είναι: DSB () () os(ω DSB +φ) To σήμα d() στον αποδιαμορφωτή θα είναι: d() () os(ω DSB +φ)[ () os(ω )] os(ω +φ)/ ()[osφ+ os(ω +φ)] ½ ()osφ + ½ () os(ω +φ) Βήμα 3 O δεύτερος όρος αποκόπτεται από το βαθυπερατό φίλτρο οπότε το σήμα y() θα είναι y() ½ ()osφ Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 από 74 Όταν το φ είναι σταθερή, η έξοδος είναι ανάλογη του (). H έξοδος που λαμβάνουμε είναι 0 οταν φ ± π/. Αν το φάσμα πλάτου φ μεταβάλεται τυχαία με το χρόνο, τότε και η έξοδος θα μεταβάλεται τυχαλια με το χρόνο. (b) Βήμα Έστω οτι το σφάλμα συχνότητας του τοπικού ταλαντωτή είναι Δω. Τότε η τοπική φέρουσα εκφράζεται σαν os(ω +Δω). Ετσι στην έξοδο του αποδιαμορφωτή θα έχουμε : d() DSB ()os(ω +φ)[ () os(ω )] os(ω +Δω) ½ ()os(δω) + ½ () os(ω +Δω) Βήμα 3 Αν χρησιμοποιηθεί βαθυπερατό φίλτρο τότε το σήμα y() θα είναι: y() ½ ()os(δω) Oπως βλέπουμε το φάσμα συχνότητας προκαλεί σημαντική παραμόρφωση στην έξοδο του αποδιαμορφωτή. 4. Βήμα 4 Από το κεφάλαιο 3 του βιβλίου οι απαιτήσεις για το εύρος ζώνης συχνοτήτων για τις διάφορες διαμορφώσεις είναι: 40KHz B 0KHz για DSB, AM για SSB Για την ισχύ του πομπού στα συστήματα DSB και SSB έχουμε S N o Si n > S i (0 4 )( *0 9 4 )( *0 ) 0,4 Επειδή η απώλεια ισχύος είναι 40 db, η απαιτούμενη ισχύς εκπομπής είναι 4 S T 0,4*(0 ) 4 kw W Για σύστημα ΑΜ με ανίχνευση περιβάλουσας έχουμε S N o A μ n S > A 4 9 * (0 )( *0 )( *0 0,5* 0,5 4 ) 3, W Χρησιμοποιούμε την σχέση από την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 3.9 Σελίδας 9 S A ( + μ S ) 3,*( + 0,5*0,5) W 4 S T *(0 ) 0 kw Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 από 74 [ΘΕΜΑ 003-004 - η ΕΡΓΑΣΙΑ] Θεωρούμε το σήμα () os(π 000) + 5os (π 3000) το οποίο υφίσταται διαμόρφωση διπλοπλευρικής ζώνης (DSB) από το σήμα () 00 os(π ). Να ευρεθεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος και η ισχύς του ΛΥΣΗ Βήμα Στην DSB το διαμορφωμένο σήμα u() () (). Συνεπώς, έχουμε u() () () 00 ( os(π 000 ) + 5 os(π 3000 ) ) os(π ) 00 (os(π [000 + ] ) + os(π [000 - ] ) + 5/ os(π [3000 + ] ) + 5/ os(π [3000 - ] )). Για να προκύψει το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος θα πρέπει να υπολογισθεί ο μετασχηματισμός Fourier του u(). Βήμα 3 Είναι, βάσει των πινάκων Fourier, (π.χ πίνακας Α. στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Shaum, εκδόσεις Τζιόλα, που έχει συσταθεί για το μάθημα ως επιπλέον βοήθημα), U() 00 π [δ(-000- )+ δ(+000+ )] + 00π [δ(-000+ )+ δ(+000- )] + 50π [δ(- 3000- )+ δ(+3000+ )] + 50π [δ(-3000+ )+ δ(+3000- )]. Επομένως οι συχνότητες του φάσματος είναι: 000 +, -000-, 000-, -000+, 3000+, -3000-, 3000-, -3000 + με αντίστοιχα πλάτη: 00 π, 00 π, 00 π, 00 π, 50 π, 50 π, 50 π και 50 π. Βήμα 4 Για την εύρεση της ισχύος μπορούμε να βασιστούμε στο θεώρημα Parseval του μετασχηματισμού Fourier (π.χ παράρτημα Α στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Shaum, εκδόσεις Τζιόλα, που έχει συσταθεί για το μάθημα ως επιπλέον βοήθημα). Κατ αρχήν η ισχύς ενός σήματος όπως του συνημιτόνου είναι: P ½ ( ) d (βάσει θεωρήματος Parseval) /(4π) X ( w) dw. Σημειωτέον ότι θα + μπορούσαμε να ορίσουμε την ισχύ P και χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή ½ απλά σαν P + ( ) d. Είναι θέμα ορισμού και μόνο. Για το βιβλίο μας του ΕΑΠ «Ψηφιακές Επικοινωνίες» είναι (σχέση.6): P E[ ()]. Δεδομένου όμως ότι σε ένα ντετερμινιστικό σήμα όπως τα συνημίτονα η pd της σχέσης.6 είναι ιση με την μονάδα (βέβαιο γεγονός η κάθε τιμή του σήματος), για το βιβλίο μας η ισχύς θα είναι P + ( ) d. Με βάση δηλ. το θεώρημα Parseval μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ στο πεδίο των συχνοτήτων που διευκολύνει βέβαια πολύ τους υπολογισμούς. Στην περίπτωσή μας απλά θεωρούμε το άθροισμα των τετραγώνων των πλατών του φάσματος του σήματος Αυτό δεν σημαίνει ότι κάποιος δεν μπορεί να υπολογίσει στο πεδίο του χρόνου την ισχύ. Αλλά είναι αρκετά πιο πολύπλοκο. Κατά συνέπεια αφού έχουμε βρεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος έχουμε: P /(4π) [4 00 π + 4 50 π ] π [00 + 50 ], όταν θεωρήσουμε και το συντελεστή ½ στον ορισμό της ισχύος. Σύμφωνα με την σχέση.6 του βιβλίου μας θα είναι P π [00 + 50 ]. + Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 8 από 74 Θεωρούμε το σήμα () os(π 000) + 5os (π 3000) το οποίο υφίσταται διαμόρφωση AM από το σήμα () 00 os(π 8000 ). Να ευρεθεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος και η ισχύς του ΛΥΣΗ Βήμα Το διαμορφωμένο σήμα είναι: u() 00 (+()) os (π 8 0 3 ) 00 os (π 8 0 3 ) + 00 os(π [0 0 3 ] ) +00 os(π [6 0 3 ] ) + 50 os(π [ 0 3 ] ) + 50 os(π [5 0 3 ] ). Βήμα 3 Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Fourier της ανωτέρω παράστασης όπως και στην προηγούμενη άσκηση έχουμε: U() 00 π [δ(-8 0 3 ) + δ( +8 0 3 )] + 00 π [δ(-0 0 3 ) + δ( +0 0 3 )] +00 π [δ(-6 0 3 ) + δ( +6 0 3 )] + 50 π [δ(- 0 3 ) + δ( + 0 3 )] + 50 π [δ(-5 0 3 ) + δ( +5 0 3 )]. Βήμα 4 Είναι φανερό λοιπόν το φάσμα όπως και ανωτέρω. Όσο για τη ισχύ P (/(4π)) π [6 * 00 + 4 * 50 ] (π/4) [6 * 00 + 4 * 50 ], με τον ίδιο τρόπο που είδαμε και στην άσκηση. ανωτέρω. Αν θεωρήσουμε σαν ορισμό της ισχύος την σχέση.6 του βιβλίου μας τότε θα είναι P (π/) [6 * 00 + 4 * 50 ] Ένα διαμορφωμένο κατά DSB σήμα u() A m() os(π ) πολλαπλασιάζεται με τον τοπικό ταλαντωτή X L os(π + θ) και η έξοδος περνάει από ένα βαθυπερατό φίλτρο με εύρος ζώνης ίσο με το εύρος ζώνης του σήματος m(). Να μελετήσετε την σχέση του λόγου της ισχύος του σήματος εξόδου του βαθυπερατού φίλτρου προς την ισχύ του διαμορφωμένου σήματος σαν συνάρτηση της παραμέτρου θ για 0<θ<π. ΛΥΣΗ Βήμα Το σήμα y() u() X L () A m() os(π ) os(π + θ) A/ m() [os(π + θ) + os θ. Βήμα 3 Το βαθυπερατό φίλτρο θα κόψει τις συχνότητες πέραν του W, όπου W το εύρος ζώνης του σήματος m(). Επομένως το σήμα εξόδου από το βαθυπερατό φίλτρο είναι: z() A/ m() osθ. Βήμα 4 Αν λοιπόν Pm η ισχύς του σήματος m() τότε Pou Pm A /4 os (θ) η ισχύς του σήματος εξόδου. Η ισχύς του διαμορφωμένου σήματος u() A m() os(π ) είναι: Pu A / Pm > Pou / Pu ½ os (θ) είναι η ζητούμενη σχέση. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψην ότι η σχέση Pu A / Pm ισχύει όπως φαίνεται στο βιβλίο μας και είναι απλά η σχέση 3.0 σελ. 80. Το ότι Pou Pm A /4 os (θ) είναι προφανές καθόσον A/ osθ είναι σταθερά. Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 9 από 74 Το σύστημα που παρουσιάζεται στο κατωτέρω σκαρίφημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή σήματος διαμορφωμένου κατά AM. Το φέρον σήμα είναι () os(π 0 ) και m(), o υπό διαμόρφωση σήμα, έχει μηδενική μέση τιμή και Am ma m(). Επιπλέον, το μη γραμμικό σύστημα διέπεται από την σχέση y() a () + b (). Να ευρεθούν: η σχέση του y() συναρτήσει των m(), (), ο δείκτης διαμόρφωσης και τα χαρακτηριστικά του φίλτρου ώστε να έχουμε έξοδο το AM σήμα. m() + Μη γραμμικό Φίλτρο σύστημα () y() AM signal u() () ΛΥΣΗ Α) όταν το blok πριν το () είναι + έχουμε: Βήμα y() a () + b () a (m() + os( π 0 )) + b (m() + os( π 0 )) a m() + b m () + a os( π 0 ) + b os ( π 0 ) + b m() os( π 0 ). Βήμα 3 To φίλτρο βέβαια πρέπει να απορρίψει τις χαμηλές συχνότητες, τους όρους διπλασιασμού της συχνότητας και να αφήσει μόνο το σήμα με φάσμα κεντραρισμένο στην συχνότητα 0. Δηλ. πρόκειται για BPF φίλτρο με κεντρική συχνότητα 0 και εύρος ζώνης W έτσι ώστε 0 Wm > 0 W/ > Wm, όπου Wm το εύρος ζώνης του m(). Με βάση τα ανωτέρω το AM σήμα εξόδου είναι : u() a ( + b/a m() ) os( π 0 ) B) όταν το blok πριν το () είναι X (πολλαπλασιασμός δηλ.) έχουμε: Βήμα y() a () + b () a (m() os( π 0 )) + b (m() os( π 0 )) a m() os( π 0 ) + b m () os ( π 0 ). Βήμα 3 To φίλτρο βέβαια πρέπει να απορρίψει τις χαμηλές συχνότητες, τους όρους διπλασιασμού της συχνότητας και να αφήσει μόνο το σήμα με φάσμα κεντραρισμένο στην συχνότητα 0. Σε αυτή όμως την περίπτωση εφόσον πρέπει να ληφθεί σήμα ΑΜ στην έξοδο του φίλτρου θα πρέπει το φίλτρο να έχει αφενός χαρακτηριστικά BPF φίλτρου με κεντρική συχνότητα 0 και εύρος ζώνης W έτσι ώστε 0 Wm > 0 W/ > Wm, όπου Wm το εύρος ζώνης του m() αλλά επιπλέον να παράγει σήμα C os( π 0 ), όπου C είναι σταθερά του φίλτρου στην έξοδό του και όχι απλά να αποκόπτει όρους από το άθροισμα σημάτων που αποτελούν την είσοδό του y(). Ο σχεδιασμός ενός τέτοιου φίλτρου ξεφεύγει βέβαια από την λύση της άσκησης αλλά είναι εφικτός με requeny response analysis και ανάλυση συναρτήσεων μεταφοράς (για τους ενδιαφερόμενους υπάρχουν πολλά βιβλία και sies για σχεδιασμό φίλτρων με βάση requeny response και ένα καλό inroduion βρίσκεται στο sie hp://www.swarhmore.edu/nasi/eheeve/re/filerbkgrnd/filers.hml) Με βάση τα ανωτέρω το AM σήμα εξόδου είναι : Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 0 από 74 u() a m() os( π 0 ) + C os( π 0 ) C (+ a/c m()) os( π 0 ) Επομένως έχουμε αντίστοιχα με τις δυο λύσεις, δύο περιπτώσεις AM σημάτων ) u() a ( + b/a m() ) os( π 0 ) ) u() C (+ a/c m()) os( π 0 ) Σε ότι αφορά τον δείκτη διαμόρφωσης αυτών των δυο ΑΜ σημάτων πρέπει να λάβουμε υπόψην ότι με βάση το βιβλίο μας (σχέση 3.4, σελ. 83) έχουμε: μ (ma{a()} min{a()) / (ma{a()} + min{a()), όπου A() A (+()) σύμφωνα με την σελ. 80 του βιβλίου. Στην δική μας περίπτωση έχουμε Όταν u() a ( + b/a m() ) os( π 0 ) το A() a ( + b/a m() ). Αφού Αm ma m() > -Am m() Am > - b Am b m() b Am > a - b Am a + b m() a+ b Am > a - b Am A() a+ b Am > ma {A()} a+ b Am και min{a()} > a - b Am. Επομένως ma{a()} min{a()} 4 b Am. Επιπλέον όμως γνωρίζουμε (σελ. 83 του βιβλίου μας) ότι A() > 0 για κάθε > a + b m() > 0 για κάθε. Αν θεωρήσουμε την μέση τιμή του a + b m() θα είναι προφανώς μεγαλύτερη του μηδενός και δεδομένου ότι η μέση τιμή του m() είναι μηδενική αυτό σημαίνει ότι a > 0. Αλλά τότε a + b m() > 0 για κάθε και οποιοδήποτε δεδομένο b > a > b m() και επομένως a > b Am > ma{a()} + min{a()} min{a()} (a - b Am). Tότε όμως μ (ma{a()} min{a()) / (ma{a()} + min{a()) 4 b Am / (a - b Am) b Am / (a - b Am). Επομένως μ b Am / (a - b Am) είναι η ζητούμενη σχέση για το δείκτη διαμόρφωσης μ. Αφού όμως μ < για μη υπερδιαμορφωμένο σήμα AM είναι αναγκαίο να ισχύει η σχέση b Am / (a - b Am) < προκειμένου να είμαστε βέβαιοι ότι το ΑΜ σήμα που προκύπτει στην έξοδο του συστήματος δεν θα είναι υπερδιαμορφωμένο. Τελικά βέβαια b Am / (a - b Am) < > b Am < (a - b Am) > a >4 b Am είναι ικανή συνθήκη για να μην υπάρχει υπερδιαμόρφωση. Για την περίπτωση u() C (+ a/c m()) os( π 0 ) ισχύουν προφανώς κατ αναλογία η ίδια διερεύνηση και τα ίδια αποτελέσματα αν αντικαταστήσουμε τα a,b με τα a, C. [ΘΕΜΑ 4- η ΕΡΓΑΣΙΑ 004-005] Δίνεται το σήμα () sin ( π ) + os( π ) os( π 3). Το σήμα αυτό πρόκειται να os π [ 30kHz, 40kHz, 3 0kHz, MHz]. διαμορφώσει κατά πλάτος φέρον σήμα ( ) ( ) (A) Να υπολογιστούν τα σήματα ΑΜ και DSB στο χρόνο, να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier τους και να παρασταθεί γραφικά το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους τους. (B) Να παρασταθεί γραφικά το αμφίπλευρο φάσμα του αντίστοιχου σήματος SSB κάτω πλευρικής ζώνης και να προταθεί ένας τρόπος δημιουργίας του. (Γ) Σήμα με εύρος ζώνης 60 KHz θα διαμορφώσει κατά πλάτος ημιτονικό φέρον () os( π ) [ MHz] με τις μεθόδους DSB, AM, SSB. Να υπολογιστεί το απαιτούμενο εύρος ζώνης για καθένα από τα σήματα. Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ από 74 (Δ) Τα τρία σήματα του ερωτήματος (Γ) μεταδίδονται από ένα ασύρματο κανάλι που παρουσιάζει εξασθένηση 30dB και με προσθετικό λευκό θόρυβο φασματικής πυκνότητας ισχύος n/0-9 W/Hz. Να υπολογιστεί η απαιτούμενη ισχύς μετάδοσης για κάθε σήμα (DSB, SSB, AM με σύγχρονη αποδιαμόρφωση) ώστε ο σηματοθορυβικός λόγος στην έξοδο του συστήματος να είναι μεγαλύτερος των 45 db. Απάντηση (Α) Βήμα Το σήμα γράφεται () sin ( π ) + os( π ) os( π ) os { os[ π ( ) ] + os[ π ( + ) ] + os[ π ( ) ] } [ π ( ) ] + os[ π ( ) ] H ( Η 60kHz, L 0kHz) Βήμα Για τη διαμόρφωση ΑΜ έχουμε: + AM os os () [ ()] () ( π ) + os( π ) + os( π ) L 3 3 ( π ) + os( π ( + ) ) + os( π ( ) ) + os( π ( + ) ) + os( π ( ) ) H H L H 3 4 L 4 L Για τη διαμόρφωση DSB έχουμε DSB os os Βήμα 3 () () () ( π ) os( π ) + os( π ) ( π ( + ) ) + os( π ( ) ) + os( π ( + ) ) + os( π ( ) ) H H L H 4 L 4 L Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος ΑΜ είναι X AM + 8 ( ) ( δ ( ) + δ ( + )) + ( δ ( ( + )) + δ ( + ( + ))) + ( δ ( ( )) + δ ( + ( ))) ( δ ( ( + )) + δ ( + ( + ))) + ( δ ( ( )) + δ ( + ( ))) L 4 L 8 H L H 4 L H H + Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ από 74 Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος DSB είναι X DSB 4 + 4 ( ) ( δ ( ( + )) + δ ( + ( + ))) + ( δ ( ( )) + δ ( + ( ))) ( δ ( ( + )) + δ ( + ( + ))) + ( δ ( ( )) + δ ( + ( ))) H L L H 4 4 L H L H + Το φάσμα του σήματος ΑΜ είναι / /4-060 -00-000 -980-940 /8 0 940 980 (khz) 000 00 060 Το αντίστοιχο φάσμα για το DSB είναι: /4-060 -00-000 -980-940 /8 0 940 980 (khz) 000 00 060 (Β) Βήμα 3 Το φάσμα του σήματος SSB κάτω πλευρικής είναι: Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 3 από 74 /4-000 -980-940 /8 0 940 980 000 (khz) Μπορεί να δημιουργηθεί από το αντίστοιχο DSB σήμα με διαβίβασή του: από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής μεγαλύτερη των 980 khz και μικρότερη των 00 KHz. Από ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο με ζώνη διέλευσης την περιοχή [940kHz, 980kHz] (Γ) Βήμα 4 Το εύρος ζώνης ΑΜ και DSB σημάτων είναι ισο με W 0kHz. Το εύρος ζώνης του SSB είναι ίσο με W 60kHz (Δ) Βήμα 4 Για το σήμα ΑΜ έχουμε: A S A Si SNR L SNR n n SNR L 0 A min 3 9 n 0 W / Hz 60kHz οπότε S 4, 9kW 0 4,5 min Για τα σήματα DSB και SSB έχουμε: Si SNR n S L n SNR min Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 από 74 SNR min L 0 3 n 0 0 9 4.5 W / Hz 60kHz οπότε S 3. 79kW [ΘΕΜΑ - Η ΕΡΓΑΣΙΑ 005-006] Θεωρείστε τον αποδιαμορφωτή ΑΜ του παρακάτω σχήματος με είσοδο το () A[ + ()]os ω, όπου () το σήμα μηνύματος, Α το πλάτος του φέροντος και ω η συχνότητα του φέροντος σήματος. Η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου είναι ω (υψηλότερες συχνότητες «κόβονται»)., ω ω (α) Αν το φάσμα του () είναι της μορφής S {, όπου ω χ <<ω, σχεδιάστε πρόχειρα το 0, ω > ω φάσμα πλάτους της εξόδου y() (β) Δείξτε ότι αν () <<, τότε η έξοδος είναι της μορφής z() A + K (), όπου Α, Κ σταθερές () y α () y() ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ z() ΛΥΣΗ: (α) Βήμα, y () a () aa [ + ()]os ω aa aa aa [ + ( )] ( + os ω) [ + ( )] + [ + ( )] os ω aa aa aa aa + os ω+ aa () + () + aa ()os ω+ ()os ω Βήμα 3 Για την εύρεση της Y() ισχύουν τα ακόλουθα: Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 από 74 aa F aa δ ( ) aa F aa os ω [ δ( ) + δ( + ) ] 4 F aa () aa X ( ) aa re aa F aa () F{ () } aa aa, aa X ( ) X ( ) re 4 0, > F aa aa + aa ()os ω [ X ( ) + X ( + ) ] re + re aa F aa aa ()os ω F{ ()os ω} X ( ) X ( ) X ( ) X ( ) 4 + + + aa + re 4 + + re 4 4 Σημείωση για την εύρεση του φάσματος της ( ) : Δίνεται ότι ( ) X re F Εφόσον από πίνακες ΜΣ Fourier έχουμε ότι sin ( ) re ( ), (και με χρήση της ιδιότητας αλλαγής κλίμακας στο ΜΣ Fourier) θα ισχύει ότι η έκφραση του σήματος στο χρόνο θα είναι sin ( ) () ( ) Για την εύρεση του φάσματος της () ( ) sin ( ) ισχύουν τα εξής: Γνωρίζουμε από την 5 η άσκηση της ης γραπτής εργασίας (005) ότι, a F g ( ) G ( ƒ ) sin a a ( ƒa) 0, a Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 από 74 Άρα μέσω της ιδιότητας δυϊσμού θα ισχύουν και τα παρακάτω: g ( ) asin ( a) F, a G( ) a re a 0, a a και, a a α F g( ) a sin ( a) G( ) α re a 0, a Αντικαθιστώντας a, καταλήγουμε στην έκφραση: F ( ) ( ) ( ) ( ) () sin G( ) X X re 4 Με βάση τα παραπάνω, το φάσμα των όρων που αποτελούν το σήμα θα είναι το ακόλουθο: aa X ( ) aa X ( + ) aa [ X ( ) X ( ) ] aa X ( ) aa δ ( + ) 4 aa δ ( ) aa δ ( ) 4 + + + + aa 4 ( X ( + ) X ( + ) ) aa 4 ( X ( ) X ( ) ) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το φάσμα του y() (που προκύπτει από την άθροιση των φασμάτων των επιμέρους όρων). Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 από 74 -- - - - -+ -+ - - 0 - - + + (β) Βήμα 3 Το σήμα aa aa aa aa y() + os ω + aa () + () + aa ()os ω + ()os ω διέρχεται από το βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής ω (οι υψηλότερες συχνότητες «κόβονται»), οπότε το τελικό σήμα z() στην έξοδο του φίλτρου θα είναι το ακόλουθο: aa aa z () + aa () + () Αν (), τότε () 0,οπότε η έξοδος γράφεται A aa aa z() a + aa () + () + aa () A+ K() aa όπου Α, Κ aa [ΘΕΜΑ 7- Η ΕΡΓΑΣΙΑ 005-006] Θεωρούμε το σήμα () 6os(4000π) + 0os (000π) το οποίο υφίσταται διαμόρφωση μονής άνω πλευρικής ζώνης (SSB-Upper Side Band) από το σήμα () 00 os(π ). (α). Να βρεθεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος για 4 MHz. (β). Να βρεθεί η ισχύς του διαμορφωμένου σήματος. ΛΥΣΗ (α). Βήμα Το SSB-Upper Side band προκύπτει από τη διαμόρφωση DSB-SC όπου το διαμορφωμένο σήμα δίνεται ως u() () (). Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 8 από 74 u( ) 00 os u( ) 600 os u( ) 600 + 000 u( ) 300 os + 500 os Βήμα 3 ( π ) [ 6 os( 4000π ) + 0os( 000π )] ( π ) os( 4000π ) + 000 os( π ) os( 000π ) { os[ π ( + 000) ] + os[ π ( 000) ] } { os[ π ( + 500) ] + os[ π ( 500) ] } [ π ( + 000) ] + 300 os[ π ( 000) ] [ π ( + 500) ] + 500 os[ π ( 500) ] Αρχικά θα υπολογίσουμε το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος για DSB-SC και έπειτα θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο του φιλτραρίσματος για να προκύψει το ζητούμενο. Επομένως, αρχικά θα πρέπει να υπολογισθεί ο μετασχηματισμός Fourier του u(). Γνωρίζω ότι βάσει των πινάκων Fourier (π.χ. πίνακας Α. στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Shaum, εκδόσεις Τζιόλα) θα έχουμε os ( π ) [ δ ( ) + δ ( + )], οπότε εφαρμόζοντας το μετ/σμό Fourier θα έχουμε U ( ) 300 { δ [ ( + 000) ] + δ [ + ( + 000) ]} + 300 δ ( 000) + δ + + 500 { δ [ ( + 500) ] + δ [ + ( + 500) ]} + 500 δ ( 500) + δ + 500 { [ ] [ ( 000) ]} { [ ] [ ( )]} Με βάση το αποτέλεσμα U(), οι συχνότητες του φάσματος που προκύπτουν είναι: +000, - -000, - +000, -000 καθώς +500, - -500, - +500, -500 με αντίστοιχα πλάτη τα 50 και 50. Οπως τονίσαμε και προηγουμένως, για να προκύψει το φάσμα της μονής άνω πλευρικής ζώνης θα εφαρμόσουμε φίλτρο στις άνω πλευρικές ζώνες, οπότε πλάτος 50 50 - C -000 - C -500 - C +500 - C +000 C -000 C -500 C +500 C +000 Η μαθηματική έκφραση που προκύπτει μετά από το φιλτράρισμα είναι [ + ( + 000) ] + 50δ [ ( + 000) ] + 50δ [ ( + 500) ] + 50δ [ + ( 500) ] U ( ) 50δ + Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 9 από 74 και το αντίστοιχο φάσμα είναι : πλάτος 50 50 - C -500 C +500 C +000 (β). Βήμα 4 Η μέση ισχύς ενός σήματος, βάσει του θεωρήματος Parseval, P ( ) d (βάσει ταυτότητας + Parseval κεφ.3 σελ.83 βοηθ.υλικού Σημάτων&Συστημάτων ) X ( ) d a. k Με βάση δηλ. το θεώρημα Parseval μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ στο πεδίο των συχνοτήτων που διευκολύνει βέβαια πολύ τους υπολογισμούς. Στην περίπτωσή μας, η τελική έκφραση απλά θεωρούμε το άθροισμα των τετραγώνων των πλατών του φάσματος του σήματος όταν αυτά εκφράζονται συναρτήσει της συχνότητας. Αυτό δεν σημαίνει ότι κάποιος δεν μπορεί να υπολογίσει στο πεδίο του χρόνου την ισχύ. Αλλά είναι αρκετά πιο πολύπλοκο. + Κατά συνέπεια αφού έχει βρεθεί το φάσμα, η μέση ισχύς του σήματος στη λήψη είναι: [ 50 + 50 ] kw P U ( ) 70 Η ισχύς του σήματος είναι η μισή του αντίστοιχου DSB αφού μετά το φίλτρο BPF μεταδίδεται μόνο η μια πλευρική ζώνη. [ΘΕΜΑ 3-006-007 η εργασια] (α) Ένα σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης m() με μέγιστη συχνότητα ω m διαμορφώνεται κατά ΑΜ με φέρον σήμα os(ω). Να βρείτε τη φέρουσα συχνότητα ω ώστε το εύρος ζώνης του εκπεμπόμενου AM σήματος να ισούται με το % της φέρουσας συχνότητας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ιαμόρφωση ΑΜ Α) Βήμα 3,4 Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 0 από 74 Το εύρος του εκπεμπόμενου σήματος ισούται με ω m, συνεπώς πρέπει 0.0 ω ω m > ω 00 ω m. [ΘΕΜΑ 6-006-007 5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ] Έστω σήμα πληροφορίας () μέσης τιμής μηδέν και μέσης ισχύος S /3(W). Το () έχει μέγιστη τιμή 0,8 (V) και ελάχιστη τιμή -0,8 (V) και εισάγεται σε σύστημα διαμόρφωσης πλάτους AΜ. Το εκπεμπόμενο σήμα είναι () [ + ()]os. A μ π AM (α) Ποια η μέγιστη τιμή του δείκτη διαμόρφωσης μ, ώστε να είναι δυνατή η λήψη με αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας; Ποια είναι η ελάχιστη και μέγιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος για το μ αυτό; (β) Χρησιμοποιώντας την τιμή του δείκτη διαμόρφωσης που προκύπτει από το (α) να βρείτε τη σχέση μεταξύ μέσης εκπεμπόμενης ισχύος και μέγιστης εκπεμπόμενης ισχύος, όπου Ama ma[ AM ( )] είναι η μέγιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος. (γ) Να υπολογίσετε το λόγο της ισχύος του φέροντος προς την ισχύ που περιέχεται σε μία πλευρική ζώνη του εκπεμπόμενου σήματος. S ma A ma ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Βήμα Για να είναι δυνατή η χρήση αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας, θα πρέπει το σήμα A [ + μ( )] να είναι πάντα θετικό (σελ. 83, Τόμος Β). Άρα min( A[ + μ( )]) 0. Άρα, min( + μ ( )) 0 + μmin ( ) 0 0,8μ 0. Συνεπώς, μ, 5. H μέγιστη και ελάχιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος είναι αντίστοιχα: Ama ma[ AM ( )] A ( +, 5 0,8) A (V) Amin min[ AM ( )] A (, 5 0,8) 0 (V) Β) Βήμα 4 A( + μ S) Η μέση εκπεμπόμενη ισχύς είναι ST Si (W) (πίνακας 3., σελ. 88, Τόμος Β). A (+, 5 (/ 3)) Συνεπώς ST Si 0, 7604A. Η μέγιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος είναι Ama ma[ ( )] A ( + μ ma[ ( )]), δηλαδή Ama A( + μ ma[ ( )]) A( +, 5 0,8) A. Άρα, ST 0,90S Γ) Βήμα 4 ma AM S A A και τελικά ma ma 4 Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ από 74 A P 3,84 μ S, 5 (/ 3) Η ισχύς του φέροντος είναι P S SB και η ισχύς της μίας πλευρικής είναι S SB Aμ S. Άρα, [ΘΕΜΑ --ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 007Α] Σε ένα σύστημα διπλοπλευρικής διαμόρφωσης (DSB) το φέρον είναι ( ) Aos(π ) και το μήνυμα πληροφορίας είναι m () sin() + sin(). Να υπολογίσετε: (α) Tο διαμορφωμένο σήμα στο πεδίο των συχνοτήτων (β) Tο εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος αν θεωρηθεί ότι >> Hz. (Σημείωση: Όπου χρειάζεστε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη τις ιδιότητες των μετασχηματισμών Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier χαρακτηριστικών σημάτων από πίνακες Επίσης υπενθυμίζεται ότι ΑΠΑΝΤΗΣΗ sin( ) sin ( π).) π (α) Βήμα u( ) m( ) ( ) A ( sin ( ) + sin ( ) ) os(π ) Βήμα 3 Από πίνακες ΜΣ Fourier βασικών σημάτων: A U ( ) [ Π( ) + Λ( )] [ δ ( ) + δ ( + )] A [ Π( ) + Λ( ) + Π( + ) + Λ( + )] (ή αλλιώς σύμφωνα με το σχήμα.9 του βιβλίου ΨΕ, ο πολλαπλασιασμός με ένα ημίτονο συχνότητας μετατοπίζει το βασικό σήμα στα ±) Παρακάτω απεικονίζονται αντίστοιχα τα φάσματα των m() και u(). M() - -/ 0 / (Hz) Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ από 74 U() A A/ - - - - + 0 - + (H (β) Π( ενώ ) 0, για <, Λ( ) 0, για <, (βλ. πίνακες ή βιβλίο Θεοδωρίδη) Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος DSB είναι Hz. Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 3 από 74 Ι.. ΓΩΝΙΑΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ (PM FM) ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Ι. Μεθοδολογία Βήμα. Συνήθως δίδεται η αναλυτική έκφραση του μεταδιδόμενου σήματος. Εάν δεν δίδεται και αντ αυτής δίδεται ένα σύστημα (blok διάγραμμα) πρέπει να ευρεθεί η αναλυτική σχέση του μεταδιδόμενου σήματος με βάση τις πράξεις και μετασχηματισμούς που λαμβάνουν χώρα στο σύστημα. Στην συνέχεια αφού ευρεθεί η αναλυτική έκφραση στο πεδίο του χρόνου του μεταδιδόμενου σήματος, πρέπει να διεξαχθεί ανάλυση στο πεδίο του χρόνου του μεταδιδόμενου σήματος ώστε να αναγνωρισθούν τα μεγέθη του φέροντος και του σήματος πληροφορίας (πλάτη και συχνότητες). Εάν προκύπτουν σύνθετα σήματα πρέπει με εφαρμογή τριγωνομετρικών ιδιοτήτων να απλοποιηθούν σε άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων εάν είναι δυνατόν. Βήμα. Σε περίπτωση που η έκφραση στον χρόνο του μεταδιδόμενου σήματος δεν μας δίδεται θα πρέπει να μελετήσουμε υποχρεωτικά το σήμα πληροφορίας και πιθανόν να χρειάζεται να διερευνηθεί το αντίστοιχο φάσμα του. Μία τέτοια περίπτωση θα φαίνεται από την εκφώνηση. Με λίγα λόγια δεν πρέπει πάντα να προσπαθείτε να γράψετε την κλειστή σχέση διαμόρφωσης γωνίας PM είτε FM εξ αρχής. Αυτό θα συμβαίνει ιδιαίτερα όταν το σήμα πληροφορίας δεν είναι τόνος, δηλ. ημιτονοειδές σήμα, αλλά ένα πιο πολύπλοκο σήμα όπως το sin(), re(), η άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων κλπ. Αφού μελετηθεί το σήμα πληροφορίας μπορεί κανείς να γράψει και την κλειστή σχέση της εν λόγω διαμόρφωσης γωνίας στο πεδίο του χρόνου. Στην περίπτωση που δεν μας δίδεται το σήμα πληροφορίας στο πεδίο του χρόνου σαν κλειστή έκφραση υπάρχουν δύο περιπτώσεις. Είτε μας δίδεται το σήμα σαν γραφική παράσταση στον χρόνο οπότε εύκολα με βάση τους τύπους των βασικών σημάτων υπολογίζουμε μια κλειστή έκφραση του σήματός μας και προχωρούμε. Είτε μας δίδεται μόνο το φάσμα του Προφανώς όταν έχουμε μελετήσει το φάσμα του σήματος μπορούμε να πάμε στο πεδίο του χρόνου με αντίστροφο μ/σ Fourier και στην συνέχεια προχωράμε κανονικά στην ανάλυσή μας. Βήμα 3. Από την προηγούμενη ανάλυση των βημάτων, μπορούν να προκύψουν οι στιγμιαίες φάσεις, στιγμιαίες συχνότητες, συντελεστές διαμόρφωσης και μπορεί να διερευνηθεί αν χρειάζεται η αποκλιση συχνότητας. Προσοχή στο ότι οι απλοί τύποι για τους συντελεστές διαμόρφωσης του διδακτικού υλικού, που δεν περιλαμβάνουν απόκλιση συχνότητας, ισχύουν μόνο για σήματα πληροφορίας ημιτονοειδή (απλό τόνο) ενώ για τα υπόλοιπα πρέπει να δουλέψουμε με βάση τον γενικό τύπο που περιλαμβάνει την απόκλιση συχνότητας. Βήμα 4 Κατάλληλη χρήση του κανόνα Carson για υπολογισμό ευρών ζώνης των μεταδιδόμενων σημάτων με βάση τα μεγέθη που υπολογίσθηκαν στα προηγούμενα βήματα (συντελεστές διαμόρφωσης, εύρος ζώνης σήματος πληροφορίας, απόκλιση συχνότητας). [Θ.3-Εξετάσεις 003Β]. Ένα σήμα είναι διαμορφωμένο κατά γωνία και περιγράφεται από την σχέση ( ) sin 8π ( 300) + sin(00π )os(800π ) + os(00π )sin(800π ) (α) Να βρεθεί το σήμα () αν το () είναι σήμα PM με Κρ40 (β) Να βρεθεί το σήμα () αν το () είναι σήμα FM με Κ40π [ ] Απάντηση. ( ) sin[ 8π ( 300) + sin(000π )] (α) Βήμα Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 4 από 74 φ()sin(000π)>φ()κ*()>()sin(000π)/40 (β) Βήμα dφ K * ( ) > d ( ) 5os(000π ) ' [ sin( 000π )] 000π k * ( ) > ( ) os(000π ) > 40π [ΘΕΜΑ 3 003-004 - η ΕΡΓΑΣΙΑ]. Έστω ότι δίδεται ένα σήμα FM X FM A os(π + k m( l) dl ), όπου A,, k θεωρούνται δεδομένα. Εστω επίσης ότι,, N-, N ( N > > ) είναι όλοι οι διαδοχικοί χρόνοι όπου το σήμα X FM λαμβάνει μέγιστη τιμή εντός δεδομένου χρονικού διαστήματος T θεωρούμενου από την αρχή των αξόνων. Εάν θεωρήσουμε ότι m() + * τότε να υπολογισθεί η παράμετρος του σήματος μηνύματος m(). Επιπλέον, να ευρεθεί το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης του σήματος X FM στην περίπτωση m() * os(π m ) όπου m θεωρείται δεδομένη. ΛΥΣΗ Βήμα X FM () A os(π + k m( l) dl ), και θ() π + k m l) dl (. Mας δίνεται επίσης το Ν πλήθος των σημείων μεγίστου του X FM () εντός χρόνου Τ. Ο χρόνος Τ, ο οποίος επίσης δίνεται θεωρείται, όπως στην dra λύση είχε εξηγηθεί, ότι ξεκινά από την στιγμή και σταματά στην χρονική στιγμή N που και οι δύο είναι στιγμές μεγίστου. Άρα Τ Ν - Ν - N- + Ν- - N- + Ν- - N-3 +.+ - () Επιπλέον όμως υπάρχει η πληροφορία ότι το Τ θεωρείται, δηλ. μετριέται, από την αρχή των αξόνων πράγμα που σημαίνει ότι 0 () Προσοχή! Είναι σαφές ότι οτιδήποτε δεν αναφέρεται ρητά ως δεδομένο δεν είναι γνωστό! Άρα οι διαδοχικοί χρόνοι,, N-, N ( N > > ) δεν είναι γνωστοί. Από τις () και () ανωτέρω μόνο οι και N είναι γνωστοί. Έστω τώρα, οι δύο πρώτες χρονικές στιγμές μεγίστου του σήματος X FM () τότε X FM ( )/A X FM ( )/A ma os(π + k m l) dl ( )) > θ( ) - θ( ) π (3) και βεβαίως θ( k ) kπ.. Τα αποτελέσματα αυτά ()-(3) μας επιτρέπουν τους ζητούμενους υπολογισμούς με τον ακόλουθο τρόπο. Είναι προφανές ότι ισχύουν οι κάτωθι σχέσεις κατ αναλογία με την (3) ανωτέρω όπως και ότι αθροίζοντάς αυτές λαμβάνουμε την σχέση (4) κατωτέρω θ( ) - θ( ) π θ( 3 ) - θ( ) π θ( 4 ) - θ( 3 ) π.. Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 5 από 74 θ( Ν- ) - θ( Ν- ) π θ( Ν ) - θ( Ν- ) π > θ( Ν ) - θ( ) π (Ν-) (4) αλλά θ( Ν ) π Ν + k θ( Ν ) - θ( ) π (Ν-) π ( Ν - )+ k N m ( l) dl και θ( ) π + k m ( l) dl > N m( l) dl π T + k m( l) dl. (5) N A) Περίπτωση : m() + *. Είναι σαφές ότι η (5) γίνεται π (Ν-) π T + k +k T + k ( Ν- )/ (λόγω (), ()) T / > (k T + k T /) π (Ν-) - π T > (π (Ν-) - π T)/ (k T + k T /) N ( + * l) dl π T π T +k T + k είναι η ζητούμενη σχέση. Β) Περίπτωση : m() * os(π m ). Είναι σαφές ότι τότε η (5) γίνεται π (Ν-) π T + k N * os(π m l) dl π T + k (sin(π m Ν )-sin(π m ))/(π m) (λόγω ()) π T + k (sin(π m T)-sin(0))/(π m) π T + k sin(π m T)/(π m) > (π (Ν-) - π T)/[ k sin(π m T)/(π m)] > (π m) (π (Ν-) - π T)/[ k sin(π m T) ] (6) Βήμα 4 Σε ότι αφορά τώρα το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης του σήματος X FM έχουμε - βάσει της ανωτέρω σχέσης (6) για το και του ότι το σήμα μας m() είναι ημιτονικό (δηλ. τόνος) -ότι ισχύουν οι τύποι 3.47 και 3.49 του βιβλίου μας (σελ. 98 και 99 αντίστοιχα) και επομένως, W (β + ) ω (k /(π m) +) (π m) (7) Τελικά αν αντικαταστήσουμε την (6) στην (7) ευρίσκεται το ζητούμενο W δηλ. το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης του σήματος X FM [ΘΕΜΑ 5- η ΕΡΓΑΣΙΑ 004-005] Εστω το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα 5 + m () 7os( π ( 0 ) 0. sin( 500π )) Να βρεθεί το σήμα βασικής ζώνης και το εύρος ζώνης αν θεωρηθεί το () ως σήμα: (Α) PM με σταθερά απόκλισης φάσης k p. (Β) FM με σταθερά απόκλισης συχνότητας k 30. ΛΥΣΗ (Α) Βήμα Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 6 από 74 Για την περίπτωση PM η γενική σχέση του σήματος είναι PM ( ) () Aos ω + k A os( ω + θ ) Βήμα 3 β Οπότε, k A 0. A 0. p Και το ζητούμενο σήμα είναι: () 0.sin( 500π ) Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με W ( β + ) για 50Hz, W600 Hz (Β) Βήμα p Για την περίπτωση FM η γενική σχέση του σήματος είναι k A () ( ) + ( + ) FM Aos ω + sin ω + θ Aos ω k A os ωτ θ dτ ω Βήμα 3 O δείκτης διαμόρφωσης θα είναι Για k 30, ω 500π έχουμε A 0.47 k A β 0. ω Και το ζητούμενο σήμα είναι: () 0.47 os( 500π ) Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με W ( β + ) για 50Hz W600Ηz [ΘΕΜΑ 6- η ΕΡΓΑΣΙΑ 004-005] Έστω ότι έχουμε σήμα διαμορφωμένο κατά γωνία: με m () 0.5os( ω + 0.5sin( ω ) ) m 6kHz m Να βρεθεί ο δείκτης διαμόρφωσης και το εύρος ζώνης συχνοτήτων όταν το σήμα βασικής ζώνης έχει συχνότητες m, m, 0.5 m και θεωρώντας το σήμα (Α) PM (Β) FM Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 7 από 74 ΛΥΣΗ (Α) Βήμα Για την περίπτωση PM η γενική σχέση του σήματος είναι ( ) PM () Aos ω + k p A os( ω + θ ) Βήμα 3 Άρα ο δείκτης διαμόρφωσης θα είναι β k p A 0. 5, και είναι ανεξάρτητος της συχνότητας του σήματος βασικής ζώνης. Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με W ( β + ) για 6kHz, W8 khz για khz, W36kHz για 3kHz, W9 khz (Β) Βήμα Για την περίπτωση FM η γενική σχέση του σήματος είναι PM k () Aos ω + sin( ω + θ ) Βήμα 3 ω A Άρα ο δείκτης διαμόρφωσης θα είναι β k A ω, εξαρτάται από τη συχνότητα του σήματος βασικής ζώνης και θα ισούται με: για 6kHz, β0.5 για khz, β0.5 για 3kHz, β Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με W ( β + ) Οπότε για 6kHz, W8 khz για khz, W30kHz για 3kHz, W khz [ΘΕΜΑ 7- η ΕΡΓΑΣΙΑ 004-005] (Α) Έστω ότι το σήμα Aos(0π) [os(0π)] A/ [sin(0π)] Asin(30π)sin(0π) διαμορφώνει ταυτόχρονα δύο διαμορφωτές FM των οποίων τα φέροντα είναι συχνοτήτων 6.0 και 6.06 MHz αντίστοιχα. Οι διαμορφωτές είναι εντελώς ίδιοι ως προς τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά τους, ενώ οι μέγιστες αποκλίσεις συχνότητας των γωνιακά διαμορφωμένων σημάτων είναι 40 KHz και 80 KHz αντιστοίχως. Να εκτιμηθεί το εύρος ζώνης που απαιτείται για την μετάδοση του σύνθετου σήματος. Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 8 από 74 ΛΥΣΗ (Α) Βήμα Το διαμορφώνον σήμα είναι A os(0 π ) [os(0 π )] A/ [sin(0 π )] A sin(30 π ) sin(0 π ) A os(0 π ) [os(0 π ) os(0 π ) - sin(0 π ) sin(0 π )] - A sin(30 π ) sin(0 π ) A os(30 π ) os(0 π ) - A sin(30 π ) sin(0 π ) A os(40 π ). Επομένως είναι 0 Hz η συχνότητα του διαμορφώνοντος σήματος. Βήμα 3 Κατά συνέπεια, β Δω / ω Δ / 40 KHz/ 0 Hz 000 και παρόμοια β Δω / ω Δ / 80 KHz/ 0 Hz 4000 Βήμα 4 Το εύρος ζώνης που απαιτείται για την μετάδοση του πρώτου γωνιακά διαμορφωμένου σήματος είναι W (+000) 80.04 KHz. (σχέση 3.49 του βιβλίου σε KHz). Παρόμοια είναι W (+4000) 60.04 KHz Xρειάζεται προσοχή για την εύρεση του κοινού εύρους ζώνης, δεδομένης της επικάλυψης που θα συμβεί των φασμάτων των δύο γωνιακά διαμορφωμένων σημάτων. Το πρώτο σήμα θα μεταδίδεται στην περιοχή των συχνοτήτων (6000-40.0, 6000+ 40.0) KHz (5959.98, 6040.0) KHz ενώ το δεύτερο στην περιοχή συχνοτήτων (6060-80.0, 6060 + 80.0) KHz (5979.98, 640.0) KHz. Επομένως το συνολικό εύρος ζώνης που απαιτείται είναι (5959.98, 640.0) KHz 80.04 KHz Παρατήρηση: η σχέση 3.49, τύπος του Carson, ισχύει τόσο για μικρά όσο και για πολύ μεγάλα β. Προβλήματα στην ακρίβεια υπάρχουν μόνο για β περίπου ίσο με την μονάδα. Επίσης θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση στην σελίδα 00 του βιβλίου στον υπολογισμό του εύρους ζώνης. Δηλ. W Δ για D>>, οπότε W 80 KHz και W60 KHz που επιβεβαιώνει τις πολύ μικρές διαφορές των δύο προσεγγίσεων. Και οι δύο απαντήσεις λοιπόν είναι ισοδύναμες. Με χρήση του τύπου της σελ. 00 το αποτέλεσμα είναι 80 KHz αντί για 80.04 KHz που προκύπτει ακολουθώντας την σχέση 3.49 του Carson. [Θέμα - ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 005Α] Έστω το σήμα βασικής ζώνης ( ) sin(4000 π) το οποίο διαμορφώνεται γωνιακά με διαμόρφωση φάσης και συχνότητας και φέρουσα συχνότητα ω. Οι αντίστοιχες σταθερές απόκλισης είναι k p 0 και k 400.000π. (Α) Υπολογίστε το εύρος ζώνης των διαμορφωμένων σημάτων κατά φάση PM () και κατά συχνότητα FM () σε khz. (Β) Επαναλάβετε το (Α) όταν το σήμα έχει διπλάσιο πλάτος ( ( ) sin(4000 π) ). (Γ) Επαναλάβετε το (Α) όταν το σήμα έχει διπλάσια συχνότητα ( ( ) sin(8000 π) ). ΛΥΣΗ (Α) Βήμα Το σήμα διαμόρφωσης φάσης είναι PM ( ) A os[ ω+ 0sin(4000 π)]. Βήμα 4 Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 9 από 74 Δω Το εύρος ζώνης είναι WPM ( β + ) ω ( + ) ω ( Δ ω+ ω). ω Βήμα 3 d(0sin(4000 π) Η στιγμιαία συχνότητα είναι ω( ) ω + ω + 80.000π os(4000 π). Η d μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δ ω ma ω ω( ) 80.000π, και Βήμα 4 *(80π + 4 π ) W PM 84 khz. * π Βήμα Το σήμα ( ) A os[ ω + 400.000π sin(4000 πτ) dτ. FM Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι WFM Δ ( D+ ) ( + ) ( Δ + ). Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ω( ) ω + 400.000π sin(4000 π). Συνεπώς η μέγιστη απόκλιση 400.000π συχνότητας είναι Δ ω ma ω ω( ) 400.000π, και Δ 00 khz. * π Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι W FM (00 + ) 404 khz. (Β) Βήμα Το σήμα είναι PM ( ) A os[ ω+ 40sin(4000 π)]. Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ω( ) ω + 60.000π os(4000 π) και Δ ω ma ω ω( ) 60.000π. Βήμα 4 *(60π + 4 π ) Το εύρος ζώνης W PM 64 khz. * π Βήμα Το σήμα ( ) A os[ ω + 800.000π sin(4000 πτ) dτ. FM Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ω( ) ω + 800.000πsin(4000 π) και 800π Δ ω ma ω ω( ) 800.000π, Δ 400 khz. * π Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι W FM (400 + ) 804 khz. Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 30 από 74 (Γ) Διαμόρφωση φάσης. Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ω( ) ω + 60.000π os(8000 π). Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας είναι Δ ω ma ω ω( ) 60.000π. Βήμα 4 *(60π + 8 π ) Το εύρος ζώνης W PM 68 khz. * π Διαμόρφωση συχνότητας. Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ω( ) ω + 400.000π sin(8000 π). Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας είναι Δ ω ma ω ω( ) 400.000π και η μέγιστη απόκλιση συχνότητας 400π Δ 00 khz. * π Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι W FM (00 + 4) 408 khz. ΘΕΜΑ 4-005 5 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Δίνεται το σήμα μηνύματος m ( ) 0sin(400), που διαμορφώνει κατά συχνότητα (FM) το φέρον ( ) 00 os(π ) (και τα σήματα σε mvol) με μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δ ma.khz. Ζητούνται τα ακόλουθα:. Με χρήση μετασχηματισμού Fourier, να παρασταθεί φάσμα του σήματος m() και να βρεθεί το εύρος ζώνης του.. Να βρεθεί o δείκτης διαμόρφωσης (D) του διαμορφωμένου σήματος και η σταθερά απόκλισης συχνότητας k. 3. Να γραφεί μια έκφραση για το διαμορφωμένο σήμα. 4. Να βρεθεί το εύρος ζώνης και η ισχύς του διαμορφωμένου σήματος. Διευκρινήσεις: (Α) sin(π ) sin ( ) π (Β) Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας για διαμόρφωση FM τυχαίου σήματος πληροφορίας () δίνεται από Δ k ma ( ) τη σχέση: ( ) ma ΛΥΣΗ Βήμα sin(πa) ωα. Ισχύει ότι (ΑΑ.4 σελ.79) F( u( + a) u( a)) a a sin πa π Με βάση την ιδιότητα του δυϊσμού, έχουμε ότι α π ( u( ω + a) u( ω a)) π ( u( ω + a) u( ω a)) F(sin ) π α α Άρα, ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος m() θα είναι: Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 3 από 74 π F [ m( )] 0 ( u( ω + α ) u( ω α )) 0π ( u( ω + 400π ) u( ω 400π )) α και το φάσμα του σήματος μπορεί να απεικoνιστεί ως εξής: 400π F(m()) /40-400π 400π ω (rad/se) Το εύρος ζώνης του σήματος είναι W400π rad/se ή 00 Hz. Βήμα 3. Ο δείκτης διαμόρφωσης του σήματος FM μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο (σελ.99) : Δ D ma, FM 00Hz 6 00Hz Η σταθερά απόκλισης συχνότητας υπολογίζεται ως εξής: 00 Δma, FM k ma[ m( ) ] k 0 Hz/mV 0 Βήμα 3. To διαμορφωμένο σήμα μπορεί να γραφεί (με βάση και τη σχ.3.43 σελ.95) () s 00 os π + πk 0sin (400τ ) dτ 00 os π + π 00 sin (400τ ) dτ Βήμα 4 Β 4. To εύρος ζώνης με βάση τον κανόνα του Carson θα είναι ίσο με ( D + ). 8kHz H ισχύς θα ισούται με P A 5 mwa [ΘΕΜΑ 4- Η ΕΡΓΑΣΙΑ 005-006] H διαμόρφωση FM ευρείας ζώνης μπορεί να δημιουργηθεί από ένα σήμα FM βασικής ζώνης και στη συνέχεια χρησιμοποιείται πολλαπλασιασμός συχνότητας για την αύξηση της απόκλισης της συχνότητας Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 3 από 74 στο επιθυμητό επίπεδο (Σχήμα ). Εάν ένα σήμα πληροφορίας έχει εύρος ζώνης 5 ΚΗz, και το φέρον σήμα του διαμορφωτή FM βασικής ζώνης έχει ο00kηz, να υπολογιστούν οι συντελεστές πολλαπλασιασμού συχνότητας n και n που απαιτούνται για να παράγουμε ένα FM σήμα ευρείας ζώνης στα 04ΜΗz με απόκλιση συχνοτήτων τα 75 ΚΗz. Να θεωρήσετε οτι το b0. για την διαμόρφωσης FM της βασικής ζώνης. ιαμόρφωση FM βασικής ζώνης s() Πολλαπλασιαστής Συχνοτήτων n s() Χ ιαμόρφωση FM Ευρείας Ζώνης ~ Πολλαπλασιαστής Συχνοτήτων n () o00khz Σχήμα ΛΥΣΗ Βήμα Η έξοδος του σήματος από τον διαμορφωτή της βασικής ζώνης δίνεται από τη σχέση s ( ) A os( π o + ϕ( ) ). O πολλαπλασιαστής συχνότητας πολλαπλασιάζει το όρισμα (και την απόκλιση συχνοτήτων) του διαμορφωμένου FM σήματος επί ένα δεδομένο συντελεστή. To σήμα s που προκύπτει από τον πολλαπλασιαστή συχνοτήτων θα είναι το ακόλουθο: s ( ) A os n o + n ϕ. ( ()) π To σήμα () θα έχει την ακόλουθη μορφή: ( ) A os( πn o) H μίξη των σημάτων s και θα μας δώσει το ακόλουθο σήμα: y () s() () A os πn+ nϕ os πn A Βήμα 3 ( o ( )) ( o ) ( os( π ( n+ n) o + nφ( ) ) + os( π ( n n) o + nϕ( ) )) Tο b ισούται με το λόγο απόκλισης Δ/ (βλ σελ.99 του βιβλίου «Ψηφιακές Επικοινωνίες») όπου Δ η απόκλιση συχνοτήτων και το εύρος ζώνης του σήματος πληροφορίας. Βήμα 4 Άρα, τo εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος δίνεται από τη σχέση Δ > Δ 0. 5.5kHz b Βήμα 3 Για να πετύχουμε στην έξοδο του διαμορφωτή FM ευρείας ζώνης απόκλιση συχνοτήτων Δ 75KHz θα πρέπει να ισχύει το ακόλουθο: Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 33 από 74 Δ nδ άρα n Δ 75kHz Δ.5kHz 30 Επίσης, η συχνότητα του φέροντος σήματος FM ευρείας ζώνης προκύπει ως εξής: n + n 04MHz n + n 00KHz>n 040-3000 ( ) ( ) o [ΘΕΜΑ 6- Η ΕΡΓΑΣΙΑ 005-006] Έστω το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα ( ) 3os( ω + 5sinω ) και m 5KHz. (α) Να βρεθεί το εύρος ζώνης θεωρώντας το σήμα (): / PM / FM όταν i) το m τετραπλασιαστεί και ii) υπο-τετραπλασιαστεί. m (β) Κατόπιν να βρεθεί το σήμα πληροφορίας m() θεωρώντας m 0Hz και / θεωρώντας το σήμα () PM με k p 0 / θεωρώντας το σήμα () FM με k 0π ΛΥΣΗ (α) Βήμα / PM PM ( ) Aos( ω + k m( )) Aos( ω + k a sinω ) 3os( ω + 5sinω ) Βήμα 3 p p m m m Επομένως β k p am Βήμα 4 5 και άρα w w w m 4 m 0.5 m / FM Βήμα ( β + ) m ( β + )4 ( β + ) 60KHz m m 4 40KHz 5KHz amk FM ( ) Aos( ω + k m( λ) dλ) Aos( ω + sinωm) 3os( ω + 5sinωm) ω m Βήμα 3 Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 34 από 74 Επομένως amk β ωm Βήμα 4 a m k π m 5 και άρα w m ( β + ) m 60KHz όταν έχουμε 4 m τότε β amk amk 5 π 4 4 π 4 και w KHz 4 m ( β + )4 m 90 m όταν έχουμε /4 m τότε m β amk amk 4 0 m π και m w KHz 4 m ( β + ) 5. 5 m 4 π 4 (β) / PM Βήμα PM άρα ( ) Aos( ω + k m( )) Aos( ω + 0sinω ) 3os( ω + 5sinω ) p 0am sinωm 5sinωm am m( ) 0.5sinω 0.5sin π0 0.5sin 0π m m m / FM Βήμα FM ( ) Aos( ω + k m( λ) dλ) 3os( ω + 5sinωm) Βλέπουμε ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ολοκληρώματος πρέπει να έχει ημιτονική μορφή, δηλαδή 0π am k m( λ) dλ 0πa m osωmλ dλ sinωmλ π 0 a 0 m Επομένως m( ) 0os 0π m( ) a osω γιατί το αποτέλεσμα του m m am sinωm 5sinωm Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 35 από 74 ΘΕΜΑ 3-Εξετάσεις 006Α] -Ενα σήμα είναι διαμορφωμένο κατά φάση (PM) και περιγράφεται από τη σχέση: ( ) PM ( ) 0sin 4 π 000 + βsin(6000 π) os(4000 π) + β os(6000 π) sin(4000 π) και έχει εύρος ζώνης W5 KHz. (Α). Να βρεθεί το σήμα πληροφορίας () αν η σταθερά απόκλισης φάσης k p 50. (Β). Δεδομένου του (), να δοθεί η έκφραση του διαμορφωμένου σήματος στην περίπτωση της διαμόρφωσης κατά συχνότητα (FM) με σταθερά απόκλισης συχνότητας k 0π. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α). Βήμα Απλοποιώντας την έκφραση της εκφώνησης θα έχουμε PM ( ) 0sin[ 4π ( 000) + β sin(0000π) ] όπου 5000 Hz Βήμα 4 Γνωρίζουμε επίσης ότι ισχύει για το εύρος ζώνης 5000 W β + β β 0. 5000 (Α). Βήμα ( ) 5 Για την περίπτωση της PM θα ισχύει β 0.5 β Κ p A A A Κ 50 Επομένως το σήμα μηνύματος θα είναι 0.0sin 0000 () ( π ) p 0.0 (Β). Βήμα Στην περίπτωση της διαμόρφωσης κατά συχνότητα το διαμορφωμένο σήμα θα είναι: FM ( ) 0sin 4π ( 000 ) + K ( λ) dλ FM ( ) 0sin 4π ( 000) + K 0.0sin(0000 πλ) dλ 0.0 FM ( ) 0sin 4π ( 000 ) + K ( os( 0000πλ) 0000π ( ) ( ) FM ( ) 0sin 4 π 000 βos 0000π 0π 0.0 όπου β 0000π Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 36 από 74 [ΘΕΜΑ 3-006-007 η εργασια] (β) Έστω το διαμορφωμένο κατά FM σήμα FM ( ) 00os 00π + 60 π ( λ) dλ το οποίο μεταδίδει το σήμα πληροφορίας () 8 Λ( ). Να υπολογίσετε αναλυτικά για το σήμα () τη στιγμιαία φάση, και τη στιγμιαία συχνότητά του. Υπόδειξη:, < a Ισχύει ότι Λ a, όπου α > 0 a 0, > a FM ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β) Βήμα Το σήμα είναι της μορφής FM () Aos π + k ( λ) dλ. Βήμα 3 Η στιγμιαία φάση είναι φ( ) k ( λ) dλ 480 π Λ( λ ) dλ Για 0, φ()0 μια και Λ()0.. Για 0, Λ(-), άρα φ( ) 480π λdλ 40π Για, Λ(-)-, άρα λ λ Λ ( λ) dλ λdλ+ ( λ) dλ + λ + ( ) + + και 0 0 ( ) 40 + 960 480 φ π π π Για, Λ(-)0, άρα Λ ( λ) dλ λdλ+ ( λ) dλ και φ( ) 480π 0 Η στιγμιαία συχνότητα είναι: dφ Για 0, ω ω + ω d d(40 π ) Για 0, ω ω + ω + 480π d d( 40π + 960π 480 π) Για, ω ω + ω + 960π 480π d dφ Για, ω ω + ω d [ΘΕΜΑ 6-006-007 η εργασια] Δίνεται το σήμα γωνιακής διαμόρφωσης FM () Aos( ω βsinω ) + με β<<, και ζητούνται FM C M Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 37 από 74 (α). Το υπολογίσετε και να σχεδιάσετε το φάσμα πλάτους του διαμορφωμένου σήματος. (β). Να υπολογίσετε το φάσμα πλάτους σήματος διαμορφωμένου κατά πλάτος () A + μ A osω osω όπου Α 0 και να σχολιάσετε τη σχέση του με το ζητούμενο AM ( ) φάσμα πλάτους του ερωτήματος (α). Υπόδειξη: Επειδή β<< μπορείτε να θεωρήσετε ότι: os( β sinω M ) ( β sinω ) β sinω sin M ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α). Βήμα 0 M Μ Αναλυτικά η έκφραση του διαμορφωμένου σήματος FM είναι ( ω β ω ) ( ω ) ( β ω ) ( ω ) ( β ω ) ( ) Aos + sin Aos os sin Asin sin sin Oπότε θεωρώντας β<< θα έχουμε os( β sinω M ) sin β sinω β sinω ( ) M C M C M C M Επομένως το σήμα μπορεί να προσεγγισθεί με () Aosω Asinω βsinω M ( ) ( ) M βα ( ) Aos( ω) os( ω ωm) os( ω + ωm) Επομένως το φάσμα πλάτους με τη χρήση του μετ/σμού Fourier θα είναι A βα X( ) [ δ( ) + δ( + ) ] { δ( ( C M) + δ( + ( C M) ( C M) δ ( C M) } δ( + + ( + + A βα X( ) [ δ( ) + δ( + ) ] {[ δ( C + M) + δ( + C M] + + + [ δ( C M) δ( C M) ]} A/ βa/4 - - M - - + M - M + M (β). Για τη διαμόρφωση πλάτους θα έχουμε Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 38 από 74 ) A ( ) Aos ( + μa osω ) ( 0 Μ osω ( ω ) + [ os( ω ω ) + os( ω + ω ) ] μα M Όπως παρατηρούμε το φάσμα πλάτους είναι ακριβώς το ίδιο αλλά η φάση είναι αντίθετη στη χαμηλή συνιστώσα ω ω M Τα διαμορφωμένα σήματα FM με β<< ονομάζονται σήματα στενής ζώνης και ομοιάζουν τα σήματα AM με εξαίρεση την φάση στη χαμηλή συνιστώσα. M [ΘΕΜΑ 7-006-007 η εργασια] Asin B, όπου Α,Β>0. Δίνεται το σήμα () ( ) (α) Να προσδιοριστεί η τιμή του Β ώστε το σήμα να έχει περίοδο δειγματοληψίας Nyquis ίση με 500μse. (β) To σήμα () διαμορφώνει συνημιτονικό φέρον () μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας 0kHz με διαμόρφωση DSB και στη συνέχεια με χρήση κατάλληλου ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου δημιουργείται σήμα SSB κάτω πλευρικής ζώνης. Να γραφούν οι εκφράσεις του φίλτρου στο πεδίο του χρόνου (κρουστική απόκριση) και των συχνοτήτων(συνάρτηση μεταφοράς) και να υπολογιστεί η συχνότητα αποκοπής του. (γ) Το σήμα () διαμορφώνει κατά συχνότητα το ίδιο συνημιτονικό φέρον του ερωτήματος (β) () με μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δ ma khz και σταθερά απόκλισης συχνότητας k 00π. Να προσδιοριστεί η παράμετρος Α του σήματος () και το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος. Υπoδείξεις: sin( π ). Ισχύει ότι sin( ) π. Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας συνδέεται με το μέγιστο πλάτος του σήματος πληροφορίας () με την ακόλουθη σχέση: k ma ma ( () ) Δ π ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Βήμα Πρέπει να προσδιοριστεί το φάσμα του σήματος. Με βάση γνωστούς ΜΣ Fourier και από πίνακες έχουμε: F sin ri (ιδιοτητα αλλαγης κλίμακας) () ( ) A B ri A B ri B B B B F ( ) sin ( ) F sin Συνεπώς το φάσμα απεικονίζεται ως εξής: Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 39 από 74 X() A/B -B 0 B Βήμα (θεωρίας δειγματοληψίας επόμενη ενότητα) Η μέγιστη συχνότητα που περιέχει το σήμα είναι ίση με Β, οπότε η συχνότητα δειγματοληψίας Nyquis είναι s B και η περίοδος δειγματοληψίας Nyquis είναι Ts 500μs B 000Hz B (β) Βήμα 3 (διαμορφώσεις DSB,AM,SSB πλάτους προηγούμενη ενότητα) Στο πρώτο ερώτημα δείξαμε ότι: A X( ) ri B B To φέρον σήμα ισούται με () os( π ) Με βάση την ιδιότητα μετατόπισης φάσματος θα έχουμε ότι : F () os( π ) X ( ) X ( ) + + A A + ri ri + B B B B Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος απεικονίζεται παρακάτω: X() s A/B --B - -+B 0 -B +B Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008

ΕΑΠ/ΠΛΗ 40 από 74 Για να ληφθεί το SSB-LSB (κατω πλευρική ζώνη) πρέπει να διέλθει το διαμορφωμένο σήμα από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο που να αποκόπτει την άνω πλευρική ζώνη. Αυτό απεικονίζεται παρακάτω: X() A/B LPF --B - -+B 0 -B +B Η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου είναι ίση με 0kHz, οπότε η έκφραση του στο χώρο των συχνοτήτων (συνάρτηση μεταφοράς) θα είναι: H ( ) re Γνωρίζουμε ότι F sin re () ( ) (ιδιοτητα αλλαγης κλίμακας) F F sin( ) ri sin( ) re () sin Άρα η έκφραση του φίλτρου στο χρόνο (κρουστική απόκριση) θα είναι: ( ) (γ) Βήμα 3 Ισχύει ότι k k Δma Δ ma ma ( () ) A A π π π k 000 π 40Vol 00π Επίσης, έχουμε ότι ο λόγος απόκλισης θα είναι : Δma 000 D, 000 Βήμα 4 οπότε το ζητούμενο εύρος ζώνης θα ισούται με βάση τον κανόνα Carson με: Δημήτριος Α. Καρράς 8-05-008