ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

Transcript

1 ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν λάβουμε υπόψη ότι οι συναρτήσεις βάση είναι ορθογώνιες Δηλαδή ισχύει η σχέση: j(-l) ω, για = t e dt =, για Με χρήση αυτής είναι δυνατό να αποδειχθεί ότι: -jωt C = x(t)e dt μιγαδικοί αριθμοί

2 Σειρές Fourier με ημίτονα και συνημίτονα Ένα περιοδικό σήμα, κάτω από προϋποθέσεις οι οποίες συνδέονται με την σύγκλιση των σειρών να γραφεί υπό τη μορφή: a x(t)= + Σacos(ω t)+ Σbsin(ωt) = = Ενδιαφέρον έχει να προσπαθήσει κανείς να υπολογίσει του όρους a και b του αναπτύγματος με cos( lω t) και ολοκλήρωση σε μία περίοδο (Τ) : a x(t)cos(lωt)dt= cos(lωt)dt+ a cos( t)cos(l t)dt+ bsin( t)cos(l t)dt ω ω ω ω = = Στην συνέχεια πρέπει να χρησιμοποιηθούν σχέσεις ορθογωνιότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin( x) και cos( x ). Υπάρχει ποικιλία τέτοιων σχέσεων όπως π.χ., l sin( ωt)sin(lω t)dt =, =l `, l cos( ωt)cos(lωt)dt =, =l sin(ω t)cos(l ω tdt ) = Αν ληφθούν υπόψη οι σχέσεις ορθογωνιότητας προκύπτει:

3 a = x(t)cos( ω) dt b = x(t)sin(ω t)dt a = x(t)dt

4 Σειρές Fourier μόνο με συνημίτονα Πρόκειται για μία παραλλαγή του αναπτύγματος που εξετάστηκε προηγούμενα.. Το σήμα συνεχούς χρόνου x(t) αναπτύσσεται στην εξής σειρά: x(t) = A + A cos( t+φ ) = ω ο Παρατηρεί κανείς την εμφάνιση μιας γωνίας φάσης αντί του ημιτονικού όρου. Με βάση γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτουν οι εξής σχέσεις: a A = A = a +b tan Φ b =- a Μιγαδική μορφή των σειρών Fourier x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Για πραγματικά σήματα x(t) μπορεί να αποδειχθεί πολύ εύκολα ότι: c - = (a +jb )=c

5 Φυσικά για πραγματικά σήματα τόσο το a όσο και τα b είναι πραγματικά A = c, A = c =, Φάσμα πλάτους c Φ Φάσμα Φάσης Διπλευρικό και Μονοπλευρικό φάσμα περιοδικού σήματος Γραμμωτά Φάσματα

6 Σειρές Fourier σημάτων με συμμετρίες και συμμετρίες σειρών Fourier Σε πολλές περιπτώσεις στην πράξη τα περιοδικά σήματα είναι άρτιες συναρτήσεις του χρόνου, δηλαδή ισχύει η σχέση: x(t) = x( t) ότε μπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι: b 4 και a x(t)cos( ω tdt ) Επίσης αποδεικνύεται ότι για άρτια σήματα: c R και Α = a = c Τα άρτια σήματα αντιστοιχούν σε Φ. Άρτιο σήμα: ο περιοδικός τετραγωνικός παλμός διάρκειας d, πλάτος Α. c Ad/ = A/ c Ad = πω d πω d sin[ ] [ ] Φάσμα πλάτους περιοδικού τετραγωνικού παλμού με duty cycle /.

7 Περιττά Σήματα: x(t) = x( t) Με χρήση των σχέσεων ορισμού καταλήγει κανείς στο εξής αποτέλεσμα: a A b c c = jb Φ = 9 4 b x(t)sin( ω t ) dt Ενα παράδειγμα περιττής συνάρτησης δίνεται στο σχήμα A π 4 A sin = π ( ) Α = Το c είναι άρτια συνάρτηση του, ενώ το Φ είναι περιττή συνάρτηση του.

8 Συμπίεση Αριθμού Γεννητριών Περιοδικών Σηματών M x( % t ) = A + A cos( ω t + Φ ) = E = x ( t ) dt Την προηγούμενη σχέση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε E x % M = ( t ) dt Με χρήση της και των βασικών σχέσεων ορθογωνιότητας στην E A = A + = Προφανώς E > E, Μ Επιλογή της φειδωλής τιμής του Μ, Μ φ, βάση την μέση ενέργεια.

9 Τετραγωνική μορφή και προσέγγιση σε μικρό αριθμό γεννητριών Το Θεώρημα του Parseval : Για Μ A E = A + = x () t dt =

10 Φάσματα τετραγωνικών παλμών για (α) Τ =d, Τ =4d, 3 =8d

11 Mετασχηματισμός Fourier Αναλογικών Σημάτων Ο γενικός όρος της σειράς Fourier δίνεται από την σχέση c x(t)e jω t = dt Στην περίπτωση μη περιοδικών σημάτων Τ και παρατηρουμε αμέσως ότι c, επομένως οι σειρές Fourier δεν είναι το κατάλληλο εργαλείο για την περιγραφή μη περιοδικών σημάτων στον χώρο της συχνότητας. Στην περίπτωση μη περιοδικών σημάτων Τ το γραμμωτό φάσμα δεν έχει πλέον νόημα. Θα έχουμε να κάνουμε με ένα συνεχές φάσμα και θα υπάρχουν άπειρες συχνότητες μεταξύ δύο συχνοτήτων. Η απόσταση μεταξύ δύο συχνοτήτων ήταν στην περίπτωση του τετραγωνικού περιοδικού παλμού: ω = π Τ Στην περίπτωση Τ (ένας μόνο παλμός) τόσο το c όσο και το Δω. Το ( c ) μέγεθος που ίσως τώρα έχει νόημα έιναι το f που πιθανόν να παραμείνει διάφορο του μηδενός και αντιστοιχεί σε μία πυκνότητα πλάτους ανά μονάδα συχνότητας: c = c = f Στο όριο θα έχουμε : Αλλά: x(t)e jω t dt li( ) = li x( ) π ω = = ω jω c te dt li( ω ) = ω. Τ και

12 Eπομένως: li( ) x(t)e j ω c t = dt H συνάρτηση (σήμα) X( ω) = x(t)e jωt dt Μπορεί να ονομαστεί πυκνότητα φάσματος Επομένως το ζευγάρι μετασχηματισμού Fourier είναι το εξής: jω t x(t) = Χ ( ω ) e dω π Aντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier j Χ ( ω) = x(t)e ωt dt Mετασχηματισμός Fourier

13 Βασικές Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier Με την υπόθεση της υπάρξης του ζευγαρίου x(t) X(ω) ο πίνακας συνοψίζει τις βασικές ιδιότητες. ax() t + ax() t a X( ω) + a X ( ω). Γραμμικότητα:. Χρονική Κλιμάκωση: ω x(at) X ( ) a a 3. Συμμετρία μεταξύ των χώρων ορισμού: Xt () πx( ω) 4.Χρονική Μετάθεση: 5.Μετάθεση Συχνότητας: Διαμόρφωση: 6.Παραγώγιση: 7.Συνέλιξη: jt ω x(t t) e X() ω j t e ω x(t) X( ω ω) x(t)cos ωt [ X ( ω ω) +Χ ( ω + ω)] n d x(t) n ( jω) X ( ω) n dt x()*x t () t X ( ω) Χ ( ω) x ( t)x () t Χ ( ω)* Χ ( ω) π

14 Μετασχηματισμός Fourier Σημάτων Ισχύος Ο μετ/σμος Fourier ενός σταθερού σήματος x(t)=k, t, μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ένα παράγοντα σύγκλισης: + + at at jωt at jωt X( ω) = Fx(t) { } =F li( e K) = li( e K) e dt lik e e dt a = = a a + (a j ω) t (a + jω) t (a jω) t (a + jω) t e e = li K [ e dt+ e dt] = li K [ ] a j ω (a + jω) a a + o ak = li K [ + ] = li( ) a a j ω a + jω a a + ω Χ ( ω) =, ω Χ ( ω) =, ω= + + Για την άρση της αοριστίας μπορεί να γίνει εφαρμογή του κανόνα L Hospital οπότε: a Κ K li( ) = li( ) = a + ω a a a ω = Επομένως η τιμή του μετασχηματισμού Fourier απειρίζεται στην μηδενική συχνότητα. Παράλληλα όμως παρατηρούμε ότι η επιφάνεια Ε κάτω από την ak συνάρτηση παραμένει σταθερή και ανεξάρτητη του α. a + ω + + ak a tan( ) ( ( )) ( ) d d ω + π π ω ω K π K π a + ω a + ω a Ε= =Κ =Κ = =Κ =

15 που αντιστοιχεί στον κρουστικό παλμό (συνάρτηση δέλτα) στην αρχή των αξόνων(ω=) με μέγεθος K π. F{x(t)} = FK {} = X() ω = π Κ δω () =Κ δ() f διότι δ (at) = δ (), t a επομενως: δ ( ω ) = δ ( π f ) = δ ( f ). π Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζουμε τη συνάρτηση προσήμου ( /jω )

16 Μετασχηματισμοί Fourier ημιτονοειδών σημάτων Γενικά ισχύει: δ (at) = δ (), t a Επομένως: δ ( ω ) = δ ( π f ) = π δ ( f ). Και δ a t a (a t t) = δ( t ) Οπότε t = e + e F t F e F e jω t jω t cos( ω ) ( ) αλλά : jω t jω t { cos( ω )} = { } + { } jωt jωt { } F{ e } F e = = π δω ( ω ) διότι λόγω της γνωστής ιδιότητας της διαμόρφωσης του μετ/σμου Fourier ισχύει: F jωt x( t) X( ω) e x(t) X( ω ω ) F Τελικά: jωt jω t F{ cos( ωt} = F{ e } + F{ e } = [ πδ( ω ω) + πδ( ω+ ω)]

17 Αρα F{ cos( ωt} = πδω [ ( ω) + δω ( + ω)] = [ δ( f f) + δ( f + f)] Ομοίως: F { sin( t π ω } = [ δω ( ω) δω ( + ω)] = [ δ( ) ( )] j j f f δ f + f Ενώ για το βηματικό παλμό: F{ ut ()} = F + sgn( t) = F + F sgn( t) = π δω ( ) + = δ( f) jω jπ f ut () Διαμόρφωση κατά πλάτος [ t ] π x(t) = A + ()cos( ft) όπου (t) είναι το διαμορφώνον σήμα με t () και f είναι η συχνότητα του φέροντος σήματος (σε τιμή αρκετά υψηλότερη από τις συχνότητες του διαμορφώνοντος σήματος). το γινόμενο στον χρόνο είναι συνέλιξη στην συχνότητα ως εξής: { } { π } X( f ) = F x(t) = F A[ + t ()]cos( ft = A F{ + t ()} F{cos( π ft)} = = A[ δ( f) + M( f )] [ δ( f + f) + δ( f f)] = A Α = [ δ( f + f) + δ( f f)] + [ Μ ( f + f) + M( f f)] (όπου Μ(f)=F{(t)} ).

18 Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος x(t) αποτελείται από δύο «διακριτές συνιστώσες» στις συχνότητες του φέροντος ±f γύρω από την συχνότητα, όπως φαίνεται στο σχήμα M ( f ) = Φάσμα διαμορφούντος σήματος (t) Φάσμα φέροντος (carrier)

19 ΣΥΝΟΨΗ Αν x(t)=u(t), τότε X( ω) = πδ( ω) + ή jω X( f) = δ ( f) + jπ f Μετασχηματισμός Fourier βηματικής Συνάρτησης Αν x(t)=sin(ω t), τότε : X(ω)=jπ[δ(ω+ω )-δ(ω-ω )] j ( ) [ ( ) ( )] ή X f = δ f + f δ f f Μετασχηματισμός Fourier σήματος x(t)=sin(ω t).

20 Αν + x(t) = δ ( t n), n= τότε + π π x( ω) = δω ( n ) Τ Τ (ή n= + n X( f) = δ( f )) Τ n= Mετασχηματισμός Fourier Σήματος x(t) δ ( t n) + n= Αν jωt x(t) = e, τότε: X ( ω) = πδ( ω ω ) ( ή X( f ) = δ( f f )) Μετασχηματισμός Fourier σήματος x(t) = e jω t

21 Το θεώρημα της Δειγματοληψίας Έτσι θα έχουμε st = δ t n = ce ω = ω = = π f + j () ( ) ω t π, Τ s n s s s = όπου: s jωt jωt c = st () e dt () t e dt = δ = Aρα : s < s> s s s c =, Z. s

22 Αλλά o κρουστικός παλμός είναι το ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης: x(t) * δ(t-t o ) = x(t-t o ) οπότε:

23 Χρήση βαθυπερατού φίλτρού σύμφωνα με το θεώρημα της Δειγματοληψίας

24 Ανακατασκευή του σήματος x(t) από τα δείγματα x s (t) Εφαρμογή ιδανικού κατωδιαβατού φίλτρου f s s f H( f ) = f s, f > Επομένως, η κρουστική του απόκριση, h(t)=f - {Η(f)} θα δίνεται από την σχέση: t ht = F H f = c π t R () { ( )} sin ( ), ( ) s σύμφωνα με την γνωστή ιδιότητα του μετ/σμου Fourier : F x(t) X( f) X() t x( f). F Eπομένως, ή έξοδος του βαθυπερατού φίλτρου, y(t), θα προσδιορίζεται με την χρήση του συνελικτικού αθροίσματος ως εξής: + t yt () = x() s t ht () = [ x( ns) δ( t ns)] sin c( π ) = n= s x() t + π = x(n s)sin c[ ( t ns)] Τ n= s s Σε περίπτωση που έχουμε επιλέξει s = =, f B s τότε: + n yt () = x( )sin c[ π Β ( t n )], fs = B B B n=

25 Παρατήρηση : Σε περίπτωση που το προς δειγματοληψία σήμα x(t) είναι ζωνοπερατό (Band Pass) σήμα, δηλ. X(f)= για f <B και f <B, τότε ότι η συχνότητα δειγματοληψιας f s, μπορεί να είναι μικρότερη από Β. Μπορεί να αποδειχθεί ότι τότε έχουμε : B f s <4B, όπου Β=Β -Β.