ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΙΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL (N. FARADAY, N. AMPERE MAXWELL) ρ. Α. Μαουλάς Νοέµβριος 2016
1 α) Νόµος Faaay O Michae Faaay µετά από µια µακρά σειρά πειραµάτων που έκανε ανακάλυψε την «παραωή ηλεκτρικών φαινοµένων που οφείλονται σε µανητικές δράσεις». Θα ήταν πολύ ενδιαφέρον να µελετήσει κανείς τα ραφόµενα του Faaay όπως δηµοσιεύθηκαν στο βιβλίο του Expeimenta Reaseaches in Eecticity (1839). Το βιβλίο αυτό πρέπει να υπάρχει ελεύθερο στο intenet. Παρακάτω θα αναφέρουµε την τελική διατύπωση του Νόµου της Ηλεκτροµανητικής Επαωής (Νόµος Faaay) όπως διαµορφώθηκε από τον Maxwe. B ανοικτή επιφάνεια E κλειστή καµπύλη (όριο ανοικτής επιφάνειας ) Σχ. 1 Θεωρούµε µια ανοικτή επιφάνεια η οποία έχει όριο την κλειστή καµπύλη. Με συµβολίζουµε το κάθετο διάνυσµα σε κάθε σηµείο της, και µε το εφαπτοµενικό διάνυσµα σε κάθε σηµείο της. Τα δύο αυτά διανύσµατα συνδέονται, ως νωστόν, µε τον κανόνα της δεξιάς χειρός. Έστω τώρα ότι στο χώρο που ευρίσκεται η επιφάνεια υπάρχει ένα µανητικό πεδίο µε µανητική επαωή B. Σε κάθε σηµείο επί της θα υπάρχει ένα διάνυσµα B το οποίο θα σχηµατίζει µια ωνία µε το κάθετο διάνυσµα Η µανητική ροή. Ψ m δια της επιφανείας θα είναι: Ψ m = B
2 Έστω τώρα ότι η ροή Ψ Ψ m µεταβάλλεται χρονικά δηλαδή ισχύει m 0 t Σύµφωνα µε τον Νόµο Faaay η χρονική µεταβολή της µανητικής ροής Ψ m δια της έχει σαν συνέπεια την ανάπτυξη ενός ηλεκτρικού πεδίου E στον χώρο! Η ακριβής µαθηµατική σχέση που περιράφει το φαινόµενο είναι: E = t B επικαµπύλιο ολοκλήρωµα του E στο όριο της ανοικτής επιφάνειας (κλειστή καµπύλη ) µανητική ροή Ψ m δια της ανοικτής επιφάνειας Η µαθηµατική διατύπωση του Νόµου είναι εδώ σε ολοκληρωτική µορφή και συνδέει ολοκληρώµατα των δύο πεδιακών µεεθών B και E σε διαφορετικές περιοχές του χώρου (κλειστό επικαµπύλιο στην ια το E και επιφανειακό στην ια το B ) Παρατήρηση Η χρονική µεταβολή της µανητικής ροής Ψ m µπορεί να ίνεται µε πολλούς τρόπους. Ένας από αυτούς είναι να έχουµε χρονική µεταβολή της µανητικής επαωής B = B Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να πούµε: «Ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µανητικό πεδίο H ( άρα και B ) δηµιουρεί ένα επίσης χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο E»
3 β) Νόµος Ampee Maxwe Αρχικά αναφέρουµε τον Νόµο Ampee, ο οποίος διατυπώθηκε σχεδόν την ίδια χρονική περίοδο µε τον Νόµο Biot avat, και αναφέρεται στη δηµιουρία µανητικού πεδίου από το συνεχές (χρονικά σταθερό) ηλεκτρικό ρεύµα. Έχουµε και πάλι µια ανοικτή επιφάνεια η οποία έχει όριο την κλειστή καµπύλη. Με συµβολίζουµε το κάθετο διάνυσµα σε κάθε σηµείο της, και µε το εφαπτοµενικό διάνυσµα σε κάθε σηµείο της. J ανοικτή επιφάνεια H κλειστή καµπύλη (όριο ανοικτής επιφάνειας ) Σχ. 2 Έστω ότι δια της ανοικτής επιφάνειας διέρχεται χρονικά σταθερό ηλεκτρικό ρεύµα µε πυκνότητα ρεύµατος J. ηλαδή σε κάθε σηµείο επί της θα υπάρχει ένα διάνυσµα J το οποίο θα σχηµατίζει µια ωνία µε το κάθετο διάνυσµα. Το συνολικό ηλεκτρικό ρεύµα i δια της επιφανείας θα είναι: i= J Το χρονικά σταθερό αυτό ρεύµα δηµιουρεί ένα χρονικά σταθερό (στατικό) µανητικό πεδίο H στο χώρο! Η ακριβής µαθηµατική σχέση που περιράφει το φαινόµενο είναι: ( Νόµος Ampee)
4 H = J = i επικαµπύλιο ολοκλήρωµα του H στο όριο της ανοικτής επιφάνειας (κλειστή καµπύλη ) ηλεκτρικό ρεύµα i δια της ανοικτής επιφάνειας Η µαθηµατική διατύπωση του Νόµου είναι, όπως και πριν, σε ολοκληρωτική µορφή Ένα σηµαντικό ερώτηµα που µπορεί να τεθεί εδώ είναι: - Τι συµβαίνει όταν το ρεύµα i δεν είναι χρονικά σταθερό; Απάντηση: Η ανωτέρω σχέση που περιράφει το Νόµο συνεχίζει να ισχύει αλλά µε την προσθήκη ενός επί πλέον όρου τον οποίο εισήαε ο Maxwe. Παρακάτω θα εξεταστεί µε αρκετή λεπτοµέρεια το θέµα αυτό κάνοντας χρήση ενός απλού αλλά πολύ σηµαντικού παραδείµατος
5 Περίπτωση φόρτισης ( ή εκφόρτισης ) ενός πυκνωτή Ας δούµε πως εφαρµόζεται ο Νόµος Ampee περίπτωση που έχουµε έναν πυκνωτή στη διαδικασία φόρτισης (η εκφόρτισης) του. κλειστή καµπύλη i ( t ) ανοικτή επιφάνεια 1 ανοικτή επιφάνεια 2 Σχ. 3 Στο ανωτέρω σχ. 3 φαίνεται ένας πυκνωτής ο οποίος φορτίζεται. Προφανώς το ρεύµα i δεν µπορεί να είναι χρονικά σταθερό. Θα εφαρµόσουµε τον Νόµο Ampee χρησιµοποιώντας δύο διαφορετικές ανοικτές επιφάνειες 1 (πράσινη διαράµµιση) και 2 (κόκκινη διαράµµιση) πού όµως έχουν κοινό όριο την κλειστή καµπύλη H H 1 ιέρχονται ραµµές J H 2 εν διέρχονται ραµµές J Σχ. 4
6 Παρατηρούµε αµέσως τα ακόλουθα: - ια της επιφανείας 1 προφανώς διέρχονται δυναµικές ραµµές J (δηλαδή απλά διέρχεται ηλεκτρικό ρεύµα) - ια της επιφανείας 2, η οποία όπως φαίνεται αναπτύσσεται και στον χώρο µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή, δεν διέρχονται δυναµικές ραµµές J (δηλαδή απλά δεν διέρχεται ηλεκτρικό ρεύµα) Στα σηµεία της κλειστής καµπύλης ( κοινό όριο των 1 και 2 ) θα παίρνει τιµές το, παραόµενο από το ρεύµα i, µανητικό πεδίο H και το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα H θα είναι, προφανώς, διάφορο του µηδενός. Συµπεραίνουµε λοιπόν τα ακόλουθα: - Η εφαρµοή του Ν. Ampee στην ανοικτή επιφάνεια 1 µε όριο την κλειστή καµπύλη δεν παρουσιάζει κανένα πρόβληµα. H = 1 J = i - Η εφαρµοή, όµως, του Ν. Ampee στην ανοικτή επιφάνεια 2 µε όριο την ίδια κλειστή καµπύλη παρουσιάζει σηµαντικότατο πρόβληµα διότι. H = J = 0 ηλαδή υπάρχει εδώ η αντίφαση: αριστερός όρος : H 0 οπωσδήποτε δεξιός όρος J = 0 2 2 διότι δεν διέρχονται ραµµές του J Τίθεται εποµένως θέµα κατάρρευσης του Νόµου του Ampee!! Εδώ ακριβώς βρίσκεται η συµβολή του Maxwe ο οποίος προσέθεσε έναν επί πλέον όρο στην αρχική εξίσωση του Νόµου του Ampee. Στα επόµενα αναπτύσσεται το θέµα αυτό.
7 Ο Νόµος του Ampee συµπληρωµένος από τον Maxwe ράφεται ως εξής: H = J D + t επικαµπύλιο ολοκλήρωµα του H στο όριο της ανοικτής επιφάνειας (κλειστή καµπύλη ) ηλεκτρικό ρεύµα i δια της ανοικτής επιφάνειας (όρος Ampee) ρεύµα µετατοπίσεως (όρος Maxwe) Βλέπουµε ότι ο Maxwe προσέθεσε τον όρο µετατοπίσεως» (ispacement cuent) t D τον οποίο ονόµασε «ρεύµα Ο όρος αυτός έχει προφανώς διαστάσεις ηλεκτρικού ρεύµατος (Amps) και εµφανίζεται µόνον στις περιπτώσεις που έχουµε χρονικά µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά πεδία ( E και D ) όπως ακριβώς συµβαίνει στο πεδίο, µεταξύ των πλακών, ενός φορτιζόµενου ή εκφορτιζόµενου πυκνωτή. Σύµφωνα λοιπόν µε τον Maxwe το ρεύµα µετατοπίσεως δηµιουρεί µανητικό πεδίο ακριβώς όπως και το ρεύµα αωιµότητας. Σήµερα ο όρος «ρεύµα µετατοπίσεως» θεωρείται αδόκιµος και δεν χρησιµοποιείται πλέον, διότι το ρεύµα αυτό δεν σχετίζεται µε την µεταφορά ηλεκτρικών φορτίων ( όπως συµβαίνει µε το ρεύµα αωιµότητας). Η ορθότερη άποψη, που επικρατεί σήµερα, ια το θέµα αυτό είναι: «Ένα χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο E ( άρα και D ) δηµιουρεί ένα επίσης χρονικά µεταβαλλόµενο µανητικό πεδίο H» ( Προσοχή εδώ! Αν τα E και D είναι χρονικά σταθερά και µεταβάλλεται µε κάποιο τρόπο η ηλεκτρική ροή Ψ = D δεν δηµιουρείται κανένα µανητικό πεδίο. Για να e παραχθεί µανητικό πεδίο απαιτείται οπωσδήποτε χρονική µεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου)
8 Στο σχ.5 φαίνεται ο πυκνωτής, κατά τη διαδικασία φόρτισης, και έχουν σηµειωθεί οι δυναµικές ραµµές του πεδίου D µεταξύ των οπλισµών του αλλά και έξω από αυτούς (όπως πραµατικά συµβαίνει). Σηµειώνεται ότι επειδή ο πυκνωτής φορτίζεται το µέτρο του D αυξάνει σε κάθε σηµείο. D + Σχ. 5 Στο σχ. 6 φαίνεται πάλι ο πυκνωτής (στη διαδικασία φόρτισης πάντα) οι δύο ανοικτές επιφάνειες 1 και 2, µε κοινό όριο την κλειστή καµπύλη και έχουν σηµειωθεί µε βέλη το ρεύµα αωιµότητας και το «ρεύµα µετατοπίσεως». Το ρεύµα αωιµότητας (πράσινα βέλη) ρέει προφανώς µέσα στους αωούς που τροφοδοτούν τον πυκνωτή και βέβαια στους µεταλλικούς οπλισµούς του. Το «ρεύµα µετατοπίσεως» ( κόκκινα βέλη) είναι ανάλοο της παραώου D και επειδή, t όπως είπαµε, το D αυξάνει η φορά του είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα.
9 H H i 1 i H 2 Ρεύµα αωιµότητας µε πυκνότητα J Ρεύµα «µετατοπίσεως» µε πυκνότητα Σχ. 6 D t Ξαναράφουµε εδώ τον Ν. Ampee Maxwe Η = J + D Παρατηρούµε ότι ια τον υπολοισµό του ή Η = J + Η στην κλειστή καµπύλη : - Αν χρησιµοποιηθεί η ανοικτή επιφάνεια 2 συνεισφέρει µόνον ο όρος 2 D - Αν χρησιµοποιηθεί η ανοικτή επιφάνεια 1 συνεισφέρουν και οι δύο όροι D J και, αλλά ια βραδεία χρονική µεταβολή του D, 1 πρακτικά συνεισφέρει µόνον ο πρώτος όρος 1 D
10 Ο όρος D ίνεται σηµαντικός µόνον σε περιπτώσεις ταχύτατης µεταβολής του D - Τι σηµαίνει αυτό; Έστω f η συχνότητα µε την οποία µεταβάλλεται το D. Αυτή αντιστοιχεί σε ένα µήκος κύµατος λ = c / f ( c = ταχ. του φωτός). Αν το µήκος λ είναι συκρίσιµο µε τις φυσικές διαστάσεις του πυκνωτή τότε, ο όρος D ίνεται σηµαντικός. Αν το λ είναι πολύ µεαλύτερο των φυσικών διαστάσεων του πυκνωτή ο όρος να ανοηθεί. D µπορεί Ας προσέξουµε εδώ ότι µιλάµε ια τον όρο D = D D και όχι ια το ολοκλήρωµα. Όπως είδαµε προηουµένως ο όρος D µόνος που συνεισφέρει αν ληφθεί η ανοικτή επιφάνεια 2 ια τον υπολοισµό του είναι ο Η. Ένα ενδιαφέρον θέµα είναι ο υπολοισµός του µανητικού πεδίου από τα ρεύµατα αωιµότητας και µετατοπίσεως, κάνοντας χρήση του Νόµου Biot avat. Ας δούµε το παρακάτω σχ. 7. σηµεο ί υπολοισµού Α του Η i i Ρεύµα αωιµότητας µε πυκνότητα J Ρεύµα «µετατοπίσεως» µε πυκνότητα Σχ. 7 D t
11 Έστω ότι θέλουµε να υπολοίσουµε το µανητικό πεδίο H στο σηµείο Α, µε χρήση του Νόµου Biot avat. Λοικά θα πρέπει να λάβουµε υπ όψη και τις δύο µορφές ρευµάτων ( αωιµότητας και µετατοπίσεως). Από την χωρική κατανοµή του ρεύµατος µετατοπίσεως προκύπτει ότι ια αρές χρονικές µεταβολές η συµβολή του ρεύµατος αυτού στον υπολοισµό του H είναι πρακτικά αµελητέα. Ο υπολοισµός του H µπορεί να ίνει, χωρίς σηµαντικό σφάλµα, µόνον από το ρεύµα αωιµότητας. Τονίζεται εδώ ότι αναφερόµαστε στον υπολοισµό του H σε ένα σηµείο του χώρου και όχι στον υπολοισµό επικαµπυλίου ολοκληρώµατος του H σε κάποια κλειστή καµπύλη. Σχέση τάσεως ρεύµατος πυκνωτή Παρακάτω θα δούµε πως προκύπτει από τον όρο Maxwe ( ρεύµα µετατοπίσεως) η νωστή από την θεωρία κυκλωµάτων σχέση τάσεως - ρεύµατος σε πυκνωτή. i C + ε V C D Σχ. 8 Το ρεύµα που διαρρέει τον πυκνωτή στον χώρο µεταξύ των πλακών («ρεύµα µετατοπίσεως») θα είναι ως νωστόν: i C = iµετατοπίσεως _ = D Στο σηµείο αυτό δεχόµαστε την παραδοχή, που ισχύει στη θεωρία κυκλωµάτων, ότι: - Το πεδίο D αναπτύσσεται µόνον στον χώρο µεταξύ των δυο πλακών του πυκνωτή και είναι οµοενές. Εποµένως το επιφανειακό ολοκλήρωµα D D όπου το εµβαδόν µιας πλάκας του πυκνωτή θα ραφεί απλά ως: D = ε 0 ε E
12 Επειδή θεωρήσαµε οµοενές πεδίο µπορούµε να ράψουµε ια το µέτρο του πεδίου Ε: E = V c όπου V C η τάση µεταξύ των πλακών του πυκνωτή και η απόσταση µεταξύ τους Άρα η σχέση ια το «ρεύµα µετατοπίσεως» ράφεται: i C = iµετατοπίσεως αλλά η έκφραση = ε 0 ε = D έτσι µπορούµε να ράψουµε τελικά: C = ( ε 0 ε V C ) = ε 0 ε VC µας δίνει ακριβώς την χωρητικότητα C του πυκνωτή και ic = C τη νωστή σχέση από την θεωρία κυκλωµάτων. V C ) Σύνοψη των δύο Νόµων Είδαµε στα προηούµενα ότι: «Ένα χρονικά µεταβαλλόµενο µανητικό πεδίο H ( άρα και B επίσης χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο E» ( Ν.Faaay) ) δηµιουρεί ένα και επίσης: «Ένα χρονικά µεταβαλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο E ( άρα και D ) δηµιουρεί ένα επίσης χρονικά µεταβαλλόµενο µανητικό πεδίο H» ( N. Ampee Maxwe) -Η ταυτόχρονη ισχύς αυτών των δύο προτάσεων οδηεί στην ύπαρξη των Ηλεκτροµανητικών κυµάτων!