ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4

2 Παράδειγµα ίδεται το ακόλουθο δίκτυο: E Είσοδος: Ε Έξοδος: δεν αναφέρεται Ζητείται να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως του δικτύου. Παρατήρηση. Επειδή στο παρόν πρόβληµα ΕΝ δίδεται ποιο ή ποια µέγεθος ή µεγέθη είναι τα σήµατα εξόδου, προφανώς ΕΝ ζητούνται οι εξισώσεις εξόδου. Ζητούνται µόνον οι εξισώσεις καταστάσεως. Λύση: Εκλογή των µεταβλητών καταστάσεως. Τάξη δικτύου n δύο δυναµικά στοιχεία πηνία. Ως µεταβλητές καταστάσεως εκλέγονται τα ρεύµατα των πηνίων:, Άρα x διάνυσµα καταστάσεως Για την εύρεση των Ε.Κ. χρησιµοποιούµε τα µαθηµατικά «εργαλεία» που διαθέτουµε. ηλαδή: - Νόµους Krchhoff - Σχέσεις τάσεως ρεύµατος των ηλ. στοιχείων Ξανασχεδιάζουµε το δίκτυο και τοποθετούµε ρεύµατα κλάδων Έτσι έχουµε:

3 A E Ν.Ρ.Κ. Α Ν.Τ.Κ. E Ν.Τ.Κ. E 3 η δίνει : 4 και από και 4 παίρνουµε: ή E E 5 ηλ. εκφράσαµε την η παράγωγο του πρώτη µεταβλητή καταστάσεως συναρτήσει των, των δύο µεταβλητών καταστάσεως και της εισόδου Ε. Η σχέση 5 είναι η η εξίσωση καταστάσεως. Στη συνέχεια από τις σχέσεις 3 και 4 παίρνουµε: E ή E 6 Η σχέση 6 είναι η η εξίσωση καταστάσεως

4 3 Οι Ε.Κ. σε µητρική µορφή γράφονται: E x A x B f Παράδειγµα ίδεται το ακόλουθο δίκτυο: E Είσοδος: Ε Έξοδοι:, Ζητείται να γραφούν οι εξισώσεις καταστάσεως και οι εξισώσεις εξόδου του δικτύου. Λύση: Εκλογή των µεταβλητών καταστάσεως. Τάξη δικτύου n 3 τρία δυναµικά στοιχεία, πυκνωτές και ένα πηνίο. Ως µεταβλητές καταστάσεως εκλέγονται τα µεγέθη:,,. Άρα: f [ E ] x y διάνυσµα εισόδου Χ διάνυσµα καταστάσεως 3 Χ διάνυσµα εξόδου Χ

5 4 Ξανασχεδιάζουµε το δίκτυο και τοποθετούµε ρεύµατα κλάδων A E Γράφουµε τις 3 εξισώσεις από τους Νόµους Krchhoff Ν.Ρ.Κ. Α Ν.Τ.Κ. E Ν.Τ.Κ. E 3 Επίσης έχουµε τις σχέσεις τάσεως ρεύµατος 4 προσοχή στο «µείον» µη συσχετισµένες φορές αναφοράς 5 Παρατηρούµε αµέσως ότι η απλή σχέση τάσεως ρεύµατος για τον πυκνωτή σχέση 4 αποτελεί εξίσωση καταστάσεως, διότι συνδέει την η παράγωγο του µεταβλητή καταστάσεως µε το µεταβλητή καταστάσεως Άρα η η εξίσωση καταστάσεως θα είναι:

6 5 Βρήκαµε λοιπόν εύκολα την η Εξίσωση Καταστάσεως, αλλά για τις υπόλοιπες χρειάζεται προσοχή και σχετική εµπειρία. Παρατηρούµε τις σχέσεις και 3, τις ξαναγράφουµε παρακάτω: E 3 Οι δύο αυτές σχέσεις µπορούν να σχηµατίσουν ένα σύστηµα Χ µε αγνώστους τα ρεύµατα και. ΗΛΑ Η: Μπορούµε να βρούµε εκφράσεις που να δίνουν τα ρεύµατα και συναρτήσει των, και E µεταβλητές καταστάσεως είσοδος Αυτό είναι πολύ σηµαντικό! Στην ουσία απαλείφονται τα και και προκύπτουν σχέσεις που περιέχουν µόνον τα µεγέθη που ενδιαφέρουν δηλαδή τα: Έχουµε λοιπόν το σύστηµα εξισώσεων:,,, E E Η λύση θα είναι: E 6 E 7 Παρατηρούµε αµέσως ότι η σχέση E και η σχέση 6 θα δώσουν αµέσως την η εξίσωση καταστάσεως Έχουµε λοιπόν από και 6 : E E Πράγµατι η σχέση αυτή περιέχει την η παράγωγο του και τα µεγέθη,, E

7 6 Η τελευταία σχέση ξαναγράφεται στην τελική µορφή της, δηλ. έχοντας στο αριστερό µέλος µόνον την παράγωγο και δεξιά τους υπόλοιπους όρους: E E ή E η σχέση αυτή αποτελεί την η εξίσωση καταστάσεως Με όµοιο τρόπο συνδυάζοντας τις σχέσεις: και E θα πάρουµε: E ή E η σχέση αυτή αποτελεί την 3 η εξίσωση καταστάσεως Παρακάτω γράφουµε τις εξισώσεις καταστάσεως σε «µητρική» µορφή

8 7 E A x x B f Τέλος αναζητούµε και τις εξισώσεις εξόδου Οι δύο έξοδοι είναι: Αλλά τα ρεύµατα και έχουν εκφραστεί ήδη συναρτήσει των Μεταβλητών Καταστάσεως και της Εισόδου σχέσεις 6 και 7. Συνεπώς οι εξισώσεις εξόδου γράφονται: E E και σε µητρική µορφή: E y x D f