ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

Transcript

1 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια το U ανοικτό υποσύνολο του R. Ένα διανυσµατικό πεδίο F, µπορούµε να το φανταζόµαστε ότι αντιστοιχεί σε κάθε U F όπως στο σχήµα. το διάνυσµα ( βέλος ) ( ) Τα διανυσµατικά πεδία που θα µας απασχολήσουν θεωρούνται κυρίως στον R και στον R ( F : U R R ή F : U R R ) Παραδείγµατα διανυσµατικών πεδίων έχουµε ήδη εξετάσει στις προηγούµενες παραγράφους. Υπενθυµίζουµε εδώ ότι ένας µετασχηµατισµός συντεταγµένων όπως ορίστηκε στην παράγραφο Αλλαγής µεταβλητής στο πολλαπλό ολοκλήρωµα είναι ένα διανυσµατικό πεδίο. Ειδικότερα οι, πολικός, κυλινδρικός και σφαιρικός µετασχηµατισµός είναι διανυσµατικά πεδία Ένα πολύ ενδιαφέρον διανυσµατικό πεδίο το οποίο έχουµε ήδη εξετάσει στο παράδειγµα () µετα το Θεωρηµα.5 είναι και το πεδίο δυνάµεων βαρύτητας ή βαρυτικό πεδίο, το οποίο παρουσιάζουµε εδώ µε περισσότερη λεπτοµέρεια. Έστω Μ µια σηµειακή µάζα τοποθετηµένη στην αρχή των αξόνων του R και r, y, z. Τότε η δύναµη έλξης που ασκεί m µια άλλη σηµειακή µάζα στο σηµείο ( ) η Μ στην m δίνεται από τον νόµο του Νεύτωνα και είναι GmΜ r GmM F(, y, z) r r r r ( βέβαια και η m ασκεί στην Μ δύναµη ίση κατά το µέτρο και µε αντίθετη φορά) όπου G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας ή σταθερά της παγκόσµιας έλξης. Όπως έχουµε ήδη διαπιστωσει σ, το F είναι ένα πεδίο κλίσεων, αφού F v, όπου

2 45 mμg v. Η δύναµη F είναι µια κεντρική δύναµη, δηλαδή δρα κατά µήκος της r ευθείας που συνδέει τα κέντρα των µαζών m και Μ και έχει πάντοτε φορά ( αφού η Μ έχει τοποθετηθεί στην αρχή των αξόνων ) προς την αρχή των αξόνων, αυτό δηλώνεται µε το αρνητικό πρόσηµο στον παραπάνω τύπο. Το παραπάνω µοντέλο µπορεί να εφαρµοσθεί, όταν οι διαστάσεις των δύο µαζών είναι µικρές σε σχέση µε την µεταξύ τους απόσταση, όποτε θεωρούµε ότι οι δύο µάζες είναι συγκεντρωµένες σε υλικά σηµεία. Αν τα m και Μ είναι µάζες σφαιρικών σωµάτων µε πυκνότητες που µεταβάλλονται οµοιόµορφα κατά µήκος της ακτίνας, όπως περίπου συµβαίνει µε τον ήλιο και τους πλανήτες, τότε µπορούµε να πούµε ότι r είναι η απόσταση µεταξύ των κέντρων τους, ακόµη και όταν το r είναι µικρό. Τέλος αν η µάζα Μπου είναι τοποθετηµένη στην αρχή των αξόνων είναι µεγάλη σε σχέση µε την m, όπως για παράδειγµα είναι η µάζα του ήλιου συγκρινόµενη µε την µάζα οποιουδήποτε πλανήτη ή η µάζα της Γής συγκρινόµενη µε την µάζα ενός τεχνητού δορυφόρου, έχουµε την δυνατότητα να αγνοήσουµε την κίνηση της Μ σε σχέση µε την m. Ορισµός Ένα διανυσµατικό πεδίο F : U R R, όπου U ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του R, λέγεται συντηρητικό αν F f για κάποια C συνάρτηση f : U R R, δηλαδή αν η F είναι το πεδίο κλίσεων κάποιας C βαθµωτής συνάρτησης f. Η f ονοµάζεται τότε και συνάρτηση δυναµικού της F. Είναι τότε σαφές ότι το ολοκλήρωµα F ds για κάποια καµπύλη σ :[ a, b] U σ εξαρτάται µόνο από τα άκρα της καµπύλης. Ο όρος συντηρητικό πεδίο προέρχεται από την φυσική και σχετίζεται µε το νόµο της διατήρησης της ενέργειας. Παραδείγµατα. ) Το βαρυτικό πεδίο είναι ένα συντηρητικό πεδίο όπως είδαµε λίγο πρίν ) Το διανυσµατικό πεδίο F yi+ j είναι συντηρητικό µε συνάρτηση f, y y. δυναµικού την ( ) Λύση Παρατηρούµε ότι, f yi j ( y, ) F(, η F είναι συντηρητικό πεδίο., y +, ( ) R, άρα Παρατήρηση. Έστω U R ανοικτό και συνεκτικό και F : U R R συντηρητικό πεδίο. Τότε υπάρχει ουσιαστικά µια συνάρτηση δυναµικού για την F, δηλαδή αν g, f : U R C συναρτήσεις ώστε F f g τότε f g cσταθερά ( Άσκηση ).

3 46. Ορισµός Έστω D R ανοικτό και συνεκτικό σύνολο, το D λέγεται απλά συνεκτικό ή απλά συνεκτικός τόπος αν κάθε κλειστή απλή καµπύλη cτου D εγκλείει µόνο σηµεία του D ( δηλαδή υπάρχει G D ανοικτό µε G c ). Έτσι το ανοικτό και συνεκτικό σύνολο D R είναι απλά συνεκτικό αν δεν έχει «τρύπες». Παραδείγµατα απλά συνεκτικών ανοικτών συνόλων είναι τα ανοικτά και κυρτά υποσύνολα του R, όπως είναι το εσωτερικό ενός δίσκου ή µιας έλλειψης στο επίπεδο κτλ. Απλά συνεκτικά σύνολα Ο ανοικτός δίσκος Β ( 0,) του επιπέδου µε την εξαίρεση µιας ακτίνας του, π.χ. της ακτίνας 0, είναι ένα ( ανοικτό ) απλά συνεκτικό [ ] σύνολο, που δεν είναι κυρτό. Ο ίδιος δίσκος µε την εξαίρεση του κέντρου του είναι ένα ανοικτό συνεκτικό που δεν είναι απλά συνεκτικό Σχετικά µε την αναγνώριση των συντηρητικών πεδίων στον R ισχύει το ακόλουθο αποτέλεσµα που θα αποδείξουµε ( πλήρως ) αργότερα ως συνέπεια του θεωρήµατος του Gree.. Θεώρηµα Έστω F : D R R C διανυσµατικό πεδίο, όπου D απλά F u, v. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: συνεκτικό σύνολο και ( ) (ι) Το F είναι συντηρητικό (ιι) Απόδειξη της κατεύθυνσης (ι) (ιι) F u, v C διανυσµατικό πεδίο. Επειδή το F υποτίθεται συντηρητικό Έστω ( ) υπάρχει συνάρτηση ( τουλάχιστον ) της κλάσης C, f : D R F f,. Έπεται αµέσως ότι η f είναι ( τουλάχιστον ) της κλάσης ώστε C

4 47 αφού το F είναι C και άρα οι µερικές παράγωγοι u και v της f θα y έχουν και αυτές συνεχείς µερικές παραγώγους. Παρατηρούµε ότι u f f και f. Επειδή η f είναι C συνάρτηση στο D έπεται ότι οι µεικτές παράγωγοι της f είναι ίσες. Συνεπώς f f ή. Σηµείωση. Η κατεύθυνση (ι) (ιι) δεν χρειάζεται, όπως φαίνεται και από την απόδειξή της, την υπόθεση της απλής συνεκτικότητας του D. Η υπόθεση αυτή θα χρειασθεί για την απόδειξη της αντίστροφης κατεύθυνσης (ιι) (ι), η απόδειξη αυτή θα γίνει αργότερα µε την βοήθεια του θεωρήµατος του Gree. Εφαρµογές ) Θεωρούµε το παράδειγµα της σελίδας 9. ηλαδή F, y y,. Το διανυσµατικό πεδίο F δεν είναι συντηρητικό εφόσον ( ) ( ) u(, y, v(, και. Βέβαια πριν είχαµε καταλήξει στο ίδιο αποτέλεσµα µε ένα απευθείας υπολογισµό. ) Εξακριβώστε αν το διανυσµατικό πεδίο (, ) ( y y F y ye, e ) συντηρητικό στο R. y Λύση Έχουµε ότι u(, ye και (, ) και v y y ye + e +. Έπεται ότι ) Εξετάστε αν τα διανυσµατικά πεδία F(, (, + είναι u y ye + y v y e +. Άρα e και άρα το πεδίο δεν είναι συντηρητικό. και G(, ( y, y ) είναι συντηρητικά και αν είναι να βρεθεί σε κάθε περίπτωση η συνάρτηση δυναµικού. u, y v, y y, εποµένως Λύση Για το πρώτο παρατηρούµε ότι ( ) και ( ) 0 και το πεδίο είναι συντηρητικό. Η f (, y y είναι µια f y F G, y y, y έχουµε ότι αν θέσουµε συνάρτηση δυναµικού για την F(, (,, αφού, (, ) Για το διανυσµατικό πεδίο ( ) ( ) u(, y και v(, y τότε. Έπεται από τον χαρακτηρισµό των συντηρητικών πεδίων ότι G συντηρητικό πεδίο. Εύκολα επίσης y διαπιστώνεται ότι η g(, y είναι µια συνάρτηση δυναµικού για την G g g αφού g, ( y, y ) G.

5 48 4) Έστω U R ανοικτό και f : U R C συνάρτηση ώστε f ( u, v) λέγεται ολόµορφη αν ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy και Riema:. Η f. Παρατηρούµε σε σχέση µε την συνάρτηση G(, ( y, y ) προηγουµένου παραδείγµατος ότι αν θέσοµε F(, ( y, και του, τότε η F είναι ολόµορφη στο R. Το παράδειγµα αυτό γενικεύεται µε τον ακόλουθο τρόπο. Θεωρούµε µία ολόµορφη f : D R R, όπου D ανοικτό απλά συνεκτικό υποσύνολο του R ( π.χ. ανοικτό και κυρτό) f u, v, τότε η συνάρτηση g : D R g v, u ( δηλαδή Έστω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ώστε ( ) g, y v, y, u, y,, y D ) είναι ένα συντηρητικό πεδίο. Πράγµατι η f ως ολόµορφη ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy και Riema στο D :. Εποµένως και έτσι το διανυσµατικό πεδίο g ( v, u) και είναι συντηρητικό. Ανάλογα αποδεικνύεται ότι και το διανυσµατικό πεδίο g ( u, v) είναι συντηρητικό. Σηµειώνουµε ότι η g προκύπτει ως η σύνθεση του γραµµικού µετασχηµατισµού (, ( y, ) Τ µε την ολόµορφη f, δηλαδή g Τ of. Η κλάση των ολοµόρφων συναρτήσεων µελετάται στην Μιγαδική Ανάλυση. { } 5) Το πεδίο δυνάµεων βαρύτητας ( ή βαρυτικό πεδίο ) F : R ( 0,0,0) (,, ) F y z και r (, y, z) R ώστε mμg r, όπου m και Μ µάζες, G η παγκόσµια βαρυτική σταθερά r είναι ένα συντηρητικό πεδίο, όπως ηδη διαπιστώσαµε, µε συνάρτηση δυναµικού v(, y, z) mμg. r 6) Έστω Τ : R R γραµµικός µετασχηµατισµός, a β Τ (, ( a+ β y, γ + δ, a, β, γ, δ R. Ο Τ είναι ένα γ δ y συντηρητικό πεδίο αν και µόνο αν y u, y a+ β y και (, ), όπου ( ) v y γ + δ y, δηλαδή αν β γ. Έτσι ο πίνακας Τ γίνεται a β a β Α. γ δ β δ

6 49 7) Ο πολικός µετασχηµατισµός Τ : R R : Τ ( r, θ) ( r cos θ, r siθ) δεν είναι συντηρητικό πεδίο καθώς αν u r cosθ και v r siθ τότε r siθ siθ θ r. Παρατήρηση. Αν F : D R R είναι συντηρητικό πεδίο, ο προσδιορισµός µιας συνάρτησης δυναµικού για το πεδίο F γίνεται λύνοντας την διαφορική εξίσωση ( που τότε ξέρουµε ότι έχει λύση ) f F u, y f, y v, y f, y. ( ) ( ) και ( ) y( ) Εννοείται ότι, F ( u, v) και D ανοικτό και συνεκτικό. Παράδειγµα: ) είξτε ότι το διανυσµατικό πεδίο F e si y y, e cos y είναι συντηρητικό και βρείτε µια συνάρτηση ( ) δυναµικού f για την F. Λύση Οι συνιστώσες συναρτήσεις ( ) (, ) cos του F είναι C στο R και ισχύει ότι v y e y Επειδή u v e cos y και e cos y. έπεται ότι το F είναι συντηρητικό στο R. u, y e si y y και Μια συνάρτηση δυναµικού f : R R για την F πρέπει να ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση f F u και v. y Έπεται ότι ( σταθεροποιώντας την µεταβλητή y ) f (, u(, d ( e si y y ) d e si y y +κ( y ) () f Επειδή η f πρέπει να ικανοποιεί την v, θα έχουµε: e si y y + κ( dκ e cos y + v dκ Συνεπώς e cos y + e cos y. dκ Επιλύοντας την τελευταία εξίσωση ως προς λαµβάνουµε dκ κ( κ( y+ c (). Έπεται από τις () και () ότι ( ) f, y e si y y y+ c όπου c πραγµατική σταθερά. Κάθε τέτοια συνάρτηση είναι µια ( βαθµωτή ) συνάρτηση δυναµικού για την F. ( ες και την παρατήρηση µετα τον Ορισµο..)