ΕΛΑΣΤΙΚΗ - ΜΕΤΩΠΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ U U U U m Έστω δυο λείες ελαστικές σφαίρες µε µάζες, µε µέτρα ταχυτήτων αντίστοιχα U, U κινούνται όπως στο σχήµα, µε τα διανύσµατα των ταχυτήτων τους στην ίδια διεύθυνση Οι δυο σφαίρες συγκρούονται ελαστικά Να βρεθούν οι ταχύτητές τους µετά την κρούση (Θεωρούµε ότι οι δυο σφαίρες δεν περιστρέφονται, δεν έχουν δηλαδή κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής) Προετοιµασία: Έστω ότι οι ταχύτητες των σωµάτων µετά τη κρούση είναι οι U ' και U' αντίστοιχα α Τα διανύσµατα των U ', U' βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση, αφού η κρούση είναι µετωπική β Για τη φορά των ταχυτήτων θεωρούµε, αυθαίρετα, τη φορά κίνησης της, προς τα αριστερά Για τη φορά κίνησης της στο παραπάνω πρόβληµα δεν υπάρχει αµφιβολία ότι είναι προς τα δεξιά γ Επειδή το πρόβληµα εξελίσσεται σε µια ευθεία, µπορούµε να ορίσουµε αυθαίρετα θετική φορά των διανυσµάτων, έστω προς τα δεξιά στο πρόβληµά µας (Μ' αυτό το τρόπο κάνουµε τη ζωή µας εύκολη σε ότι αφορά τις πράξεις µε τα διανύσµατα) Από ποιές σχέσεις περιγράφεται το φαινόµενο; α Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής, όπως σε όλες τις κρούσεις Η ορµή του συστήµατος πριν είναι ίση µε την ορµή του συστήµατος µετά την κρούση ηλ J Σ,πριν = J Σ,µετα (I) β Επειδή η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια του συστήµατος διατηρείται ηλ E κ,σ,πριν = E κ,σ,µετα (II) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr
3 Μαθηµατικό µέρος α Από τη σχέση (I) έχουµε: J Σ,πριν = J Σ,µετα (I) U + U = U + U U + U = U + U U U = U U (III) β Από τη σχέση (II ) έχουµε: E U + U = U + U κ,σ,πριν = E κ,σ,µετα U U = U U U U U + U = U U U + U (IV) Οι εξισώσεις (III) & (IV), αποτελούν σύστηµα µε αγνώστους τις ταχύτητες των σω- µάτων µετά την κρούση Για την επίλυση του συστήµατος διαιρούµε τις σχέσεις κατά µέλη Οπότε: (IV) (III) U + U = U + U (V) Η παραπάνω σχέση (V) µαζί µε την σχέση (III) αποτελούν και τις τελικές εξισώσεις προκειµένου να βρούµε τα µέτρα των ταχυτήτων µετά την κρούση Τελικό σύστηµα λοιπόν: U + U = U + U (VI) U + U = U U (VII) ΠΑΡΗΤΗΡΗΣΕΙΣ: Α Ενώ στην ορµή έχει νόηµα να ρωτάµε για το πρόσηµό της σε σχέση µε φορά που εµείς έχου- µε ορίσει σαν θετική, όταν αναφερόµαστε στην κινητική ενέργεια αυτό δεν έχει νόηµα Η κινητική ενέργεια είναι πάντα θετική, όχι επειδή η ταχύτητα είναι υψωµένη στο τετράγωνο, αλλά επειδή το µέγεθος κινητική ενέργεια είναι µονόµετρο Β Η παραπάνω διαδικασία θα επαναλαµβάνεται σε κάθε ελαστική µετωπική κρούση Θα παίρνουµε υπ' όψιν µας µόνο τη φορά των ταχυτήτων πριν και µετά την κρούση, που µπορεί να είναι διαφορετικές απ' ότι στη περίππτωση που εξετάσαµε και θα αλλάζει η εξίσωση: U + U = U + U που προκύπτει από την αρχή διατή- ρησης της ορµής ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr
K ύο σώµατα ίσης µάζας, ( = ), συγκρούονται µετωπικά ελαστικά Ποιά η ταχύτητα του κάθε σώµατος µετά την κρούση; Σ' αυτή τη περίπτωση οι σχέσεις VΙ & VΙΙ γίνονται: (VI) U + U = U + U (VI) (VII) U + U = U U U + U = U U (VII) Mε την επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων, VΙ' & VΙΙ', προκύπτει: U = U U = U Από τη λύση συµπεραίνουµε ότι: Όταν συγκρούονται µετωπικά ελαστικά δυο σώµατα µε ίσες µάζες τότε ανταλλάσσουν ταχύτητες (Το παραπάνω συµπέρασµα είναι πάρα πολύ χρήσιµο στο να καταλάβουµε πως γίνεται επιβράδυνση των νετρονίων στους πυρηνικούς αντιδραστήρες) K Σώµα µάζας, κινείται µε ταχύτητα U και συγκρούεται µετωπικά ελαστικά µε ακίνητο σώµα H µάζες τους είναι ίσες ( = ) Ποιά η ταχύτητα του κάθε σώµατος µετά τη κρούση; U U = 0 U = 0 U m = Ηδη γνωρίζουµε ότι: όταν συγκρούονται µετωπικά ελαστικά δυο σώ- µατα µε ίσες µάζες τότε ανταλάσσουν ταχύτητες Κατά συνέπεια µετά την κρούση: Το σώµα µάζας θα κινηθεί µε ταχύτητα U το δε σώµα µάζας θα παραµείνει ακίνητο ηλ U = 0 U = U ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr
Γιατί τα νετρόνια έχουν µεγάλη διεισδυτικότητα; Τα νετρόνια είναι προϊόν της πυρηνικής διάσπασης του ουρανίου στους πυρηνικούς αντιδραστήρες Τα νετρόνια είναι αφόρτιστα σωµατίδια για το λόγο αυτό δεν αλληλεπιδρούν έντονα µε την ύλη, αν δε προσθέσουµε ότι κατά τη σχάση του ουρανίου παράγο- νται µε µεγάλες ταχύτητες µπορούµε να καταλάβουµε τη µεγάλη διεισδυτικότητα ( ιαπερνούν µπετόν πάχους µερικών µέτρων) U n Up = 0 U n = 0 m p m n m p m n U p K3 α) Για ποιούς λόγους πρέπει να επιβραδυνθούν τα νετρόνια που παράγονται στους πυρηνικούς αντιδρατήρες; β) Πως γίνεται η επιβράδυνση των παραγόµενων νετρονίων; α Για δυο λόγους θέλουµε να επιβραδύνουµε τα νετρόνια που παράγονται από τις πυρηνικές αντιδράσεις στους πυρηνικούς αντιδραστήρες Όταν έχουν µικρή ταχύτητα αυξάνεται η πιθανότητα να προκαλέσουν νέες διασπάσεις συγκρουόµενα µε άλλους πυρή- νες ουρανίου εν πρέπει να περάσουν στο χώρο του εργοστασίου γιατί είναι άκρως επικίνδυνα για το προσωπικό β Για να πετύχουµε την επιβράδυνση, περιβάλλουµε το ουράνιο µε νερό Το νερό περιέχει το υδρογόνο που ο πυρήνας του είναι συνήθως ένα πρωτόνιο Γνωρίζουµε ότι οι µάζες του πρωτονίου και του νετρονίου είναι περίπου ίσες Άρα κατά τη σύγκρουσή τους, θεωρούµενη µετωπική και ελαστική, ανταλλάσουν ταχύτητες Πράγµα που σηµαίνει ότι το σχεδόν ακίνητο πρωτόνιο αποκτά µεγάλη ταχύτητα το δε νετρόνιο σχεδόν σταµατάει Το πρωτόνιο σαν σωµατίδο µε φορτίο, (+e), αλληλεπιδρά έντονα µε τη ύλη και γι' αυτό γρήγορα χωρίς να διανύσει µεγάλες αποστάσεις, να περάσει δηλαδή έξω από το ελεγχόµενο χώρο, χάνει την ενέργειά του µε διαδοχικές πολλαπλές συγκρούσεις Σηµειώσεις: Κατά τη δεκαετία του 70 για την εξουδετέρωση των αρµάτων µάχης, οι δυο συνασπισµοί είχαν αναπτύξει βόµβες νετρονίου Τα παραγόµενα νετρόνια απ' αυτές τις βόµβες θα σκότωναν τα πληρώµατα, αφού θα µπορούσαν να διαπεράσουν από τον ατσάλινο θώρακα των αρµάτων µάχης Τότε είχε κυκλοφορήσει ένα σαρκαστικό εύρηµα για σχολιάσουν τη βόµβα: "Αυτή η βόµβα σκοτώνει το παιδί και αφήνει το γάλα άθικτο" Έχουµε τρία ισότοπα του υδρογόνου που περιέχουν: α) πρωτόνιο( πρώτιο), β) ένα πρωτόνιο και ένα νετρόνιο ( δευτέριο) και γ) ένα πρωτόνιο και νετρόνια (τρίτιο) ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr
K4 Έστω λεία ελαστική σφαίρα µε µάζα και ταχύτητα U συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά, (η διεύθυνση της ταχύτητας U βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα δυο κέντρα), µε ακίνητη σφαίρα όπως στο σχήµα Να βρεθούν οι ταχύτητές τους µετά τη κρούση (Με τον όρο κεντρική κρούση εξασφαλίζουµε ότι οι δυο σφαίρες δε περιστρέφονται µετά την κρούση, δεν "παίρνουν φάλτσα" γαι όσους ξέρουν από µπιλιάρδο) U U U U m m Εφ' όσον η κρούση είναι µετωπική ελαστική ισχύουν: α Η αρχή διατήρησης της ορµής β Η κινητική ενέργεια διατηρείται Οπότε: α J Σ,πριν = J Σ,µετα U + 0 = U + β U = U + U U U = U (K4) E κ,σ,πριν = E κ,σ,µετα U = U + U U U = U U U U + U = U U (K4) ιαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις Κ4, Κ4 έχουµε: (K4) (K4) U + U = U (K43) Το σύστηµα των εξισώσεων που θα µας δώσει τη λύση είναι τελικά οι εξισώσεις Κ4, Κ43 Η λύση του συστήµατος, µε αντικατάσταση, µας δίνει τις εξής λύσεις: U = + U (K44) U = + U (K45) ΠΡΟΣΟΧΗ Οι παραπάνω τύποι µπορούν να χρησιµοποιηθούν µόνο αν η κρούση είναι κεντρική ελαστική και η µια εκ των δυο, η, είναι ακίνητη αρχικά Η ταχύτητα U' πάντα έχει τη διεύθυνση και φορά της U, ενώ η φορά της ταχύτητας U' εξαρτάται από τη σχέση των µαζών Αρνητική U' σηµαίνει αντιθέτου φοράς από την U 3 Eάν από την αρχή γνωρίζουµε τη σχέση των µαζών θα γνωρίζουµε από την αρχή τη φορά κίνησης της ηλαδή εάν > όπως η U Εάν < η φορά κίνησης της θα είναι αντιθέτου φοράς από την U ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr
K5 Έστω ελαστική σφαίρα µε µάζα και ταχύτητα U συγκρούεται ελαστικά µε ακίνητη µάζα όπως σχήµα Εάν η ακίνητη µάζα είναι πολύ µεγαλύτερη απ' ότι η µάζα, ( >> ) Να βρεθούν οι ταχύτητες των µαζών µετά την κρούση U U Εφ' όσον η κρούση είναι µετωπική ελαστική και η µάζα είναι ακίνητη, ισχύουν oι τύποι: U = + U (K44) U = + U (K45) ιαιρούµε αριθµητή και παρονοµαστή των δυο παραστάσεων µε τη µεγάλη µάζα Tότε έχουµε U = + U = Αφού λάβουµε υπ' όψη µας τη σχέση Για τη µάζα ισχύει: + U 0 0+ U = U 0 ( ) U = + U = U + 0 0+ U = ηλαδή η ταχύτητα της είναι κατά µέτρο ίση µε την αρχική, η δε φορά της αντίθετη της U Τί θα συµβεί εάν η κινούµενη µάζα είναι πολύ µεγαλύτερη της ακίνητης ; ηλαδή η θα παραµείνει ακίνητη K6 Έστω ελαστική σφαίρα µε µάζα και ταχύτητα U συγκρούεται ελαστικά µε ακίνητη σφαίρα όπως σχήµα Εάν η µάζα ακίνητη είναι πολύ µικρότερη απ' ότι η µάζα ( << ) Να βρεθούν οι ταχύτητές τους µετά την κρούση m U m U' U Ισχύουν και πάλι, επειδή η κρούση είναι ελαστική κεντρική οι ίδιοι τύποι Αυτή τη φορά όµως διαιρούµε µε τη µάζα, οπότε: U = + U = + U 0 +0 U = U U = +m U = U + U Για κάποιον παρατηρητικό το συµπέρασµα στο οποίο καταλήξαµε έχει ένα πρόβληµα: Η κινητική ενέργεια του συστήµατος µετά την κρούση είναι πιο µεγάλη απ' ότι η κινητική ενέργεια πριν την κρούση, ενώ έχουµε δεχθεί ότι η κρούση είναι ελαστική εν υπάρχει πρόβληµα: Μην ξεχνάτε ότι τα µέτρα των ταχυτήτων βρέθηκαν κατά προσέγγιση Στην πραγµατικότητα η µάζα επι- βραδύνεται ανεπαίσθητα και χάνει µικρό µέρος της ενέργειά της για να µπεί σε κίνηση η ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr
Μέτρηση της µάζας του νετρονίου, ( πείραµα Chadwick ) Μέχρι το 93 ήταν αποδεκτό ότι στον πυρήνα υπάρχει µόνο το πρωτόνιο Την άποψη αυτή άλλαξε ο Chadwick Mε σειρά πειραµάτων το 93, κατέληξε στο συµπέρασµα ότι στον πυρήνα των στοιχείων υπάρχει και ένα άλλο σωµατίδιο που το ονόµασε νετρόνιο Η πειραµατική διάταξη που χρησιµοποίησε για τη µέτρηση της µάζας του άγνωστου ως τότε σωµατιδίου φαίνεται στο διπλανό σχήµα α P o α α Be m x H N To ραδιενεργό πολώνιο εκπέµπει σωµατία α, πυρήνες Ηe Όταν τα σωµατίδια α πέσουν στο βηρύλλιο (Be), τότε αυτό εκπέµπει, άγνωστα µέχρι τότε, σωµατίδια µάζας m x Το ότι τα άγνωστα αυτά σωµατίδια δε φέρουν φορτίο µπορεί να αποδειχθεί από το γεγονός ότι, δεν εκτρέπονται από ηλεκτρικό ή µαγνητικό πεδίο Χρησιµοποιούµε τα άγνωστα αυτά σωµατίδια σαν βλήµατα και σαν στόχο ακίνητους πυρήνες υδρογόνου Τότε το αποτέλεσµα της µετωπικής ελαστικής κρούσης θα είναι για τον πυρήνα του υδρογόνου (πρωτόνιο): U = + U U p = m x m x +m p U x (a) Εάν σαν στόχο θεωρήσουµε ακίνητους πυρήνες αζώτου Τότε το αποτέλεσµα της µετωπικής ελαστικής κρούσης θα είναι: (Χρησιµοποιούµε τον τύπο Κ45) O Chadwick µέτρησε πειραµατικά τις ταχύτητες του πρωτονίου και του πυρήνα του αζώτου και βρήκε ότι ο λόγος τους είναι 7,5 ηλαδή U = + U U N = m m x N=4 m p m x +m U N x = U p U N = m x+4 m p m x +m p = 7, 5 m x U m x +4 m x p m x + 4 m p = 7, 5m x + 7, 5 m p 6, 5 m x = 6, 5 m p m x = m p m x m p Αφού λάβουµε υπ' όψιν µας ότι ο λόγος των ταχυτήτων, 7,5, περιέχει πειραµατικά σφάλµατα O Chadwick απέδειξε λοιπόν, ότι η µάζα του νετρονίου είναι περίπου ίση µε τη µάζα του πρωτονίου Μια σχέση που ενισχύθηκε τα επόµενα χρόνια και σήµερα δεν υπάρχει καµιά αµφισβήτηση Θεωρούµε ότι οι πυρήνες υδρογόνου και αζώτου είναι ακίνητοι Αυτό είναι µια βολική υπόθεση Θα µάθουµε στη θερµοδυναµική ότι αυτό δεν µπορεί να συµβεί Μπορούµε να µειώσουµε το σφάλµα θεωρώντας ότι η θερµοκρασία του συστήµατος που περιέχει τους πυρήνες, είναι µικρή ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr
Ελαστική κρούση σε δυο διαστάσεις, ( στο επίπεδο) ύο σώµατα κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδοτα σώµατα κινούνται µε ταχύτητες U, U και συγκρούονται ελαστικά ( Βλέπε διπλανό σχήµα) Μετά την κρούση κινούνται στο ίδιο επίπεδο µε ταχύτητες U ', U' Εάν η γωνία που σχηµατίζουν οι διευθύνσεις κίνησή τους πριν την κρούση είναι φ και θεωρήσετε ότι τα σώµατα πριν την κρούση και µετά απ' αυτή δεν περιστρέφονται να βρεθεί η ταχύτητα κάθε σώµατος µετά την κρούση ίνεται η γωνία ω, γωνία µεταξύ αρχικής και τελικής ταχύτητας της µάζας m U m J J y φ + y J J x J' ω + x θ J' Εφ' όσον η κρούση είναι ελαστική ισχύουν: α) Η κινητική ενέργεια διατηρείται: E κ,σ,πριν = E κ,σ,µετα U + U = U + U () β) Ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής: J Σ,πριν = J Σ,µετα (b) Επειδή το πρόβληµα εξελίσσεται σε δυο διαστάσεις η διανυσµατική σχέση b, θα γραφεί: J Σ,πριν = J Σ,µετα Oι άξονες χ,y, επιλέχθηκαν να είναι κάθετοι µεταξύ τους και προσανατολίσθηκαν αυθαίρετα, (όπως στο σχήµα) Στον άξονα x (b ) J,x = J,x + J,x J x,σ,πριν = J x,σ,µετα (b ) J y,σ,πριν = J y,σ,µετα (b ) J,x = J,x + J,x U συνφ= U συνθ+ U συνω () Στον άξονα y (b ) J,y, = J y + J,y J,y = J y + J,y U ηµφ= U ηµθ+ U ηµω (3) Aπό την επίλυση του συστήµατος των παραπάνω εξισώσεων,, 3, µε αγνώστους τα µεγέθη U ', U' και θ, θα προκύψουν οι τιµές των U', U' και θ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΙΩΑΝ ΓΚΟΥΤΣΙΑΣ ---- wwwgutsiasgr