Στατιστική Ι Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Ανάλυση και εκμάθηση των ορισμών του διαστήματος εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο αναλογιών, του διαστήματος εμπιστοσύνης για τη διακύμανση καθώς και του ελέγχου υποθέσεων για αναλογίες. 4
Περιεχόμενα ενότητας Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο αναλογιών. Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση. Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες. 5
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο αναλογιών (1 από 4) 6
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο αναλογιών (2 από 4) Ένα πολιτικό κόμμα, σε έρευνα που έκανε βρήκε ότι σε δείγμα 400 ανδρών έχει στήριξη από τους 180, ενώ σε δείγμα 350 γυναικών έχει στήριξη από τις 140. Να υπολογιστεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στήριξης στο κόμμα ανδρών και γυναικών. 7
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο αναλογιών (3 από 4) 8
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δύο αναλογιών (4 από 4) Ή σε ποσοστά: = 0,013833, 0,086117 1,38%, 8,61% Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι με 95% εμπιστοσύνη οι άνδρες στηρίζουν περισσότερο το συγκεκριμένο πολιτικό κόμμα. Η διαφορά στη στήριξη κυμαίνεται ανάμεσα σε 1,38% και 8,61%, με βάση τα στοιχεία των δειγμάτων της έρευνας. 9
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (1 από 8) Για να δημιουργήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση παίρνουμε τιμές από τον πίνακα της X 2 κατανομής. Όπου S 2 είναι η διακύμανση του δείγματος. Όπου n είναι το μέγεθος του δείγματος. 10
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (2 από 8) Στην πρώτη στήλη δίνονται οι βαθμοί ελευθερίας ενώ στην πρώτη γραμμή εμφανίζονται τα επίπεδα σημαντικότητας. Προσέξτε ότι ο πίνακας χωρίζεται νοητά σε δύο μέρη: Στις πρώτες πέντε στήλες αριστερά περιλαμβάνονται οι κριτικές τιμές για την αριστερή ουρά της κατανομής. Ενώ οι πέντε στήλες δεξιά περιλαμβάνουν κριτικές τιμές για τη δεξιά ουρά της κατανομής. Πίνακας 1: Δεδομένα άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 11
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (3 από 8) Τις κριτικές τιμές αριστερά τις συμβολίζουμε με: Tις κριτικές τιμές δεξιά τις συμβολίζουμε με: Πίνακας 2: Δεδομένα άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 12
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (4 από 8) Ένα διάστημα εμπιστοσύνης, π.χ. 95%, δημιουργεί δύο ουρές ίσου εμβαδού που περιέχει το 5% της κατανομής, ή αλλιώς το 0,05. Διαιρώντας δια 2 έχουμε από 0,025 σε κάθε ουρά, οπότε για την πάνω κριτική τιμή έχουμε 0,025 και για την κάτω κριτική τιμή 1-0,25=0,975. 13
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (5 από 8) Πίνακας 3: Δεδομένα άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). Σε μία τράπεζα μετρήθηκε ο χρόνος αναμονής σε δείγμα 8 πελατών και βρέθηκε ως εξής: Να κατασκευαστεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση αυτού του δείγματος ώστε να εκτιμηθεί η τυπική απόκλιση του χρόνου αναμονής των πλατών της τράπεζας. Απάντηση: Η διακύμανση του δείγματος είναι: 14
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (6 από 8) Για επίπεδο σημαντικότητας 5% θέλουμε για την κριτική τιμή τη στήλη 0,025 και για την κριτική τιμή τη στήλη 0,975. 15
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (7 από 8) Επιλέγουμε τη γραμμή για 7 (n-1) βαθμούς ελευθερίας. Πίνακας 4: Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση. Πηγή: Διδάσκων (2015). 16
Διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (8 από 8) Παίρνοντας τετραγωνικές ρίζες από όλους τους όρους : Tο 95% διάστημα εμπιστοσύνη της τυπικής απόκλισης του χρόνου αναμονής των πελατών της τράπεζας είναι από 1,06 έως 3,25 λεπτά. 17
Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες (1 από 7) Εάν έχουμε αναλογίες σχετικά με ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό σε έναν πληθυσμό τότε κάνουμε ελέγχους υποθέσεων για τις αναλογίες. Με τον έλεγχο βλέπουμε εάν η αναλογία του πληθυσμού που εξετάζουμε έχει πράγματι το χαρακτηριστικό. Για παράδειγμα, ελέγχουμε τον ισχυρισμό ότι 45% των μαθητών Λυκείου έχουν σύνδεση στο Internet. 18
Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες (2 από 7) Το Υπουργείο Οικονομικών υποστηρίζει ότι κάτω από 30% των δηλώσεων φόρου εισοδήματος υποβάλλεται ηλεκτρονικά μέσω του συστήματος Taxis, οπότε ετοιμάζεται να κάνει μια μεγάλη διαφημιστική καμπάνια για να προωθήσει την ηλεκτρονική υποβολή της δήλωσης φόρου εισοδήματος. Σε ένα δείγμα 130 φορολογουμένων βρέθηκε ότι 50 από αυτούς υπέβαλαν τη δήλωση ηλεκτρονικά. Να ελεγχθεί η υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας 5% και να συμπεράνετε εάν το Υπουργείο θα πρέπει να προχωρήσει στη διαφημιστική καμπάνια. 19
Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες (3 από 7) Στο δείγμα βρέθηκε ότι 50 φορολογούμενοι υποβάλλουν δήλωση ηλεκτρονικά οπότε: Ο έλεγχος είναι δεξιόπλευρος, της μορφής μεγαλύτερος από και Προσπαθούμε να επιβεβαιώσουμε ότι η αναλογία των φορολογουμένων στον πληθυσμό που υποβάλλει δήλωση ηλεκτρονικά είναι ίση με 0,3. 20
Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες (4 από 7) Εικόνα 1: Έλεγχος υποθέσεων. Πηγή: Διδάσκων (2015). 21
Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες (5 από 7) Όπως γνωρίζουμε η κριτική τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής για επίπεδο σημαντικότητας 5% είναι 1,645 και 2,11>1,645. Οπότε απορρίπτουμε την Η 0. Έναντι της Η 1 - οι φορολογούμενοι υποβάλλουν δήλωση ηλεκτρονικά σε ποσοστό μεγαλύτερο του 30%. 22
Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες (6 από 7) Η τιμή που βρήκαμε στη στατιστική ελέγχου σημαίνει ότι τα αποτελέσματα του δείγματος είναι 2,11 τυπικές αποκλίσεις πάνω από την αναλογία που το Υπουργείο υποστηρίζει ότι ισχύει στον πληθυσμό. Πόσο πιθανό είναι να πάρουμε αυτό το αποτέλεσμα εάν ισχύει η Η 0 ; Βλέπουμε τον Πίνακα της τυπικής κανονικής κατανομής για 2,11 και παίρνουμε πιθανότητα 0,9826. Πίνακας 5: Δεδομένα άσκησης. Πηγή: Διδάσκων (2015). 23
Έλεγχος υποθέσεων για αναλογίες (7 από 7) Επειδή ο έλεγχος είναι της μορφής μεγαλύτερο από υπολογίζουμε την πιθανότητα ως: Η πιθανότητα να υπάρχει δείγμα που να δίνει αυτό το αποτέλεσμα (50 στους 130 φορολογούμενους κάνουν δήλωση ηλεκτρονικά) εάν ισχύει η είναι 1,74%, πολύ κάτω από το επίπεδο σημαντικότητας που είναι 5%. P τιμή ή αλλιώς p value. 24
Άσκηση (1 από 2) Το Υπουργείο Υγείας υποστηρίζει ότι μετά την αντικαπνιστική εκστρατεία εξακολουθεί και καπνίζει το 50% των νέων 18 25 ετών. Σε δείγμα 60 νέων βρέθηκε ότι καπνίζουν οι 24. Να ελεγχθεί η υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας 10%. 25
Άσκηση (2 από 2) Στην Αγγλία 9 στους 10 φοιτητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή. Ένας ερευνητής υποστηρίζει ότι στην Ελλάδα δεν ισχύει αυτή η αναλογία. Σε έρευνα με δείγμα 65 φοιτητές βρέθηκε ότι έχουν υπολογιστή οι 51. Να ελεγχθεί αυτό που υποστηρίζει ο ερευνητής σε επίπεδο σημαντικότητας 1%. 26
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Νικόλαος Σαριαννίδης. «Στατιστική Ι». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 27
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 28
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 29