ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΕΣ ΑΣΤΟΧΙΕΣ Επιφανειακές αστοχίες είναι οι αστοχίες που προκαλούνται από τη συνεργασία και αλληλεπίδραση μεταξύ των επιφανειών διαφορετικών στοιχείων. Όταν τα σώματα κινούνται, οι αλληλεπιδράσεις αυτές οφείλονται στην τριβή και προκαλούν κυρίως φθορά. Όμως, κατά τη μεταφορά δυνάμεων από το ένα στοιχείο στο άλλο αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια πίεση. Η κάθετη συνιστώσα της πίεσης μπορεί να προκαλέσει παραμόρφωση της διεπιφάνειας μέσω ελαστικής ή πλαστικής διαδικασίας παραμόρφωσης, αν η επιφανειακή στιβαρότητα των στοιχείων δεν είναι επαρκής. Αυτή η αστοχία της τοπικής παραμόρφωσης στη διεπιφάνεια των συνεργαζόμενων στοιχείων λέγεται επιφανειακή αστοχία. Είναι δε προφανές ότι η μορφή της παραμόρφωσης εξαρτάται από τα μέτρα ελαστικότητας των συνεργαζόμενων στοιχείων, αλλά και από τη γεωμετρία. Αναμένεται δε να υποχωρήσει περισσότερο το ασθενέστερο υλικό. Αυτές οι μόνιμες τοπικές παραμορφώσεις μεταβάλλουν τα τριβολογικά χαρακτηριστικά των επιφανειών και επομένως παίζουν σπουδαίο ρόλο στη λειτουργικότητα. Σε ακραίες δε περιπτώσεις μπορεί να προκαλέσουν σημαντικές παραμορφώσεις σε βαθμό που να καθιστούν τη συνέχιση της λειτουργίας αδύνατη. Η μηχανική των επαφών αφορά στη μελέτη της παραμόρφωσης των στερεών ελαστικών ή όχι σωμάτων που σχηματίζουν μεταξύ τους διεπαφές σε ένα ή περισσότερα σημεία. Κεντρικά ζητήματα που αφορούν στη μηχανική της ελαστικής επαφής είναι η πίεση, η πρόσφυση και η δύναμη τριβής που εγκαθίστανται μεταξύ των επιφανειών των σωμάτων που έρχονται σε επαφή. Η μηχανική της ελαστικής επαφής είναι θεμελιώδης για το γνωστικό πεδίο του μηχανολόγου μηχανικού. Παρέχει τις απαραίτητες πληροφορίες για τον ασφαλή και αποτελεσματικό σχεδιασμό των τεχνικών συστημάτων, για τη μελέτη της τριβολογίας και για τη σκληρότητα των υλικών. Οι αρχές των μηχανικών επαφών μπορούν να εφαρμοστούν σε τομείς όπως είναι η επαφή του κινητήριου τροχού με τη σιδηροτροχιά, η σύζευξη στοιχείων, τα συστήματα πέδησης, τα λάστιχα, οι τριβείς, οι κινητήρες εσωτερικής καύσης, οι μηχανισμοί, οι διαμορφώσεις και κατεργασίες των μετάλλων και πολλοί άλλοι. Οι τρέχουσες προκλήσεις που αντιμετωπίζει αυτός ο γνωστικός τομέας περιλαμβάνουν την ανάλυση των εντατικών πεδίων στην περιοχή της επαφής και την επιρροή της λίπανσης στην τριβή και φθορά των συνεργαζόμενων υλικών. Η κλασική μηχανική των ελαστικών επαφών θεμελιώθηκε κυρίως από τον Heinrich Hertz. Το 88 ο Hertz έλυσε το πρόβλημα που αφορά την επαφή μεταξύ δύο ελαστικών σωμάτων με καμπύλες επιφάνειες. Αυτή η κλασική λύση αποτελεί θεμέλιο για σύγχρονα προβλήματα στη μηχανική των επαφών. Για παράδειγμα, στην τριβολογία, οι τάσεις επαφής κατά Hertz περιγράφουν τις εντατικές καταστάσεις που αναπτύσσονται στο εσωτερικό των συνεργαζόμενων στοιχείων. Η θεωρία της επαφής μεταξύ δύο ελαστικών φορέων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση επιφάνειας επαφής, το βάθος διείσδυσης για απλές γεωμετρίες. Παρακάτω παρατίθενται ορισμένες λύσεις που χρησιμοποιούνται συνήθως στην πράξη. y F N u F x F p m p Σχήμα. Επαφή ενός σώματος με επίπεδη βάση σε ένα ημιχώρο. - -
. ΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΔΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ Στην πιο απλή περίπτωση, τα συνεργαζόμενα σώματα έχουν εκτεταμένη διεπιφάνεια που είναι επίπεδη, όπως στο Σχήμα. Σύμφωνα με το Σχήμα αυτό, το σώμα, το οποίο θλίβεται με δύναμη F N πάνω στο σώμα, μπορεί να κινείται ολισθαίνοντας σε σχέση με τη διεύθυνση του άξονα x, πάνω στο σώμα με ταχύτητα u. Η διεπιφάνεια στην περίπτωση αυτή είναι εκτεταμένη και έχει μέγεθος F N. Εκατέρωθεν της διεπιφάνειας αναπτύσσεται εφαπτομενική εντατική κατάσταση που κατά ισοδύναμο τρόπο εκφράζεται με το ζεύγος δυνάμεων F. Η δύναμη F που ασκείται στο σώμα είναι αντίθετη της διεύθυνσης της κίνησης που ορίζεται από το διάνυσμα u και είναι γνωστή ως δύναμη τριβής. Όταν το σώμα είναι ακίνητο, λόγω της κάθετης δύναμης F N, στη διεπιφάνεια F N αναπτύσσεται πίεση p. Είναι προφανές ότι η πίεση αυτή υπάρχει ακόμη και όταν το σώμα κινείται, γιατί πρέπει να υπάρχει ισορροπία στη διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα y. Αφού η διεπιφάνεια είναι εκτεταμένη μπορέι να υποθέσει κάποιος ότι η πίεση είναι περίπου ομοιόμορφη και έχει μέση τιμή p m. Σχήμα. Παραμόρφωση ημιχώρου από την επιβολή ομοιόμορφης πίεσης. Αν το σώμα είναι επαρκώς σκληρό (απαραμόρφωτο) σε σχέση με το σώμα, τότε όπως δείχνει το Σχήμα, η κατάσταση είναι ισοδύναμη με αυτήν της επιβολής ομοιόμορφης πίεσης στην επιφάνεια του ημιχώρου. Η εφαρμογή αυτής της πίεσης προκαλεί διείσδυση (υποχώρηση) της επιφάνειας και μεταβολή του επίπεδου σχήματος. Αν το σώμα έχει πλάτος α, τότε η βύθιση εντός της ζώνης επαφής είναι: ( ) x x w z p x ln ( x )ln () E ενώ η βύθιση έξω από την επιφάνεια επαφής δίνεται από την εξίσωση: ( ) x x w z p x ln ( x )ln () E Επομένως, στην στατική περίπτωση, η αστοχία που είναι δυνατόν να συμβεί αφορά στην υποχώρηση του ημιχώρου γύρω από την περιοχή της επαφής. Η υποχώρηση αυτή μπορεί να είναι μόνιμη όχι, ανάλογα με το μέγεθος της αναπτυσσόμενης τάσης που μπορεί να ξεπερνάει το όριο πλαστικής διαρροής. Σύμφωνα με τα ανωτέρω, η αναπτυσσόμενη μέση πίεση είναι p m F N A (3) Για να μη συμβεί η αστοχία πρέπει η πίεση, που στην ουσία εκφράζει ορθή τάση, να είναι μικρότερη από μια χαρακτηριστική ιδιότητα του υλικού. Η ιδιότητα αυτή συμβολίζεται S b και λέγεται επιφανειακή αντοχή. Τότε το κριτήριο αστοχία είναι - -
p m S b (4) Είναι προφανές ότι στην εξίσωση (4), ως επιφανειακή αντοχή νοείται αυτή του ασθενέστερου υλικού από τα και, διότι θα υποχωρήσει και παραμορφωθεί το σώμα ή το σώμα ή και τα δύο μαζί. (α) (β) (γ) Σχήμα 3. Αποφλοιώσεις που οφείλονται σε επιφανειακή κόπωση. Η βασική αστοχία που διέπει τη δυναμική περίπτωση κατά την οποία υπάρχει σχετική ολίσθηση είναι η φθορά (απώλεια επιφανειακού υλικού λόγω τριβής). Η αστοχία αυτή ευρίσκεται πέρα από τα όρια του συγκεκριμένου μαθήματος. Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται τρία παραδείγματα της δυναμικής επιφανειακής αστοχίας. Στην περίπτωση (α) φαίνεται η αποφλοίωση της αυλακιάς του εσωτερικού δακτυλίου ενός εδράνου κύλισης. Στην περίπτωση (β) και (γ) φαίνονται οι τοπικές εξελκώσεις της επιφάνειας του εδράνου στον στροφαλοφόρο μιας μπιέλας και ενός εδράνου ολίσθησης, αντίστοιχα. Στην ένταση αυτής του είδους αστοχιών παίζουν σημαντικό ρόλο η ταχύτητα ολίσθησης, η σκληρότητα των επιφανειών, η τραχύτητα των επιφανειών που έρχονται σε επαφή, η λίπανση αλλά και η φαινόμενη δύναμη τριβής, η οποία είναι F μf N (5) όπου μ είναι ο συντελεστής τριβής. Από άποψη αντοχής, το κριτήριο αστοχίας εκφράζεται όπως προηγουμένως από το μέγεθος της πίεσης επαφής που τώρα πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη p m S be (6) όπου Sbe είναι η δυναμική επιφανειακή αντοχή του ασθενέστερου υλικού από τα δύο που συμμετέχουν στην επαφή. Η αστοχία προκαλείται από τις διατμητικές τάσεις, οι οποίες είναι υψηλότερες στο υποεπιφανειακό στρώμα παρά στην επιφάνεια. Οι τάσεις αυτές προκαλούν εξελκώσεις στην επιφάνεια του υλικού και τροποποιούν την τραχύτητα και τη μικρομορφολογία τους. Οι εκτεταμένες εξελκώσεις δημιουργούν αποφλοιώσεις και μεταβάλλουν τελείως το σχήμα των επιφανειών επαφής αλλά και τα τριβολογικά χαρακτηριστικά.. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΥΛΙΚΩΝ Η στατική και η δυναμική επιφανειακή αντοχή, S b και S be αντίστοιχα, είναι ιδιότητες των υλικών και εξαρτώνται από τη σκληρότητα της επιφάνειας ή ισοδύναμα το όριο πλαστικής διαρροής Sy αυτών. Είναι προφανές ότι τα υλικά που παρουσιάζουν χαμηλότερο S y είναι περισσότερο ενδοτικά στην εμφάνιση της επιφανειακής αστοχίας σε σχέση με τα υλικά εκείνα που παρουσιάζουν μεγαλύτερο S y. Αν δεν διατίθενται άλλες πληροφορίες, τότε μπορούμε να δεχθούμε ότι Sy S b (7) 0.9-3 -
Όπου Se S be (8) 0.6 S y, S e είναι το όριο διαρροής στην πλαστικότητα και η τροποποιημένη διαρκής αντοχή αντίστοιχα, του ασθενέστερου υλικού. Από τις εξισώσεις (7) και (8) προκύπτει ότι η επιφανειακή αντοχή είναι γενικά μεγαλύτερη τόσο από το όριο διαρροής στην πλαστικότητα όσο και την τροποποιημένη διαρκή αντοχή του υλικού αναφοράς. Ο Πίνακας παρουσιάζει ενδεικτικές τιμές της επιτρεπόμενης δυναμικής αντοχής για κάποια μεταλλικά υλικά. Πίνακας. Επιτρεπόμενη δυναμική αντοχή για διάφορα κράματα. Υλικό Χάλυβας που έχει υποστεί σκλήρυνση με βαφή Χάλυβας που έχει υποστεί σκλήρυνση με ενανθράκωση Χάλυβας που έχει υποστεί σκλήρυνση με φλόγα ή επαγωγή Χυτοσίδηρος Ελάχιστη επιφανειακή σκληρότητα ή αντοχή σε εφελκυσμό S b (ΜΡα) 80 ΒΗΝ 40 ΒΗΝ 300 ΒΗΝ 360 ΒΗΝ 440 ΒΗΝ 55 Re 60 Re Επιφανειακή αντοχή S be (ΜΡα) 550-700 700-800 800-900 900-00 00-300 00-400 400-600 50 Re 00-300 AGMA Grde 0 - AGMA Grde 30 75 ΒΗΝ AGMA Grde 40 00 ΒΗΝ 300-400 400-500 500-600 Κονδυλώδης σίδηρος 65-300 BHN 500-800 Λευκό μέταλλο 75 ΜΡα 00 Μπρούντζος αλουμινίου 60 ΜΡα 450 Εναλλακτικά, αν δεν διατίθενται άλλες πληροφορίες, σύμφωνα με τον Buckinghm, η δυναμική επιφανειακή αντοχή είναι για τους χάλυβες είναι S be 0.34 0.36(BHN) (9) όπου η σκληρότητα ΒΗΝ μετριέται σε kp/cm και η δυναμική επιφανειακή αντοχή σε ΜΡα. Η εμπειρική απόδειξη των εξισώσεων (7) και (8) δίνεται παρακάτω. Στην στατική κατάσταση, η αστοχία προκαλείται με διατμητικές τάσεις. Αν δε η πίεση δεν είναι ομοιόμορφη, αλλά έχει κάποια μεταβολή παραβολική ή ανώτερου βαθμού όπως εξηγείται παρακάτω, τότε η μέγιστη τιμή της δηλαδή η p mx είναι περίπου ίση με τmx p mx, (0) 0.3 όπου τ mx είναι η μέγιστη διατμητική τάση που αναπτύσσεται σε βάθος περίπου α/, αν α είναι η χαρακτηριστική διάσταση της επιφάνειας διεπαφής. Η περίπτωση αυτή είναι και η δυσμενέστερη διότι η πίεση αυξάνει σημαντικά. Στην περίπτωση επαφής μεταξύ δύο σφαιρών, όπου η αρχική επιφάνεια επαφής είναι οριακά σημειακή και αποτελεί άλλη ιδιάζουσα περίπτωση, κατά την διείδυση των σφαιρών μεταξύ τους το σημείο εξελίσσεται σε κυκλική επιφάνεια που έχει ακτίνα α. Η θεωρία και η πειραματική επιβεβαίωση μας δείχνουν ότι η μέγιστη πίεση σχετίζεται με την ονομαστική πίεση μέσω της εξίσωσης: 3 mx p o () p - 4 -
όπου p o είναι η ονομαστική πίεση που ορίζεται ως ο λόγος της ασκούμενης δύναμης προς τη φαινόμενη επιφάνεια επαφής. Κατά τη διάρκεια της αστοχίας, η διατμητική τάση γίνεται μέγιστη, οπότε με βάση την εξίσωση (0) θα έχουμε τ mx 0. 3pmx () Αλλά, η μέγιστη τιμή της πίεσης μπορεί να ορισθεί μέσω της εξίσωσης (), ενώ η μέγιστη διατμητική τάση είναι τ mx S sy (3) όπου S sy είναι το όριο πλαστικής διαρροής σε διάτμηση του ασθενέστερου υλικού από αυτά που έρχονται σε επαφή. Σύμφωνα με το κριτήριο της μέγιστης διατμητικής τάσης που ισχύει στην περίπτωση αυτή, το όριο πλαστικής διαρροής σε διάτμηση του υλικού είναι όπου Sy S sy (4) S y είναι όριο πλαστικής διαρροής σε εφελκυσμό. Αφού η επιφανειακή αντοχή του υλικού είναι b po συνδυάζοντας τις εξισώσεις ()-(4), προκύπτει η εξίσωση (7). S, Στη δυναμική κατάσταση, η αστοχία προκαλείται επίσης με διατμητικές τάσεις. Αυτό σημαίνει ότι η πίεση μεταβάλλεται αρμονικά στην ιδανική περίπτωση. Το εύρος μεταβολής της πίεσης είναι τώρα p mx. Αφού η αστοχία θα γίνει με διατμητικές τάσεις, το κριτήριο της μέγιστης διατμητικής τάσης αντί της εξίσωσης (3) γράφεται τ mx S se (5) όπου η τροποποιημένη διαρκής δυναμική αντοχή σε διάτμηση Sse είναι Se S se (6) Αφού η δυναμική επιφανειακή αντοχή είναι εξίσωση (8). S be pmx, συνδυάζοντας τις εξισώσεις (), (5) και (6), προκύπτει η (α) (β) Σχήμα 4. Επαφή μιας σφαίρας με ένα ελαστικό ημιχώρο. 3. ΟΡΙΑΚΗ ΔΙΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΠΑΦΗΣ Στην πράξη, υπάρχουν πολλές περιπτώσεις στις οποίες στις οποίες η γεωμετρική διεπιφάνεια επαφής είναι οριακή, όταν η συμπίεση μεταξύ των προς επαφή σωμάτων είναι μηδενική, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση στην οποία η κοινή επιφάνεια είναι εκτεταμένη. Στο Σχήμα 4.α παρουσιάζεται η επαφή μιας σφαίρας με ένα ελαστικό ημιχώρο. Η - 5 -
αρχική γεωμετρική τους επαφή είναι ένα σημείο που αντιστοιχεί στον νότιο πόλο της σφαίρας. Στο Σχήμα.β φαίνεται η εντατική κατάσταση που αναπτύσσεται στον ημιχώρο κοντά στην επαφή με χρήση φωτοελαστικότητας. Οι τάσεις στην περιοχή της επαφής είναι ορθές και διατμητικές. Όταν η στερεή σφαίρα πιέζεται προς το ελαστικό ημιχώρο, αυξάνει ο γεωμετρικός τόπος της επαφής από σημείο που ήταν αρχικά η γεωμετρική επαφή σε μία κυκλική επιφάνεια επαφής, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. Σχήμα 5. Παραμόρφωση υποχώρησης ημιχώρου κατά τη διείσδυση εντός αυτού μιας στερεής σφαίρας Η ακτίνα της διεπιφάνειας επαφής εξαρτιέται από το επιβαλλόμενο φορτίο F μεταξύ των δύο σωμάτων που έρχονται σε επαφή. Αν η σφαίρα έχει ακτίνα R, τότε η διεπιφάνεια επαφής έχει ακτίνα Rd (7) όπου το μέγιστο βάθος διείσδυσης d είναι συνάρτηση του μεγέθους της εφαρμοζόμενης δύναμης σύνθλιψης F 3 / 3/ F E * R d (8) 4 Είναι E * E v E v (9) Όπου E, E είναι τα μέτρα ελαστικότητας και v, v οι λόγοι Poisson που αντιστοιχούν σε κάθε σώμα. Παρακάτω, θα αναλυθεί συνοπτικά το πρόβλημα της επαφής μερικών περιπτώσεων που έχουν οριακή αρχική επαφή και μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. 4. ΕΠΑΦΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ Δύο ελαστικές σφαίρες που έχουν μέτρα ελαστικότητας E, E και λόγους Poisson v, v αντίστοιχα, έρχονται σε επαφή συμπιεζόμενες με ακτινική δύναμη F. Οι σφαίρες έχουν ακτίνες R και R. Η γεωμετρική επαφή τους εκφυλίζεται σε ένα σημείο όταν η δύναμη είναι μηδενική. Υπό της επιβολή όμως μιας μηδενικής δύναμης F, η επιφάνεια επαφής αναπτύσσεται σε ένα κύκλο που έχει ακτίνα α (Σχήμα 6). Στην κυκλική αυτή επιφάνεια λόγω της F, αναπτύσσεται πίεση p (r ). Η πίεση αυτή εκφράζει τη συνοριακή ορθή τάση που έχει διεύθυνση τον άξονα z, και μεταβάλλεται ακτινικά σύμφωνα με την εξίσωση / ( ) mx r p r p (0) όπου p mx είναι η μέγιστη τιμή της πίεσης. Η μέγιστη πίεση αντιστοιχεί στην τιμή p mx p( r 0). Ορίζεται δηλαδή στο κέντρο του κύκλου επαφής. Μπορεί δε να αποδειχθεί πολύ εύκολα μέσω της εξίσωσης (0) ότι η μέγιστη πίεση έχει τιμή - 6 -
p 3 mx p o () όπου η ονομαστική πίεση είναι F po () Επομένως, η μέγιστη πίεση μπορεί να γραφτεί ως /3 3F 6FE * p mx (3) R Στις προηγούμενες εξισώσεις, είναι R R R (4) Η ακτίνα α της επιφάνειας επαφής σχετίζεται με τη δύναμη σύνθλιψης F με την εξίσωση 3 3FR (5) 4E * Το βάθος διείσδυσης d εξαρτάται από τη μέγιστη πίεση επαφής και είναι /3 9F d (6) R 6RE * Σφαίρα Σφαίρα Σχήμα 6. Επαφή μεταξύ δύο σφαιρών. Στο πρόβλημα αυτό ορίζεται αξονοσυμμετρική εντατική κατάσταση στις τρεις διαστάσεις. Το Σχήμα 7 παρουσιάζει την κατανομή των διαφόρων τάσεων στη θέση z 0, ως προς το βάθος σε κανονικοποιημένη μορφή. Οι καμπύλες αυτές αντιστοιχούν σε λόγο Poisson v 0. 3. Οι κύριες τάσεις, και 3 στη θέση z 0 είναι - 7 -
z x y pmx ( v ) rctn (7) z z z 3 z pmx (8) Οι κύριες διατμητικές τάσεις είναι mx, 3 0 (9) Λόγος τάσης προς p mx Βάθος κάτω από την επιφάνεια επαφής Σχήμα 7. Κατανομή τάσεων. Η μέγιστη διατμητική και η μέγιστη von Mises τάσεις ευρίσκονται κάτω από την επιφάνεια επαφής, δηλαδή όχι στη συνοριακή επιφάνεια όπως συμβαίνει συνήθως στην ελαστικότητα, αλλά κάτω από αυτήν. Η ιδιότητα αυτή προκαλεί αστοχίες τύπου εξελκώσεων και απόρριψη τμημάτων της επιφάνειας. Η μέγιστη διατμητική τάση συμβαίνει περίπου σε βάθος z 0. 49 για v 0. 3. Σχήμα 8. Επαφή σφαίρας με επίπεδο και σφαιρική κοιλότητα. - 8 -
Οι προηγούμενες εξισώσεις που περιγράφουν την επαφή μιας σφαίρας με μία άλλη, ισχύουν και για την επαφή μιας σφαίρας με ένα επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή η ακτίνα που αντιστοιχεί στο επίπεδο είναι παρά πολύ μεγάλη ή άπειρη. Ισχύουν όμως και όταν μία σφαίρα εφάπτεται εσωτερικά με μία άλλη σφαίρα ή μία σφαιρική εσοχή. Στην περίπτωση αυτή η ακτίνα της εσοχής παίρνει αρνητικό πρόσημο. Σχήμα 9. Επαφή μεταξύ διασταυρούμενων κυλίνδρων. Στο Σχήμα 9 παρουσιάζεται η επαφή δύο εγκάρσια διασταυρούμενων κυλίνδρων που έχουν την ίδια ακτίνα R. Η περίπτωση αυτή είναι παρόμοια με αυτήν της επαφής μιας σφαίρας ακτίνας R και ενός επιπέδου. Σχήμα 0. Επαφή της βάσης ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο. 5. ΕΠΑΦΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΝΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΚΑΙ ΕΝΟΣ ΗΜΙΧΩΡΟΥ Το σχήμα 0 παρουσιάζει την επαφή της βάσης ενός κυλίνδρου σε ένα επίπεδο. Αν ο κύλινδρος συμπεριφέρεται σαν στερεό σώμα, δηλαδή το μέτρο ελαστικότητας αυτού είναι πολύ μεγαλύτερο από εκείνο του ημιχώρου, τότε η συμπίεση του κυλίνδρου στο επίπεδο προκαλεί κατανομή πίεσης στη διεπιφάνεια που περιγράφεται από την εξίσωση / ( ) mx r p r p (30) όπου είναι η ακτίνα του κυλίνδρου, ενώ η μέγιστη πίεση είναι d p mx E * (3) Το βάθος διείσδυσης εξαρτάται από τη δύναμη συμπίεσης F E * d (3) - 9 -
Σχήμα. Επαφή ενός κώνου σε ένα ελαστικό ημιχώρο. 6. ΕΠΑΦΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΝΟΣ ΚΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΝΟΣ ΗΜΙΧΩΡΟΥ Το Σχήμα παρουσιάζει τη διείσδυση ενός κωνικού εργαλείου σε ένα ελαστικό επίπεδο. Στην περίπτωση αυτή υποτίθεται ότι ο κώνος είναι απαραμόρφωτο σώμα με την έννοια που ορίσθηκε παραπάνω. Το βάθος διείσδυσης είναι d tn (33) όπου θ είναι η γωνία του κώνου. Η κατανομή της πίεσης είναι Ed p ( r) ln (34) ( v ) r r Από την εξίσωση (34) είναι προφανές ότι η τάση στην κορυφή του κώνου παρουσιάζει ιδιομορφία λογαριθμικού τύπου. Η δύναμη συμπίεσης είναι d F E *. (35) tn Ορθογωνική επίφάνεια επαφής με παραβολική κατανομή της πίεσης Σχήμα. Επαφή μεταξύ παράλληλων κυλίνδρων. - 0 -
7. ΕΠΑΦΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ Κατά την επαφή μεταξύ δύο παράλληλων κυλίνδρων, η δύναμη σύνθλιψης είναι ανάλογη του βάθους διείσδυσης F E * Ld 4 (36) όπου L είναι το κοινό των κυλίνδρων. Από την εξίσωση αυτή απουσιάζουν οι ακτίνες καμπυλότητας των κυλίνδρων. Η διεπιφάνεια έχει σχήμα ορθογωνίου. Το ημιεύρος της ζώνης επαφής είναι b Rd (37) όπου R R R (38) Η μέγιστη πίεση είναι / E * F p mx (39) LR Λόγος τάσης προς p mx Βάθος κάτω από την επιφάνεια επαφής Σχήμα 3. Κατανομή τάσεων. Αντικαθιστώντας στις προηγούμενες εξισώσεις (36)-(39), προκύπτει b v 4F E L R R v E F pmx (40) bl Στις προηγούμενες εξισώσεις οι δείκτες και υποδηλώνουν έκαστο κύλινδρο χωριστά και τις αντίστοιχες ιδιότητες αυτού. Στο πρόβλημα αυτό ορίζεται συμμετρική εντατική κατάσταση στις τρεις διαστάσεις ως προς το επίπεδο ( x, z ). Το Σχήμα 7 παρουσιάζει την κατανομή των διαφόρων τάσεων στη θέση z 0, ως προς το βάθος σε κανονικοποιημένη μορφή. Οι καμπύλες αυτές αντιστοιχούν σε λόγο Poisson v 0. 3. Οι κύριες ορθές και διατμητικές τάσεις (,, 3 ) και (,, 3 ), αντίστοιχα, στη θέση z 0 και κατά μήκος αυτού του άξονα, είναι - -
z z x vpmx (4) b z z z y pmx (4) b b z 3 z pmx (43) b 3, 3 3 (9) Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται οι τάσεις αυτές σε κανονικοποιημένη μορφή. Παρατηρούμε πάλι ότι η μέγιστη διατμητική τάση και η μέγιστη ισοδύναμη (von Mises) τάση ευρίσκονται κάτω από την επιφάνεια, με τα επακόλουθα ως προς την αστοχία που αναφέρθηκαν παραπάνω. Σχήμα 4. Επαφή κυλίνδρου με άλλα σώματα. Όπως στην επαφή μεταξύ σφαιρών, οι προηγούμενη ανάλυση για την επαφή μεταξύ παράλληλων κυλίνδρων μπορεί να εφαρμοσθεί και στις περιπτώσεις που παρουσιάζει το Σχήμα 4. Στην πρώτη περίπτωση ο κύλινδρος εφάπτεται σε ένα ελαστικό επίπεδο, οπότε η αντίστοιχη ακτίνα καμπυλότητας μηδενίζεται. Στη δεύτερη περίπτωση ο κύλινδρος εφάπτεται με ένα άλλο κύλινδρο εσωτερικά, όπως συμβαίνει στα έδρανα ολίσθησης. Για να χρησιμοποιηθούν οι προηγούμενες εξισώσεις, πρέπει ακτίνα του δεύτερου κυλίνδρου να λάβει αρνητικό πρόσημο. Ο Πίνακας παρουσιάζει περιληπτικά τις πλέον συνηθισμένες περιπτώσεις επαφής στερεών σωμάτων που συναντώνται στο σχεδιασμό μηχανών, για γρήγορους υπολογισμούς. Η πρώτη στήλη αφορά επαφή σφαίρας με άλλο σώμα και η δεύτερη στήλη επαφή κυλίνδρου με άλλο σώμα. Στον Πίνακα αυτόν παρουσιάζονται επίσης οι εξισώσεις για τη χαρακτηριστική διάσταση της επιφάνειας επαφής (ακτίνα ή ημιεύρος πλάτους) και το βάθος διείσδυσης. Σημειώνουμε ότι η p o που δείχνει ο Πίνακας εκφράζει την μέγιστη τιμή της πίεσης ( p mx ) στον πόλο της σφαίρας ή στη γενέτειρα επαφής του κυλίνδρου. Κατά τα λοιπά, ισχύουν οι παρατηρήσεις που αναφέρονται παραπάνω σχετικά με τις εσωτερικές επαφές. Η κλασσική θεωρία ελαστικής επαφής μεταξύ παραμορφώσιμων σωμάτων που συνοπτικά αναφέρθηκε στα προηγούμενα, αφορά την περίπτωση κατά την οποία δεν υπάρχει πρόσφυση μεταξύ των σωμάτων. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει - -
συνεπίπεδη δύναμη στην επιφάνεια επαφής, αλλά ούτε λιπαντικό. Στην πράξη όμως υπάρχουν και οι δύο αυτές περιπτώσεις που συνήθως αφορούν έδρανα αλλά είναι πέρα από το σκοπό αυτών στων σημειώσεων. Πίνακας. Κοινές περιπτώσεις επαφής μεταξύ στερεών σωμάτων. ΣΦΑΙΡΕΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΙ Παράδειγμα Σε ένα ζεύγος κάμας-ακόλουθου, όπως αυτό που δείχνει το Σχήμα 5, η μέγιστη δύναμη που ασκείται στην επαφή τους είναι P 50 kp και τα υλικά είναι χάλυβες. Να βρεθούν η μέγιστη τάση, η διείσδυση των επιφανειών και η ποιότητα του χάλυβα. P P R0 8 Σχήμα 5. Ζεύγος κάμας-ακόλουθου. - 3 -
Αν η μέγιστη δύναμη εφαρμόζεται στη θέση που δείχνει το Σχήμα 5, τότε η επαφή αυτή αντιστοιχεί στην περίπτωση επαφής ενός κυλινδρικού σώματος (κάμα) με ένα επίπεδο σώμα (βάση ακόλουθου). Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, η ακτίνα του κυλίνδρου είναι R 0 mm cm και το μήκος του κυλίνδρου που αντιστοιχεί στο μήκος επαφής, L 8 mm 0.8 cm. Το μέτρο ελαστικότητας του χάλυβα είναι E. 0 6 kp/cm και είναι το ίδιο και για τα δύο σώματα που έρχονται σε επαφή E E E. Η ανηγμένη δύναμη στην επιφάνεια επαφής (δύναμη ανά μονάδα μήκους) P P L 50 0.8 3.5 kp/cm Με βάση τα δεδομένα που παρουσιάζει ο Πίνακας για την περίπτωση επαφής κυλίνδρου με επίπεδο, η μέγιστη τάση στην επιφάνεια επαφής είναι mx p o 0.59 P E E R ( E E ) 3.5. 0 6 0706 kp/cm Το ημιεύρος της ορθογωνικής επιφάνειας επαφής είναι.076 P R ( E E) EE 0.857 mm και το βάθος διείσδυσης Αφού kp/cm 0.579 R 4 ln 4.3 0 cm E 3 0. MP, η μέγιστη τάση στην επαφή είναι 0706 kp/cm 070.6 MP. Με βάση τις πληροφορίες που περιγράφει ο Πίνακας, το υλικό της κάμας και του ακόλουθου πρέπει να είναι χάλυβας που έχει υποστεί σκλήρυνση με βαφή και να έχει σκληρότητα 440 ΒΗΝ. mx - 4 -