ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας είναι μία ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες. Συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα και τα στοιχεία του μέσα σε παρενθέσεις η αγκύλες. Ο αριθμός μ των γραμμών και ν των στηλών ενός πίνακα Α, ονομάζονται διαστάσεις του πίνακα και ο πίνακας συμβολίζεται Α x. Παραδείγματα πινάκων: 0 4 x 4 8 B x C 4 5 D 0 9 Ε= 5 6 (Ο C είναι πίνακας στήλη, ο D πίνακας γραμμή και ο Ε πίνακας στοιχείο). Τα στοιχεία ενός πίνακα συμβολίζονται με το αντίστοιχο μικρό γράμμα του κεφαλαίου με το οποίο συμβολίσαμε τον πίνακα και δύο δείκτες που δείχνουν την γραμμή και στήλη στην οποία βρίσκεται. a a a Π.χ. για τον πίνακα Α= a a a όπου a a - κλπ Ανάστροφος ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας που έχει τις γραμμές του Α στήλες ή τις στήλες γραμμές και συμβολίζεται Α T. i j Εφαρμογή : Να γράψετε πίνακα Α x με στοιχεία aij i j i j j i j και να βρείτε τον ανάστροφό του. : a a Α= a a = = και Α T = 4 5 a a 4 5. Δύο πίνακες είναι ίσοι όταν έχουν ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών και ίσα τα αντίστοιχα στοιχεία. ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ Τετραγωνικός λέγεται ο πίνακας που έχει ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών. Σ ένα τετραγωνικό πίνακα ορίζεται η κύρια διαγώνιος. 5 Π.χ. Β x = 6 0 με κύρια διαγώνιο τα στοιχεία b, b, b 9 7 9 Α) Συμμετρικός λέγεται ο πίνακας που είναι ίσος με τον ανάστροφό του. Ισχύει a a. ij ji

0 Π.χ C 4 0 5 Ασκήσεις ) Να συμπληρώσετε τον πίνακα : πρέπει aij a a a 0 ji a a 8 a a δηλ. 5 0... A... 6 ώστε να είναι συμμετρικός: 8... 5 0 A 6 0 8 - Να βρείτε τα t,x,y,w,z ώστε ο πίνακας 8) συμμετρικός: 4 t x 7 9 B y z 6 w 6 0 να είναι : t b4 b4, y b b 4, z b b 7, w b4 b4 9 και x R. x 5 ) Να βρείτε τα x,y, ώστε ο πίνακας C 0 να είναι συμμετρικός: y 7 : Πρέπει: x και 5 y, άρα x η x και 5 y. Β) Διαγώνιος λέγεται ο πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία εκτός της κυρίας διαγωνίου είναι μηδέν, δηλ. aij 0 όταν i j. 9 0 0 0 0 0 0 Π.χ. 0 6 0 4 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 8 0 0 0 4 Άσκηση: x 4 0 Να βρείτε το χ ώστε ο πίνακας B x 6 0 να είναι διαγώνιος. 0 0 5 : πρέπει x 4 0 και x 0 άρα x.

Μοναδιαίος λέγεται ο διαγώνιος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι. Συμβολίζεται με Ι. Π.χ. Ι = 0 0 0 0 Ι= 0 0 0 0 Άσκηση: x 0 y Να βρείτε τα x,y,z, ώστε ο πίνακας 0 0 να είναι ο μοναδιαίος. 0 0 z 4 : Πρέπει x και z 4 και y 0. Άρα x και z και y 0. Γ) Άνω τριγωνικός λέγεται ο πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν. Δηλ. aij 0 όταν i j. Αυστηρά άνω τριγωνικός λέγεται ο άνω τριγωνικός πίνακας στον οποίο και τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι μηδέν. Δηλ. aij 0 όταν i j. 4 0 5 0 6 0 9 4 Π.χ. άνω τριγωνικός. 0 0 0 0 0 8 αυστηρά άνω τριγωνικός 0 0 0 0 0 0 7 Δ) Κάτω τριγωνικός λέγεται ο πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο είναι μηδέν. Δηλ. aij 0 όταν i j. Αυστηρά κάτω τριγωνικός λέγεται ο κάτω τριγωνικός πίνακας στον οποίο και τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι μηδέν. Δηλ. aij 0 όταν i j. Πρόσθεση πινάκων ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Για να προσθέσουμε πίνακες πρέπει να έχουν τις ίδιες διαστάσεις και προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία. Α+Β= C όπου aij bij cij για κάθε (i,j). Όμοια για την αφαίρεση. Ιδιότητες πρόσθεσης Αντιμεταθετική Α+Β=Β+Α Προσεταιριστική (Α+Β)+Γ=Α+(Β+Γ) Ουδέτερο στοιχείο Α+Ο=Ο+Α=Α όπου Ο είναι ο πίνακα με όλα τα στοιχεία του μηδέν. Αντίθετος πίνακα Α+(-Α)=(-Α)+Α=Ο Π.χ 0 5 4 + 4 6 8 = ( 4) 0 6 5 ( 8) 4 ( ) ( ) = 6 0

Βαθμωτός πολλαπλασιασμός (πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα) Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με όλα τα στοιχεία του πίνακα. Ιδιότητες λ(α+β)=λα+λβ (λ+μ)α=λα+μα λ(μα)=(λμ)α Α=Α.. 6 Π.χ. 5.5.( ) 5 Ασκήσεις ι)δίνονται οι πίνακες Α= 0 και Β= 0. Να βρείτε τον πίνακα Α+Β. 4 0 Β= 0 = 0 6 Α+Β= 0 + 0 6 = 6. 4 8 4 8 4 ιι) Να βρείτε τα x,y ώστε 0 + x y y x y = 0 x y y x y y 0 + x y = x y = 0 πρέπει και +x+y= x y άρα χ= και y=- y 0 Πολλαπλασιασμός πινάκων Για να πολλαπλασιάσουμε δύο πίνακες πρέπει ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου. Π.χ. Α x.β x = C x ενώ D4 x. K x δεν ορίζεται ο πολλαπλασιασμός. Ιδιότητες (Α+Β)Γ=ΑΓ+ΒΓ Α(Β+Γ)=ΑΒ+ΑΓ Α(ΒΓ)=(ΑΒ)Γ ΑΙ=ΙΑ=Α ΑΟ=Ο (λα)β=λ(αβ)=α(λβ) προσοχή ΑΒ ΒΑ 4

Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πίνακες: Γινόμενο του πίνακα Α x =[ ij ] με τον πίνακα Β x =[ b jk ] λέγεται ο πίνακας C x [ cik ] του οποίου κάθε στοιχείο cik είναι το άθροισμα των γινομένων των μ στοιχείων της i-γραμμής του Α με τα αντίστοιχα μ στοιχεία της j-στήλης του Β. Δηλ. c a b a b a b. ik i k i k... i k Εφαρμογές: ) Α x = 4 πίνακας x. Β x = 0 5 ορίζεται ο πολ/σμός και το αποτέλεσμα είναι ΑΒ = 4 0 ( ). ( ).5.0. 5 = ( ) 4. ( ) 4.5.0 4. = 7 8 ) Γ x = 0 4 Δ x = 4 5 ορίζεται και είναι πίνακας x 0 ΓΔ= 4 ( 4) 0.5 4 4 5 = ( 4) ( )5 = ( 4) 4.5 8 δεν ορίζεται ) Α= Β= 0 Α Β πίνακας x AB= 0 =..( ) ( ).0=0 Ασκήσεις 0 ) Δίνονται οι πίνακες Α= 0 0 4 4 (Απ. Β= 4 0 ) 0 0. Να βρείτε τον πίνακα Β=Α +Ι 5

) Δίνονται οι πίνακες : A= 0 y 4 0 6 ισχύει ΑΒ=Ι. ( χ= 4, y, z ) 6 B= 0 x. Να βρείτε τα x, y, z ώστε να z ) Δίνονται οι πίνακες : Α= 0 0 Να δείξετε ότι ΑΒ-Γ=Ι. Β= 0 0 0 και Γ=. 0 0 4) Δίνονται οι πίνακες : Α= 0 4 5 Να βρείτε τον πίνακα Α² +ΒC-I 4 Β= 0 και C= ( Απ. 7 9 4 8 9 0 0 7 Ο αντίστροφος πίνακας Για κάθε τετραγωνικό πίνακα Α ορίζεται ο αντίστροφός του που συμβολίζεται με Α και ισχύει ΑΑ =Α Α=Ι 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Η ορίζουσα ενός πίνακα Α συμβολίζεται A η det(a). Ορίζουσα ης τάξης υπολογισμός Η ορίζουσα ενός πίνακα x ονομάζεται ορίζουσα ης τάξης και υπολογίζεται ως εξής: a b ad cb c d Π.χ. 8.4 ( ).8 8 8 6 4 Ορίζουσα ης τάξης-υπολογισμός Η ορίζουσα ενός πίνακα x ονομάζεται ορίζουσα ης τάξης και υπολογίζεται με δύο τρόπους; Α) Κανόνας Sarrus Γράφουμε δίπλα τις δύο πρώτες στήλες (η κάτω τις δύο πρώτες γραμμές) και προσθέτουμε αφαιρούμε τα γινόμενα όπως παρακάτω: + + + 6 4 0.4 0 7 5 7 - - - Εφαρμογές-συμπεράσματα =.0.5+(-)..7+6.4.(-)-7.0.6-(-)..-5.4.(-)=0--48-0+4+60=-5 Να υπολογίσουμε την ορίζουσα α) ενός διαγωνίου πίνακα β) ενός μοναδιαίου. a 0 0 a 0 0 b 0 0 b 0 0 c 0 0 = abc+0+0-0-0-0 = abc Συμπέρασμα α): Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. β) Η ορίζουσα ενός μοναδιαίου πίνακα ισούται με. γ) σαν άσκηση: Να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός άνω η κάτω τριγωνικού πίνακα και να διατυπώσετε το συμπέρασμά σας. (απ. Όμοια με τον διαγώνιο) Β) Με ανάπτυγμα κατά τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης την οποία επιλέγουμε εμείς. 7

Έχουμε υπ όψη τον πίνακα προσήμων για τα στοιχεία της γραμμής ή στήλης που επιλέξαμε και πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο α ij με την ορίζουσα που προκύπτει αν διαγράψουμε την i γραμμή και j στήλη. Παράδειγμα: Να υπολογίσουμε την αρχική ορίζουσα 6 0 4 4 0 4 0 ( ) 6 [0 ( )] (0 7) 6( 8) 5 7 5 7 7 5 4+9-48=-5 Ιδιότητες. Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ίση με την ορίζουσα του αναστρόφου του. Αν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης είναι μηδέν τότε η ορίζουσα ισούται με μηδέν.. Αν τα αντίστοιχα στοιχεία δύο γραμμών ή δύο στηλών είναι ίσα ή ανάλογα τότε η ορίζουσα ισούται με μηδέν. 4. Αν εναλλάξουμε τη θέση δύο γραμμών ή δύο στηλών, η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο. 5. Αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης μ ένα αριθμό τότε και η ορίζουσα πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό. Συνεπώς μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από όλα τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης. 6. Αν στα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης πολλαπλασιασμένα μ ένα αριθμό, η ορίζουσα δεν αλλάζει (η πιο απλή περίπτωση: μπορώ να προσθέσω η ν αφαιρέσω γραμμές η στήλες μεταξύ τους). 7. Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζουσών τους δηλ. det(ab)=det(a)det(b) 8. H ορίζουσα ενός διαγωνίου, ενός άνω η ενός κάτω τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου. 9. Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα είναι όση με το αντίστροφο της Ασκήσεις ορίζουσας του αρχικού δηλ det( A ). det( A) ) Να βρείτε χωρίς ανάπτυγμα τις ορίζουσες των πινάκων και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 0 9 0 4 0 4 7 0 0 Β= Γ= 0 0 0 7 5 8 9 Δ=. 0 0 4 0 0 5 0 0 0 6 8

: =0 γιατί ο πίνακας έχει δύο στήλες ίσες ( η και η ) =(-7)(-).= γιατί ο πίνακας είναι διαγώνιος =(-)..(-).6=6 γιατί ο πίνακας είναι άνω τριγωνικός ) Να λύσετε την εξίσωση : 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 (-χ).χ.(χ+)=0 0 0 άρα χ= ή χ=0 ή χ= ) Χωρίς ανάπτυγμα να δείξετε ότι : 0 ή ή 0 (δύο στήλες ίσες) κοινός παράγοντας 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΟΥ GAUSS ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Αποδεικνύεται ότι, αν σε ένα γραμμικό σύστημα, εναλλάξουμε την θέση δύο εξισώσεων, ή πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε τα μέλη μιας εξίσωσης με ένα μη μηδενικό αριθμό, ή προσθέσουμε τα μέλη μιας εξίσωσης πολλαπλασιασμένα με ένα αριθμό στα μέλη μιας άλλης, προκύπτει ισοδύναμο σύστημα. Έτσι, όταν έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα προσπαθούμε εφαρμόζοντας τις παραπάνω διαδικασίες, να το μετασχηματίσουμε σε ένα ισοδύναμο σύστημα του οποίου η λύση είναι προφανής. Παράδειγμα: Έστω το γραμμικό σύστημα x+y+z = x+ y +z = (Σ) -x+y+5z=0 Εναλλάσσουμε τις δύο πρώτες εξισώσεις x+ y +z = του (Σ) x+y+z = ( ) -x+y+5z=0 Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της πρώτης εξίσωσης x+ y +z = του ( ) με - και προσθέτουμε κατά μέλη με την -y -z =- ( ). Έτσι απαλείφεται ο x από την, δηλ. -x+y+5z=0 Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της πρώτης εξίσωσης x+ y +z = του ( ) με και προσθέτουμε κατά μέλη με την -y - z =- ( ). Έτσι απαλείφεται ο x από την, δηλ. 5y +7z = Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη της δεύτερης εξίσωσης x+ y +z = του ( ) με 5 και προσθέτουμε κατά μέλη με την -y - z =- ( ). Έτσι απαλείφεται ο y από την Ε, δηλ. 5 -z = - Από την τρίτη εξίσωση του ( ) έχουμε z =, αντικαθιστώντας στην δεύτερη βρίσκουμε y =- και από την πρώτη εξίσωση x =. Άρα η λύση του συστήματος είναι (x,y,z)=(, -, ). 0

Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ ΤΟΥ GAUSS Έστω το προηγούμενο σύστημα x+y+z = x+ y +z = (Σ) -x+y+5z=0 Με τη βοήθεια πινάκων το (Σ) όπως και κάθε σύστημα γράφεται: 5 x y =. z 0 Ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων,συμπληρωμένος με την στήλη των σταθερών όρων λέγεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος. Αν λείπει κάποιος άγνωστος, στη θέση του συντελεστή του βάζουμε το μηδέν. : :. 5 : 0 Αφού κάθε γραμμή (Γ) του επαυξημένου πίνακα παριστάνει μία εξίσωση εφαρμόζουμε τις παραπάνω διαδικασίες (εδώ λέγονται γραμμοπράξεις) στις γραμμές του επαυξημένου πίνακα προσπαθώντας να μηδενίσουμε όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο, δηλ. στις θέσεις (,), (,) και (,) (πρώτα της πρώτης στήλης μετά της δεύτερης κλπ.). : : 5 : 0 : : - 5 : 0 Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με (-) και την προσθέτουμε στην δεύτερη. : ( ) : δηλ ( ) ή : 0 : 5 : 0 5 : 0 Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με το και την προσθέτουμε στην τρίτη. :.() : δηλ 0 : 0 : 5 : 0 0 5 7 : Τώρα θέλουμε να μηδενίσουμε το 5. Κατεβαίνουμε στην δεύτερη γραμμή, την πολλαπλασιάζουμε με 5 και την προσθέτουμε στην τρίτη.

δηλ : 0 : 5 0 5 7 : : 0 : 0 0 : Βρίσκουμε την λύση με την προς τα πίσω αντικατάσταση : Γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν από τον τελευταίο πίνακα, λύνουμε την τρίτη ως προς z, στη συνέχεια αντικαθιστούμε την δεύτερη για να βρούμε το y και τέλος στην πρώτη και βρίσκουμε το x. Δηλαδή x+y+z = x-+= x= -y-z =- -y-.=- y=- -z=- z= Άρα η λύση του συστήματος είναι : x=, y=-, z=. Ή x y z Εφαρμογή Να λυθεί το σύστημα: x- y+ z= 5 x + y -z=- 4x-y+z= Αλλάζουμε θέση πρώτης και δεύτερης εξίσωσης. x + y -z=- x- y+ z= 5 4x-y+z= Δημιουργούμε τον επαυξημένο πίνακα και συνεχίζουμε με τις γνωστές γραμμοπράξεις. : ( ) : 5 4 : : ( ) ( ) ( ) ( )( ) : ( )( ) 5 4 : : ( 4) 0 : 9 4 : : 0 : 9 ( 4) 4 ( 4) ( ) ( )( 4) : ( )( 4) : 0 : 9 ( ) 0 6 7 : 0 : 0 : 9 0 ( )( ) ( 6) ( ) 7 : 9( ) 0

: 0 : 9 0 0 :. Γράφουμε τις εξισώσεις; x+ y- z =- x--=- x= -y +z= 9 -y+ =9 -y= y=- z = Άρα x y. z Ασκήσεις Να λυθούν τα συστήματα α) x+4y+z = 7 x=0 β) x- y+ z = 0 x= x- y +z = y= 7x+ y+ z= y= x+y+9z=0 z= x+y+4z=8 z=- ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΔΥΝΑΤΟ Ας λύσουμε το σύστημα x+y-z=0 x+5y-z= x+5y+ z= : 0 ( ) 5 : 5 : : 0 ( ) 0 : 5 : : 0 0 : ( ) 0 : : 0 0 : 0 0 0 : Η τελευταία γραμμή είναι ισοδύναμη με την εξίσωση : 0x+0y+0z=- που είναι αδύνατη. Συνεπώς το σύστημα δεν έχει λύση. Άρα αν στον επαυξημένο πίνακα βρούμε μία γραμμή της μορφής [ 0 0 0 : αριθμός 0 ] τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα x+y=6 x-y=4 x+y=8

: Θέλουμε να μηδενίσουμε τις θέσεις (,), (,) (,) : 6 : 4 : 8 : 8 ( ) : 4 : 6 : 8 ( ) 0 4 : 0 : 6 : 8 0 4 : 0 : ( 4) 0 : 0 : 8 0 : 5 0 : 0 : 8 0 : 5 0 0 : 5 Άρα το σύστημα είναι αδύνατο Ασκήσεις Να λύσετε τα συστήματα α) x-y-z-=0 β) x+ z =7 x+y- z =0 -x+6y-z=0 x+y+z=4 -x-6y-z=-5 x-y+4z=7 ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΟΡΙΣΤΟ Ας λύσουμε το σύστημα -x+y+z =4 x-y+z=-6 x+y-z = : 4 : 6 : : ( ) : 6 : 4 : 0 : 8 : 4 : 0 : 8 0 : 8 : 0 : 8 0 0 0 : 0 Η τελευταία γραμμή είναι ισοδύναμη με την εξίσωση : 0x+0y+0z=0 δηλ 0=0 συνεπώς μπορούμε να την αγνοήσουμε και γράφουμε τις εξισώσεις () x+ y-z = x+y- 8 y = x= 0 y () -y+z=-8 z= 8 y 0 y x Δηλαδή το σύστημα έχει άπειρο πλήθος λύσεων τη μορφής y y y R. z 8 y 4

Λέμε ότι είναι αόριστο. Αν λύναμε την δεύτερη εξίσωση ως προς y, τότε οι λύσεις θα είχαν την μορφή : z x 8 z y z R z z (Πολύ απλά ένα σύστημα είναι αόριστο αν στον επαυξημένο πίνακα βρούμε μία γραμμή της μορφής [ 0 0 0 0 : 0 ] και οι εξισώσεις που μένουν είναι λιγότερες από τους αγνώστους. Στην λύση κάποιοι άγνωστοι εκφράζονται σαν συνάρτηση άλλων). Εφαρμογή Να λύσετε το σύστημα x -y+ z =- -x+y-z = x- y+z=- : : : : : ( ) : - - : : : 0 0 0 : 0 Βρήκαμε μία μηδενική γραμμή και δύο εξισώσεις με τρεις αγνώστους. Άρα το σύστημα είναι αόριστο. Μηδενίζουμε και την θέση (,) και έχουμε : : 0 0 0 : 0 Η γραμμή που έμεινε είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x-y+z=- την οποία λύνουμε ως όποιον άγνωστο θέλουμε, έστω z. Δηλ. z=-+y-x και οι λύσεις του συστήματος είναι: x x y y z y x x, y R. Ασκήσεις ) Να λύσετε τα συστήματα α) x+y+z= 9 β) x+y-z+ w= x+8y-z=6 x-y+z = -x-5y+5z=-7 x-8y+z-w= 5

( Ενδεικτικές λύσεις: α) x 4 5z y 9z z R z z β) x y y y y R z w y ) ) Δίνεται το σύστημα: -x -4y +4z = 8 Να βρείτε για ποιές τιμές του κ είναι : x +y -z = -6 α) αδύνατο x +4y -4z = k β) αόριστο και στη συνέχεια να το λύσετε α) κ - β) κ=-, ( x,y,z )=(4, z-5, z) z R ΟΜΟΓΕΝΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στην ειδική περίπτωση που όλοι οι σταθεροί όροι ενός συστήματος είναι ίσοι με μηδέν λέμε ότι έχουμε ομογενές σύστημα. Π.χ. x-y-z = 0 x-y-z =0 4x+y-5z =0 Για να το λύσουμε παίρνουμε μόνο τον πίνακα των συντελεστών, γιατί η στήλη με τα μηδενικά στον επαυξημένο δεν επηρεάζεται από τις γραμμοπράξεις. ( ) ( 4) 4 5 Οι εξισώσεις είναι : 0 ( 9) 0 9 9 () x-y-z=0 x-(-z)-z=0 x=-z () y+z=0 y=-z 0 0 0 0 x z y z z R. z z (Κάθε ομογενές σύστημα έχει προφανή λύση την μηδενική) Άσκηση Να λύσετε το σύστημα x+y+4z=0 y-z =0 x + 8z=0 ( x,y,z )=(-8z, z, z) zєr 6

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΙΝΑΚΑ Θυμίζουμε ότι : ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα Α συμβολίζεται Α και ισχύει Α.Α =Α.Α= Ι. Για να ορίζεται ο αντίστροφος του Α πρέπει det(a) 0. Υπολογισμός : δημιουργούμε επαυξημένο πίνακα της μορφής ( Α Ι ) και κάνουμε γραμμοπράξεις μέχρι να τον φέρουμε στην μορφή ( Ι Χ ). Τότε Χ=Α. Εφαρμογή: Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα Α= 5. 4 : : 0 0 Δημιουργούμε επαυξημένο πίνακα της μορφής 5 : 0 0 4 : 0 0 Α Ι και προσπαθούμε με γραμμοπράξεις να δημιουργήσουμε τον μοναδιαίο στην θέση του Α και ο πίνακας που θα προκύψει στην θέση του Ι είναι ο Α. Για να μηδενίσουμε το πάνω τρίγωνο, μηδενίζουμε πρώτα τα στοιχεία της τρίτης στήλης, μετά της δεύτερης κλπ. : 0 0 ( ) 5 : 0 0 4 : 0 0 : 0 0 () 0 : 0 4 : 0 0 : 0 0 0 : 0 0 0 : 0 : 0 0 0 : 0 0 0 : 9 ( ) : 0 0 0 0 : 7 0 0 0 : 9 0 : 7 0 0 : 7 0 0 0 : 9 0 0 : 4 8 0 0 : 7 0 ( ) 0 0 : 9 Άρα Α = 4 8 7 0. 9 0 0 : 4 8 0 0 : 7 0 0 0 : 9 7

Ο αντίστροφος ενός πίνακα Α = τύπο Α det( A). μπορεί να βρεθεί και κατ ευθείαν με τον Ασκήσεις ) Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα Α= 4. det(a)=.-(-4).=4 0 άρα Α 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 7 ) Να βρείτε τους αντίστροφους των πινάκων : Α= 0 5 4 9 Β= 0 ( Α = 4 59 8 0 7 5 Β = 0 5 ) ) Να βρείτε τον αντίστροφο του πίνακα συμπέρασμά σας. 0 0 C 0 0 0 0 7 και να διατυπώσετε το 0 ) Να βρείτε για ποιες τιμές του κ R ο πίνακας Β= k 4 5 αντιστρέφεται. ( Υπόδ. Πρέπει det(β) 0.. k 8 ) 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το f ( x) f ( x0) lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό x x xx0 0 ονομάζεται παράγωγος της f στο χ 0 και συμβολίζεται f ( χ 0 ). Δηλ. f ( χ 0 )= lim xx0 f ( x) f ( x0) x x 0 = df dx ( χ 0 ). Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και Α το σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αν αντιστοιχίσουμε κάθε x A στο f '( x ), ορίζεται η συνάρτηση f ': A R x f '( x) η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος ή απλά παράγωγος της f. Η παράγωγος της f ' λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f ''. Όμοια ορίζεται η τρίτη παράγωγος f '''( x) ( f ''( x))' κλπ. Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων: ( c)' 0 ( x)' m m ( x )' mx π.χ. 5 5 4 ( x ) ' 5x 5x, ( x x x)' ( e )' e x 4 4 5 ( x )' 4x 4x (ln x)' (χ>0) x Κανόνες παραγώγισης: 8 ( cf ( x))' cf '( x) π.χ. (8ln x)' 8(ln x) ' 8 x x 5 5 4 4 (0 x )' 0( x )' 0.5x 50x [ f ( x) g( x)]' f '( x) g '( x) π.χ. [ f ( x) g( x)]' f '( x) g '( x) π.χ. (ln x x) ' (ln x)' ( x) ' x x x x ( e x)' ( e )' ( x)' e x [ f ( x). g( x)]' f '( x) g( x) f ( x) g '( x) x x x x x π.χ. ( e ln x)' ( e )'ln x e (ln x)' e ln x e x 9

f ( x ) f '( x ) g ( x ) ( ) '( ) f x g x g( x) [ g( x)] ' x ( x ) ' x ( x )( x) ' ( 0) x ( x ). x x π.χ. ' x x x x x Για να βρούμε f '( x 0) πρώτα βρίσκουμε f '( x) και μετά βάζουμε στη θέση του χ το x 0. Εφαρμογή: αν f ( x) x να βρεθεί f '(4). : f '( x) f '(4) = x x 4 Ασκήσεις ) Δίνεται f ( x) x ln x. Να βρείτε f '( x ), f ''( x ), f '() και f ''() f '( x) ( x ln x)' ( x) 'ln x x(ln x) ' ln x x ln x x f ''( x) (ln x ) ' (ln x)' () ' x f '() ln f ''() ) Δίνεται g( x) x ax 5. Να βρείτε το α ώστε g '() 4. g '( x) ( x ) ' a( x) ' ( 5)' 6x a 0 6x a άρα g '() 6. a a a 4 a 8 (παρατήρηση: στη συνάρτηση g(x) η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι το χ, συνεπώς ό,τι δεν είναι χ θεωρείται σταθερά) ) Αν f ( x) x x ν.δ.ο ( x) f ''( x) f '( x) 0 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν g, f είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε ονομάζουμε σύνθεση της g με την f την συνάρτηση (f g )(x) = f(g(x)) ορισμένη στο σύνολο Α ={ xα: g(x)β}. Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει : (f (g(x))) = f (g(x)).g (x) δηλ. για να παραγωγίσουμε την f(g(x)), σε πρώτη φάση παραγωγίζουμε την f σαν να έχει ανεξάρτητη μεταβλητή την g(x) και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της g. Παραδείγματα: ) Να βρεθεί η ( lnx). 0

Εδώ έχουμε σύνθεση της f(x)=lnx και της g(x)=x δηλ. η f(x) έχει στη θέση του χ το χ. Ισχύει: (lnx) = x και (χ) =. Σύμφωνα με τον κανόνα έχουμε: (lnx) = x.(χ) = x. = x x ) (ln x )' =.( x )' x x x ) 4 (ln(4x ))'.(4x ) ' 4x 4x x x x x x 4) ( e )' e.( x)' e γιατί ( e )' e 5) ( e ax ) ' e ax.( ax)' ae ax x x 6) ( x )'.( x )' x x x x γιατί ( x)' x 5 4 4 4 7) [( x ) ]' 5( x ).( x ) ' 5( x ).x 5 x ( x ) γιατί ( x ) ' 5x 5 4 8) 4 ( x 4 x) ' ( x)' 4 x x( 4 x) ' 4 x x (4 x)' 4x x 4x 4x 4x x 4x (αρχικά έχουμε γινόμενο) Ασκήσεις: kx ) Αν g( x) e να βρείτε το κ ώστε g ''( x) g '( x) g( x) g '( x) ( e kx )' e kx ( kx)' ke kx kx g ''( x) k e kx kx kx kx kx kx g ''( x) g '( x) g( x) k e ke e k e ke e 0 kx k k =0 άρα k ή k ( e >0 ) kx e (k k ) 0 kx ) Αν h( x) e να βρείτε το κ ώστε h ''( x) h( x) 0 ( κ= ή κ=- ) ) Αν f ( x) x e ν.δ.ο. f '( x) f ''( x) 0 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Μέγιστο-ελάχιστο) Υπολογισμός Δίνεται η συνάρτηση y=f(x) Βρίσκουμε την f (x) Λύνουμε f (x) =0 δηλ. βρίσκουμε τις ρίζες της f, έστω ρίζα ρ. Βρίσκουμε f (x) Βρίσκουμε το πρόσημο για f (ρ)

Αν f (ρ)<0 η συνάρτηση στο χ=ρ παρουσιάζει μέγιστο με τιμή f(ρ) Αν f (ρ)>0 η συνάρτηση στο χ=ρ παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή f(ρ) Παρατήρηση Οι ρίζες της πρώτης παραγώγου είναι πιθανές θέσεις ακροτάτων. Αν όμως σε κάποιο x0 η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο, τότε το x0 είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου. Παραδείγματα: ) Να βρείτε τα ακρότατα της f '( x) x x f x x x ( ) 6 5 f '( x) 0 x x 0 x( 4) 0 x 0 η x 4 f ''( x) 6x Για x =0 f ''(0) 6.0 0 άρα στο 0 η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο με τιμή f (0) 0 6.0 5 5 δηλ. Max (0,5) Για x 4 f ''(4) 6.4 0 άρα στο 4 η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή f (4) 4 6.4 5 64 96 7 δηλ. min (4,-7) ) Να βρείτε τα ακρότατα της g( x) x 6x 5 g '( x) 6x 6 g '( x) 0 6x 6 0 x g ''( x) 6 άρα g ''() 6 0 συνεπώς η g( x) παρουσιάζει στο χ= ελάχιστο με τιμή g(). 6. 5 δηλ. min (,). ) Δίνεται η συνάρτηση f ( x) ax x x. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία με τετμημένες x και x β) να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων και να βρείτε τις τιμές τους. α) Αφού η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα στα σημεία με τετμημένες - και, τότε το - και είναι ρίζες της πρώτης παραγώγου. f '( x) ax x f '() 0 a.. 0 a b 0 και f '( ) 0 a( ) ( ) 0 a b 0 Λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων: a b 0 και a b 0 απ όπου έχουμε α= και β=0 Άρα f ( x) x x β) f '( x) x και f ''( x) 6x για χ= f ''() 6 0 άρα στο χ= η f παρουσιάζει min με τιμή f () για χ=- f ''( ) 6 0 άρα στο χ=- η f παρουσιάζει max με τιμή f ( )