ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 Ονοματεπώνυμο: Α.Μ Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ: I. (περί τις 55μ. = Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και το B αντιστρέψιμο, τότε οι ιδιοτιμές του AB είναι ίδιες με τις ιδιοτιμές του BA. (βʹ Για κάθε μητρώο μεγέθους n n, υπάρχουν πάντα n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. (γʹ Το γινόμενο δυο άνω τριγωνικών μητρώων έχει και αυτό μόνο μηδενικά κάτω από την κύρια διαγώνιο. (δʹ Τα μητρώα [a, b; d, c] και [c, d; a, b] είναι όμοια μεταξύ τους για οποιαδήποτε επιλογή των βαθμωτών a, b, c, d. Απάντηση. (αʹ Σωστό: AB = B (BAB AB όμοιο με BA (βʹ Λάθος. Για παράδειγμα όλα τα ιδιοδιανύσματα του μητρώου του [, ]. (γʹ Σωστό. Κάθε στοιχείο του γινομένου C := AB είναι της μορφής γ ij = n α ik β kj k= ( είναι πολλαπλάσια Ενδιαφερόμαστε για τα κάτω τριγωνικά στοιχεία, δηλ. εκείνα για τα οποία i > j. Επομένως μπορούμε να ξαναγράψουμε την παραπάνω σχέση ως γ ij = α i β j + + α ij β jj + + α i,i β ij + α ii β ij + + α in β nj }{{}}{{} i<k k j Λόγω της άνω τριγωνικής μορφής των A, B, τα μη μηδενικά στοιχεία τους είναι στις θέσεις (i k για τα α ik και (k j για τα β kj. Από τον παραπάνω τύπο φαίνεται ότι το πρώτο μερικό άθροισμα δεξιά θα είναι λόγω της άνω τριγωνικότητας του A ενώ το δεύτερο μέλος θα είναι λόγω της άνω τριγωνικότητας του B. (δʹ Λάθος. Για να είναι όμοια τα μητρώα θα πρέπει οι ιδιοτιμές να είναι ίδιες, οπότε αρκεί να υπολογίσουμε και να συγκρίνουμε τις ιδιοτιμές. Μπορούμε να ελέγξουμε πιο γρήγορα ως εξής: Ομοια σημαίνει και ίδιο ίχνος για τα δυο μητρώα, δηλ. θα πρέπει a + c = b + c κάτι που δεν μπορεί να ισχυει παρά μόνον για ειδικές επιλογές των στοιχείων και σίγουρα όχι για οποιαδηποτε a, b, c, d.. Εστω ότι µ είναι το ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης του ΑΜ σας με το (δηλ. ένας αριθμός μεταξύ και 9, π.χ. αν AM = 4 τότε µ = = 4 ( 4. Δίδονται τα διανύσματα a = [µ,, ] a και b = [,, ]. Να υπολογίσετε το μητρώο A = b b b b a a a Απάντηση. (Υπολογίζετε το µ σας και μετά αντικαθιστάτε στο παρακάτω Μετά από πράξεις έχουμε: ( µ + 6 A = µ + + µ

2 . Εστω A = µ όπου µ συμβολίζει το ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης του ΑΜ σας με το (δηλ. ένας αριθμός μεταξύ και 9, π.χ. αν AM = 4 τότε µ = = 4 4. Θέλουμε να εφαρμόσουμε διαδοχικά τα παρακάτω. α Εναλλαγή των γραμμών και του A. β Μηδενισμός του στοιχείου στη θέση (, του (α. γ Μηδενισμός του στοιχείου στη θέση (, του (β. δ Εναλλαγή των γραμμών και του (γ μόνον αν το στοιχείο στη θέση (, του (γ είναι μεγαλύτερο σε απόλυτη τιμή από το στοιχείο στη θέση (,. ε Πρόσθεση της στήλης στη στήλη του (δ. ζ Υπολογισμός του αθροίσματος των στοιχείων της ης στήλης του (ε ως βαθμωτό που ονομάζουμε ρ. Να εκφράσετε τα παραπάνω ως γινόμενο ρ = R 5 R 4 R R R AC C και να δοθεί το αποτέλεσμα. Θέλουμε το ρ και όλους τους παράγοντες R i, C j (Σημ.: αν δεν χρειάζεται ένας από τους παράγοντες, όπως π.χ. μπορεί να συμβαίνει στο (δ, μπορείτε να το θέσετε ίδιο με το ταυτοτικό μητρώο. Επίσης οι παράγοντες δεν είναι πάντα τετραγωνικοί, π.χ. μπορεί να είναι και διανύσματα. Απάντηση.. (α R A = µ = µ (β R (R A = µ = µ (γ R (R (R A = µ = µ (δ Προφανώς δεν χρειάζεται εναλλαγή, επομένως Οπότε: (ε Θέτουμε R 4 = I R 4 (R (R (R A = µ C = R 4 (R (R (R AC = (ζ Θέτουμε R 5 = [,, ] και C = [,, ] οπότε R 5 (R 4 (R (R (R C C = ( µ 8 µ µ 8 µ 8 = 4 µ

3 4. (αʹ Αν ο A είναι 5 τότε τι μπορείτε να πείτε για την τάξη του A και του A ; (βʹ Η προβολή του διανύσματος v σε ένα υποχώρο S βρέθηκε ότι είναι ίδια με το v. Τι μπορείτε να πείτε για το v; (γʹ Δίνεται η ορθογώνια βάση [, ], [, ] του R. Η ορθοκανονική βάση που προκύπτει είναι η [, ], [, ]. (δʹ Ενας γραμμικός μετασχηματισμός L απεικονίζει τα διανύσματα της τυπικής βάσης e, e, e του R στα διανύσματα Le = [, ], Le = [, 4], Le = [, ]. Αν v = [,, ] τότε το Lv = [,, ]. (εʹ Δίνεται η βάση [,, ], [,, ] ενός υποχώρου του R. Η μέθοδος Gram-Schmidt δίνει μια ορθοκανονική βάση του ίδιου υποχώρου που είναι η [,, ], [,, ] Απάντηση. (α Ο πίνακας Α είναι 5, οπότε έχει τάξη το πολύ, δηλαδή αυτή θα είναι η διάσταση του χώρου γραμμών και του χώρου στηλών του. Ο χώρος στηλών του Α όμως είναι και χώρος γραμμών για τον A T. Επομένως r(a = r(a T (β Το u να βρίσκεται πάνω στον υπόχωρο ή να είναι μηδενικό. (γ Τα [, ] T και [, ] είναι ορθογώνια. Η ορθοκανονική βάση που προκύπτει αν διαιρέσουμε τα παραπάνω διανύσματα με το μέτρο τους. Η ορθογώνια βάση είναι η: [, ] T, [, ] T (δ υ = e + ( e + e (ε Θέτουμε: ( Lυ = Lυ = Le + ( Le + Le ( ( + = 4 a = [,, ] T, b = [,, ] T. κανονικοποιούμε το a: u = a/ a = [,, ]. Αφαιρούμε από το b την ορθογώνια προβολή του επί του υποχώρου u : û = b (u u b = b u (u b επομένως û = [,, ]. Κανονικοποιούμε, οπότε u = [,, ]. ( 5. α Εστω τα διανύσματα x i R για i =,..., 8. Να δείξετε ότι ο μηδενόχωρος του μητρώου X = [x,..., x 8 ] δεν μπορεί να είναι τετριμμένος (δηλ. οπωσδήποτε περιέχει μη μηδενικά διανύσματα. Να δείξετε επίσης ότι το μητρώο A = 8 j= x ix i δεν μπορεί να είναι αντιστρέψιμο. β Γνωρίζουμε ότι ένας τρόπος να παρουσιάσουμε γεωμετρικά το ιδιοδιάνυσμα ενός πραγματικού μητρώου A μεγέθους είναι ως το διάνυσμα x R εκείνο για το οποίο ευθυγραμμίζονται στον R το Ax και το x (εκεί στηρίζεται και το eigshow της MATLAB. Να περιγράψετε μια περίπτωση που αποτυγχάνει αυτή η οπτικοποίηση. Απάντηση. α Το μητρώο Χ είναι 8. Επομένως η τάξη του μητρώου θα είναι το πολύ 8. Ομως η διάσταση του μηδενόχωρου είναι τουλάχιστον dim(null(a 8, επομένως ο μηδενόχωρος δεν είναι τετριμμένος. Ισοδύναμα, το σύστημα Xa = έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις, επομένως θα έχει μη μηδενικές λύσεις. Επίσης η έκφραση A = 8 j= x ix i ορίζει το A ως ένα μητρώο μεγέθους το οποίο είναι ίσο με το γινόμενο A = X X. Καθώς το X έχει μη τετριμμένο μηδενοχώρο, το A είναι οπωσδήποτε μη αντιστρέψιμο. Ισοδύναμα, το A είναι άθροισμα 8 μητρώων ης τάξης το καθένα, άρα το μητρώο θα έχει τάξη το πολύ 8, ενώ το μέγεθός του είναι και επομένως δεν είναι αντιστρέψιμο. β Η οπτικοποίηση στην περίπτωση που το μητρώο έχει μιγαδικές ιδιοτιμές, οπότε με βάση την περιγραφή για την οπτικοποίηση στην εκφώνηση δεν γίνεται να δούμε την «ευθυγράμμιση» των Ax και

4 ( λx. (Σημ. που δεν χρειάζεται στη λύση: Για παράδειγμα το μητρώο A = λ = i, λ = i. Το Ax παραμένει πίσω ή μπροστά από το x. με ιδιοτιμές II. (περί τις 5μ. Δίνονται A = [,, ;,, c;,, d] και b = [c; d; ] όπου c και d πραγματικές παράμετροι. Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα Ax = b.. Για ποια c και d, έχει το Ax = b, i καμία λύση, ii άπειρες λύσεις;. Στην περίπτωση των άπειρων λύσεων, δώστε μια βάση για το μηδενοχώρο του A.. Στην ίδια περίπτωση, βρείτε τη γενική λύση. 4. Να επιλέξετε c = µ+, όπου µ έχει επιλεγεί όπως στο ερώτημα I.4 παραπάνω, και το d όπως προτιμάτε αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχει ακριβώς μια λύση και να την υπολογίσετε. Απάντηση. Το επαυξημένο μητρώο [A, b] είναι c c d d που με διαδοχικούς μετασχηματισμούς (α. αφαίρεση φορές την πρώτη γραμμή από τη η και φορές από την η, β. αφαίρεση της δεύτερης γραμμής από την τρίτη μετατρέπουμε στην παρακάτω άνω κλιμακωτή μορφή: c c d c d c d + c Για μη αντιστρεψιμότητα, θα πρέπει d c =. Επιπλέον, αν τότε d+c τότε δεν θα υπάρχει λύση, ενώ αν d+c = θα υπάρχουν άπειρες λύσεις. Στη δεύτερη περίπτωση θα πρέπει d+c = d c = και εύκολα προκύπτει ότι θα πρέπει να ισχύει ότι c =, επομένως για άπειρες λύσεις θα πρέπει c =, d =. Θέτοντας c =, d =, έχουμε έναν οδηγό, επομένως η βάση του μηδενοχώρου έχει διάσταση. Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε μια λύση του ομογενούς συστήματος Lx = όπου L είναι το κάτω τριγωνικό μητρώο που προήλθε από την αναγωγή του A σε άνω κλιμακωτή μορφή. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι L = και προκύπτει άμεσα ότι το διάνυσμα [,, ] είναι μια βάση του μηδενοχώρου. Η γενική λύση υπολογίζεται ως (ειδική λύση+(στοιχείο του μηδενοχώρου. Για την ειδική λύση θέτουμε ξ = και λύνουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας την αναγμένη μορφή του, οπότε ξ =, ξ =, επομένως η γενική λύση θα είναι + ξ 4 Για να έχουμε μοναδική λύση, αρκεί d c. Τότε ξ = d+c d c και κάνοντας ακόμα βήματα πίσω αντικατάστασης υπολογίζεται η λύση. Στην περίπτωση που αναφέρεται στην εκφώνηση, c = µ +, και να υπάρχει μοναδική λύση αρκεί d c, δηλ. d µ δηλ. d µ +. (Εννοείται ότι εσείς 4

5 έχετε ήδη τοποθετήσει συγκεκριμένους αριθμούς στη θέση των µ, c, d. Το σύστημα γράφεται συνοπτικά ως µ + µ d µ 4 d µ d + µ + και η λύση υπολογίζεται εύκολα με πίσω αντικατάσταση. Ειδικότερα, ξ = d+µ+ µ d+ και στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε τα ξ, ξ. III. (περί τις 5μ. Εχουν γίνει μετρήσεις και έχουν βρεθεί οι τιμές f j (που αντιστοιχούν στις τιμές της μεταβλητής t j j 4 5 που παρέχονται από τον πίνακα t j - -/ / Η απεικόνιση των σημείων στο επίπεδο f j.5.5 υποδεικνύει ότι τα σημεία αυτά ανήκουν (προσεγγιστικά στην καμπύλη που δίνεται από τον τύπο f(t = c + c t. Για να βρεθούν οι τιμές c, c με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων: α Ποια είναι η ποσότητα που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί; Απάντηση. Θέτουμε το διάνυσμα b με τις τιμές των f j και το μητρώο A με τους συντελεστές της μορφής [, t j ], οπότε b = [,,,.5,.5], A = [, ;, /4;, ;, /4;, ] Το πρόβλημα ελαχιστοποίησης είναι να επιλέξουμε το διάνυσμα c R που ελαχιστοποιεί την ευκλείδεια νόρμα (μέτρο r όπου r := b Ac. β Ποιές είναι οι εξισώσεις με αγνώστους του c, c που προκύπτουν από την ελαχιστοποίηση του r ; γ Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε c =, c =. Απάντηση. (β, γ Από τα παραπάνω έχουμε ότι Ac = b απ όπου προκύπτουν οι κανονικές εξισώσεις A Ac = A b, που γράφονται ως ( Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα προκύπτει ότι c = ( ( c = c.5 ( 9 5 IV. (περί τις 5μ.. Δίνεται το τριδιαγώνιο μητρώο με στην κύρια διαγώνιο και - στις δύο δευτερεύουσες: A n = [,,,..., ;,,,,..., ;,,,,,..., ;... ;,...,,, ] για n (Αρχικά είναι A = [, ;, ]. Αν συμβολίσουμε F n = det(a n, να βρείτε με αλγεβρικά συμπληρώματα έναν αναδρομικό τύπο που να συνδέει το F n με τα F n και F n. Ποια τιμή έχει η F 6 ; Απάντηση. Χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο υπολογισμού ορίζουσας έχουμε ότι F n = F n + ( ( G n όπου G n είναι η ορίζουσα του μητρώου που προκύπτει αν διαγράψουμε την η στήλη και την η γραμμή του A n. Συνεχίζοντας, φαίνεται εύκολα ότι το μητρώο που αντιστοιχεί στο G n έχει τη μορφή ( επομένως Επομένως A n G n = ( F n F n = F n F n Επίσης F =, F = F F =. Επομένως F 4 = F F = F και F 5 = F 4 F =, F 6 = F 5 F 4 = F =. 5

6 . Με βάση τη διαγωνιοποίηση ενός συμμετρικού μητρώου, να δείξετε ότι κάθε τέτοιο μητρώο A είναι συνδυασμός μητρώων προβολής: A = λ P +, λ n P n, όπου λ i ιδιοτιμή και P i μητρώο προβολής επί του ιδιοχώρου. Απάντηση. Βιβλίο (σς Αφού διαγωνιοποιηθεί το μητρώο A = [.6,.4;.4,.6], να βρεθεί μια προσέγγιση της δύναμης A µ, όπου µ είναι ο αριθμός μητρώου σας (υποχρεωτικά, χωρίς πολλαπλασιασμούς του A με τον εαυτό του!. Για την προσέγγιση αυτή μπορείτε να θεωρήσετε ότι αριθμοί μικρότεροι από 6 είναι. Απάντηση. Υπολογίζουμε πρώτα τις ιδιοτιμές του μητρώου: det(a λ I = (/ λ λ λ =, λ =. Στη συνέχεια τα ιδιοδιανύσματα = λ = (A I x = προκύπτει ότι ένα ιδιοδιάνυσμα είναι x = [, ] λ =. (A. I x = προκύπτει ότι το άλλο ιδιοδιάνυσμα είναι x = [, ] ( Επομένως το ορθογώνιο μητρώο των ιδιοδιανυσμάτων είναι Q = και ισχύει Q AQ = Λ (διαγώνιο με τις ιδιοτιμές στη διαγώνιο. Επομένως A µ = (QΛQ (QΛQ... (QΛQ = QΛ µ Q λόγω ορθογωνιότητας των Q. Επομένως A µ = Qdiag[, (. µ ]Q Qdiag[, ]Q Η τελευταία σχέση οφείλεται στο ότι όλοι οι αριθμοί Α.Μ. που εξετάζονται είναι μεγαλύτεροι του και (. <.5 = 6. Επομένως A µ ( ( = ( 6