Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Transcript

1 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση στη μορφή: 2x = x 1 2 κατά τη μεταφορά του 2 στο 2 ο μέλος χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα αλλαγής προσήμου του 2 και αφήσαμε μόνο το πολλαπλάσιο του αγνώστου x στο 1 ο μέλος. 2 ος τρόπος Μπορούμε να λάβουμε το ίδιο αποτέλεσμα ως εξής: 2x + 2-2= x 1-2 Κάθε μέλος μειώθηκε κατά 2, αλλά τα δύο μέλη παρέμειναν ίσα. Έτσι στο 1 ο μέλος θα μείνει μόνο το 2x. 2x = x 1-2 Αν ο ίδιος αριθμός προστεθεί ή αφαιρεθεί και από τα δύο μέλη της εξίσωσης, τα δύο μέλη παραμένουν ίσα. 1

2 2 Ακολουθούμε τον 1 ο ή 2 ο τρόπο αυτή τη φορά για το x. Σύμφωνα με τον 2 ο τρόπο έχουμε: αφαιρέσαμε και από τα 2 μέλη το x Τώρα έχουμε 2x x = x 1-2 x x = 1-2 Αν ο ίδιος αριθμός προστεθεί ή αφαιρεθεί και από τα δύο μέλη της εξίσωσης, τα δύο μέλη παραμένουν ίσα. Δηλαδή x = -3 Επαλήθευση (αντικατάσταση του -3) Για x = - 3 έχουμε στην αρχική εξίσωση ότι : 2(-3) + 2 = (-3) 1 ή = - 4 ή - 4 = - 4 που ισχύει. 2

3 3 Εξίσωση 2 η Έστω η εξίσωση Αν τα δύο μέλη μιας εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό, τότε τα δύο μέλη της νέας εξίσωσης είναι ίσα. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός αριθμός, τότε αλλάζουν τα πρόσημα και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Διαιρώ και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου χ. 2χ = 4 ή χ = 2 3

4 4 Εξίσωση 3 η Κάνω σταυρωτά γινόμενα 3χ 3 = 4 4 9χ = 16 ή χ = 16/9 Διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου Έστω η εξίσωση: αx + β = 0 (1) Διερεύνηση Αν α 0 τότε η (1) έχει μοναδική λύση, την: x = - β Αν α = 0 και β 0 τότε η (1) δεν έχει λύση (αδύνατη) Αν α = 0 = β τότε η (1) έχει άπειρες λύσεις (αόριστη ή ταυτότητα) 4

5 5 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α 5ο Βήμα : Να λυθεί η εξίσωση: 3(x - 2 )+ 2(2x 1) = 5x - 1 3x x - 2 = 5x - 1 3x + 4x - 5x = x = 7 x= = Xωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους (στο πρώτο μέλος οι άγνωστοι). Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π. (απαλοιφή παρονομαστών). Απαλείφουμε τις παρενθέσεις (επιμεριστική ιδιότητα) Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου (και το πρόσημο του). 5

6 Αν ο συντελεστής του αγνώστου η o σταθερός όρος εκφράζεται με τη βοήθεια γραμμάτων, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. 6 Επίλυση παραμετρικής εξίσωσης 1ο Βήμα : 2ο Βήμα : 3ο Βήμα : Στη συνέχεια, για καθεμία από τις τιμές αυτές, ελέγχουμε αν η εξίσωση είναι αδύνατη ή αόριστη. Με πράξεις, φέρνουμε την εξίσωση σε μορφή Αx = B, με Α, Β παραγοντοποιημένα. 2. Να λυθεί η εξίσωση : κ 2 (x - 1) = 4x(κ - 1) 3κ + 2 κ 2 (x - 1) = 4x(κ - 1) 3κ + 2 => κ 2 x - κ = 4κx - 4x 3κ + 2 κ 2 x 4κx + 4x = κ 2 3κ + 2 (κ 2 4κ + 4)x = κ 2 3κ + 2 (κ - 2) 2 x = (κ - 1)(κ - 2) Για (κ - 2) 2 0, δηλαδή για κ = 2, η (Ι) έχει την μοναδική λύση : x = κ κ = κ Υποθέτουμε ότι ο συντελεστής του αγνώστου είναι διάφορος του μηδενός, οπότε έχουμε μοναδική λύση, την : x = Για (κ -2) 2 = 0, δηλαδή για κ = 2, η (Ι) γίνεται : 0 x = (2-1)(2-2) => 0 x = 1 0 => 0 x = 0, οπότε η εξίσωση είναι αόριστη. Υποθέτουμε ότι ο συντελεστής του αγνώστου είναι ίσος με μηδέν και βρίσκουμε ποιες τιμές μηδενίζουν την παράμετρο. 6

7 7 Η Ε ξ ί σ ω σ η x v = α α ν Ε ξ ί σ ω σ η x v = α α = 0 άρτιος ή περιττός x=0 α > 0 άρτιος x= ± α > 0 περιττός x= α < 0 άρτιος αδύνατη α < 0 περιττός x= - Στη περίπτωση που η λύση ήταν ίδια με κάποια απ' τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή (δες περιορισμoύς), τότε δεν θα την δεχόμαστε. Παραγοντοποιούμε όλους τους παρονομαστές. Να λυθει η εξισωση : - = - = Ε.Κ.Π : x (x + 1) 2 Θέτουμε περιορισμούς, με την προϋπόθεση ότι Ε.Κ.Π. 0 Πρέπει : x(x + 1) 0 x 0 και (x + 1) 0, δηλαδή x -1 Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών x(x + 1) 2 - x(x + 1) 2 = x(x + 1) 2 7

8 8 (x + 1) 2-2 (x + 1) 2 = x( -x) - (x + 1) 2 = -x 2 (x + 1) 2 = x 2 x 2 + 2x + 1 = x 2 x x 2 + 2x = 0 2x + 1= 0 2x = -1 Eαν η λύση ήταν ίδια με κάποια απ' τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή, τότε απορρίπτεται. x = Να λυθει η εξισωση : + = -2x = 2 x = 6 2 x x x - 1 = 12 x x x x - 1 = - 42 Μετατρέπουμε όλα τα απόλυτα, ώστε να γίνουν ίδια ( έχουμε το δικαίωμα να αλλάξουμε τα πρόσημα ενός απόλυτου καθώς και να βγάλουμε κοινό παράγοντα). -7 x - 1 = - 42 Λύνουμε σαν εξίσωση 1ου βαθμού με άγνωστο το απολυτό. x - 1 = 6 Έχοντας υπόψη ότι, αν : α. f(x) = θ > 0, τότε f(x) = ± θ β. f(x) = α < 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, 8

9 Επίλυση εξίσωσης με διαφορετικά απόλυτα Βρίσκουμε τις τιμές που μηδενίζουν κάθε απόλυτο και σχηματίζουμε πίνακα προσήμων των απολύτων, για το κάθε διάστημα που δημιουργήθηκε. 9 Να λυθεί η εξίσωση : x x - 4 = 1 x-1 μηδενίζει για x=1 2x-4 μηδενίζει για x=2 X x-1 -x-1 x+1 x+1 2x-4-2x-4-2x-4 2x+4 Για x < 1, η εξίσωση γίνεται : - x + 1-2x + 4 = 1 -x - 2x = 1 4-3x = - 4 x = - (απορρίπτεται, x < 1). Λύνουμε την εξίσωση ξεχωριστά για το κάθε διάστημα Για 1 x < 2, η εξίσωση γίνεται : x x + 4 = 1 x - 2x = x = - 2 x = 2 (απορρίπτεται, 1 x < 2). Για x 2, η εξίσωση γίνεται : x x - 4 = 1 x + 2x =

10 10 3x = 6 = x = 2 (δεκτή). 10