Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

Transcript

1 Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 5 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

2 ΣΥΣΤΗΜΑ 2Χ2 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 2Χ2 (2 εξισώσεις Χ 2 άγνωστοι) στη γενική του μορφή: a 11 X 1 +a 12 X 2 b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 όπου Χ 1, Χ 2 οι 2 άγνωστοι Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: Α a 11 a 12 a 21 a 22, X X 1 X 2, B b 1 b 2 Ισχύει Α*ΧΒ δηλ. a 11 a 12 X 1 b 1 > a 11X 1 +a 12 X 2 b 1 > a 11X 1 +a 12 X 2 b 1 a 21 a 22 X 2 b 2 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 a 21 X 1 +a 22 X 2 b 2 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων Χ: πίνακας αγνώστων Β: πίνακας σταθερών όρων Προφανώς μπορώ να λύσω χρησιμοποιώντας Πίνακες: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β >ΧΑ -1 *Β Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ο αντίστροφος Α -1 του Α (δηλ. ορίζουσα Α 0) 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

3 ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Έστω το σύστημα εξισώσεων 3Χ3 (3 εξισώσεις Χ 3 άγνωστοι) στη γενική του μορφή: a 11 X 1 +a 12 X 2 +a 13 X 3 b 1 a 21 X 1 +a 22 X 2 +a 23 X 3 b 2 όπου Χ 1, Χ 2, Χ 3 οι 3 άγνωστοι a 31 X 1 +a 32 X 2 +a 33 X 3 b 3 Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: a 11 a 12 a 13 X 1 Α a 21 a 22 a 23, X X 2, B a 31 a 32 a 33 X 3 b 1 b 2 b 3 Ισχύει Α*ΧΒ δηλ. 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 X 1 X 2 X 3 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων, Χ: πίνακας αγνώστων, Β: πίνακας σταθερών όρων Προφανώς μπορώ να λύσω: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β >ΧΑ -1 *Β Με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ο αντίστροφος Α -1 του Α (δηλ. Α 0) b 1 b 2 b 3 ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ nxn ΜΠΟΡΩ ΝΑ ΛΥΣΩ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ

4 ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1) Έστω το παρακάτω σύστημα 3Χ3: X 1 +2X 2 +4X 3 5 3X 1 +X 2 +2X X 1 +2X ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr όπου Χ 1, Χ 2, Χ 3 οι 3 άγνωστοι Μπορούμε να ορίσουμε τους πίνακες: X 1 5 Α 3 1 2, X X 2, B X 3 15 Α: πίνακας συντελεστών των αγνώστων, Χ: πίνακας αγνώστων, Β: πίνακας σταθερών όρων Ισχύει Α*ΧΒ δηλ X 1 X 2 X επειδή Α Α -10 0, μπορώ να λύσω: Α*ΧΒ > Α -1 *Α*ΧΑ -1 *Β > Ι*ΧΑ -1 *Β > ΧΑ -1 *Β ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΩ ΤΟΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ Α -1-2* * *(-6)+(-22)-10

5 Α ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (2) > Α 1 1 Α Α+ όπου Α Πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων του Α: Αναστρέφω και προκύπτει ο Α + Α 1 1 Α Α ΧΑ -1 *Β * ( 4) ( 22) ( 6) ( 5) /2 Χ 1 3 > Χ 2 4 Χ 3 3/2 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ Α*ΧΒ : ορίζουσα Α 0 >αντίστροφος Α 1 1 Α Α+ >λύση ΧΑ -1 *Β 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

6 ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ME ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τον αντίστροφο Α 1 1 Α Α+ 3. Υπολογίζω τη λύση ΧΑ -1 *Β Χρησιμοποιώ τα παρακάτω: 1. Υπολογισμός ορίζουσας Α nxn 2. Υπολογισμός αντίστροφου Α -1 (Α + :ανάστροφος πίνακα Αλγεβρικών συμπληρωμάτων Α) 3. Γινόμενο πινάκων Α -1 *Β 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

7 ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ KANONA CRAMER ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 Κανόνας Cramer: X i A Xi A ( κάθε άγνωστος είναι πηλίκο 2 οριζουσών) A Xi είναι η ορίζουσα που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε στην ορίζουσα του Α τη στήλη που αντιστοιχεί στον άγνωστο X i με τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα Β Παράδειγμα 3Χ3: Α*ΧΒ δηλ. X 1 A X1 A X 1 X 2 X 3 X 2 A X2 A X 3 A X3 A Χρειάζεται να υπολογίσω μόνο 4 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ για να λύσω το σύστημα εξισώσεων! 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

8 ΣΥΣΤΗΜΑ 3Χ3 ΜΕ CRAMER: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω το προηγούμενο σύστημα 3Χ3: X 1 +2X 2 +4X X 1 +X 2 +2X 3 10 σε μορφή πινάκων: Α X 1 +2X Κανόνας Cramer: X i A Xi (πηλίκο 2 οριζουσών) A Α * * ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr, X Πρέπει να υπολογίσω τις 3 ορίζουσες A X1, A X2, A X A X A X2 A X X 1 X 2 X 3, B *(-6)+(-22)-10 0 άρα υπάρχει μοναδική λύση -2* * * -2*(-10)+(-50) > X 1 A X1 A * * * *(-50)+6*(-30) > X 2 A X2 A * * * -2*(-15)+(-15) > X 3 A X3 A /2 ΜΕ ΤΗ ΜΈΘΟΔΟ CRAMER ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ ΚΆΘΕ ΑΓΝΩΣΤΟ

9 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ-CRAMER ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΙΝΑΚΑ: 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τον αντίστροφο Α 1 1 Α Α+ 3. Υπολογίζω τη λύση ΧΑ -1 *Β >όλοι οι άγνωστοι μαζί ΜΕΘΟΔΟΣ CRAMER: 1. ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ ΤΗΝ ορίζουσα Α 0, αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση 2. Α 0, υπολογίζω τις n ορίζουσες A Xi, Κανόνας Cramer: X i A Xi A >κάθε άγνωστος ξεχωριστά 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

10 ΤΑΞΗ (RANK) ΠΙΝΑΚΑ nxm Η τάξη (rank) ενός πίνακα Α nxm rank(a) είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του. Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα είναι αυτά που η αντίστοιχη ορίζουσα είναι διάφορη του 0. Έστω πίνακας A , είναι Α -10 0, επομένως rank(a)2, τα διανύσματα , 3 1 γραμμικά ανεξάρτητα, όπως και τα 2 3, 4 2 γιατί Έστω πίνακας B είναι B 0, επομένως rank(β)<2, επειδή o B έχει τουλάχιστο 1 μη μηδενικό στοιχείο rank(β) C έχουμε 0 ενώ -2 0 επομένως rank(c) F έχουμε , , 0 επομένως rank(f)<2 >rank(f) Ένας πίνακας Α mxn έχει τάξη k αν υπάρχει υπο-ορίζουσα των γραμμών ή στηλών του kxk 0 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

11 ΤΑΞΗ (RANK) ΠΙΝΑΚΑ 3Χ3 Η τάξη (rank) ενός πίνακα Α nxm rank(a) είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του (διάσταση μέγιστης ορίζουσας ή υπο-ορίζουσας 0). Γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα είναι αυτά που η αντίστοιχη ορίζουσα είναι διάφορη του 0. Έστω Α ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr, είναι Α , επομένως rank(a)< Επειδή υπάρχει τουλάχιστο 1 υπο- Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του Α: , 6 6 ορίζουσα 2Χ2 μη μηδενική, έχουμε rank(a)2. Έστω Β , είναι Β Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του Β: , του Β είναι ίσες με μηδέν (0), επομένως rank(β)<2 Επειδή ο πίνακας έχει μη μηδενικά στοιχεία είναι rank(b)1 0 (η 2 η γραμμή το διπλάσιο της 1 ης ), επομένως rank(β)< όλες οι 9 υπο-ορίζουσες 2Χ2

12 ΕΠΑΥΞΗΜΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ [Α,Β] ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 επαυξημένος πίνακας [Α,Β] είναι ο πίνακας που προκύπτει αν στον πίνακα Α «προσθέσουμε» μια επιπλέον στήλη, τα στοιχεία του Β. Αν Α 3x επαυξημένος [Α,Β] 3x4 X 1 X 2, B 3x1 X , X 3x1 Στο παραπάνω σύστημα είναι Α 0, οπότε χρειάζεται να εξετάσουμε τον επαυξημένο [Α,Β] ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

13 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Α nxn *Χ nx1 Β nx1 Αν Α 0 τότε μοναδική λύση αν Α 0 δεν υπάρχει μοναδική λύση, άπειρες λύσεις ή αδύνατο Εξετάζουμε την τάξη (rank) του επαυξημένου πίνακα [Α,Β] και του Α: 1. Αν rank(a)rank([α,β]) τότε έχουμε άπειρες λύσεις (αόριστο) 2. Αν rank(a)<rank([α,β]) τότε έχουμε καμία λύση (αδύνατο) Δεν υπάρχει περίπτωση rank(a)>rank([α,β]) γιατί ο [Α,Β] «περιέχει» τον Α 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

14 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X3 ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 Έστω σύστημα εξισώσεων σε μορφή Πινάκων: Α Στο παραπάνω σύστημα είναι: Α * , X X 1 X 2 X 3, B επαυξημένος [Α,Β] 2 4 0, επομένως rank(a)<3, η υπο-ορίζουσα 2Χ2: > rank(a)2 Επειδή Α 0 χρειάζεται να εξετάσουμε τον επαυξημένο [Α,Β] ορίζουσες 3Χ3 επαυξημένου [Α,Β]: , , , Εξετάζουμε υπο-ορίζουσες 2Χ2 του επαυξημένου [Α,Β]: * *00 > rank([a,b])< > rank([a,b])2 (Συνέχεια στην επόμενη) 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

15 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 (2) X Α , X X 2, B 6 επαυξημένος [Α,Β] X Έχουμε υπολογίσει Α 0, rank(a)2 και rank([a,b])2 Επειδή rank(a)rank([a,b])2 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις (αόριστο) ΕΥΡΕΣΗ ΛΥΣΕΩΝ ΑΟΡΙΣΤΟΥ (ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ) Η υπο-ορίζουσα που ήταν 0 αντιστοιχούσε στις 2 πρώτες γραμμές του Α και τις 2 πρώτες στήλες , επομένως το αντίστοιχο «υποσύστημα» 2Χ2 έχει «μοναδική» λύση: 6 6 2X 1 +4X 2 +14X 3 8 6X 1 +6X 2 +12X 3 6 4X 1 +4X 2 +8X ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr > 2X 1 +4X X 3 6X 1 +6X X 3 > Αυτό είναι σύστημα 2Χ2 και το λύνουμε ως προς X 1,X 2 με Cramer (Θεωρούμε το X 3 «σταθερά») 8 14X 3 X 1 Α 4 Χ1 6 12X 3 6 Α X 3 X 2 Α Χ X 3 Α X X X X X 3 3 5X 3 Υπάρχουν άπειρες λύσεις X 1, X 2, X 3, π.χ. αν X 3 0 > X 1-2 X 2 3 Το ονομάζουμε αόριστο γιατί ορίζοντας την τιμή του ενός αγνώστου προκύπτουν οι τιμές των άλλων 2.

16 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ nxn ΌΤΑΝ ΟΡΙΖΟΥΣΑ0 (3) Α , X 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr X 1 X 2, B X Έχουμε υπολογίσει Α 0, rank(a) επαυξημένος [Α,Β] * το προηγούμενο σύστημα με διαφορετικό τον πίνακα Β υπολογίζουμε τις ορίζουσες 3Χ3-2*(-12)24 0, επομένως rank([a,b])3 Επειδή rank(a)2<rank([a,b])3 το σύστημα δεν έχει λύση (ΑΔΥΝΑΤΟ) ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ ΌΤΙ ΕΊΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΟ? 2X 1 +4X 2 +14X 3 8 6X 1 +6X 2 +12X 3 7 4X 1 +4X 2 +8X 3 3 > 6X 1 +6X 2 +12X 3 7 4X 1 +4X 2 +8X 3 3 > X 1 +X 2 +2X 3 7/6 X 1 +X 2 +2X 3 3/4 Δεν είναι εύκολο να δείξουμε ποιες εξισώσεις ενός συστήματος είναι «ασυμβίβαστες» «ΑΔΥΝΑΤΟ», χρειάζεται εμπειρία!

17 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ mxn m>n Ένα σύστημα με εξισώσεις m> n αγνώστους (εξισώσεις περισσότερες από αγνώστους), το σύστημα Α mxn *Χ nx1 Β mx1 θα έχει: 1. Μοναδική λύση αν rank(a)rank([a,b])n 2. άπειρες λύσεις αν rank(a)rank([a,b])<n 3. καμία λύση αν rank(a)<rank([a,b]) ΙΣΧΥΟΥΝ ΚΑΤΆ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΥΤΆ ΠΟΥ ΕΙΔΑΜΕ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ nxn 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

18 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, (3 εξισώσεις με 2 αγνώστους) 2X 1 +4X X 1 +2X 2 8 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X , Β X 3Χ1 8 > επαυξ. [Α,Β] X 1 +X Υπολογισμός rank(a): , -10 0, επομένως rank(a) Υπολογισμός rank([α,β]): (γιατί 1 η γρ.2χ2 η γρ.) > rank([α,β])< Ελέγχω υπο-ορίζουσες 2Χ2 του [Α,Β]: , rank([α,β])2 3 1 Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)rank([α,β])2n (έχω 2 αγνώστους) Το σύστημα έχει μοναδική λύση: αντιστοιχεί στην μη μηδενική υπο-ορίζουσα: 2X 1 +4X X 1 +X ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Είναι 2Χ2 με ορίζουσα 0

19 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους 2X 1 +4X X 1 +2X 2 5 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X , Β X 3Χ1 5 > επαυξ. [Α,Β] X 1 +6X Υπολογισμός rank(a): , 0, 0 > rank(a)<2 > rank(a) rank([α,β]): > rank([α,β])< Ελέγχω 2Χ2 στον [Α,Β]: , 0, 0 > rank([α,β])<2 > rank([α,β]) Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)rank([α,β])1 άπειρες λύσεις (ΑΟΡΙΣΤΟ) (η 1 η εξίσ. είναι 2πλάσια της 2 ης και η 3 η εξίσωση 3πλάσια της 2 ης > έχουμε 1 εξίσωση με 2 αγνώστους άρα λύσεις: X 1 +2X 2 5> X 1 5 2X 2 άπειρες λύσεις) 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

20 ΛΥΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3X2 (ΚΑΜΙΑ ΛΥΣΗ) Αν έχουμε ένα σύστημα 3Χ2, 3 εξισώσεις με 2 αγνώστους 2X 1 +4X X 1 +2X 2 8 > Α 3Χ2 1 2, Χ 2Χ1 X 10 1, Β X 3Χ1 8 > επαυξ. [Α,Β] 2X 1 +X Υπολογισμός rank(a): , -10 0, επομένως rank(a) rank([α,β]): (-5)* *630 0 > rank([α,β])3 Επειδή στο σύστημα υπολόγισα: rank(a)2< rank([α,β])3 καμία λύση (ΑΔΥΝΑΤΟ) (Από την 1 η και 2 η εξίσωση μπορούμε να δούμε ότι είναι αδύνατο) 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

21 ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ένα σύστημα εξισώσεων Α*ΧΒ με Β0 (μηδενικός πίνακας) δηλ. ΑΧ0 ονομάζεται ομογενές. Παράδειγμα: 5Χ 1 + 3Χ 2 0 2X 1 + 7X 2 0 είναι προφανές ότι Χ 1Χ 2 0 είναι η τετριμμένη λύση. 5 3 Σε μορφή πινάκων έχουμε 2 7 * Χ όπου Α 3 Χ Επειδή ορίζουσα 0 μπορώ να αντιστρέψω οπότε ΧΑ -1 *ΒΑ -1 *00 Με Cramer θα έχω Α Χ , Α 5 0 Χ , επομένως Χ 1 Α Χ1 / Α 0/290 και Χ 2 Α Χ2 / Α 0/290 ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝ Α 0 ΤΟΤΕ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ Χ0 (τετριμμένη) ΑΝ Α 0 τότε ο επαυξημένος [Α,Β] ισχύει πάντα rank(a)rank([a,b]) > ΑΠΕΙΡΕΣ ΛΥΣΕΙΣ (γιατί τα στοιχεία του πίνακα Β είναι όλα μηδέν) 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

22 ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΘΝΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Σε μια «κλειστή» οικονομία έχουμε: Εθνικό εισόδημα YC+I+G (C κατανάλωση, Ι επενδύσεις, G κυβερνητικές δαπάνες) Η Κατανάλωση C εξαρτάται από Εθν. Εισόδημα Υ και Επιτόκιο r: Ca*r+b*Y Οι επενδύσεις I εξαρτώνται από εισόδημα Y και Επιτόκιο r: Ιc+d*r+e*Y 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους Υ, C, I και 6 σταθερές (συντελεστές) G,a,r,b,c,d,e: YC+I+G Y C IG Y G Ca r+b Y by+car b 1 0 C ar A*XB Ιc+d r+e Y ey+ιc+dr e 0 1 I c + dr A b 1 0 e 0 1, X Y C I, B G ar c + dr Μπορώ να υπολογίσω τα Y,C,I αν γνωρίζω τους υπόλοιπους συντελεστές του συστήματος: ΧΑ -1 *Β 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

23 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 1/5 Ένα ναυπηγείο παράγει 3 είδη πλοίων Χ 1,Χ 2,Χ 3 Κάθε είδος πλοιού χρειάζεται κάποιες εργατο-ημέρες εργασίας σε 3 στάδια: Στάδιο Τύπος Πλοίου Διαθέσιμες Κατασκευής Χ 1 Χ 2 Χ 3 Εργατοημέρες Α Β C Πόσα από το κάθε είδος πρέπει να παράγει για να εξαντλεί τις διαθέσιμες εργατοημέρες? για το σταδιο Α εχουμε: 4Χ Χ Χ Χ για το σταδιο Β εχουμε: 1Χ 1 + 7Χ Χ Χ για το σταδιο Β εχουμε: 4Χ 1 + 8Χ 2 + 8Χ Χ Είναι σύστημα 3Χ3 και επομένως μπορώ να το λύσω με πίνακες (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια) 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

24 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 2/5 Ναυπηγείο 3 είδη πλοίων Χ 1,Χ 2,Χ 3 Πόσα από το κάθε είδος πρέπει να παράγει για να εξαντλεί τις διαθέσιμες εργατοημέρες? σύστημα 3Χ3: ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Χ 1 Χ 2 Χ > Α * *(-8)40 0 Επειδή Α 0 υπάρχει μοναδική λύση: ΧΑ -1 *Β (με αντίστροφο) ή με CRAMER:X i A Xi Α X1 Α X2 Α X * *(162*8-140*10)520 > X 1 A X1 A 0* -1* * -1* * > X 2 A X2 A * > X 2 A X3 A A (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

25 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 3/5 ΕΠΕΚΤΑΣΗ: Αν ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις διαθέσιμες εργατοώρες τις επόμενες 4 χρονικές περιόδους πόση πρέπει να είναι η αντίστοιχη παραγωγή? Στάδιο Διαθέσιμες Εργατοημέρες Κατασκευής Περίοδος 1 Περίοδος 2 Περίοδος 3 Περίοδος 4 Α Β Το σύστημα C3Χ3 ήταν: Χ Χ Α*ΧΒ Α 0, ΧΑ -1 *Β Χ Αν ορίσω C παρατηρώ ότι μπορώ να υπολογίσω ΥΑ -1 *C πίνακας 3Χ4 που η κάθε στήλη του θα είναι η παραγωγή για την αντίστοιχη περίοδο. Διαφορετικά θα έπρεπε να λύσω 4 συστήματα εξισώσεων, 1 σύστημα 3Χ3 για κάθε στήλη (Περίοδο) 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

26 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 4/5 Α 1 1 Α Α+ έχω υπολογίσει την ορίζουσα Α 40 0 Πιν. Αλγ. Συμπλ. Α: Α Α 1 1 Α Α+ 1/40* αναστρέφω και έχω τον Το σύστημα 3Χ3 ήταν: Χ Χ Χ 3 Αν ορίσω C 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Α*ΧΒ Α 0, ΧΑ -1 *Β στήλη του θα είναι η παραγωγή για την αντίστοιχη περίοδο. παρατηρώ ότι μπορώ να υπολογίσω ΥΑ -1 *C πίνακας 3Χ4 που η κάθε (συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

27 ΥΑ -1 *C ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΝΑΥΠΗΓΕΙΟΥ 5/ Η κάθε στήλη του πίνακα Y προκύπτει με τον πολλαπλασιασμό του Α -1 με την αντίστοιχη στήλη του πίνακα C. Επομένως είναι η «λύση» του αντίστοιχου συστήματος εξισώσεων για τον υπολογισμό της παραγωγής σε κάθε χρονική περίοδο. Δηλαδή ισχύει: * * ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

28 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΡΟΩΝ-ΕΚΡΟΩΝ 1/2 Ανάλυση Leontief για ένα τομέα της οικονομίας: Πίνακας εισροών-εκροών τεχνολογικών συντελεστών της οικονομίας: Α 240/490 Εκροή Τομέα Εισροή Τομέα Τελική Ζήτηση Σύνολο Ιδιωτικός 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: Δημόσιος Ιδιωτικός Δημόσιος Υπεραξία Σύνολο πίνακας εκροών Χ 200 πίνακας ζήτησης D /490 20/200 60/ Ισχύει: ΑΧ+DX * ΑΧ+DX DX-AXIX-AX(I-A)X X(I-A) -1 D Αν υποθέσουμε ότι οι τεχνολογικοί συντελεστές παραμένουν σταθεροί μπορούμε να υπολογίσουμε την επίδραση αύξησης της ζήτησης από το δημόσιο τομέα (κυβέρνηση) στις εκροές

29 ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΡΟΩΝ-ΕΚΡΟΩΝ 2/ Ισχύει: ΑΧ+DX * ΑΧ+DX DX-AXIX-AX(I-A)X X(I-A) -1 D Είναι Ι-Α > (I-A) Επομένως X(I-A) D * Στον πίνακα D το 230 είναι ιδιωτική ζήτηση και το 20 δημόσια, αν το δημόσιο αυξήσει τη 230 ζήτησή του π.χ. από 20 σε 40, D θα έχουμε τις νέες εκροές: X(I-A) D * , επομένως η αύξηση κατά 20 της δημόσιας 231 ζήτησης οδήγησε σε αύξηση των εκροών κατά Επομένως συμφέρει με την τρέχουσα κατάσταση η δημόσια δαπάνη! 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

30 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΑ Αν έχουμε σύστημα σε μορφή πινάκων: Α*ΧΒ > ΧΑ -1 *Β Ας εξετάσουμε την περίπτωση: Α*Χλ*Χ Όπου Α τετραγωνικός πίνακας nxn, X πίνακας nx1 και λ πραγματικός αριθμός (λ είναι αριθμός που είναι «ισοδύναμος» με τον πίνακα Α στον πολλαπλασιασμό με τον οποιοδήποτε πίνακα Χ) Α*Χλ*Χ > Α*Χ-λ*Χ0 > Α*Χ-λ*Ι*Χ0 > (Α-λ*Ι)*Χ0 Είναι ομογενές σύστημα και υπάρχει η προφανής λύση Χ0 Αν ψάξουμε για άλλες λύσεις (δηλ. Α-λ*Ι 0), οι τιμές του λ ονομάζονται ιδιοτιμές (eigenvalues) του πίνακα Α. Για να βρούμε τις ιδιοτιμές πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Ονομάζεται ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Α: Α-λ*Ι 0 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

31 ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Παράδειγμα: έστω πίνακας Α 2Χ2 3 2 η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: λ 0 3 λ 2 Α-λ*Ι 0 λ λ 1 5 λ 0 (3-λ)*(5-λ)-1*20 λ 2-8λ+130 πολυώνυμο 2 ου βαθμού ως προς λ, Δb 2-4ac(-8) 2-4*1* >0 Διακρίνουσα Δ12>0 επομένως 2 λύσεις: λ 1 b Δ 12 ( 8) 2a ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr και λ 2 Αν έχουμε πίνακα Α 2Χ2 θα έχει: 2 ιδιοτιμές αν η αντίστοιχη διακρίνουσα Δ>0, 1 διπλή ιδιοτιμή αν Δ0, αν Δ<0 δεν έχει πραγματικές ιδιοτιμές b+ Δ a

32 ΧΡΗΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ-ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι 0 Αν Α 2Χ λ 2 τελικά θα καταλήξουμε στη σχέση λ 0 Διαγωνίου Προκύπτει πολυώνυμο 2 ου βαθμού που ψάχνουμε τις ρίζες, λ και λ Ανάλογα με το πρόσημο των ιδοτιμών λ του πίνακα Α: Όλες οι ιδιοτιμές ΘΕΤΙΚΕΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ 32 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr > ο πίνακας Α ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ > ο πίνακας Α ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΘΕΤΙΚΕΣ ή ΜΗΔΕΝ > ο πίνακας Α ΘΕΤΙΚΑ ΗΜΙ-ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Όλες οι ιδιοτιμές ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ ή ΜΗΔΕΝ > ο πίνακας Α ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΗΜΙ-ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ Κάποιες ΘΕΤΙΚΕΣ και κάποιες ΑΡΝΗΤΙΚΕΣ > ο πίνακας Α ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΟΣ Η ορίζουσα του πίνακα με λ στα στοιχεία της κύριας Ο ορισμός του πίνακα χρησιμοποιείται για να ελέγξουμε το είδος των ακροτάτων (μέγιστο-ελάχιστο) σε προβλήματα με μερικές παραγώγους συναρτήσεων πολλών μεταβλητών

33 ΕΥΡΕΣΗ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΠΙΝΑΚΑ 3Χ3 Για να βρούμε τις ιδιοτιμές λ πίνακα Α χρησιμοποιούμε τη σχέση Α-λ*Ι Αν Α 3Χ η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: Α-λ*Ι ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr λ λ λ λ 0 3 λ (2-λ) 4 3 λ 4-0* +0* 0 (2-λ) 0 (2-λ)[(3-λ)(9-λ)-4*4]0 4 9 λ 4 9 λ (2-λ)(27-3λ-9λ+λ 2-16)0 (2-λ)(λ 2 2 λ 0-12λ+11)0 λ 2 12λ+11 0 λ 2 λ 2 12λ+11 0 για το πολυώνυμο 2 ου βαθμού λ 2 12λ+11 0 έχουμε Δb 2-4ac(-12) 2-4*1* είναι διακρίνουσα Δ100>0 > 2 ρίζες: λ 1 b Δ 100 ( 12) a , λ 2 Τελικά έχουμε λ 1 1, λ 2 11, λ 3 2 (πίνακας 3Χ3 > 3 ιδιοτιμές) Ο Πίνακας Α είναι ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ ΓΙΑΤΙ ΕΧΕΙ ΜΟΝΟ ΘΕΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Μπορούμε απευθείας από τον πίνακα να αφαιρέσουμε λ από τα στοιχεία της κυρίας Διαγωνίου b+ Δ 2a 11

34 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 1/4 Αν Α 2Χ λ 2 από τη σχέση λ 0 βρίσκουμε ιδιοτιμές λ και λ Τα λ 1 και λ 2 έχουν την ιδιότητα ότι αν τα αφαιρέσουμε από τα στοιχεία της Κύριας Διαγωνίου του πίνακα Α τότε η ορίζουσα Α 0, δηλ. για το λ έχουμε: Χ 1 0 Χ Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 άπειρες λύσεις (είναι ομογενές με ορίζουσα 0 > άπειρες λύσεις). 0 το αντίστοιχο σύστημα 2Χ2: (Α-λ*Ι)*Χ0 αφού έχει ορίζουσα Α-λ*Ι 0 θα έχει Χ Αν βρούμε από τις άπειρες λύσεις αυτή που αντιστοιχεί σε μοναδιαίο διάνυσμα 1 Χ 2 με την ιδιότητα Χ Χ 2 Χ 2 1 το διάνυσμα 1 ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α. Χ 2 δηλ. 34 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

35 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 2/4 Ορίζουσα είναι μηδ Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 Χ Χ Παίρνω την 1 η εξίσωση και τον ορισμό μοναδιαίου: 0.732Χ 1 + 2Χ 2 0 Χ Χ επειδή δεν είναι γραμμικό σύστημα (2 η εξίσωση) λύνω με αντικατάσταση: 2Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ 1 Χ ( 0.366Χ 1 ) 2 1 Χ Χ 1 Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ Χ 1 Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 1 Χ 1 2 1/1.134 Χ Χ το 1 ο ιδιοδιάνυσμα είναι: Χ 1 Χ για την ιδιοτιμή λ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

36 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ 3/4 Α 2Χ και λ > Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 Χ Χ Παίρνω την 2 η εξίσωση και τον ορισμό μοναδιαίου: Χ Χ 2 0 Χ Χ επειδή δεν είναι γραμμικό σύστημα (2 η εξίσωση) λύνω με αντικατάσταση: Χ Χ 2 Χ Χ Χ Χ 2 (0.732Χ 2 ) 2 + Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ Χ 2 Χ 2 1 1/1.536 Χ Χ 2 Χ Χ Χ 2 Χ Χ Χ 2 Χ Χ Χ Χ Χ το 2o ιδιοδιάνυσμα είναι: 36 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Χ 1 Χ για την ιδιοτιμή λ

37 ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΙΝΑΚΑ-ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ 4/4 Για τον πίνακα Α 2Χ λ 2 υπολογίζουμε από τη σχέση λ ιδιοτιμές λ και λ Για κάθε ιδιοτιμή υπολογίζουμε 1 ιδιοδιάνυσμα: Χ το 1 ο ιδιοδιάνυσμα είναι: Χ για την ιδιοτιμή λ Χ το 2o ιδιοδιάνυσμα είναι: Χ για την ιδιοτιμή λ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Ο Πίνακας ιδιοδιανυσμάτων του Α (Transformation matrix) T Έχει την ιδιότητα: Τ -1 *Α*Τ διαγώνιος πίνακας: Τ *Α*Τ λ λ 2 0 τις Ο ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΟΥ Α ΕΧΕΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΥΡΙΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΟΥ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Α ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΤΟΥ

38 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ-ΙΔΙΟΔΥΑΝΥΣΜΑΤΑ-ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑ 1. ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΑ: Για να υπολογίσω τις ιδιοτιμές λ ενός πίνακα Α, αφαιρώ από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου λ και θέτω την αντίστοιχη ορίζουσα ίση με μηδέν, από τον υπολογισμό Α-λΙ 0 προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ του πίνακα Α. Α 2Χ λ λ 0 (3-λ)(5-λ)-1*20 λ και λ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ: Για κάθε ιδιοτιμή λ του πίνακα Α, η ορίζουσα του Α-λΙ 0 γίνεται μηδέν, επομένως το «αντίστοιχο» ομογενές σύστημα εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις. Η λύση (από τις άπειρες) που ικανοποιεί τη συνθήκη «μοναδιαίου» διανύσματος (άθροισμα τετραγώνωνμονάδα) ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Α 2Χ λ λ 0 λ > το αντίστοιχο ομογενές σύστημα εξισώσεων: Χ 1 + 2Χ 2 0 1Χ Χ 2 0 (επειδή έχει ορίζουσα ) έχει άπειρες λύσεις από τις άπειρες λύσεις, υπάρχει κάποια που ικανοποιεί τη συνθήκη μοναδιαίου διανύσματος: Χ Χ για να υπολογίσω το ιδιοδιάνυσμα επιλέγω 1 από τις 2 εξισώσεις (την «ευκολότερη») και την συνθήκη μοναδιαίου: Χ 1 + 2Χ 2 0 Χ 1 2 +Χ αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. λύνω το σύστημα με αντικατάσταση και προκύπτει η λύση Χ 1 Χ 2 που είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Για κάθε ιδιοτιμή υπάρχει το 3. ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΠΙΝΑΚΑ: Ο πίνακας που έχει στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές λ του πίνακα Α ονομάζεται Διαγώνιος του Α λ 1 Επομένως για την «ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ» υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές λ 38 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 0 0 λ 2

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (Β 6.1) Να λυθούν τα παρακάτω συστήματα εξισώσεων: α) 5Χ 1 +6Χ Χ 1 +3Χ 2-3 β) 2Χ 1 +3Χ 2-2Χ 3 1 Χ 1-2Χ 2-3Χ 3-9 5Χ 1 +4Χ 2-4Χ 3 2 ΕΠΙΛΥΣΗ: Δοκιμάστε τη μέθοδο αντιστροφής και τη μέθοδο Cramer 39 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (Β 6.5) Έστω οι πίνακες: Α και Β Εξετάστε ποιες είναι οι λύσεις του συστήματος Α*ΧΒ ΕΠΙΛΥΣΗ: Όταν η ορίζουσα A 0 εξετάζουμε το rank(a) και rank([a,b]) 40 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

41 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ. 7) Δίνεται το σύστημα: x+2y+3z0 4x+(3+λ)y+6z0 5x+4y+(λ+1)z0 Να βρεθεί για ποιες τιμές του λ το σύστημα έχει μη-μηδενικές λύσεις. Να βρεθεί η λύση για την μικρότερη τιμή του λ. ΕΠΙΛΥΣΗ: Είναι ομογενές οπότε υπολογίζουμε την ορίζουσα του συστήματος 41 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

42 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ. 9) έστω το σύστημα εξισώσεων: x + y-z1 2x+3y+az3 x+ay+3z2 Να βρείτε την τιμή του a ώστε το σύστημα να έχει 1 λύση, καμία λύση, άπειρες λύσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ: Προφανώς εξετάζουμε την ορίζουσα και τον επαυξημένο. 42 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

43 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ 34) έστω το σύστημα εξισώσεων: 1 1 2κ x y 4 κ 1 2 z 2 Διερευνήστε τις λύσεις του συστήματος για τις τιμές του κ. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ορίζουσα και επαυξημένος (rank) 43 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

44 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ 28) έστω το σύστημα εξισώσεων: x 1 -x 2 1 x 1 +x 2 +x 3 0 2x 1 -x 2 +3x 3-2 Αποδείξτε ότι έχει μοναδική λύση και βρείτε τη λύση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Ορίζουσα και επίλυση 44 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

45 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ (ΑΛ 1) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του πίνακα Α: Α ΕΠΙΛΥΣΗ: Χαρακτηριστική εξίσωση Α-λ*Ι 0, αν προκύψει πολυώνυμο 3 ου βαθμού χρησιμοποιούμε ιδιότητες οριζουσών, επομένως υπολογίζουμε τις 5.8 (ΑΛ 3 τροποποιημένη) Να βρεθεί ο Διαγώνιος του πίνακα Α: Α λ ΕΠΙΛΥΣΗ: Ο Διαγώνιος του πίνακα Α είναι: 0 λ 2 0 ιδιοτιμές του Α 0 0 λ 3 45 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

46 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Να βρεθούν οι ιδιοτιμές, τα ιδιοδιανύσματα και ο Διαγώνιος του πίνακα Α: 1 4 Α 2 1 ΕΠΙΛΥΣΗ: Χαρακτηριστική εξίσωση Α-λ*Ι 0, για τα ιδιοδιανύσματα θα ισχύει Χ Χ 2 2 1, Διαγώνιος Α: λ λ 2 46 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr