ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Aντισεισμικός Σχεδιασμός Κατασκευών Προσομοίωση Φορτίων Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ 007-008 Βασικές Αρχές Αντισεισμικού Σχεδιασμού Κατασκευών Υπολογισμός της σεισμικής δυναμικής ή μη-γραμμικής απόκρισης των κατασκευών. Αντοχή της κατασκευής σε οποιονδήποτε σεισμό πλήξει την κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της. ιαχείριση των αβεβαιοτήτων με σημαντικότερη εκείνη της σεισμικής διέγερσης.
Μεθοδολογίες Σχεδιασμού Αντισεισμικών Κατασκευών υναμική μη-γραμμική επίλυση με χρονική ολοκλήρωση των μητρωικών δυναμικών εξισώσεων κινήσεως. [M]{U(t)} && + [C]{U(t)} & + [K(U)]{U(t)} = {(t)} Μεθοδολογίες βασισμένες στην Ισοδύναμη Ελαστική ανάλυση: υναμική Φασματική Ισοδύναμη Στατική Προϋπόθεση εφαρμογής: Η δυναμική συμπεριφορά της κατασκευής να προσεγγίζεται επαρκώς από την πρώτη ιδιομορφή 3 Μέθοδοι αντισεισμικού σχεδιασμού με Ισοδύναμη Ελαστική Ανάλυση υναμική φασματική μέθοδος Απλοποιημένη φασματική μέθοδος Φασματική Μέθοδος Ισοδύναμη Στατική Μέθοδος Φασματική Μέθοδος Μέθοδος Επαλληλίας Ιδιομορφών H δυναμική μητρωική εξίσωση ισορροπίας [M]{U(t)} && + [C]{U(t)} & + [K]{U(t)} = {(t)} Μετασχηματίζεται στην [M]{X(t)} && + [C]{X(t)} & + [K]{X(t)} = {(t)} 4
Μέθοδος Επαλληλίας Ιδιομορφών Όπου {U(t)} =Φ [ ]{X(t)} [M] = [ Φ] [M][ Φ ], [C] = [ Φ ] [C][ Φ ] { } [K] = [ Φ] [K][ Φ ], {(t)} = [ Φ] (t) [ Φ] = [{ ϕ}{ ϕ}...{ ϕn}] Όταν τα φ i,ω i είναι τα ιδιοδιανύσματα-ιδιοτιμές του προβλήματος των ιδιοτιμών [K]{ ϕ } =ω [ Μ]{ ϕ }, i =, N i i i Τότε ισχύουν οι σχέσεις ϕ [ ] ϕ = ϕ [ ] { } M { } 0 i { ϕ } K { ϕ } = 0, i i 5 Μέθοδος Επαλληλίας Ιδιομορφών Τα χαρακτηριστικά μητρώα διαγωνοποιούνται ως εξής ω [ ] ω Ω = O ω N [M] =, [K] = O O N N Όπου [ ] = { ϕ } M { ϕ }, =ω Στην περίπτωση της μηδενικής απόσβεσης η [M]{X(t)} && + [C]{X(t)} & + [K]{X(t)} = {(t)} εκφυλίζεται σε Ν ασύζευκτες βαθμωτές εξισώσεις {(t)} && x(t) +ω x(t) = { ϕ }, =,N 6
Μέθοδος Επαλληλίας Ιδιομορφών Οι οποίες δίνουν τη χρονοϊστορία των x i (t) με χρήση του ολοκληρώματος Duhael { X(t) } = [ x (t) x (t)... x (t) ] N [ Φ] = [{ ϕ}{ ϕ}...{ ϕn}] {U(t)} =Φ [ ]{X(t)} Στη συνέχεια υπολογίζεται η χρονοϊστορία των εντατικών μεγεθών {A i (t)}, i=,, =, των μελών του φορέα 7 Η Φασματική Μέθοδος Υπολογίζονται οι φασματικές τιμές {U i,ax } για κάθε σηματική ιδιομορφή i=,,l l Η μέγιστη απόκριση υπολογίζεται προσεγγιστικά από την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων (Square Root of the Su of the Squares-SRSS) ax =,ax +,ax + + l,ax {U } [{U } {U }... {U } ] Τα βήματα της Φασματικής Μεθόδου Βήμα (l<<n) [K]{ ϕ } =ω [M]{ ϕ }, i =, l i i i 8
Η Φασματική Μέθοδος Τα βήματα της Φασματικής Μεθόδου ω ω [Ω l ]=, O [Φ l ]=[{ ϕ }{ ϕ }...{ ϕ l }] ω l Βήμα Υπολογισμός γενικευμένων μαζών = { ϕ } [M]{ ϕ }, =, l Βήμα 3 Υπολογισμός του συντελεστή L L = { ϕ} [M]{r} Όπου {r} είναι το στατικό διάνυσμα επιρροής 9 Τα βήματα της Φασματικής Μεθόδου Βήμα 4 Υπολογισμός του συντελεστή συμμετοχής της κάθε ιδιομορφής Γ L = Βήμα 5 Υπολογισμός της δρώσας μάζας eff = L Βήμα 5 Υπολογισμός των l<l<<ν σημαντικών ιδιομορφών l = eff δ tot Όπου το δ κυμαίνεται στο ~90% περίπου της συνολικής ταλαντούμενης μάζας του συστήματος 0
Sa Τιμές ελαστικού φάσματος/q = τιμές φάσματος σχεδιασμού D S a ( ) C S a ( ) B S a ( ) A S a ( ) D C B A * * (s) Φάσμα σχεδιασμού για διαφορετικές κατηγορίες εδαφών Τα βήματα της Φασματικής Μεθόδου Βήμα 6 Υπολογισμός της φασματικής επιτάχυνσης Sa( ) από το φάσμα απόκρισης που αντιστοιχεί στη ιδιοπερίοδο Βήμα 7 Υπολογισμός της μέγιστης φασματικής μετατόπισης Sa( ) {U } =Γ { ϕ},ax ω Βήμα 8 Υπολογισμός της συνολικής μετατόπισης με τη SRSS {U } = [{U } + {U } + K + {U l } ] / ax,ax,ax,ax Απλοποιημένη η Φασματική Μεθόδος Όταν κυρίαρχη είναι η θεμελιώδης ιδιομορφή l =, = tot
Μέθοδοι αποτίμησης ης της σεισμικής συμπεριφοράς ρ κτηρίων Προσαυξητική Στατική Ανάλυση (ΠΣΑ) (Static ushover) Προσαυξητική υναμική Ανάλυση (Π Α) (Increental Dynaic Analysis) Προσαυξητική Στατική Ανάλυση είναι μία προσεγγιστική μέθοδος αποτίμησης της σεισμικής συμπεριφοράς κτηρίων η οποία μετατρέπει το ανελαστικό δυναμικό πρόβλημα σε ανελαστικό στατικό. Απαραίτητος ο έλεγχος της διατιθέμενης ικανότητας προς την απαιτούμενη ικανότητα από τους κανονισμούς. Κανoνισμοί: AC-40 (Applied echnology Council) FEMA 73 (Federal Eergency Manageent Agency) 3 H Μέθοδος της Φασματικής Ικανότητας- Προσαυξητική Στατική Ανάλυση (ushover Αnalysis) Προσομοίωση οριζόντιων φορτίων u N F V b ushover Curve V Vb u N
Προσαυξητική Στατική Ανάλυση Προομοίωση των φορτίων καθύψος του κτηρίου. Φορτία ιδιομορφικής κατανομής σταθερής αναλογίας. Φορτία γραμμικής κατανομής σταθερής αναλογίας 3. Φορτία ιδιομορφικής κατανομής μεταβαλλόμενης αναλογίας 4. Φορτία πολύ-ιδιομορφικής κατανομής σταθερής ή μεταβαλλόμενης αναλογίας. Φορτία ιδιομορφικής κατανομής σταθερής αναλογίας [ K ]{ ϕ } = λ [ M ]{ ϕ } in ω = λ =π/ω in 5 Υπολογισμός της τέμνουσας βάσεως V Sa b D S a ( ) C S a ( ) B S a ( ) A S a ( ) D C B b A V =Sa w /g * * =π/ω in (s) Ελαστικό Φάσμα (q=) για διαφορετικές κατηγορίες εδαφών
Προσαυξητική Στατική Ανάλυση-Προσομοίωση των φορτίων. Φορτία ιδιομορφικής κατανομής σταθερής αναλογίας Κατανομή της τέμνουσας βάσεως στους ορόφους V =Sa w /g b { } Τ n φ = φ φ φ φ wϕ wϕ Q = V, =,n b 7 Προσαυξητική Στατική Ανάλυση-Προσομοίωση των φορτίων. Φορτία γραμμικής κατανομής σταθερής αναλογίας Κατανομή της τέμνουσας βάσεως στους ορόφους wϕ wϕ Q = V, =,n ϕ b = h / h n wh Q = wh V b h : ύψος ορόφου από το έδαφος Γραμμική κατανομή για ίδιο ύψος ορόφου και βάρος ανά όροφο 8
Προσαυξητική Στατική Ανάλυση-Προσομοίωση των φορτίων 3. Φορτία ιδιομορφικής κατανομής μεταβαλλόμενης αναλογίας Τ { } n φ = φ φ φ φ [ ]{ } [ ]{ } K ϕ = λ M ϕ V = Sa w /g b, wϕ wϕ Q = V, =,n b, K ΔU K 0 U U U 9 Προσαυξητική Στατική Ανάλυση-Προσομοίωση των φορτίων 4. Φορτία πολύ-ιδιομορφικής κατανομής σταθερής ή μεταβαλλόμενης αναλογίας,,..., l [ K]{ φ} λ[ Μ]{ φ} = [ K ]{ } [ ]{ ϕ =λ M ϕ} = { ϕ } [M]{ ϕ }, =, l K K L eff = ΔU eff K l 0 δ tot = U U L = { ϕ } [M]{r} 0
Προσαυξητική Στατική Ανάλυση-Προσομοίωση των φορτίων 4. Φορτία πολύ-ιδιομορφικής κατανομής σταθερής ή μεταβαλλόμενης αναλογίας V =Sa w /g, =, l b, Q = w ϕ w ϕ V b, K / Q = ( Q ) ΔU / K 0 Q = ( Q ), =, l U U U Προσαυξητική Στατική Ανάλυση-Προσομοίωση των φορτίων 4. Φορτία πολύ-ιδιομορφικής κατανομής σταθερής ή μεταβαλλόμενης αναλογίας
Αποτίμηση της Φέρουσας Ικανότητας Προσαυξητική Στατική Ανάλυση:Γραμμικοποιημένη οριακή ανάλυση- Φορτία ιδιομορφικής κατανομής μεταβαλλόμενης αναλογίας Βήμα της καμπύλης αντιστάσεως [ ]{ } [ ]{ } K ϕ = λ Μ ϕ Τ, { ϕ } 0,, V =Sa w /g b,, w ϕ, = i b, wiϕ, i Q V,,i=, n q { } n Q Q Q K Q = Κλασματικό φορτίο εκκίνησης { ' } { Q } q = R q K ΔU K 0 U U U 3 Προσαυξητική Στατική Ανάλυση: Γραμμικοποιημένη οριακή ανάλυση-φορτία ιδιομορφικής κατανομής μεταβαλλόμενης αναλογίας Υπολογισμός του φορτίου σχηματισμού της πλαστικής άρθρωσης [ ] { } { q } { q } { ' =Δλ q} ' i, i, 0 = K δu q δλ Δλ =inδλ, Βήμα της καμπύλης αντιστάσεως [ ]{ } [ ]{ } K ϕ = λ M ϕ, {φ } -,, V =Sa w /g b,, i ϕ, i ϕ, w Q = V b,,,i=,n w { } n Q Q, Q, K,Q = { q } = { Q } ' Q R q K q K 0 U ΔU U U 4
Προσαυξητική Στατική Ανάλυση: Γραμμικοποιημένη οριακή ανάλυση-φορτία ιδιομορφικής κατανομής μεταβαλλόμενης αναλογίας Υπολογισμός του φορτίου σχηματισμού της πλαστικής άρθρωσης στο βήμα ' i, [ -] { δu} { q} i, i, i, i, Mp ( M3 ) δλ ( δm3 ) K = δλ = + i, Δλ = in δλ ' { q} { q } Δλ { q} = + q q K q ΔU K 0 U U U 5 Προσαυξητική Στατική Ανάλυση: Μη-γραμμική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση Οριζόντια φορτία σταθερής αναλογίας Βήμα [ ]{ } [ ]{ } K 0 ϕ =λ Μ ϕ Τ, { ϕ },, V b, { Q } q K q {q } = { Q } R K 0 ΔU U
Προσαυξητική Στατική Ανάλυση:Μη-γραμμική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση-οριζόντια φορτία σταθερής αναλογίας Επαναλήψεις εντός του κλασματικού φορτίου ( ){q } {q } Βήμα Επανάληψη { } { } { } { } { ΔU () } { () } { () U F } (0) () (0) () K - δu = q - F δu Επανάληψη l { } { } { } { } ( l) ( l) ( l) { ΔU } { U } { F } q ( l-) ( l) ( l-) ( l) K - δu = q F δu {q }- F () { } { } q ε 0 ( )q K δu 0 K δu F F U Προσαυξητική Στατική Ανάλυση: Μη-γραμμική προσαυξητική-επαναληπτική οριακή ανάλυση. Οριζόντια φορτία μεταβαλλόμενης αναλογίας Σε κάθε σημείο ισορροπίας i=,,..., +,.. της καμπύλης αντιστάσεως εκτελείται λί νέα ιδιομορφική ανάλυση και υπολογιζεται η κατανομή των νέων κλασματικών φορτίων εκκίνησης q i ={Q i }/R 8