Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα ΣΔΕ 2 ης τάξης με Γραμμικούς Συντελεστές Γραφική Αναπαράσταση της Απόκρισης Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης σε Αρχικές Συνθήκες Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Σε Bηματική Διέγερση Σε Αρμονική Διέγερση Παραδείγματα

4 Οι ΣΔΕ που περιγράφουν συστήματα 2 ης τάξης ΣΔΕ 2 ης τάξης με Γραμμικούς Συντελεστές

5 Συστήματα και Γραμμικές ΣΔΕ 2 ης τάξης Ένα γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης Περιέχει 2 ανεξάρτητα στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας Περιγράφεται από 2 μεταβλητές κατάστασης Μ.Κ. x(t) ή 1 Β.Ε. q(t) Η σχέση μεταξύ μιας διέγερσης f(t) του συστήματος και μιας εξόδου ενδιαφέροντος y(t) περιγράφεται από μια γραμμική ΣΔΕ 2 ης τάξης με σταθερούς συντελεστές a 2 y t + a 1 Παρατηρήσεις: y(t) + a 0 y(t) = f(t) Η έξοδος y(t) είναι γραμμική συνάρτηση των Μ.Κ. y(t) = H x(t) ή του Β.Ε. q(t) Στην περίπτωση Μ διεγέρσεων f t = β 1 f 1 t + + β M f M (t) η ειδική λύση γίνεται με την ίδια μεθοδολογία μέσω επαλληλίας

6 Τυπικό Μηχανικό Σύστημα 2 ης τάξης Ένα γραμμικό μηχανικό σύστημα 2 ης τάξης (1 Β.Ε. q(t)) περιγράφεται από την δυναμική εξίσωση (μέσω εξισώσεων Lagrange): m q t + c q(t) + k q(t) = f(t) αδράνεια απόσβεση ελαστικότητα Εξωτερική διέγερση

7 Κανονική Μορφή ΣΔΕ 2 ης τάξης Κάθε ΣΔΕ 2 ης τάξης μπορεί να γραφτεί στην ακόλουθη μορφή (διαιρώντας με την m): y t + 2 ζ ω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) H οποία περιγράφεται από 2 παραμέτρους: ζ είναι ο λόγος απόσβεσης (αδιάστατο μέγεθος) ω είναι η φυσική κυκλική συχνότητα (μονάδες: rad/sec) Στην περίπτωση του μηχανικού συστήματος του προηγούμενου slide ω 2 = k m ω = 2 ζ ω = c m ζ = k m c 2 k m

8 Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης Ο υπολογισμός της χρονικής απόκρισης της εξόδου y(t) γίνεται μέσω της αναλυτικής λύσης του προβλήματος αρχικών συνθηκών (ΠΑΣ): Υπολογίστε την απόκριση y(t) σε μια διέγερση f(t) όταν τα y(t) και f(t) συνδέονται μέσω της ΣΔΕ y t + 2 ζ ω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) δεδομένης των αρχικών συνθηκών y 0 και y 0

9 Χρονικές Αποκρίσεις Η απόκριση y(t) μιας γραμμικής ΣΔΕ σε εξωτερική διέγερση f(t) και αρχικές συνθήκες ισούται (λόγω επαλληλίας) με το άθροισμα της απόκρισης y ΑΣ (t) σε Α.Σ. και της απόκρισης y ΕΔ (t) στην Ε.Δ.: y(t) = y ΑΣ t + y ΕΔ (t) y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = 0 y(0) = u 0 y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) y(0) = y 0 y(0) = y 0 y(0) = u 0 y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) y(0) = 0 y(0) = 0 y ΑΣ (t) y ΕΔ (t) y(t)

10 Πως παρουσιάζουμε την απόκριση μέσω γραφημάτων Γραφική Παράσταση της Απόκρισης Συστήματος 2 ης Τάξης

11 Τρόποι Γραφικής Αναπαράστασης της Απόκρισης Η παράσταση της απόκρισης μπορεί να γίνει με δύο κύριους τρόπους: 1. Η γραφική παράσταση της λύσης y(t) της ΣΔΕ Συνήθης πρακτική και στην παρουσίαση της λύσης ΣΔΕ 1 ης τάξης 2. To διάγραμμα φάσεων Γραφική παράσταση της y t ως συνάρτηση του y(t)

12 Διάγραμμα Φάσεων: Mεθοδολογία Υπολογισμού 1. Επιλύεται η ΣΔΕ (για ένα σετ Α.Σ. y 0, y 0 ) ώστε να υπολογιστεί η απόκριση y t, και από αυτήν η y t 2. Ορίζεται μια ακολουθία χρονικών σημείων t = t i, i = 1,2,, N. Το πρώτο σημείο είναι ο χρόνος t = t 1 = Yπολογίζονται οι τιμές y t i και y t i της απόκρισης στις Ν στιγμές t = t i. 4. Για κάθε t i αντιστοιχεί το σημείο (y t i, y t i ) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων y t (οριζόντιος άξονας) και y t (κατακόρυφος άξονας) 5. Για την ακολουθεία των Ν χρονικών στιγμών t i αντιστοιχούν τα Ν σημεία (y t i, y t i ) τα οποία (καθώς ο αριθμός των σημείων Ν αυξάνεται) αντιστοιχούν σε μια τροχιά, η οποία περιγράφει την απόκριση του συστήματος στο 2D χώρο y t i, y t i όταν το σύστημα ξεκινά από το σετ Α.Σ. y 0, y 0 6. Τα παραπάνω 5 βήματα επαναλαμβάνονται για διαφορετικά σετ Α.Σ. Για κάθε σετ Α.Σ προκύπτει μια διαφορετική τροχιά.

13 Διάγραμμα Φάσεων: Παράδειγμα y t y(t) + y(t) = 0 y(0) = 1 y t y t ΠΑΤ y(0) = 0 Επίλυση Απόκριση y t = e 0.75 t (cos 0.66 t sin 0.66 t ) Διάγραμμα Φάσεων Σημεία (y t i, y t i ) Υπολογισμός των y t i και y t i y(t) dy(t)/dt dy(t)/dt t dy(t)/dt t 5 t 6 t 4 t 8 t 7 t 3 t 2 t 1 = y(t) y t y(t) y t t

14 y t Διάγραμμα Φάσεων: Παράδειγμα Λύνοντας την απόκριση του ίδιου συστήματος από διαφορετικές Α.Σ. προκύπτει το ακόλουθο ΔΦ: Μπλέ: y(0) = 1, y(0) = 0 Πράσινο: y(0) = 0, y(0) = 1 Κόκκινο: y 0 = 1, y(0) = 0 Πορτοκαλί: y(0) = 0, y 0 = 1 dy(t)/dt yy(t) t

15 Υπολογισμός της y ΑΣ t Απόκριση σε Αρχικές Συνθήκες

16 Ομογενής Λύση Η αντίστοιχη ομογενής γραμμική ΣΔΕ είναι: y t + 2 ζ ω y(t) + ω 2 y(t) = 0 το αντίστοιχο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (Χ.Π.) είναι: λ ζ ω λ + ω 2 = 0 oι δύο ρίζες λ 1, λ 2 του Χ.Π. είναι οι ιδιοτιμές του συστήματος, και η ομογενής λύση στην γενική περίπτωση είναι: y h t = c 1 e λ1t + c 2 e λ 2t Ανάλογα με την τιμή του ζ διακρίνουμε περιπτώσεις: 1. Σύστημα χωρίς απόσβεση: ζ = 0 2. Σύστημα με υποκρίσιμη απόσβεση: 0 < ζ < 1 3. Σύστημα με υπερκρίσιμη απόσβεση: ζ > 1 4. Ασταθές σύστημα: ζ < 0

17 Ομογενής Λύση: 1) Μηδενική Απόσβεση Στην περίπτωση μηδενικής απόσβεσης (ζ = 0) οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι ένα ζευγάρι συζηγών φανταστικών αριθμών: λ 1,2 = ±ω j Ηομογενής λύση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t = C cos(ω t + φ) Ή ισοδύναμα: y h t = c 1 cos ω t + c 2 sin ω t Οι δύο παράμετροι της ομογενούς (είτε (C, φ) είτε (c 1, c 2 )) προκύπτουν από την y p t και τις Α.Σ. Η απόκριση y h t δεν αποσβαίνεται με τον χρόνο

18 Ομογενής Λύση: 1) Μηδενική Απόσβεση Στην απόκριση σε Α.Σ. δεν υπάρχει διέγερση επομένως y p t = 0 και y ΑΣ t = y t = y h t = c 1 cos ω t + c 2 sin ω t Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = (y 0 cos ω t + y 0 ω sin ω t ) Περιγράφει συστήματα που ταλαντώνονται χωρίς απόσβεση Η περίπτωση αυτή είναι καθαρά θεωρητική. ΌΛΑ τα πραγματικά συστήματα έχουν κάποια (έστω και λίγη) απόσβεση.

19 Ομογενής Λύση: 1) Μηδενική Απόσβεση Το σύστημα ταλαντώνεται αρμονικά. Όσο αυξάνεται η ω τόσο μικραίνει η περίοδος ταλάντωσης Τ = 2π ω και αυξάνεται η ταχύτητα y για ίδιες Α.Σ = 0, = 1 rad/sec = 0, = 2 rad/sec = 0, = 4 rad/sec 10 5 y(t) u(t) y t = 0, = 1 rad/sec = 0, = 2 rad/sec = 0, = 4 rad/sec time Απόκριση y(t) για διάφορες τιμές της ω για την ίδια Α.Σ y(t) Αντίστοιχα διαγράμματα φάσης

20 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Στην περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης (0 < ζ < 1) οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι ένα ζευγάρι συζηγών μιγαδικών αριθμών: λ 1,2 = ζ ω ± j ω Πραγματικό μέρος 1 ζ 2 τ 1 ± j ω d Φανταστικό μέρος Όπου το πραγματικό & το φανταστικό μέρος των λ 1,2 περιγράφεται από τις παραμέτρους: τ = ζ ω 1 έχει μονάδες χρόνου [sec] ω d = ω 1 ζ 2 είναι η κυκλική συχνότητα με απόσβεση [rad/sec]

21 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση H ομογενής λύση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t = γ e t τ cos(ω d t + φ) Ή ισοδύναμα y h t = e t τ (c 1 cos ω d t + c 2 sin ω d t ) Οι δύο παράμετροι της ομογενούς (είτε (γ, φ) είτε (c 1, c 2 )) προκύπτουν από την y p t και τις Α.Σ. Η περίπτωση αυτή περιγράφει συστήματα που λόγω περιορισμένης απόσβεσης ταλαντώνονται με κίνηση που αποσβένεται. Η συχνότητα ταλάντωσης ισούται με ω d Ο ρυθμός απόσβεσης της ταλάντωσης εξαρτάται από την τιμή της τ

22 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Στην απόκριση σε Α.Σ. δεν υπάρχει διέγερση επομένως y p t = 0 και y ΑΣ t = y t = y h t = e t τ (c 1 cos ω d t + c 2 sin ω d t ) Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = e t τ (y 0 cos ω d t + y 0 + ζ ω y 0 ω d sin ω d t ) Η συνάρτηση αυτή περιγράφει μια συνάρτηση που ταλαντώνεται με κυκλική ω d που αποσβένεται λόγω της εκθετικής e t τ = e ζ ω t.

23 y t Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Η απόκριση y h t περιγράφει μια ταλάντωση με κυκλική συχνότητα ω d (περίοδο Τ) που αποσβένεται λόγω της εκθετικής e t τ = e ζ ω t. Z = ln y t t + T = 2πζ 1 ζ 2 Τ = 2π ω d Μέτρο απόσβεσης

24 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Για δεδομένο λόγο απόσβεσης ζ, όσο αύξάνεται η φυσική κυκλική συχνότητα ω τόσο πιο γρήγορη γίνεται η απόκριση του συστήματος x(t) y t x(t) y t Μικραίνει ο χρόνος τ και αποσβένονται γρηγορότερα οι ταλαντώσεις Αυξάνεται η ω d και μικραίνει η αντίστοιχη περίοδος ταλάντωσης Τ = = 0.4, = 1 = 0.4, = 2 = 0.4, = 4 u(t) π ω d = 0.4, = 1 = 0.4, = 2 = 0.4, = time yx(t) t

25 Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Για δεδομένη φυσική κυκλ. συχνότητα ω, όσο ο λόγος απόσβεσης ζ αυξάνεται (τείνει στο 1) τόσο πιο γρήγορη γίνεται η απόκριση Μικραίνει ο χρόνος τ και αποσβένονται γρηγορότερα οι ταλαντώσεις, παρόλο που μικραίνει η ω d και αυξάνεται η αντίστοιχη περίοδος ταλάντωσης Τ = 2π ω d y t x(t) y t = 0.9, = 1 = 0.5, = 1 = 0.25, = = 0.9, = 1 = 0.5, = 1 = 0.25, = 1 x(t) 0 u(t) time yx(t) t

26 y t Ομογενής Λύση: 2) Υποκρίσιμη Απόσβεση Διαγράμματα φάσης για διάφορες Α.Σ. Πάντα η απόκριση y ΑΣ t τείνει προς το σημείο y t, y t = (0,0) = 1, = 0.4 = 1, = dy(t)/dt y t y t y t = 1, = dy(t)/dt 0 dy(t)/dt y(t) y t y(t) y t y(t) y t

27 Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση Στην περίπτωση υπερκρίσιμης απόσβεσης (ζ > 1) οι ιδιοτιμές του συστήματος είναι δύο αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί λ 1 και λ 2 : Η ομογενής λύση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t Οι παράμετροι (c 1,c 2 ) της ομογενούς προκύπτουν από την y p t και τις Α.Σ. Επειδή οι ιδιοτιμές είναι αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί, η απόκριση y h t αποσβαίνεται με τον χρόνο Η περίπτωση αυτή περιγράφει συστήματα που περιέχουν σημαντική απόσβεση.

28 Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση Στην απόκριση σε Α.Σ. δεν υπάρχει διέγερση επομένως y p t = 0 και y ΑΣ t = y t = y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = 1 λ 1 λ 2 (y 0 ( λ 2 e λ 1t + λ 1 e λ 2t ) + y 0 (e λ 1t e λ 2t )) Η συνάρτηση αυτή περιγράφει κίνηση που αποσβένεται εκθετικά χωρίς ταλάντωση.

29 y t Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση H διάρκεια της απόκρισης καθορίζεται από την πιο αργή ιδιοτιμή: min{ λ i } Όσο αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ, τόσο πιο αργό γίνεται το σύστημα τόσο περισσότερο διαφέρουν οι δύο ιδιοτιμές y(t) = 1.2, = 1 rad/sec = 2, = 1 rad/sec = 4, = 1 rad/sec time u(t) = 1.2, = 1 rad/sec = 2, = 1 rad/sec = 4, = 1 rad/sec y(t)

30 = 1, = 2 = 1, = y t y t y t Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση Διαγράμματα φάσης για διάφορες Α.Σ. Πάντα η απόκριση y ΑΣ t τείνει προς το σημείο y t, y t = (0,0) = 1, = dy(t)/dt 0 dy(t)/dt 0 dy(t)/dt y(t) y t y(t) y t y(t) y t

31 Ομογενής Λύση: 3) Υπερκρίσιμη Απόσβεση y t Διαγράμματα φάσης για διάφορες Α.Σ. Πάντα η απόκριση y ΑΣ t τείνει προς το σημείο y t, y t y t = (0,0) 1 1 = 1, = = 2, = dy(t)/dt y t = 0.5, = dy(t)/dt 0 dy(t)/dt y(t) y t y(t) y t y(t) y t

32 Ομογενής Λύση: 3*)Υπερκρίσιμη Απόσβεση Ειδική περίπτωση: όταν ζ = 1 τότε το Χ.Π. έχει μια διπλή ρίζα λ 1 οπότε η ομογενής αποκριση γράφεται y h t = c 1 e λ 1t + c 2 t e λ 1t Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 και y 0 προκύπτει η y ΑΣ t ως: y ΑΣ t = (y 0 (1 λ 1 t) + y 0 t) e λ 1t Η συνάρτηση αυτή επίσης περιγράφει κίνηση που αποσβένεται εκθετικά χωρίς ταλάντωση.

33 Ομογενής Λύση: 4) Ασταθές Σύστημα Στην περίπτωση ζ < 0 οι ιδιοτιμές του συστήματος περιέχουν θετικά πραγματικά μέρη, επομένως η ομογενής λύση y h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t τείνει στο άπειρο καθώς αυξάνεται ο χρόνος t: lim t y h t = Η απόκριση αυτή περιγράφει ένα ασταθές σύστημα

34 Ομογενής Λύση: 4) Ασταθές Σύστημα Η απόκριση y h t πάντα ξεφεύγει και τείνει στο άπειρο. y t y t Παραδείγματα απόκρισης ασταθών συστημάτων από Α.Σ. y 0 = 1, y 0 = 0 y(t) = -0.3, = 1 rad/sec = -0.5, = 0.5 rad/sec = -0.14, = 2.5 rad/sec t dy(t)/dt = 0.5, = y(t) y t

35 Απόκριση σε Αρχικές Συνθήκες: Σημείο Ισορροπίας Το μοναδικό σημείο ισορροπίας σε ένα γραμμικό σύστημα 2 ης τάξης (ανεξάρτητα από τα ζ, ω) χωρίς εξωτερικές διεγέρσεις είναι: y = 0 y = 0 Το σημείο ισορροπίας αντιστοιχεί στην αρχή των αξόνων του Δ.Φ. Ευσταθές σύστημα (ζ > 0): η απόκριση τείνει προς στο σημείο ισορροπίας Ασταθές σύστημα (ζ < 0): η απόκριση αποκλίνει από το σημείο ισορροπίας

36 Ιδιοτιμές Ενός Συστήματος 2 ης Τάξης (1 Β.Ε.) Οι ιδιοτιμές λ i δίνουν πληροφορίες σχετικά με το σύστημα Im(λ i ) 1. Είδος & ταχύτητα απόκρισης Πραγματικό μέρος: εκθετικός παράγοντας Φανταστικό μέρος: αρμονικός παράγοντας ζ>1 x x 0<ζ<1 x x ζ=0 x ζ<0 Re(λ i ) 2. Ευστάθεια συστήματος Ευστάθεια: Re λ i < 0, i Αστάθεια: Re λ i > 0 x x x Ευστάθεια Αστάθεια

37 Ιδιοτιμές Ενός Συστήματος 2 ης Τάξης (1 Β.Ε.) Πως μεταβάλονται οι ιδιοτιμές ενός συστήματος 2 ης τάξης καθώς αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ: ζ < 0: ιδιοτιμές έχουν Re λ i > 0 0<ζ<1 ζ=1 x ζ=0 x Im(λ i ) ζ<0 0 ζ 1: οι λ i βρίσκονται πάνω σε κύκλο ακτίνας ω ζ>1 x x x Re(λ i ) ζ > 1: πραγματικές ιδιοτιμές Im λ i = 0 x x Ευστάθεια Αστάθεια

38 Ιδιοτιμές Ενός Συστήματος 2 ης Τάξης (1 Β.Ε.) Πως μεταβάλονται οι ιδιοτιμές ενός συστήματος 2 ης τάξης καθώς αυξάνεται η κυκλ. συχνότητα ω: Αυξάνεται η ακτίνα του κύκλου πάνω στον οποίο βρίσκονται τα λ i για 0 ζ 1 Πιο γρήγορη απόκριση ω 1 ω 3 ω 2 ω 4 Im(λ i ) Re(λ i ) ω 4 > ω 3 > ω 2 > ω 1 Ευστάθεια Αστάθεια

39 Υπολογισμός της y ΕΔ t Απόκριση σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων

40 Απόκριση σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Η απόκριση y ΕΔ t ενός συστήματος 2 ης τάξης σε εξωτερικές διεγέρσεις (μηδενικές Α.Σ. y 0 = y(0) = 0) περιέχει ομογενή & ειδική λύση: y t = y h t + y p t = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t + y p t Προσοχή! H ομογενής λύση ΔΕΝ είναι εξ ορισμού μηδενική (y h t 0) όταν οι Α.Σ. είναι μηδενικές! Η παράμετροι της y h t υπολογίζεται με βάση την y p t και τις Α.Σ. Η απόκριση y ΕΔ t έχει νόημα και ενδιαφέρον μόνο σε ευσταθή συστήματα (ζ > 0) Όταν ζ < 0 τότε y h t και το σύστημα αποκλίνει Όταν ζ > 0 τότε μετά την μεταβατική απόκριση y h t 0 και y t y p t

41 Απόκριση σε Μοντέλα Εξωτερικών Διεγέρσεων Εστιάζουμε στην απόκριση σε τρία μοντέλα εξωτερικών διεγέρσεων 1. Απόκριση σε βηματική διέγερση Χρήσιμη για περιγραφή μεταβατικών φαινομένων Βάση για τον υπολογισμό της απόκρισης σε κρουστική διέγερση, διέγερση ράμπα, διέγερση παλμό κτλ 2. Απόκριση σε κρουστική διέγερση Χρήσιμη για περιγραφή μεταβατικών φαινομένων Προκύπτει από την απόκριση σε βηματική διέγερση 3. Απόκριση σε αρμονική διέγερση Χρήσιμη για την ανάλυση απόκρισης συχνότητας Βάση για τον υπολογισμό της απόκρισης σε περιοδικές και τυχαίες διεγέρσεις

42 1) Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Στην περίπτωση βηματικής διέγερσης f t = u s t αναζητείται ειδική λύση: y p t = C t κ u s t Όπου κ είναι η πολλαπλότητα της κρίσιμης ιδιοτιμής Λ = 0 Αν το σύστημα δεν έχει ιδιοτιμή λ i = 0 (οπότε κ = 0) τότε y p t = C u s t Αντικαθιστώντας την y p t στην ΣΔΕ προκύπτει y p t + 2ζω y p t + ω 2 y p t = f(t) C ω 2 = 1 C = ω 2 Οπότε η ειδική λύση είναι y p t = u s t και η συνολική λύση είναι: y ΕΔ t = h s (t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t + ω 2 u s t Οι σταθερές c 1 και c 2 θα προκύψουν από τις Α.Σ.

43 1) Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Αν το σύστημα δεν έχει ιδιοτιμή λ i = 0, εφαρμόζοντας τις Α.Σ. y 0 = y(0) = 0 προκύπτει η απόκριση h s (t) σε βηματική διέγερση Μηδενική και Υποκρίσιμη απόκριση (0 ζ < 1) y ΕΔ t = h s (t) = ω 2 (1 e t τ (cos ω d t + Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ > 1) ζ 1 ζ 2 sin(ω d t))) y ΕΔ t = h s (t) = ω 2 (1 λ 2 e λ1 t + λ 1 e λ2 t ) λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ = 1) y ΕΔ t = h s (t) = ω 2 (1 e ω t (1 + ω t)) * Οι παραπάνω τύποι ισχύουν για t 0 οπότε ο όρος u s t παραλείπεται

44 1)Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Περίπτωση 0 < ζ < 0.7 Έντονη ταλάντωση γύρω από την τιμή μόνιμης κατάστασης Αργή απόκριση λόγω ταλάντωσης Έντονη υπερακόντηση πάνω από την τιμή μόνιμης κατάστασης h s (t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση = 0.25, = 1 rad/sec = 0.5, = 1 rad/sec t [sec]

45 1)Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Περίπτωση 0.7 < ζ < 1 Η πιο γρήγορη απόκριση για δεδομένο ω Για ζ 0.7 η ταλάντωση και υπερακόντηση είναι μικρές Για ζ 1 δεν υπάρχει ταλάντωση και υπαρακόντηση h s (t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση = 0.7, = 1 rad/sec 0.5 = , = 1 rad/sec = 1.1, = 1 rad/sec t [sec]

46 1)Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Περίπτωση ζ > 1 Εκθετική απόκριση χωρίς ταλάντωση και υπερακόντηση Καθώς αυξάνεται ο λόγος ζ η απόκριση γίνεται πιο αργή h s (t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση = 1.5, = 1 rad/sec = 2.5, = 1 rad/sec = 5.0, = 1 rad/sec t [sec]

47 1*) Απόκριση σε Βηματική Είσοδο Στην ειδική περίπτωση που το σύστημα έχει την ιδιοτιμή λ i = 0 με πολλαπλότητα κ, η ειδική λύση για βηματική διέγερση είναι: y p t = C t κ u s t Η σταθερά C προκύπτει αντικαθιστώντας την y p t στην ΣΔΕ. Η απόκριση σε βηματική διέγερση (συνολική λύση) είναι: y ΕΔ t = h s t = c 1 + c 2 e λ2t + C t, κ = 1 y ΕΔ t = h s t = c 1 + c 2 t + C t 2, κ = 2 Οι σταθερές c 1 και c 2 προκύπτουν από τις Α.Σ.

48 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Επειδή η κρουστική διέγερση f t = δ t είναι η χρονική παράγωγος της βηματικής εισόδου f t = u s t, η απόκριση h(t) ενός συστήματος σε κρουστική διέγερση (μηδενικές Α.Σ.) θα είναι η παράγωγος της απόκρισης h s (t) σε βηματική διέγερση (μηδενικές Α.Σ.): h t = d dt h s(t)

49 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Αν το σύστημα δεν έχει μηδενική ιδιοτιμή τότε η απόκριση h t σε κρουστική διέγερση εξαρτάται από τον λόγο απόσβεσης ζ: Μηδενική και Υποκρίσιμη απόκριση (0 ζ < 1) h(t) = 1 ω d e t τ sin(ω d t) Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ > 1) 1 h t = (e λ2 t e λ1 t ) λ 2 λ 1 Υπερκρίσιμη απόκριση (ζ = 1) h(t) = t e ω t Για ζ > 0 (ευσταθές σύστημα) lim t h(t) = 0

50 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Περίπτωση 0 < ζ < 0.7 Έντονη ταλάντωση γύρω από την τιμή μόνιμης κατάστασης 0 Αργή απόκριση λόγω της ταλάντωσης h(t) 0.5 Μεταβατική απόκριση 1 0 Μόνιμη απόκριση = 0.25, = 1 rad/sec = 0.5, = 1 rad/sec t [sec]

51 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Περίπτωση 0.7 < ζ < 1 Η πιο γρήγορη απόκριση για δεδομένο ω Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση 0.6 = 0.7, = 1 rad/sec = 0.9, = 1 rad/sec 0.4 = 1.1, = 1 rad/sec h(t) t [sec]

52 2) Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο Περίπτωση ζ > 1 Καθώς αυξάνεται ο λόγος ζ η απόκριση γίνεται πιο αργή και τείνει προς μια εκθετική απόσβεση h(t) Μεταβατική απόκριση Μόνιμη απόκριση 0.4 = 1.5, = 1 rad/sec = 2.5, = 1 rad/sec 0.3 = 5.0, = 1 rad/sec t [sec]

53 3) Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο Στην περίπτωση αρμονικής διέγερσης f t = cos(ω t + φ) u s (t) μοναδιαίου εύρους σε ένα σύστημα 2 ης τάξης που δεν έχει ιδιοτιμή την Λ = Ω j αναζητείται ειδική λύση: y p t = Γ cos Ω t + φ + Ψ u s t Αντικαθιστώντας την y p t στην ΣΔΕ και ομαδοποιώντας τους παράγοντες των cos Ωt + φ και sin(ωt + φ) προκύπτει ένα σύστημα 2 εξισώσεων από όπου προκύπτουν οι άγνωστοι παράμετροι Γ και Ψ ως συνάρτηση της κυκλικής συχνότητας Ω της διέγερσης και των παραμέτρων ζ και ω του συστήματος. 1 Γ(Ω) = (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 Ψ Ω = atan( 2ζωΩ ω 2 Ω 2)

54 3) Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο Η συνολική απόκριση είναι: y t = y h t + y p t Συστήματα με μηδενική ή υποκρίσιμη απόκριση (0 ζ < 1) y t = γ e t τ cos(ω d t + φ) + Γ(Ω) cos Ω t + φ + Ψ(Ω) Συστήματα με υπερκρίσιμη απόκριση (ζ > 1) y t = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t + Γ(Ω) cos Ω t + φ + Ψ(Ω) Συστήματα με υπερκρίσιμη απόκριση (ζ = 1) y t = c 1 e λ 1 t + c 2 t e λ 1 t + Γ(Ω) cos Ω t + φ + Ψ(Ω) Οι δύο σταθερές (είτε (γ, φ) είτε (c 1, c 2 )) της ομογενούς λύσης υπολογίζονται από τις Α.Σ. y 0 = y 0 = 0

55 3) Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο Παραδείγματα απόκρισης σε αρμονική διέγερσης f t = cos(ω t + φ) u s (t) μοναδιαίου εύρους σε σύστημα 2 ης τάξης Ανεξαρτήτως της Ω, η μεταβατική απόκριση διαρκεί περίπου 12 sec Το εύρος της απόκρισης εξαρτάται ισχυρά από την τιμη του λόγου Ω/ω Μεταβατική Μόνιμη (ΗΚΜΑ) Μεταβατική Μόνιμη (ΗΚΜΑ) 0.04 = 1 rad/sec, = 0.5 = 12.5 rad/sec = 1 rad/sec, = 0.5 = 0.6 rad/sec y(t) t [sec] y(t) t [sec]

56 Από την Απόκριση σε Αρμονική Είσοδο στην Ημιτονοειδή Απόκριση Μόνιμης Κατάστασης Σε ένα σύστημα 2 ης τάξης, η μόνιμη απόκριση (αφού περάσει η μεταβατική φάση y h t 0) αποτελείται μόνο από την ειδική λύση: y t y p t = Γ Ω cos Ω t + φ + Ψ Ω Η διάρκεια της μεταβατικής φάσης εξαρτάται από το σύστημα, όχι από την κυκλ συχνότητα διέγερσης Ω Η απόκριση στην μόνιμη κατάσταση σε αρμονική διέγερση λέγεται Ημιτονοειδής Απόκρισης Μόνιμης Κατάστασης (ΗΑΜΚ) Αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τις Α.Σ. διότι αυτές επιρεάζουν μόνο την y h t Η απόκριση y t είναι αρμονική συνάρτηση της ίδιας κυκλικής συχνότητας Ω Το εύρος Γ(Ω) και η διαφορά φάσης Ψ(Ω) της απόκρισης ως προς την διέγερση εξαρτώνται από την Ω

57 Ημιτονοειδής Απόκριση Μόνιμης Κατάστασης Η ΗΑΜΚ αντιστοιχεί στην απόκριση μόνιμης κατάστασης όταν η y h (t) διέγερση είναι αρμονική y(t) x f (t) ΗΑΜΚ = + y p (t)

58 Ημιτονοειδής Απόκριση Μόνιμης Κατάστασης Εύρος απόκρισης Γ(Ω) = 1 (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 Σε αργές αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Γ(Ω) ω 2 Ταυτίζεται με την απόκριση σε βηματική διέγερση ίδιου εύρους Σε γρήγορες αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Γ Ω 0 Σε αρμονικές διεγέρσεις όπου η κυκλ. Συχνότητα διέγερσης είναι ίδιας τάξης μεγέθους με την φυσ. κυκλ. συχνότητα (Ω ω) Γ(Ω) 1 2ζωΩ Όταν το σύστημα έχει λίγη απόσβεση και Ω ω τότε το εύρος Γ(Ω) παίρνει μεγάλες τιμές ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ!!

59 ΗΑΜΚ: Συντελεστής Δυναμικής Ενίσχυσης Για ένα σύστημα 2 ης τάξης y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) Απόκριση μόνιμης κατάστασης σε βηματική είσοδο (μοναδιαίο εύρος): y static ss = lim h s (t) = ω 2 t Εύρος απόκρισης στην ΗΑΜΚ σε αρμονική διέγερση μοναδιαίου εύρους y ss dynamic = Γ(Ω) Ως συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H(Ω) ορίζεται ο λόγος: H Ω = y ss dynamic static y ss = Γ(Ω) ω 2 = 1 (1 ( Ω ω )2 ) 2 +(2ζ Ω ω )2 Ο οποίος εκφράζει το πόσο θα αυξηθεί το εύρος της απόκρισης του y(t) επειδή η διέγερση ασκείται δυναμικά (αρμονική) και όχι στατικά (βηματική)

60 ΗΑΜΚ: υντελεστής Δυναμικής Ενίσχυσης Διακρίνουμε 3 περιοχές: H 1. Στατική περιοχή: ( Ω ω 1) H(q) 1 Κυριαρχούν οι ελαστικές δυνάμεις 2. Περιοχή συντονισμού: ( Ω ω 1) Όταν ζ < 1 τότε H q > 1 Ω ω Η τιμή H max = H Ω = 1 ω 2ζ2 εξαρτάται από τον λόγο ζ 3. Περιοχή υψηλών διεγέρσεων: ( Ω 1) ω H q 1 Κυριαρχούν οι αδρανειακές δυνάμεις

61 ΗΑΜΚ: Συντελεστής Δυναμικής Ενίσχυσης Όταν 0 < ζ < 1 η μορφή του H( Ω ) εξαρτάται δραματικά από τον λόγο ζ ω Ελάττωση ζ αύξηση H max = H Ω ω = 1 2ζ2 Όταν ζ 0, τότε H max = H Ω ω = 1 Σε συστήματα μικρής απόσβεσης μια αρμονική διέγερση Ω ω προκαλεί έντονους κραδασμούς H Ω ω

62 ΗΑΜΚ: Διαφορά Φάσης Η γωνία Ψ Ω περιγράφει την διαφορά φάσης διέγερσης-απόκρισης στην ΗΑΜΚ f t = cos(ω t + φ) y t + 2ζω y(t) + ω 2 y(t) = f(t) y(0) = y 0 y(0) = u 0 y p t = Γ cos Ω t + φ + Ψ stimulation f(t) response x(t) y(t) Η χρονική καθυστέρηση της απόκρισης y(t) σε σχέση με την διέγερση f(t) περιγράφεται από την διαφορά φάσης Ψ time

63 ΗΑΜΚ: Διαφορά Φάσης Διαφορά φάσης Ψ Ω = atan( 2ζωΩ ω 2 Ω 2) Σε αργές αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Ψ(Ω) 0 Η απόκριση y t είναι σε φάση με την διέγερση f t Σε γρήγορες αρμονικές διεγέρσεις (Ω ω) Ψ Ω π Η απόκριση y t είναι 180 o εκτός φάσης από την διέγερση f t Σε αρμονικές διεγέρσεις όπου η κυκλ. συχνότητα διέγερσης είναι ίδιας τάξης μεγέθους με την φυσ. κυκλ. συχνότητα (Ω ω) Ψ(Ω) π 2 Το μέτρος της κλίσης dψ dω στην περιοχή Ω ω αυξάνεται όσο μειώνεται ο λόγος ζ

64 ΗΑΜΚ: Διαφορά Φάσης Σε συστήματα 2 ης τάξης π Ψ Ω 0 Περιγράφει πόσο υστερεί χρονικά η απόκριση ως προς την διέγερση Ψ Ω είναι φθίνουσα συνάρτηση του Ω Όταν Ω ω τότε Ψ Ω 0 Όταν Ω ω τότε Ψ Ω π/2 Όταν Ω ω τότε Ψ Ω π ( ) =0.1 =0.25 =0.5 =0.75 =1 = / Η μετάβαση γύρω από το Ω = ω είναι πιο έντονη για συστήματα με μικρότερο ζ

65 Παράδειγμα

66 Παράδειγμα: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Περιστρεφόμενων Μερών Σε περιστρεφόμενους άξονες οι οποίοι δεν είναι τέλεια ζυγοσταθμισμένοι προκαλούνται φυγόκεντρες δυνάμεις Tα μη περιστρεφόμενα μέρη της μηχανής που εδράζουν τους άξονες θα καταπονηθούν με αρμονικές διεγέρσεις f t = f 0 cos Ω t = M r Ω 2 cos Ω t Κυκλική συχνότητα διέγερσης ισούται με κυκλική συχνότητα περιστροφής άξονα Το μέγεθος της δύναμης είναι ανάλογο της αζυγοστάθμητης μάζας M r και του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής Ω της ατράκτου Δύναμη που ασκείται κατά τον κατακόρυφο ή τον οριζόντιο άξονα στις εδράσεις των αξόνων λόγω της αζυγοστάθμητης μάζας M r που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω

67 Παράδειγμα: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Περιστρεφόμενων Μερών Είναι απίθανο να εξαλειφθούν όλες πηγές αζυγοσταθμίας Οι αρμονικές δυνάμεις f t λόγω αζυγοσταθμίας προκαλούν κραδασμούς στην μηχανή: αρμονική απόκριση y t Στην ΗΑΜΚ η συχνότητα των κραδασμών y t ταυτίζεται με συχνότητα διέγερσης Ω Το εύρος των κραδασμών y t εξαρτάται από την συχνότητα Ω από μηχανικές ιδιότητες της κατασκευής, της έδρασης της H συχνότητα διέγερσης Ω εξαρτάται από την γων. ταχ. περιστροφής των περιστροφόμενων αξόνων Πηγή αρμονικής δύναμης Έδραση μηχανής

68 Παράδειγμα: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Περιστρεφόμενων Μερών Aπλούστερο μοντέλο έδρασης μηχανής y t f t f(t) Σύστημα m-c-k y(t) Επιταχυνσιόμετρα: μετρούν την επιτάχυνση a t = y(t) Το εύρος Y της απόκρισης y t μπορεί να εκτιμηθεί μετρώντας το εύρος της επιτάχυνσης A = Y Ω 2 για διάφορες γωνιακές ταχύτητες περιστροφής (σημειώσεις Βενετσάνου #4.7)