ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΡΚΑΤΟΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ Οι σχέσεις της Εγκάσιας Μεκατοικής Ποβοής στο εειψοειδές µποούν να ποκύψουν από την Εγκάσια Ισαπέχουσα Ποβοή Cassii εαµόζοντας τη συνθήκη της συµµοίας ή µε τη βοήθεια αναυτικών µιγαδικών συνατήσεων. Οι σχέσεις της ποβοής µποούν επιπέον να αναπτυχθούν µε τη βοήθεια αιθµητικών µεθόδων σε σειές. Έτσι για πειοχές έκτασης - κατά τη διεύθυνση του γεωγαικού µήκους () και µέχι το γεωγαικό πάτος () των οι οθογώνιες συντεταγµένες () ποσδιοίζονται από τις γεωγαικές () µε τις σχέσεις:... si si si si. M όπου a µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς M το τόξο µεσηµβινού από τον ισηµεινό µέχι το πάτος η διαοά κατά γεωγαικό µήκος από τον κεντικό µεσηµβινό και Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου. Οι γεωγαικές συντεταγµένες () ποσδιοίζονται από τις οθογώνιες () µε τις σχέσεις:.....
.. όπου είναι το γεωγαικό πάτος της ποβοής κάθε σηµείου στον κεντικό µεσηµβινό κατά τη διεύθυνση της γεωδαισιακής γαµµής είναι δηαδή εκείνο το γεωγαικό πάτος που αντιστοιχεί σε τόξο µεσηµβινού Μ η διαοά κατά γεωγαικό µήκος από τον κεντικό µεσηµβινό Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου και η ακτίνα καµπυότητας του µεσηµβινού στο γεωγαικό πάτος a και στο γεωγαικό πάτος µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς. Ο ποσδιοισµός της σύγκισης των µεσηµβινών (γ) από γεωγαικές συντεταγµένες () γίνεται µε τη σχέση:. si si si si γ όπου η διαοά κατά γεωγαικό µήκος από τον κεντικό µεσηµβινό a και µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς. Ενώ ο ποσδιοισµός της σύγκισης των µεσηµβινών (γ) από οθογώνιες συντεταγµένες () γίνεται µε τη σχέση:. γ όπου Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου a και µε την πώτη
εκκεντότητα του εειψοειδούς και το γεωγαικό πάτος της ποβοής κάθε σηµείου στον κεντικό µεσηµβινό κατά τη διεύθυνση της γεωδαισιακής γαµµής. Η κίµακα γαµµικής πααµόωσης (m) ποσδιοίζεται από τις γεωγαικές συντεταγµένες () µε τη βοήθεια της σχέσης: m. όπου η διαοά κατά γεωγαικό µήκος από τον κεντικό µεσηµβινό a και µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς. Ενώ τέος ο ποσδιοισµός της κίµακας γαµµικής πααµόωσης (m) από τις οθογώνιες συντεταγµένες () γίνεται µε τη βοήθεια της σχέσης:. m όπου Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου a και µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς και το γεωγαικό πάτος της ποβοής κάθε σηµείου στον κεντικό µεσηµβινό κατά τη διεύθυνση της γεωδαισιακής γαµµής. ΠΛΑΓΙΑ ΑΖΙΜΟΥΘΙΑΚΗ ΙΣΑΠΕΧΟΥΣΑ ΠΡΟΒΟΛΗ (HATT) Οι σχέσεις της Πάγιας Αζιµουθιακής Ισαπέχουσας Ποβοής (Ha) στο εειψοειδές µποούν να να αναπτυχθούν µε τη βοήθεια αιθµητικών µεθόδων σε σειές. Έτσι για πειοχές έκτασης κατά τη διεύθυνση του γεωγαικού µήκους () και του γεωγαικού πάτος () οι οθογώνιες συντεταγµένες () ποσδιοίζονται από τις γεωγαικές () µε τις σχέσεις: si si si -
( - si ). όπου Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου και η ακτίνα καµπυότητας µεσηµβινού στο κέντο ύου ( ) και η διαοά κατά γεωγαικό µήκος και πάτος από το κέντο ύου a και µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς και το γεωγαικό πάτος του κέντου ύου. Οι γεωγαικές συντεταγµένες () ποσδιοίζονται από τις οθογώνιες () στην απεικόνιση αυτή µε τις σχέσεις: ( ) Ν Ν Ν ( ) όπου Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου και η ακτίνα καµπυότητας µεσηµβινού στο κέντο ύου ( ) και η διαοά κατά γεωγαικό µήκος και πάτος από το κέντο ύου a και µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς και το γεωγαικό πάτος του κέντου ύου. Ο ποσδιοισµός της σύγκισης των µεσηµβινών (γ) από οθογώνιες συντεταγµένες () γίνεται µε τη σχέση: γ ( ) ( ) si όπου Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου στο κέντο ύου ( ) a και µε την πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς και το γεωγαικό πάτος του κέντου ύου. ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΟΛΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σε ποές χατογαικές αά και γεωδαιτικές εαµογές οι συντεταγµένες ενός συνόου σηµείων του γεωγαικού χώου χειάζεται να µεταταπούν από ένα ποβοικό σύστηµα σε κάποιο άο. Η διαδικασία αυτή είναι ακετά απή αν τα δύο συστήµατα αναέονται στό ίδιο γεωδαιτικό σύστηµα αναοάς (daum εειψοειδές) και υοποιείται εαµόζοντας τις σχέσεις που οίζουν οι δύο ποβοές. Αν όµως τα δύο συστήµατα ανήκουν σε διαοετικά γεωδαιτικά συστήµατα αναοάς (daum
εειψοειδή) τότε η διαδικασία της µετατοπής γίνεται πούποκη και σε οισµένες µάιστα πειπτώσεις µποεί να υοποιηθεί µόνο ποσεγγιστικά µε τη βοήθεια γεωµετικών µετασχηµατισµών (π.χ. οµοπαάηο µετασχηµατισµό) ή πουωνύµων (π.χ. ου βαθµού). Στις πειπτώσεις που τα δύο ποβοικά συστήµατα ανήκουν στο ίδιο γεωδαιτικό σύστηµα αναοάς (daum εειψοειδές) τότε η µετατοπή γίνεται ποσδιοίζοντας τις γεωγαικές συντεταγµένες () από τις οθογώνιες ( ) εαµόζοντας τις σχέσεις που οίζουν το πώτο ποβοικό σύστηµα. Στη συνέχεια ποσδιοίζονται οι οθογώνιες συντεταγµένες ( ) από τις γεωγαικές () εαµόζοντας τις αντίστοες σχέσεις που οίζουν το δεύτεο ποβοικό σύστηµα. Πέπει να σηµειωθεί ότι άν κάποιο από τα δύο ποβοικά συστήµατα είναι κωνική ή επίπεδη απεικόνιση τότε είναι απααίτητη και η ανάογη µετατοπή των ποικών συντεταγµένων (θ) σε οθογώνιες ή αντίστοα. Με τη διαδικασία αυτή η µετατοπή γίνεται µε την ακίβεια που συνοδεύει τις σχέσεις που οίζουν τα δύο ποβοικά συστήµατα και εποµένως αν η ακίβεια είναι ικανοποιητική µποεί να εαµοστεί τόσο σε γεωδαιτικές όσο και σε χατογαικές εγασίες. Κασικό παάδειγµα της πείπτωσης αυτής αποτεεί η µετατοπή συντεταγµένων από το σύστηµα Ha στο σύστηµα της Εγκάσιας Μεκατοικής Ποβοής (ΕΜΠ- ) και αντίστοα. Στις πειπτώσεις που τα δύο ποβοικά συστήµατα ανήκουν σε διαοετικά γεωδαιτικά συστήµατα αναοάς (daum εειψοειδή) και είναι γνωστή η µεταξύ τους σχέση δηαδή γνωίζουµε το διάνυσµα µετάθεσης σε γεωκεντικές συντεταγµένες [X Y Z ] µεταξύ των δύο γεωδαιτικών συστηµάτων αναοάς τότε η µετατοπή µποεί να γίνει µε τα ακόουθα στάδια. Αχικά ποσδιοίζονται οι γεωγαικές συντεταγµένες ( ) από τις οθογώνιες ( ) εαµόζοντας τις σχέσεις που οίζουν το πώτο ποβοικό σύστηµα. Ακοουθεί η µετατοπή των γεωγαικών συντεταγµένων ( ) σε γεωκεντικές (Χ Υ Ζ ) στο πώτο γεωδαιτικό σύστηµα αναοάς µε τη βοήθεια των σχέσεων: X Υ Ν si Ζ Ν( ) όπου Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου και πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς σε γεωγαικό πάτος. Στο επόµενο στάδιο εαµόζεται το γνωστό διάνυσµα µετάθεσης σε γεωκεντικές συντεταγµένες µεταξύ των δύο γεωδαιτικών συστηµάτων αναοάς ώστε να ποκύψουν οι γεωκεντικές (Χ Υ Ζ ) στο δεύτεο σύστηµα: X Y Z X X Y Y Z Z.
Ακοουθεί η µετατοπή των γεωκεντικών συντεταγµένων σε γεωγαικές ( ) στο δεύτεο γεωδαιτικό σύστηµα χησιµοποιώντας τις αντίστοες των σχέσεων που εαµόστηκαν ποηγουµένως: Y X arca Ζ si arca. Χ Υ όπου Ν η ακτίνα της κυίας καθέτου και πώτη εκκεντότητα του εειψοειδούς σε γεωγαικό πάτος. Από τις σχέσεις αυτές ο ποσδιοισµός του γεωγαικού πάτους ( ) γίνεται µε ποσεγγιστική τεχνική µέσω διαδοχικών επαναήψεων µέχι να επιτευχθεί η απααίτητη ακείβεια. Στη συνέχεια ποσδιοίζονται οι οθογώνιες συντεταγµένες ( ) από τις γεωγαικές ( ) εαµόζοντας τις αντίστοες σχέσεις που οίζουν το δεύτεο ποβοικό σύστηµα. Πέπει να σηµειωθεί ότι και στην πείπτωση αυτή αν κάποιο από τα δύο ποβοικά συστήµατα είναι κωνική ή επίπεδη απεικόνιση τότε είναι απααίτητη και η ανάογη µετατοπή των ποικών συντεταγµένων (θ) σε οθογώνιες ή αντίστοα. Με τη διαδικασία αυτή η µετατοπή γίνεται µε ακίβεια της τάξης µεικών cm εποµένως µποεί να εαµοστεί τόσο σε οισµένες γεωδαιτικές όσο και σε χατογαικές εγασίες. Τέος στις πειπτώσεις που τα δύο ποβοικά συστήµατα ανήκουν σε διαοετικά γεωδαιτικά συστήµατα αναοάς (daum εειψοειδή) και δεν είναι γνωστή η µεταξύ τους σχέση η µετατοπή µποεί να γίνει µε ποσεγγιστικές τεχνικές. Η διαδικασία της µετατοπής ποϋποθέτει να είναι γνωστές οι συντεταγµένες οισµένων σηµείων και στα δύο ποβοικά συστήµατα. Εαµόζοντας είτε γεωµετικούς µετασχηµατισµούς ή πουώνυµα µποούν να ποσδιοιστούν οι συντεεστές των γεωµετικών µετασχηµατισµών ή των πουώνυµων µε τη βοήθεια των σηµείων µε γνωστές συντεταγµένες και στη συνέχεια µέσω των συντεεστών να γίνει η µετατοπή ακοουθώντας µια ποσεγιστική τεχνική. Στις πεισσότεες πειπτώσεις χησιµοποιούνται πεισσότεα των απααίτητων σηµείων µε γνωστές συντεταγµένες στα δύο συστήµατα ώστε οι συντεεστές να ποσδιοιστούν ύστεα από διαδικασία συνόθωσης µε τη µέθοδο των εαχίστων τεταγώνων (ΜΕΤ). Έτσι είναι δυνατός ο έεγχος της ακίβειας της µετατοπής ώστε να ικανοποιούνται οι ανάγκες της ενδεχόµενης εαµογής. Σε ακετές πειπτώσεις µετατοπών εαµόζεται ως γεωµετικός µετασχηµατισµός ο οµοπαάηος µετασχηµατισµός που οίζεται από τη σχέση: a a a a a a
όπου ( ) οι οθογώνιες συντεταγµένες στο πώτο ποβοικό σύστηµα ( ) οι συντεταγµένες στο δεύτεο ποβοικό σύστηµα και a i (i ) οι συντεεστές του οµοπαάηου µετασχηµατισµού. Πεισσότεα στοιχεία για τον οµοπαάηο µετασχηµατισµό καθώς και άων γεωµετικών µετασχηµατισµών δίνονται στο Κεάαιο που πειαµβάνει µια αναυτική παουσίασή τους. Σε πειπτώσεις µετατοπών που εαµόζονται πουώνυµα συνήθως χησιµοποιείται ένα πήες πουώνυµο ου βαθµού το οποίο οίζεται από τη σχέση: a a a a a a a a a a a a όπου ( ) οι οθογώνιες συντεταγµένες στο πώτο ποβοικό σύστηµα ( ) οι συντεταγµένες στο δεύτεο ποβοικό σύστηµα και a i (i ) οι συντεεστές του πουωνύµου. Πεισσότεα στοιχεία για την εαµογή της µεθόδου των εαχίστων τεταγώνων όταν έχουµε γνωστά πεισσότεα από τα απααίτητα σηµεία για τον ποσδιοισµό των συντετεστών είτε του οµοπαάηου µετασχηµατισµού ή του πουωνύµου ου βαθµού δίνονται στο Κεάαιο το οποίο πειαµβάνει µια αναυτική παουσίαση των µεθόδων παεµβοής. Ειδικότεα για χατογαικές εαµογές σχετικές µε τη µετατοπή από το πααιό σύστηµα αναοάς της χώας (σύστηµα Ha) στο νέο (ΕΓΣΑ ) και µε τη βοήθεια συντεταγµένων των τιγωνοµετικών σηµείων του κατικού δικτύου της χώας εκασµένες και στα δύο συστήµατα ποσδιοίστηκαν οι συντεεστές πουωνύµων ου βαθµού για κάθε ύο χάτη (του συστήµατος Ha) κίµακας :.. Με τη βοήθεια των συντεεστών αυτών µποεί να γίνει η µετατοπή των συντεταγµένων από το πααιό σύστηµα (Ha) στο σύγχονο (ΕΓΣΑ ) µε ακίβεια της τάξης µεικών δεκάδων cm. Οι συντεεστές των πουωνύµων πειαµβάνονται σε ειδική έκδοση (Σχήµα.) του Ογανισµού Κτηµατοόγιου και Χατογαήσεων Εάδος (ΟΚΧΕ) της Γεωγαικής Υπηεσίας Στατού (ΓΥΣ) και της Σχοής Αγονόµων και Τοπογάων Μηχανικών του Εθνικού Μετσόβιου Πουτεχνείου (ΣΑΤΜ-ΕΜΠ). Τα πουώνυµα ου βαθµού που χησιµοποιούνται για τη µετατοπή είναι της µοής: X A A A A Y B B B B A B A B
Σχήµα. Φυάδιο µετατοπών Σχήµα. Πίνακας συντεεστών όπου (X Y) είναι οι ζητούµενες συντεταγµένες στο ποβοικό επίπεδο του συστήµατος ΕΓΣΑ () είναι οι γνωστές συντεταγµένες στα ποβοικά επίπεδα του συστήµατος Ha A A A A A A και Β Β Β Β Β Β οι συντεεστές µετατοπής (Σχήµα.). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αγατζά-Μπαοδήµου Α.Μ. "Τα ποβοικά συστήµατα που χησιµοποιούνται στην Εάδα". Εισήγηση στο Σεµινάιο: Τάσεις και εξείξεις στην επιστήµη του Αγονόµου και Τοπογάου Μηχανικού. Πανεήνιος Σύογος ιπωµατούχων Αγονόµων Τοπογάων Μηχανικών Αθήνα Μάτιος σ.. Γεωγαική Υπηεσία Στατού. Πίνακες συντεεστών µετατοπής συντεταγµένων Εηνικού χώου (Έκδοση η ) Αθήνα σ.. Thomas P. D. Coformal projcios i gods ad carograph. U.S. Dp. of Commrc Coas & Godic Surv. Spcial Publicaio o.. Washigo p.. Yag Q. Sdr J.P ad Toblr W.R. Map Projcio Trasformaio. Pricipls ad Applicaios. Talor & Fracis Lodo p..