Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Κίνηση βλήματος Εισαγωγή στην κίνηση βλήματος Η βολή βλήματος είναι μια σύνθετη κίνηση που συμβαίνει σε δύο άξονες ταυτόχρονα, έναν οριζόντιο (x) και ένα κατακόρυφο (y). Έτσι, διανυσματικά μεγέθη όπως η ταχύτητα και η επιτάχυνση, προκειμένου να χρησιμοποιηθούν στο πρόβλημα μας, θα αναλύονται στους δύο αυτούς άξονες. Για λόγους απλούστευσης θα μελετήσουμε την κίνηση βλήματος στην οποία όλες οι δυνάμεις αντίστασης (ή τρίβης) λόγω αέρα θα θεωρούνται μηδενικές, δηλαδή βλήματα μεγάλης πυκνότητας και μικρής επιφάνειας στην κίνηση για μικρές σχετικά αποστάσεις και ταχύτητες. Επιπλέον για τα μικρά σχετικά ύψη που θα μελετήσουμε θεωρούμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει σταθερή τιμή. Στον κατακόρυφο άξονα (y) θα θεωρούμε γενικά ότι ενεργεί το βάρος και επομένως η κίνηση θα είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνομένη (ή επιβραδυνόμενη αν το σώμα έχει εκείνη τη στιγμή ταχύτητα προς τα επάνω), με ή χωρίς αρχική ταχύτητα. Στον οριζόντιο άξονα (x) η κίνηση θα είναι γενικά ευθύγραμμη και ομαλή επειδή δεν ενεργούν άλλες δυνάμεις κατά τη διεύθυνση αυτή (μηδενική επιτάχυνση). Ανάλυση της κίνησης βλήματος Έστω βλήμα που βάλλεται με γωνία θ και αρχική ταχύτητα u κατά την τροχιά του παρακάτω σχήματος: y A u Ax u y u θ h B u Bx x u x R u By u τελ Σχήμα 1. Τροχιά βλήματος, θ προς τον οριζόντιο άξονα., που εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα u και γωνία Ας αναλύσουμε συνεπώς την κίνηση βλήματος ξεχωρίζοντας τι συμβαίνει σε κάθε άξονα ξεχωριστά.
i) Οριζόντιος άξονας Στον οριζόντιο άξονα δεν υπάρχει καμιάς μορφής επιτάχυνση (οι τριβές λόγω αέρα είναι μηδενικές και άλλη δύναμη δεν ασκείται), οπότε η ταχύτητα παραμένει σταθερή καθόλη τη διάρκεια της κίνησης. Αν πάρουμε τη σχέση: αt x x + ut +, (1) που είχαμε βρει νωρίτερα και την εφαρμόσουμε εδώ αντικαθιστώντας με τις τιμές της επιτάχυσνης, α, και ταχύτητας στον άξονα x, u ux, προκύπτει: x x + uxt, () Γνωρίζουμε βέβαια από τη γεωμετρία ότι u x uσυνθ. Συνεπώς τελικά έχουμε: x x uσυνθ t, (3) σχέση που ισχύει για κάθε χρονική στιγμή t της κίνησης του βλήματος. ii) Κατακόρυφος άξονας Στον κατακόρυφο άξονα υπάρχει επιτάχυνση, η γνωστή επιτάχυνση της βαρύτητας η οποία είναι σταθερή. Η κίνηση συνεπώς του βλήματος στον άξονα y μοιάζει με τη μελέτη σώματος που εκτελεί ελεύθερη πτώση στην περίπτωση που δεν υπάρχει αρχική ταχύτητα, ενώ αν υπάρχει μπορούμε να πάρουμε τη σχέση (1) για τον άξονα y, αντικαθιστώντας όπου x το y, x το y, το u (το οποίο λόγω γεωμετρίας είναι u y ), και α το. Τελικά έχουμε: uημθ u y t y y uημθ t. (4) Αξίζει να σημειωθεί ότι η αλλαγή του προσήμου στο τελευταίο όρο της σχέσης (4) οφείλεται στην φορά της επιτάχυνσης που έχουμε θεωρήσει ότι είναι προς τα κάτω. Επίσης αντίστοιχα προς τη σχέση: u u + αt που είδαμε σε προηγούμενο μάθημα τώρα έχουμε: u y uημθ t, (5) σχέση που μπορεί να φανεί χρήσιμη σε διάφορα προβλήματα. iii) Το οριζόντιο βεληνεκές της βολής Το οριζόντιο βεληνεκές της βολής, R, όπως φαίνεται και στο σχήμα είναι η οριζόντια απόσταση που θα φτάσει το βλήμα από το σημείο βολής όταν φτάσει στο αρχικό ύψος από το οποίο έχει εκτοξευθεί (συχνά κοντά στο έδαφος). Για να το βρούμε πρέπει να θέσουμε x x R και y y. Τότε προκύπτει: x x uσυνθ t R uσυνθ t t t uημθ και y y uημθ t uημθ t, Οπότε αν αντικαταστήσουμε την δεύτερη σχέση στην πρώτη προκύπτει:
uημθ uσυνθ ημθ R uσυνθ R, αλλά συνθ ημθ ημ( θ ), οπότε τελικά έχουμε ( ) u ημ θ R. (6) Είναι προφανές ότι η μέγιστη τιμή βεληνεκούς που μπορούμε να έχουμε προκύπτει ημ θ, δηλαδή όταν θ 9 ο ή θ 45 ο. όταν ( ) 1 iv) Το μέγιστο ύψος βολής Για να βρούμε το μέγιστο ύψος μιας βολής με γωνία προ τα επάνω πρέπει πρώτα να δούμε πότε συμβαίνει κάτι τέτοιο (να φτάνει δηλαδή το βλήμα στο μέγιστο ύψος). Αυτό συμβαίνει όταν η ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα (y) γίνεται μηδενική. Συνεπώς από τη σχέση (5) έχουμε για y y h και u : uημθ u ημθ t t, η οποία αν αντικατασταθεί στην (4) μας δίνει: y y h uημθ uημθ ( u ημθ ) ( u ημθ ) ( u ημθ ) uημθ h. (7) Αξίζει εδώ να αναφέρουμε ότι όπως περιμέναμε το ύψος που θα φτάσει ένα αντικείμενο είναι ανεξάρτητο της μάζας του. Μάλιστα η παραπάνω μελέτη για όλα αυτά χαρακτηριστικά της βολής είναι ανεξάρτητη της μάζας. Ασκήσεις 1) Έστω ότι έχουμε ένα πειρατικό πλοίο το οποίο πλησιάζει σε ένα λιμάνι όπως αυτό του σχήματος 3. Εκεί υπάρχει ένα κανόνι που υπερασπίζεται το λιμάνι και είναι τοποθετημένο κοντά στο επίπεδο της θάλασσας (όχι πάνω σε κάστρο). Το βλήμα του κανονιού έχει ταχύτητα 8m/sec. Το πλοίο βρίσκεται αυτή τη στιγμή σε απόσταση x56m. α) Σε τι γωνία πρέπει να τοποθετήσουμε το κανόνι για να πετύχουμε το στόχο (το πλοίο); β) Πόσο χρόνο χρειάζεται σε κάθε μια από τις δύο γωνίες το βλήμα για να φτάσει στο στόχο; γ) Ποια είναι η μέγιστη απόσταση (βεληνεκές) του κανονιού μας; y
y θ θ 1 B x x R max Σχήμα 3. Άμυνα με κανόνι απέναντι σε πειρατές. Λύση: α) Παίρνοντας τη σχέση (6) και θέτοντας όπου R το x έχουμε ότι: u ημ R ( θ ) ημ ( θ ) 1 ( θ ). 816 θ ημ. 816. R 9. 8m/ sec 56m u ( 8m/ sec) ημ Υπάρχουν δύο γωνίες των οποίων το ημίτονο είναι.816. Αυτές είναι οι θ 1 54.7 και θ 15.3. Συνεπώς είναι θ 1 7 ο και θ 63 ο. Αν το κανόνι σηκωθεί σε οποιαδήποτε από αυτές τις δύο γωνίες τότε θα πετύχει το στόχο του (αν δεν υπάρχει αέρας). β) Παίρνοντας τη σχέση (3) και λύνοντας ως προς το χρόνο έχουμε: x x 56m x x uσυνθ 1 t1 t1 t1 uσυνθ 1 8m / sec συν 7 και x x 56m x x uσυνθ t t t uσυνθ 8m / sec συν 63 Όπως είναι φυσιολογικό ο χρόνος πτήσης είναι πολύ μεγαλύτερος. t1 ( )( ) t ( )( ) 7. 7 sec 15 sec γ) Παίρνοντας τη σχέση (6) ξανά και θέτοντας θ 45 ο ή θ 9 ο, έχουμε ότι: ο uημ( θ ) ( 8m/ sec) ημ9 R max R max 9. 8m/ sec R max 69m. Δηλαδή οι πειρατές αν φύγουν πιο μακριά από τα 69m είναι ασφαλείς από την άμυνα του λιμανιού. ) Αεροπλάνο του δευτέρου παγκοσμίου πολέμου αφήνει βόμβα από υψόμετρο h AB m (σχήμα 4). Αν πετάει οριζόντια με ταχύτητα Um/sec α) σε πόση ώρα θα φτάσει η βόμβα στο
έδαφος β) σε ποια απόσταση από το σημείο Α όπου έφυγε η βόμβα από το αεροπλάνο θα σκάσει στο έδαφος γ) ποια είναι η ταχύτητα της βόμβας εκείνη τη στιγμή σε κάθε άξονα και δ) που βρίσκεται το αεροπλάνο εκείνη τη στιγμή (αν δεν αλλάξει υψόμετρο και ταχύτητα από τη στιγμή που έριξε τη βόμβα); Υποθέστε ότι 1m/sec και ότι οι τριβές λόγω αέρα στη βόμβα είναι μηδενικές. Α Β Σχήμα 4. Βομβαρδισμός στόχου από αεροπλάνο. Λύση: α) Η βόμβα εκτελεί δύο ανεξάρτητες κινήσεις. Μια στον οριζόντιο άξονα που είναι ευθύγραμμη ομαλή και μια στον κατακόρυφο που είναι ελεύθερη πτώση. Από τη σχέση της ελεύθερης πτώσης (σχέση (6) του προηγούμενου μαθήματος) έχουμε: t h h h t t t 4 sec 1 β) Σύμφωνα με τη σχέση () σε χρόνο t sec η βόμβα θα έχει κινηθεί στον οριζόντιο άξονα: x θ x x + uxt x uσυνθ t x ut x 4m γ) Στον οριζόντιο άξονα είναι ίδια με την αρχική (δεν έχουμε επιταχύνσεις) άρα u x uσυνθ θ ux uσυν ux u ux m / sec, ενώ όσον αφορά τον κατακόρυφο άξονα, ισχύει η σχέση (5), οπότε: θ uy u ημθ + t uy t uy 1 m / sec. δ) Το αεροπλάνο εκείνη τη στιγμή επειδή πετάει με την ίδια ταχύτητα στον οριζόντιο άξονα έχει και αυτό διανύσει την ίδια ακριβώς απόσταση με τη βόμβα άρα βρίσκεται ακριβώς από πάνω της. 4) Ένας πίθηκος κρέμεται σε ένα δέντρο και ο κυνηγός της εικόνας προσπαθεί να τον ρίξει κάτω από το δέντρο πετυχαίνοντας τον με ένα ηρεμιστικό βελάκι. Το βελάκι έχει ταχύτητα U m/sec. Ο κυνηγός σημαδεύει ακριβώς πάνω στον πίθηκο βάζοντας το όπλο του σε γωνία 3 με το έδαφος. Αν η απόσταση στον x άξονα είναι 1 3 m, και ο πίθηκος είναι σε ύψος y 1m πάνω από το ύψος του όπλου, τότε βρείτε: α) Πετυχαίνει τον πίθηκο; β) αν ο πίθηκος πέσει από το κλαδί προς τα κάτω την ίδια ακριβώς στιγμή που ο κυνηγός πυροβόλησε τι θα γίνει (θα πετύχει τον πίθηκο); γ) Τι ταχύτητα έχει το βέλος την χρονική στιγμή που είναι στον κατακόρυφο άξονα του πίθηκου (ίσια κάτω από το σημείο που βρισκόταν ο πίθηκος); δ) Αν η ταχύτητα βολής του βέλους ήταν η μισή της αρχικής (U 1m/sec) θα τον πετύχαινε το βέλος;
Υποθέστε ότι 1m/sec Σχήμα 5. Κυνηγός που πυροβολεί σε πίθηκο. Λύση: α) Παίρνοντας τη σχέση (7) και θέτοντας θ 3 ο και U m/sec έχουμε ότι: 1 ( uημθ ) ( ημ3 ) 1 h 5m 1 Το μέγιστο δηλαδή ύψος της βολής που έκανε το βελάκι είναι αρκετά μικρότερο του ύψους στο οποίο βρίσκεται ο πίθηκος και άρα δεν μπορεί να τον φτάσει. β) Αν ο πίθηκος πέσει από το κλαδί την ώρα που ο κυνηγός πετάξει το βελάκι από τη σχέση (5) προκύπτει 1 u y uημ3 u u t u t t y ημθ ημθ 1sec 1 Στο χρόνο αυτό ο πίθηκος βρίσκεται σύμφωνα με τη σχέση (1) σε ύψος: u t α t 1 1 y y + ut + y y y 1 α. (4) y 5m Εδώ βέβαια πρέπει να αναφέρουμε ότι η ταχύτητα u σε αυτό το σημείο είναι η αρχική ταχύτητα του πιθήκου (ο οποίος για την ακρίβεια κάνει ελεύθερη πτώση). Ξέρουμε δηλαδή ότι ο πίθηκος θα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος του βέλους σε t1sec. Σε αυτό το χρόνο το βέλος θα έχει κινηθεί στον οριζόντιο άξονα σύμφωνα με τη σχέση () κατά: x ο συν 3 ο x x + uxt x uσυνθ t x συν 3 1 x 1 3m, απόσταση που είναι ίση με αυτή του κυνηγού από τον πίθηκο. Αυτό σημαίνει ότι πίθηκος και βέλος είναι στο ίδιο σημείο των δύο αξόνων την ίδια στιγμή και ότι το βέλος πετυχαίνει τον πίθηκο. 3
γ) Την χρονική στιγμή που πίθηκος και βέλος είναι στον ίδιο άξονα το βέλος είναι στο μέγιστο ύψος του. Αυτό σημαίνει ότι η συνιστώσα της ταχύτητας στον κατακόρυφο άξονα έχει μηδενιστεί. Συνεπώς το βέλος έχει ταχύτητα ίση με: 3 u u x u uσυνθ u 1 3m / sec δ) Αν η ταχύτητα του βέλους μειώνονταν αρκετά θα μειώνονταν και το βεληνεκές του βέλους. Σύμφωνα με τη σχέση (6) θα είχαμε: u ( ) u ( ) ημ θ ημ 3 1 ημ6 3 R R R R 1 R 5 3m 1 Αυτό σημαίνει ότι βέλος δεν θα έφτανε ως τη θέση του πιθήκου αλλά θα έπεφτε στο έδαφος στο μισό της απόστασης χωρίς φυσικά να τον πετύχει.