ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΙΩΡΗΣΗ ΚΑΤΑ ΤΗ ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΚΤΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΙΩΡΗΣΗ ΚΑΤΑ ΤΗ ΘΡΑΥΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΑΚΤΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Καθηγητής Α.Α. ΔΗΜΑΣ ΜΑΡΙΑ-ΑΓΓΕΛΙΚΗ Θ. ΣΦΟΥΝΗ-ΓΡΗΓΟΡΙΑΔΟΥ ΠΑΤΡΑ 013

ii ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης εκπονήθηκε κατά τα ακαδημαϊκά έτη 011-013 στο Εργαστήριο Υδραυλικής Μηχανικής του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Αθανάσιου Α. Δήμα. Το θέμα της είναι «Αριθμητική προσομοίωση μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση κατά τη θραύση κυμάτων σε ακτή σταθερής κλίσης». Αισθάνομαι υποχρεωμένη να εκφράσω τις θερμές ευχαριστίες μου προς τον Καθηγητή κ. Αθανάσιο Α. Δήμα για την επίβλεψη και την καθοδήγησή του κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας, καθώς και τη βαθιά εκτίμησή μου προς το επιστημονικό έργο και την προσωπικότητά του. Ιδιαίτερες ευχαριστίες εκφράζονται στον διδάκτορα του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Γεράσιμο Α. Κολοκυθά για τη συμπαράσταση, την υπομονή και την ουσιαστική βοήθεια του, που ήταν απαραίτητες για την ολοκλήρωση της παρούσας εργασίας. Ευχαριστίες αποδίδονται προς τα μέλη του Διδακτικού Επιστημονικού Προσωπικού του Εργαστηρίου Υδραυλικής Μηχανικής του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών για την πολύτιμη διδασκαλία και καθοδήγησή τους. Θερμές ευχαριστίες εκφράζονται προς τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Γεώργιο Μ. Χορς για την άψογη συνεργασία κατά την εκπόνηση των εργαστηρίων του μαθήματος «Εργαστηριακά Θέματα Υδραυλικής Μηχανικής». Ευχαριστίες εκφράζονται προς τους φίλους και υποψήφιους διδάκτορες του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών, κ. Θεοφανώ Κουτρουβέλη, κ. Κωνσταντίνα Γαλάνη, κ. Γεώργιο Λευθεριώτη και κ. Ευστράτιο Φονιά, που έκαναν την καθημερινότητα μου ευχάριστη και με στήριξαν ουσιαστικά. Πάτρα, Δεκέμβριος 013 Μαρία-Αγγελική Θ. Σφούνη-Γρηγοριάδου

iii ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία μελετάται η συμπεριφορά ιζήματος σε αιώρηση που προκαλείται λόγω θραύσης κύματος σε πυθμένα σταθερής κλίσης. Η αριθμητική προσομοίωση επιτυγχάνεται με παράλληλη επίλυση των εξισώσεων κίνησης (Navier- Stokes και Συνέχειας) και της εξίσωσης Μεταγωγής-Διάχυσης για τη μεταφορά ιζήματος σε αιώρηση. Επιλέγονται οι κατάλληλες οριακές συνθήκες ελεύθερης επιφάνειας, εισόδου και εξόδου, ενώ για την οριακή συνθήκη πυθμένα χρησιμοποιούνται εμπειρικοί τύποι που συνδέουν τη διατμητική τάση πυθμένα με τη συγκέντρωση πυθμένα. Οι εξισώσεις μετασχηματίζονται κατάλληλα ώστε το υπολογιστικό πεδίο να γίνει ανεξάρτητο του χρόνου. Για τη χρονική διακριτοποίηση χρησιμοποιείται ένα σχήμα κλασματικής μεθόδου ολοκλήρωσης με σταθερό χρονικό βήμα. Για τη χωρική διακριτοποίηση χρησιμοποιείται ένα υβριδικό σχήμα, το οποίο περιλαμβάνει διακριτοποίηση των εξισώσεων με χρήση πεπερασμένων διαφορών κατά τη διεύθυνση της ροής και εφαρμογή της φασματικής μεθόδου παρεμβολής με πολυώνυμα Chebyshev για την κατακόρυφη διεύθυνση. Μελετώνται περιπτώσεις κόκκων ιζήματος με διάμετρο κανονικοποιημένη ως προς το χαρακτηριστικό βάθος ροής, D =10-4, D B = 10-4 και D C =5 10-4. Κατά την θραύση παρατηρείται σημαντική ανύψωση του ιζήματος πυθμένα στη στήλη του ύδατος και για τις τρεις περιπτώσεις. Η καθαρή παροχή ιζήματος σε αιώρηση παρουσιάζει τη τάση να κινείται προς τα ανάντη της ροής με τη μέγιστη τιμή να εμφανίζεται μετά τη θραύση. Τέλος, διαπιστώνεται ότι η καθαρή παροχή αιωρούμενου ιζήματος είναι σημαντικά μεγαλύτερη από αυτή του ιζήματος κλίνης.

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...ii ΠΕΡΙΛΗΨΗ... iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... iv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... v 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1. EΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΙΩΡΗΣΗ ΣΕ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΣΗ ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ... 6 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ... 14 3.1 Χρονική διακριτοποίηση... 14 3. Χωρική διακριτοποίηση... 16 4. ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΙΩΡΗΣΗ ΚΑΤΑ ΤΗ ΘΡΑΥΣΗ ΚΎΜΑΤΟΣ... 5 4.1 Χαρακτηριστικά του υπολογιστικού πεδίου ροής... 5 4. Αποτελέσματα αριθμητικής προσομοίωσης... 7 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 51 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 53

v ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα. 1 Δισδιάστατο πεδίο ροής με ελεύθερη επιφάνεια... 8 Σχήμα 3. 1 Πλέγμα υπολογιστικού πεδίου.... 17 Σχήμα 3. Πλέγμα πραγματικού πεδίου.. 17 Σχήμα 3. 3 Μητρώο υπολογισμού... Σχήμα 4. 1 Γεωμετρία υπολογιστικού πεδίου ροής.... 5 Σχήμα 4. Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=1τ.... 7 Σχήμα 4. 3 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=3τ.... 8 Σχήμα 4. 4 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=5τ.... 8 Σχήμα 4. 5 Αδιάστατη διατμητική τάση πυθμένα για t=4t.... 9 Σχήμα 4. 6 Μεταβολή διαθέσιμης συγκέντρωσης ιζήματος πυθμένα στη θέση x 1 =45 κατά τη διάρκεια της πέμπτης περιόδου (Δt=4Τ-5Τ)... 30 Σχήμα 4.7 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4.8 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4.9 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4.10 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 11 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 1 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 13 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 14 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 15 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 16 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 17 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 18 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 19 Συγκέντρωση ιζήματος για Σχήμα 4. 0 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4t.... 31 D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5τ.... 3 D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5t.... 3 D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4.75t.... 33 D =10-4 τη χρονική στιγμή t=5t.... 34 D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4t... 35 B D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5τ... 35 B D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5τ... 36 B D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.75t... 37 B D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=5t... 37 B D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=4t... 38 C D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5t... 39 C D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5t.... 39 C D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.75t... 40 C

vi Σχήμα 4. 1 Συγκέντρωση ιζήματος για D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=5t... 40 C Σχήμα 4. Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =41 (d/d b =0.9).... 4 Σχήμα 4. 3 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =4 (d/d b =0.8).... 4 Σχήμα 4. 4 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =43 (d/d b =0.7).... 43 Σχήμα 4. 5 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D = 10 - B 4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =41 (d/d b =0.9).... 44 Σχήμα 4. 6 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D = 10 - B 4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =4 (d/d b =0.8).... 44 Σχήμα 4. 7 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D = 10 - B 4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =43 (d/d b =0.7).... 45 Σχήμα 4. 8 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =5 10 - C 4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη θος σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =41 (d/d b =0.9).... 46 Σχήμα 4. 9 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =5 10 - C 4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =4 (d/d b =0.8).... 46 Σχήμα 4. 30 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =5 10 - C 4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =43 (d/d b =0.7)... 47 Σχήμα 4. 31 Καθαρή παροχή συγκέντρωσης ιζήματος σε αιώρηση στο διάστημα Δt=4T-5T.... 48 Σχήμα 4. 3 Καθαρή παροχή συγκέντρωσης ιζήματος σε αιώρηση στο διάστημα Δt=4T-5T.... 49 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 4. 1 Λόγος πλάτους τροχιάς σωματιδίων ρευστού προς χαρακτηριστική διάμετρο για μεγάλη βάθη και για τη θραύση..6 Πίνακας 4. Καθαρή παροχή ιζήματος σε αιώρηση και κλίνης. 50

1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επίδραση των κυμάτων και των ρευμάτων στη παράκτια ζώνη αποτελεί σημαντικό αντικείμενο μελέτης για την παράκτια μηχανική. Τα κύματα και τα ρεύματα επηρεάζουν άμεσα τις κατασκευές μέσω της δράσης των δυνάμεων του ρευστού και έμμεσα μέσω της δυνατότητας τους να μεταφέρουν το ίζημα που βρίσκεται στον πυθμένα των περισσότερων παράκτιων περιοχών. Η μελέτη του φαινομένου της μεταφοράς ιζήματος είναι απαραίτητη για την πρόβλεψη διαδικασιών όπως η διάβρωση και η αλλαγή της μορφολογίας των ακτών. Η παράκτια στερεομεταφορά περιγράφεται από δύο μηχανισμούς, τη μεταφορά ιζήματος κλίνης και τη μεταφορά ιζήματος σε αιώρηση. Κατά τη μεταφορά ιζήματος κλίνης, το φορτίο κλίνης βρίσκεται σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό σε επαφή με τον πυθμένα και η κίνησή του επηρεάζεται από τη διατμητική τάση της ροής σε αυτόν. Κατά τη μεταφορά ιζήματος σε αιώρηση, το ίζημα κινείται χωρίς να διατηρεί συνεχή επαφή με τον πυθμένα ως αποτέλεσμα της τύρβης του ρευστού. Συνεπώς, η διατμητική τάση στον πυθμένα και η τύρβη της ροής αποτελούν τις βασικές παραμέτρους επιρροής στη παράκτια στερεομεταφορά. Η κατανόηση του φαινομένου της παράκτιας στερεομεταφοράς είναι κρίσιμη για την πρόβλεψη της μεταφοράς ιζήματος και ρύπων στα υδατικά συστήματα. Αποτελεί μια πολύπλοκη, πολυδιάστατη και δυναμική διαδικασία. Για την περιγραφή της στερεομεταφοράς καθώς και του κυματικού περιβάλλοντος της παράκτιας ζώνης πραγματοποιούνται διάφορες προσπάθειες μοντελοποίησης. Πολλά θέματα ανακύπτουν λόγω της διαφορετικής κλίμακας των προβλημάτων που μελετώνται, καθώς τα παράκτια μοντέλα συνήθως αναπτύσσονται σε κλίμακα μεγαλύτερης τάξης από αυτή στην οποία πραγματοποιούνται φυσικές διεργασίες όπως, η τύρβη, η αλληλεπίδραση ιζήματος με ίζημα και η αλληλεπίδραση ροής-ιζήματος. Τα θεμέλια για τη μελέτη της παράκτιας μεταφοράς ιζήματος δόθηκαν στις εργασίες των du Boys (1979), Einstein (1950) και Vanoni (1975) O van Rijn (1984a, 1984b, 1984c) αναφέρθηκε στους μηχανισμούς του φορτίου κλίνης, του φορτίου σε αιώρηση και στην επίδραση της μορφής του πυθμένα κατά τη μεταφορά ιζήματος. Μελέτησε πειραματικά τη μεταφορά μη-συνεκτικού, χονδρόκοκκου ιζήματος με ομοιόμορφο σχήμα, μέγεθος και πυκνότητα, με διάμετρο που κυμαινόταν από 00 έως 000μm. Από μεταγενέστερη

έρευνα των Roberts et al. (003) προέκυψε εμπειρική μέθοδος για την πρόβλεψη του ποσοστού μάζας ιζήματος που μεταφέρεται είτε ως φορτίο κλίνης, είτε ως φορτίο σε αιώρηση σαν συνάρτηση της εφαρμοζόμενης διατμητικής τάσης και της διαμέτρου κόκκου. Οι Garcia & Parker (1991) αξιολόγησαν και συνέκριναν προϋπάρχουσες μελέτες για την κίνηση ιζήματος και προέβησαν σε βελτιωμένες και βασισμένες σε μετρήσεις πεδίου διατυπώσεις για την αντιμετώπιση της μίξης ιζήματος. Η εξάρτηση της μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση από την κατανομή του κύματος και κατ επέκταση από τα χαρακτηριστικά κύματος (τροχιακή ταχύτητα στον πυθμένα, περίοδος, ασυμμετρία) μελετήθηκε από τους Fredsoe (1993) και Davies (1995). Η επίδραση του κύματος στη σχέση της συγκέντρωσης με την οριζόντια ταχύτητα είναι ικανή, ώστε να ενισχύει ή να αναστέλλει την καθαρή ροή ιζήματος και σε ορισμένες περιπτώσεις να κυριαρχεί στη μεταφορά του αιωρούμενου ιζήματος. Αυτό αποδείχθηκε σε πειράματα που πραγματοποιήθηκαν σε συνθήκες στρωματικής ροής από τους Ribberink & l-salem (199, 1995) για ασύμμετρα κύματα, οι οποίοι διαπίστωσαν ότι η μη-σταθερότητα της οριζόντιας ταχύτητας και της συγκέντρωσης προκαλεί μεταφορά ιζήματος κοντά στον πυθμένα μέσα στην παράκτια ζώνη, ενώ έξω από αυτήν δημιουργείται ένα στρώμα αιώρησης που αναπτύσσεται έως μεγάλα ύψη πάνω από τον πυθμένα. Η πρώτη προσπάθεια για την πρόβλεψη της διακύμανσης της συγκέντρωσης του ιζήματος σε σχέση με τον χρόνο και το βάθος κατά τη διάρκεια ενός κύκλου κύματος, κι ως εκ τούτου για τη δυνατότητα εκτίμησης της μεταφοράς που συνδέεται με το κύμα, έγινε από τον Bakker (1974). Ο Bakker χρησιμοποίησε τη προσέγγιση του μήκους ανάμιξης για να υπολογίσει το εξαρτώμενο από το χρόνο τυρβώδες ιξώδες, το οποίο θεώρησε ίσο με τον συντελεστή διάχυσης ιζήματος. Αυτή η προσέγγιση επεκτάθηκε και εφαρμόστηκε σε επίπεδο πυθμένα για συνθήκες στρωματικής ροής από τους Ribberink και l-salem (1995) και ονομάστηκε mixing-length model. Οι Fredsoe et al. (1985) χρησιμοποίησαν μια προσέγγιση του τυρβώδους ιξώδους για να μοντελοποιήσουν την κατακόρυφη κατανομή του φορτίου σε αιώρηση κάτω από μεγάλα, ημιτονοειδή κύματα πάνω από επίπεδο πυθμένα. Στην περίπτωση αυτή η στιγμιαία διατμητική τάση πυθμένα και τα προφίλ της ταχύτητας βρέθηκαν από την εφαρμογή της μεθόδου ολοκλήρωσης της ορμής για το οριακό στρώμα, όπως περιγράφεται από τον Fredsoe (1984). Διάφορα αριθμητικά μοντέλα κλεισίματος της τύρβης χρησιμοποιήθηκαν για να μελετήσουν τη μεταφορά ιζήματος πάνω από επίπεδο πυθμένα για παλλόμενη ροή, όπως

3 το μοντέλο One-equation του Davies (1995) και το μοντέλο k-l του Huynh Thanh (1994). Τα μοντέλα αυτά εφαρμόζονται για ενεργητικές ροές, στις οποίες ο πυθμένας παραμένει επίπεδος και δημιουργείται ένα λεπτό στρώμα υψηλής συγκέντρωσης στη διεπιφάνεια ρευστού-ιζήματος. Σε αντίθεση, το μοντέλο STP (Danish Hydraulic Institute) μπορεί να εφαρμοστεί και για λιγότερο ενεργητικές ροές πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις (Zyserman & Fredsoe 1996). Η θραύση κύματος στην παράκτια ζώνη παράγει τύρβη και προκαλεί σύνθετη κίνηση ρευστού, η οποία ασκεί διατμητική τάση στον πυθμένα. Η διατμητική τάση, ειδικά στη ζώνη θραύσης και μέσα στη ζώνη αναρρίχησης, προκαλεί αιώρηση και μεταφορά ιζήματος. Στο σημείο θραύσης η επιφανειακά παραγόμενη τύρβη έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας, ειδικά κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια όπου η παραγωγή της τύρβης λαμβάνει χώρα γύρω από έναν επιφανειακό στρόβιλο. Αυτό οδηγεί σε σημαντική αύξηση του ποσοστού του ιζήματος σε αιώρηση σε σύγκριση με μη θραυόμενα κύματα ίδιου ύψους και περιόδου στο ίδιο βάθος ροής. Για τον ακριβή υπολογισμό του πεδίου ταχυτήτων λαμβάνονται υπόψη η κίνηση του ρευστού και η τυρβώδης διάχυση. Πολλά αριθμητικά μοντέλα προσομοιώνουν το πεδίο ταχυτήτων, ελάχιστα όμως μπορούν να παρουσιάσουν την πολυπλοκότητά του και τα αποτελέσματα στην περίπτωση φαινομένων που χαρακτηρίζονται από διάχυση υψηλού τυρβώδους, όπως η θραύση του κύματος. Το μοντέλο DNS (Direct Numerical Simulation) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της κίνησης του ρευστού σε μικρές κλίμακες τύρβης (Wijayaratna & Okayasu 000, Brasseur & Lin 005). Ωστόσο, η εφαρμογή του είναι περιορισμένη επειδή απαιτεί πυκνό πλέγμα για την επίλυση της τύρβης. Σε αντίθεση, η επίδραση της τύρβης μπορεί να μοντελοποιηθεί με τη χρήση του μοντέλου RNS (Reynolds-veraged Numerical Simulation). Οι Lin & Liu (1998) συνδύασαν τις εξισώσεις RNS με ένα δεύτερης τάξης k-ε μοντέλο τύρβης για να περιγράψουν τις περιπτώσεις θραύσης εκχείλισης στο μέτωπο του κύματος και θραύσης εκτίναξης στην κορυφή του κύματος. Οι Chang et al. (001, 005) χρησιμοποίησαν επίσης τη δισδιάστατη εξίσωση RNS με κλείσιμο k-ε για τη μελέτη της ανάπτυξης στροβίλων λόγω του διαχωρισμού της ροής γύρω από ένα βυθισμένο εμπόδιο. Το μοντέλο LES (Large Eddy Simulation) συνδυάζει τα δύο παραπάνω σχήματα. Οι κλίμακες της τύρβης διαχωρίζονται σε αυτές που είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες από ένα υπολογιστικό κελί. Τα προβλήματα τύρβης μεγαλύτερης κλίμακας λύνονται

4 χρησιμοποιώντας απευθείας τις εξισώσεις Navier-Stokes, ενώ αυτά μικρότερης κλίμακας χρησιμοποιώντας την εξίσωση τύρβης. Συνεπώς, το μοντέλο LES μπορεί δυνητικά να επιλύσει το πεδίο ταχυτήτων στην παράκτια ζώνη περιλαμβάνοντας όλες τις κλίμακες τύρβης και επιπλέον να μειώσει τον υπολογιστικό χρόνο σε σχέση με τα μοντέλα DNS. Οι Watanabe & Saeki (1999) προσομοίωσαν τη κίνηση ρευστού λόγω θραύσης σε κλίμακα εργαστηρίου χρησιμοποιώντας το μοντέλο LES (Large Eddy Simulation). Απέδειξαν ότι η κατασκευή δινών μεγάλης κλίμακας περιλαμβάνει οριζόντιους, κάθετους και ελικοειδείς στροβίλους. Οι Christensen & Deigaard (001) εφάρμοσαν το ίδιο μοντέλο σε τρισδιάστατη ροή. Το μοντέλο μπορούσε να αναπαράγει πολύπλοκη μορφή κίνησης, όπως λοξά φθίνοντες στροβίλους. Οι Zedler & Street (00) μελέτησαν τη μεταφορά ιζήματος σε πρότυπη τοπογραφία κάτω από ιδανικές συνθήκες ροής και σε πραγματική τοπογραφία κάτω από πραγματικές συνθήκες ροής, χρησιμοποιώντας έναν LES κώδικα. Επίσης, έδειξαν την μορφή της μεταφοράς ιζήματος πάνω από πυθμένα με πτυχώσεις, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ανύψωσης ιζήματος του van Rijn s (1984). Οι Suzuki et al. (007) προσομοίωσαν την ανύψωση και τις κινήσεις του ιζήματος σε αιώρηση χρησιμοποιώντας ένα συνδυαστικό μοντέλο, που περιελάμβανε μια ενότητα με τη χρήση του μοντέλου LES και μια ενότητα βασισμένη στο βαθμό ανύψωσης/οριζόντιας μεταφοράς του ιζήματος. Το όριο για την έναρξη της κίνησης καθορίστηκε από τον αριθμό Shields στον πυθμένα. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η αριθμητική προσομοίωση της μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση που προκαλείται από τη θραύση κύματος πάνω από επίπεδο πυθμένα σταθερής κλίσης. Μελετάται η συμπεριφορά του ιζήματος για διαφορετικά μεγέθη κόκκου, εστιάζοντας στις κρίσιμες τιμές για ισχυρή ανύψωση και μεταφορά. Επιπλέον, γίνονται υπολογισμοί για την παροχή του ιζήματος στις αντίστοιχες περιπτώσεις. Στη δεύτερη ενότητα παρουσιάζονται η εξίσωση μεταφοράς ιζήματος (Μεταγωγής- Διάχυσης) και οι εξισώσεις ροής (Συνέχειας-Navier-Stokes) για δισδιάστατη ροή σε ελεύθερη επιφάνεια. Οι εξισώσεις μετασχηματίζονται κατάλληλα ώστε το υπολογιστικό πεδίο να γίνει ανεξάρτητο του χρόνου. Στην τρίτη ενότητα αναλύεται η αριθμητική μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση της εξίσωσης μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση. Περιγράφονται τα σχήματα που χρησιμοποιήθηκαν για τη χωρική και χρονική διακριτοποίηση καθώς και η γενικότερη μεθοδολογία που ακολουθήθηκε για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος.

5 Στην τέταρτη ενότητα γίνεται ανάλυση των διαφορετικών περιπτώσεων που μελετήθηκαν για τη συμπεριφορά του ιζήματος ανάλογα με το μέγεθος κόκκου κατά τη θραύση κύματος και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης για κάθε περίπτωση. Στην πέμπτη ενότητα παρατίθενται τα τελικά συμπεράσματα που προέκυψαν από την εκπόνηση της παρούσας εργασίας και πραγματοποιείται σχολιασμός αυτών.

6. EΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΙΩΡΗΣΗ ΣΕ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΣΗ ΡΟΗ ΜΕ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Η αριθμητική προσομοίωση του προβλήματός της παρούσας εργασίας πραγματοποιείται με τη συνδυαστική επίλυση της εξίσωσης μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση και των εξισώσεων ροής (Συνέχειας και Navier-Stokes). Η αδιάστατη εξίσωση που περιγράφει την κίνηση ιζήματος σε αιώρηση λόγω δισδιάστατης ροής ελεύθερης επιφάνειας για ασυμπίεστο ρευστό σταθερής συνεκτικότητας σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι ( ) ( ) c c c 1 c c u1 u ws t x1 x Re x1 x (.1) όπου c η συγκέντρωση του ιζήματος σε αιώρηση, u και 1 συνιστώσα της ταχύτητας, ws η ταχύτητα καθίζησης και Re ο αριθμός Reynolds. u η οριζόντια και η κατακόρυφη Η δισδιάστατη ροή ελεύθερης επιφάνειας, για ασυμπίεστο ρευστό σταθερής συνεκτικότητας σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, διέπεται από τις αδιάστατες εξισώσεις συνέχειας u x u x 1 1 0 (.) και Navier-Stokes u 1 u 1 u 1 p 1 u 1 u 1 u1 u t x1 x x1 Re x1 x (.3) u u u p 1 u u t x x x x x u1 u 1 Re 1 (.4)

7 Για την αδιαστατοποίηση των μεταβλητών χρησιμοποιούνται οι τιμές του χαρακτηριστικού βάθους ροής d 0, της επιτάχυνσης της βαρύτητας g και της πυκνότητας του νερού ρ. Η αδιαστατοποίηση των μηκών γίνεται με το χαρακτηριστικό βάθος d 0, των d0 ταχυτήτων, του χρόνου και της πίεσης με τις παραμέτρους gd 0, g και gd0, αντίστοιχα. Από την αδιαστατοποίηση των εξισώσεων (.1), (.) και (.3) προκύπτει αριθμός Reynolds ίσος με Re gd d v 0 0, όπου το κινηματικό ιξώδες του ρευστού. Η συγκέντρωση c θεωρείται αδιάστατο μέγεθος, καθώς και οι υπόλοιπες μεταβλητές των παραπάνω εξισώσεων και ως ρευστό θεωρείται το νερό. Στην παρούσα εργασία πραγματοποιείται η επίλυση της εξίσωσης (.1) με τη χρήση δεδομένων που προκύπτουν από την επίλυση των εξισώσεων (.) και (.3) (Κολοκυθάς 007). Στο Σχήμα.1 παρουσιάζεται το υπολογιστικό πεδίο ροής. Στην είσοδο επιβάλλεται εισερχόμενο κύμα Stokes ης τάξης (Κολοκυθάς 007), στην περιοχή θραύσης του οποίου θα εστιαστούν οι παρατηρήσεις για τη μεταφορά του ιζήματος σε αιώρηση. Η μορφολογία του πυθμένα χαρακτηρίζεται από ένα αρχικό οριζόντιο τμήμα βάθους d 0 το οποίο εξασφαλίζει την ομαλή ανάπτυξη του εισερχόμενου κύματος και μια περιοχή σταθερής κλίσης που οδηγεί στο τελικό οριζόντιο τμήμα βάθους 0.03d 0.

8 Σχήμα. 1 Δισδιάστατο πεδίο ροής με ελεύθερη επιφάνεια. Οι συνοριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια είναι η κινηματική συνθήκη για την ταχύτητα και η συνθήκη μηδενικής μεταβολής της συγκέντρωσης. Η κινηματική συνθήκη εξασφαλίζει ότι τα μόρια νερού της ελεύθερης επιφάνειας εξακολουθούν να κινούνται στην ελεύθερη επιφάνεια και ορίζεται ως u d u dt t x 1 1 στο x (.4) και η συνθήκη μηδενικής κλίσης της συγκέντρωσης εκφράζεται με την παρακάτω σχέση c x 0 στο x (.5) όπου η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας.

9 Οι συνοριακές συνθήκες στον πυθμένα, ο οποίος θεωρείται αδιαπέρατος, αφορούν τις ταχύτητες καθώς και τη συγκέντρωση ιζήματος. Αυτές είναι η συνθήκη αδιαπέρατου ορίου, με την οποία επιβάλλεται ο μηδενισμός της κάθετης, στον πυθμένα, συνιστώσας της ταχύτητας h u u1 x 1 0 στο x d (.6) και η συνθήκη μη-ολίσθησης με την οποία επιβάλλεται ο μηδενισμός της εφαπτομενικής, στον πυθμένα, συνιστώσας της ταχύτητας h u u1 x 1 0 στο x d (.7) όπου hx ( ) είναι η συνάρτηση μορφολογίας του πυθμένα. Η συνοριακή συνθήκη που αφορά τη συγκέντρωση ιζήματος στον πυθμένα συνδέει τον αριθμό Shields με την συγκέντρωση σε απόσταση ίση με το διπλάσιο της διαμέτρου του κόκκου από τον πυθμένα (Engelund &Fredsoe 1976). Αυτή δίνεται από τον ακόλουθο τύπο και εκφράζει τη διαθέσιμη προς αιώρηση συγκέντρωση του πυθμένα 3 c / 1 1/ b c0 (.8) όπου φυσική άμμο, και η μέγιστη δυνατή τιμή της συγκέντρωσης, η οποία παίρνει την τιμή 0.65 για a1 p b 0.013s c 6 d (.9) όπου 0.4 η σταθερά von Karman, a1 (εκφράζει το ότι η κλίση της ταχύτητας μετριέται σε ύψος ίσο με το διπλάσιο της διαμέτρου του κόκκου από τον πυθμένα), s η σχετική πυκνότητα άμμου ίση με.65 για παράκτια ιζήματα, ο αδιάστατος αριθμός

10 Shields, c η κρίσιμη τιμή του αριθμού Shields ίση με 0.05 για άμμο τοποθετημένη σε οριζόντιο πυθμένα, d 0.5 0.65 η παράμετρος που εκφράζει τη δυναμική τριβή και 1 4 4 d p 1 6 c το ποσοστό των κόκκων του φορτίου κλίνης που είναι σε κίνηση. Ο αδιάστατος αριθμός Shields ισούται με b b ( ) D ( s 1) gd s s s (.10) όπου b η διατμητική τάση πυθμένα, s η ειδική πυκνότητα άμμου, η ειδική πυκνότητα ύδατος, g η επιτάχυνση της βαρύτητας ίση με 9.807 / m s, η πυκνότητα ύδατος, χαρακτηριστική διάμετρος κόκκου. Η αδιαστατοποίηση της διατμητικής τάσης πυθμένα Ds η γίνεται με την παράμετρο gd0, όπου d 0 το χαρακτηριστικό βάθος ροής. Συνεπώς η σχέση (.10) παίρνει τη μορφή b ( s1) D (.11) όπου D D s το αδιάστατο μέγεθος κόκκου (Engelund & Fredsoe 1976). d 0 Η θέση της ελεύθερης επιφάνειας είναι άγνωστη μεταβλητή του χρόνου, γεγονός που καθιστά το υπολογιστικό πεδίο μεταβλητή συνάρτηση του χρόνου. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με τη χρήση κατάλληλου μετασχηματισμού της συντεταγμένης x στο διάστημα d,, όπου d d0 h είναι το βάθος του πυθμένα σε τυχαία θέση x 1 και d 0 το βάθος του πυθμένα στη θέση x1 0. Επίσης ισχύει των συντεταγμένων έχει τη μορφή d h x x. Ο μετασχηματισμός 1 1 s x (.1) 1 1

11 s x d d (.13) όπου η μεταβλητή s παίρνει τιμές στο διάστημα 1,1 όταν η μεταβλητή x παίρνει τιμές εντός του διαστήματος d,. Επομένως, το υπολογιστικό πεδίο δεν εξαρτάται πλέον από το χρόνο (Δημακόπουλος 005). Με τη χρήση των σχέσεων (.1) και (.13), οι μερικές παράγωγοι της συγκέντρωσης c( x1, x, t) της εξίσωσης (.1) μετασχηματίζονται ώστε c( s1, s, t ) ως εξής c c c 1 s t t s t d (.14) c c c s x s s x 1 1 1 (.15) c c x s d (.16) c c c s c s 1 1 1 1 1 x s s x s s x c 1 s 1 s h s s s1 d s1 d d s1 s1 x 1 (.17) c c x s d (.18) s 1 s h 1 s όπου x1 s1 d s1 d Με την αντικατάσταση των σχέσεων (.14) έως (.18), η εξίσωση μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση (.1) γίνεται

1 c c 1s c c s c u1 u t s d t s1 s x1 s d c c s s1 s x1 d 1 Re c s c 1 s h 1 s h s s1 s x1 s s d s d d s1 s1 x 1 (.19) Εκτός από τον μετασχηματισμό των συντεταγμένων x 1, x, μετασχηματισμός εφαρμόζεται και στις συνιστώσες της ταχύτητας u 1, u σύμφωνα με τις ακόλουθες σχέσεις (Κολοκύθας 007) v u (.0) 1 1 και u 1 h v u 1 s 1 s u t s1 s1 (.1) όπου d t. dt Με την αντικατάσταση των μετασχηματισμένων συνιστωσών της ταχύτητας στην εξίσωση (.1), προκύπτει η παρακάτω εξίσωση c c 1 s c c t s t d s s d v1 ( v ws ) 1 c c s s1 s x1 d 1 Re c s c 1 s h 1 s h s s1s x1 s s1 d s1 d d s1 s1 x 1 (.)

13 Οι παραπάνω μετασχηματισμοί εφαρμόζονται και στις συνοριακές συνθήκες (.4), (.5), (.6) και (.7) και προκύπτουν οι σχέσεις ( s1, t) v( s1,1, t) t (.3) c( s1,1, t) 0 s (.4) v ( s, 1, t) 0 (.5) 1 h( s1) h( s1) v1 ( s1, 1, t) 1 v( s1, 1, t) 0 s 1 s 1 (.6) Στις εξισώσεις (.1), (.19) και (.), ο όρος w s εκφράζει την ταχύτητα καθίζησης. Για την εύρεση της ταχύτητας καθίζησης χρησιμοποιούνται οι παρακάτω σχέσεις wd s s s /18 ( s 39) 0.7 4 s / 6 (39 s 10 ) 0.5 4 6 1.05 s (10 s 310 ) (.7) όπου 3 ( s 1) gds s είναι ο δείκτης άνωσης του Αρχιμήδη (rchimedes buoyancy index) ως προς τη χαρακτηριστική διάμετρο, D s (sieve diameter), κόκκου διαμέτρου ίσης s με τη διάσταση κόσκινου, s είναι η σχετική πυκνότητα άμμου, s είναι η πυκνότητα άμμου, είναι η πυκνότητα ύδατος και η κινηματική συνεκτικότητα ύδατος (Δήμας 009, Hallermeier 1981). Η αδιαστατοποίηση της ταχύτητας καθίζησης γίνεται με την παράμετρο gd 0

14 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ Η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση πραγματοποιείται με τη χρήση ενός υβριδικού σχήματος για τη χωρική διακριτοποίηση, το οποίο περιλάμβανει ένα σχήμα κεντρικών πεπεραμένων διαφορών κατά την οριζόντια διεύθυνση και την εφαρμογή της φασματικής μεθόδου παρεμβολής με πολυώνυμα Chebyshev κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Η χρονική διακριτοποίηση επιτυγχάνεται με χρήση της κλασματικής μεθόδου σταθερού βήματος. 3.1 Χρονική διακριτοποίηση Κάθε βήμα της χρονικής διακριτοποίησης πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο περιλαμβάνει τους μη-γραμμικούς όρους της εξίσωσης καθώς επίσης κι ένα μέρος των συνεκτικών όρων και πραγματοποιείται με τη χρήση ενός ρητού σχήματος Euler. Η διακριτοποιημένη εξίσωση έχει τη μορφή n1 n cˆ c c 1 s c c v1 ( v ws ) t s t d s1 s d 1 c s c 1 s h 1 s h s Re s1 s x1 s s1 d s1 d d s1 s1 x 1 n (3.1) Το δεύτερο στάδιο κάθε βήματος της χρονικής διακριτοποίησης περιλαμβάνει τους εναπομείναντες συνεκτικούς όρους της εξίσωσης μεταφοράς ιζήματος σε αιώρηση και υλοποιείται με τη χρήση ενός πεπλεγμένου σχήματος Euler n1 n1 n1 ˆ 1 s t Re s1 s x1 d c c c c (3.)

15 Η εξίσωση (3.) αποτελεί γενικευμένη εξίσωση Poisson και από την επίλυση της προκύπτουν οι τελικές τιμές της συγκέντρωσης c για κάθε χρονικό βήμα. Στη γενική μορφή της γράφεται ως εξής 1 Re n1 n1 n1 n1 c s ˆ c c c s 1 x1 d s t t (3.3) 1 Η τιμή cˆn υπολογίζεται από το πρώτο βήμα της χρονικής διακριτοποίησης. Για την επίλυση της εξίσωσης (3.3) χρησιμοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες για τον πυθμένα και την ελεύθερη επιφάνεια. Η συνοριακή συνθήκη για τον πυθμένα εκφράζεται από τη σχέση c( s, 1) c ( s, 1) (3.4) 1 b 1 όπου το c b προκύπτει από την εξίσωση (.8). Η συνοριακή συνθήκη στην ελεύθερη επιφάνεια προκύπτει από το μετασχηματισμό της εξίσωσης (.5) και δίνεται από τη σχέση cs ( 1,1) 0 s (3.5) Η ελεύθερη επιφάνεια υπολογίζεται στο τέλος κάθε χρονικού βήματος από τη μετασχηματισμένη κινηματική συνθήκη (.3) εφαρμόζοντας ένα ρητό σχήμα n 1 t v ( s,1) n 1 (3.6)

16 3. Χωρική διακριτοποίηση Η χωρική διακριτοποίηση των άγνωστων μεταβλητών πραγματοποιείται σύμφωνα με το ανάπτυγμα που ακολουθεί N q( s, s, t) q ( s, t) T ( s ) (3.7) 1 m 1 m m0 όπου 0 s1 l, 1 s 1, q είναι η άγνωστη μεταβλητή, N η μέγιστη τάξη των πολυωνύμων Chebyshev στη διεύθυνση s, T m είναι πολυώνυμο m τάξης και l είναι το μήκος του υπολογιστικού πεδίου. Οι μη γραμμικοί όροι της εξίσωσης (3.1) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας ένα υβριδικό σχήμα που αποτελείται από πεπερασμένες διαφορές κατά τη διεύθυνση s 1 και από μια ψευδό-φασματική προσέγγιση με πολυώνυμα Chebyshev κατά τη διεύθυνση s (Orszag & Kells 1980) N n j n1 n cˆ ( s1 i, sk ) c ( s1 i, sk ) t C( s1 i ) Tm ( sk ) m0 j0 m (3.8) όπου c 1 s c c s t d s s d C v1 ( v ws ) 1 1 c s c 1 s h 1 s h s Re s1 s x1 s s1 d s1 d d s1 s1 x 1 και τα σημεία υπολογισμού είναι s1 li / L για 1 i L 1, s cos( (1 k / N)) για i 0 k N και L ο αριθμός των σημείων στη διεύθυνση s 1. Τα σημεία s k ακολουθούν συνημιτονοειδή κατανομή και είναι γνωστά ως Gauss-Lobatto σημεία Chebyshev (Patera 1984). Η χρήση της κατανομής αυτής στοχεύει στη διαφοροποίηση της κατακορύφης από την οριζόντια διακριτοποίηση, καθώς στην παράκτια ζώνη η κλίμακα ροής στην k

17 κατακόρυφη διεύθυνση είναι πολύ μικρότερη από την κλίμακα της οριζόντιας. Το υπολογιστικό πεδίο που δημιουργείται από τα παραπάνω σημεία έχει ορθογωνική διατομή, στο οποίο η γραμμή s 1 αντιστοιχεί στον πυθμένα του πραγματικού πεδίου και η γραμμή s 1 αντιστοιχεί στην ελεύθερη επιφάνεια που είναι μεταβλητή του χρόνου. Η αριθμητική επίλυση πραγματοποιείται στο φασματικό πεδίο (Σχήμα 3.1) και στη συνέχεια οι τιμές των μεταβλητών ανάγονται στο πραγματικό πεδίο (Σχήμα 3.). Σχήμα 3. 1 Πλέγμα υπολογιστικού πεδίου. Σχήμα 3. Πλέγμα πραγματικού πεδίου.

18 Αρχικά υπολογίζονται οι συντελεστές Chebyshev και από αυτούς προκύπτει η τιμή της μεταβλητής 1 cˆn στο υπολογιστικό πεδίο. Οι συντελεστές αυτοί λαμβάνονται με εφαρμογή κατάλληλων μετασχηματισμών στους όρους που τους συνθέτουν, από το φυσικό στο φασματικό πεδίο και αντίστροφα. Οι μετασχηματισμοί επιτυγχάνονται με τη χρήση αλγορίθμων μετασχηματισμού Fourier. Ο μετασχηματισμός Fourier εφαρμόζεται στη συνάρτηση που προκύπτει από την υπέρθεση της αρχικής συνάρτησης και της συμμετρικής της ως προς τον άξονα s και συγκεκριμένα στις θέσεις -1 ή 1, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η περιοδικότητα της σε κάθε περίπτωση. Οι τιμές της αρχικής συνάρτησης υπολογίζονται στα σημεία Gauss-Lobatto. Ικανοποιώντας τις παραπάνω προϋποθέσεις, το πραγματικό μέρος των συντελεστών Fourier που προκύπτουν από τον απευθείας μετασχηματισμό της τροποποιημένης συνάρτησης, ισούται με τους συντελεστές του μετασχηματισμού κατά Chebyshev της αρχικής συνάρτησης. Για τον υπολογισμό της χωρικής παραγώγου της μεταβλητής c ως προς s, αρχικά γίνεται εφαρμογή αναδρομικού τύπου για να ληφθούν οι αντίστοιχοι συντελεστές Chebyshev (παραγώγου πρώτης τάξης) από αυτούς που έχουν ήδη υπολογιστεί. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier από τον οποίο προκύπτουν οι τιμές των παραγώγων στο πραγματικό πεδίο. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται είναι ο FFT (Fast Fourier Transform), ο οποίος εξασφαλίζει ότι εάν το πλήθος των σημείων του πλέγματος στη διεύθυνση s, άρα και η μέγιστη τάξη των πολυωνύμων Chebyshev, είναι ακέραια δύναμη του δύο, τότε το πλήθος των υπολογισμών που απαιτούνται ελαττώνεται από ON ( ) σε O( N log N ). Συνεπώς, με τη χρήση του αλγορίθμου αυτού επιτυγχάνεται η ελαχιστοποίηση του υπολογιστικού κόστους (Press et al. 199). Η εφαρμογή της ψευδό-φασματικής προσέγγισης στην εξίσωση (3.8) αντιστοιχεί σε μέγιστη τάξη των πολυωνύμων Chebyshev ίση με N, ενώ στην περίπτωση μιας πραγματικής φασματικής ανάλυσης η αντίστοιχη τιμή θα ήταν ίση με N. Επομένως, κατά την ψευδό-φασματική ανάλυση υπάρχει συσσώρευση στους όρους υψηλότερης τάξης σε κάθε χρονικό βήμα, συνεπώς προκαλείται αστάθεια και τελικά κατάρρευση της αριθμητικής λύσης (Myers et al. 1981). Για το λόγο αυτό στο τέλος του πρώτου σταδίου κάθε χρονικού βήματος εφαρμόζεται κατάλληλη συνάρτηση φίλτρου στην υπολογισμένη 1 τιμή της συγκέντρωσης cˆn. Στόχος της συνάρτησης φίλτρου είναι να εξαλείφεται η συσσώρευση στους όρους υψηλότερης τάξης, οι οποίοι θεωρούνται αμελητέοι, ενώ

19 παράλληλα να μη μεταβάλλονται οι όροι χαμηλότερης τάξης, οι οποίοι είναι και σημαντικότεροι (Κολοκυθάς 007). Στο συγκεκριμένο πρόβλημα χρησιμοποιείται μια τυπική συνάρτηση φίλτρου q k p N F e (3.9) Στο δεύτερο στάδιο κάθε χρονικού βήματος επιλύεται η εξίσωση (3.3) για την εύρεση της συγκέντρωσης n 1 c. Η συγκέντρωση εκφράζεται ως ανάπτυγμα πολυωνύμων N Chebyshev μέσω της σχέσης c( s1, s, t) c( s1, t) Tm ( s) και η εξίσωση (3.3) γράφεται m0 ως προς του συντελεστές Chebyshev της συγκέντρωσης ως εξής 1 c c c 1 s 1 1 c c c ˆ Re Re ( ) ( ) i1, m i, m i1, m () n1 i, m i, m i, m x x1 d s1 i s 1i t t n1 (3.10) όπου c ο συντελεστής του m πολυωνύμου Chebyshev του αναπτύγματός της im, συγκέντρωσης στη θέση i κατά s 1, () im, x το βήμα διακριτοποίησης κατά τον άξονα s 1 και c ο συντελεστής του πολυωνύμου Chebyshev που προκύπτει από το μετασχηματισμό της παραγώγου c s και σχετίζεται με τους συντελεστές c ως εξής im, 1 c p( p m ) cp (3.11) N () m bm pm όπου pmάρτιος κι θεωρήσουμε τους συντελεστές Chebyshev b m m 0. Από την εξίσωση (3.10) προκύπτει ότι εάν 1 m 1 c ως ένα πίνακα-διάνυσμα διάστασης N 1 p () τότε οι συντελεστές της δεύτερης παραγώγου c προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό m του με ένα μητρώο διαστάσεων ( N1)( N 1)

0 0 0 g 0 g 0 g 0 0 0 g1,3 0 g1, N 1 0 0 0 0 0 g 0 g G 0 0 0 0 0 gn3, N1 0 0 0 0 0 0 0 g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0,4 0, N,4, N N, N (3.1) όπου 1 g p p m mp, N ( ). bm pm Οι δύο τελευταίες σειρές του μητρώου G είναι μηδενικές και αυτό οφείλεται στο ότι κατά τη διπλή παραγώγιση μιας σειράς πολυωνύμων Chebyshev μέγιστης τάξης N, η νέα σειρά που προκύπτει έχει μέγιστη τάξη N. Κατά συνέπεια δεν είναι δυνατό να υπολογιστούν οι δύο υψηλότερης τάξης συντελεστές που είναι απαραίτητοι για τον () υπολογισμό των συντελεστών c. Οι δύο τελευταίες σειρές του μητρώου G m συμπληρώνονται με τη χρήση των δύο εξισώσεων που αντιστοιχούν στις συνοριακές συνθήκες του πυθμένα και της ελεύθερης επιφάνειας. Για την προσαρμογή των δύο εξισώσεων των συνοριακών συνθηκών στις δύο τελευταίες σειρές του μητρώου G, θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος tau για φασματική ανάλυση (Gottlieb & Orszag 1977). Σύμφωνα με τις ιδιότητες των πολυωνύμων Chebyshev, η τιμή ενός πολυωνύμου τάξης m καθώς και των παραγώγων του στα σημεία 1, δίνονται από τις εξής σχέσεις T ( 1) ( 1) m m (3.13) q q1 d m q q T m x x1 m j j j0 dx ( ) ( 1) ( ) / ( 1) (3.14) όπου q η τάξη της παραγώγου.

1 Οι εξισώσεις (3.4) και (3.5) σε συνδυασμό με τις ιδιότητες (3.13) και (3.14) και τη N σχέση c( s1, s, t) c( s1, t) Tm ( s), παίρνουν την παρακάτω μορφή m0 N N n1 m c s1 ci, mtm ci, m cb s1 m0 m0 (3.15) (, 1) ( 1) ( 1) (, 1) n1 N c m1 (1) mcim, 0 s (3.16) s 0 1i,1 m Αντικαθιστώντας τα αριστερά μέλη των σχέσεων (3.15) και (3.16), στις δύο τελευταίες σειρές του μητρώου (3.1), προκύπτει 0 0 g 0 g 0 g 0 0 0 g1,3 0 g1, N 1 0 0 0 0 0 g 0 g G 0 0 0 0 0 gn3, N1 0 0 0 0 0 0 0 g 1 1 1 1 1 1 1 0 1 4 9 16 ( N 1) N 0, 0,4 0, N,4, N N, N (3.17) Το μητρώο (3.17) εκφράζει τη μεταβολή της συγκέντρωσης κατά τη διεύθυνση s και θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για τον υπολογισμό της συγκέντρωσης σε όλο το πεδίο υπολογισμού. Η εξίσωση (3.3) ισχύει για όλο το υπολογιστικό πεδίο εκτός από τα όρια εισόδου και εξόδου, στις θέσεις s1 0 και s1 l αντίστοιχα. Οι συνθήκες εισόδου και εξόδου εκφράζονται από τις παρακάτω σχέσεις c(0, s) 0 (3.18)

c( l, s) 0 (3.19) Οι εξισώσεις (3.17) και (3.18) μετασχηματίζονται κατάλληλα ώστε να προκύψουν συντελεστές Chebyshev για να βρίσκονται σε αντιστοιχία με την εξίσωση (3.9) οι οποία αναφέρεται σε συντελεστές Chebyshev. Προκύπτουν έτσι οι αντίστοιχες τιμές c και 0,m c,. Οι εξισώσεις (3.10), (3.15), (3.16) μαζί με τις μετασχηματισμένες κατά Chebyshev (3.18) και (3.19), ορίζουν ένα σύστημα ( L1)( N 1) εξισώσεων με αντίστοιχο αριθμό αγνώστων, όπου L 1 είναι ο αριθμός των σημείων κατά s 1 και N 1 ο αριθμός των πολυωνύμων Chebyshev. Το μητρώο που θα προκύψει έχει την παρακάτω μορφή lm Σχήμα 3. 3 Μητρώο υπολογισμού. Το μητρώο του Σχήματος (3.3) θεωρείται περιορισμένου εύρους μητρώο καθώς όλα τα στοιχεία του, εκτός της διαγωνίου και Ν στοιχείων αριστερά και δεξιά αυτής, είναι μηδενικά. Η επίλυση του συστήματος γίνεται με διάσπαση του μητρώο σε ένα άνω και ένα κάτω τριγωνικό μητρώο (LU Decomposition method) και μερική οδήγηση για το

3 ενδεχόμενο αποτυχίας του αλγορίθμου κατά την εύρεση των άγνωστων μεταβλητών. Το αρχικό μητρώο διαστάσεων ( L 1)( N 1) ( L 1)( N 1) μετατρέπεται σε ένα νέο μητρώο διαστάσεων ( L 1)( N 1) (m 1), όπου m N το ημιεύρος του μητρώου. Η μετατροπή επιτυγχάνεται με δεξιά στροφή του μητρώου κατά 45 και παράληψη των στηλών με μηδενικά στοιχεία και στοχεύει στη μείωση του χρόνου επίλυσης του μητρώου και του όγκου των στοιχείων που αποθηκεύονται (Press et al. 199). Με την επίλυση του συστήματος υπολογίζονται οι συντελεστές Chebyshev για τη συγκέντρωση, οι οποίοι έπειτα από αντίστροφο μετασχηματισμό δίνουν την τιμή της συγκέντρωσης c για κάθε σημείο του πεδίου για το χρονικό βήμα n 1. Το μητρώο περιέχει και των όρο της κυματογενούς ανύψωσης η οποία εξαρτάται από το χρόνο, οπότε απαιτείται η επίλυση του μητρώου σε κάθε χρονικό βήμα. Αυτό επιτυγχάνεται με τη επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (3.6) με τη βοήθεια ενός ρητού σχήματος ( s ) ( s ) t v ( s,1) (3.0) n1 n n1 1 1 1 n 1 όπου η τιμή της ταχύτητας v θεωρείται δεδομένη για την επίλυση του προβλήματος που μελετάται στην παρούσα εργασία και η διαδικασία εύρεσης της περιγράφεται στη Μεταπτυχιακή Διατριβή του Μ. Κολοκυθά (007). Η εφαρμογή του ρητού σχήματος (3.0) γίνεται σε όλο το πεδίο υπολογισμού, εκτός από το όριο εισόδου όπου η ελεύθερη επιφάνεια υπολογίζεται ως κύμα Stokes δεύτερης τάξης H kh cosh( kd ( cosh( kd ))) (0) cos( t) cos( t) (3.1) 16 sinh ( ) 0 0 3 kd0 όπου H το ύψος κύματος, η κυκλική συχνότητα του κύματος, κύματος ( Κολοκυθάς 007). k και το μήκος

4 Μετά το πέρας της αριθμητικής επίλυσης χρησιμοποιούνται οι μετασχηματισμένες στο πραγματικό πεδίο τιμές της συγκέντρωσης c και της οριζόντιας ταχύτητας u για τον υπολογισμό της παροχής ιζήματος σε αιώρηση για κάθε σημείο x 1 του πεδίου x (, ) u( x, x ) c( x, x ) dx 1 x 1 1 d q x t (3.) και της καθαρής παροχής στο διάστημα μίας περιόδου 1 tt Q( x1) q( x 0 1, t) dt T (3.3) t

5 4. ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΙΖΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΙΩΡΗΣΗ ΚΑΤΑ ΤΗ ΘΡΑΥΣΗ ΚΎΜΑΤΟΣ 4.1 Χαρακτηριστικά του υπολογιστικού πεδίου ροής Το υπολογιστικό πεδίο ροής διαμορφώνεται από μια περιοχή σταθερής κλίσης πυθμένα, η οποία βρίσκεται ανάμεσα σε μια περιοχή εισόδου και μια περιοχή εξόδου οριζόντιου πυθμένα. Η περιοχή εισόδου αναπτύσσεται από x 1 =0 έως x 1 =15, η οποία αντιστοιχεί σε δύο περίπου μήκη κύματος λ και εξασφαλίζει την ομαλή ανάπτυξη του εισερχόμενου κυματισμού. Για την περιοχή του κεκλιμένου πυθμένα, η οποία εκτείνεται από x 1 =15 έως x 1 =48.95, επιλέχθηκε κλίση ίση με 1/35 με τη θραύση να λαμβάνει χώρα στο x 1 =40.. Η περιοχή εξόδου ισούται με 3.5λ (x 1 =48.95-7) και λειτουργεί ως ζώνη απορρόφησης για την ελαχιστοποίηση του φαινομένου της ανάκλασης (Σχήμα 4.1). Το υπολογιστικό πλέγμα έχει διαστάσεις L=7 και =1. Κατά την οριζόντια διεύθυνση χρησιμοποιούνται 1800 υπολογιστικά κελιά με σταθερό χρονικό βήμα =0.04 και κατά την κατακόρυφη διεύθυνση χρησιμοποιούνται 18 σημεία-κόμβοι Chebyshev. Το χρονικό βήμα ισούται με t =10-4. x Σχήμα 4. 1 Γεωμετρία υπολογιστικού πεδίου ροής.

6 Πραγματοποιήθηκαν αριθμητικές προσομοιώσεις για τις περιπτώσεις ιζήματος με χαρακτηριστικές διαμέτρους κόκκου ίσες με 10-4, 10-4 και 5 10-4, αδιαστατοποιημένες ως προς το χαρακτηριστικό βάθος ροής d 0. Οι αρχικές και οι συνοριακές συνθήκες, καθώς και οι συνθήκες εισόδου εξόδου παρέμειναν ίδιες και για τις τρείς περιπτώσεις. Σε όλες τις αριθμητικές προσομοιώσεις, οι εισερχόμενοι κυματισμοί περιγράφονται από τη θεωρία κυμάτων Stokes ης τάξης και έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: λόγος μήκος κύματος προς χαρακτηριστικό βάθος πυθμένα / d0 6.605 και λόγος ύψους κύματος προς μήκος κύματος H / 0 =0.05 0.05. Επιλέγεται αριθμός Reynolds ίσος με 50000 και περίοδος κύματος Τ ίση με 7.487. Το πλάτος τροχιάς των σωματιδίων του ρευστού δίνεται από τον παρακάτω τύπο H a (4.1) sinh( kd) όπου Η το ύψος κύματος, k / ο αριθμός κύματος και d το βάθος πυθμένα. Για μεγάλα βάθη με ύψος κύματος H 0 =0.168, μήκος κύματος =6.605 και d 0 =1, το πλάτος τροχιάς a 0 ισούται με 0.0763. Στο σημείο θραύσης (x 1 =40.), που αντιστοιχεί σε βάθος d b =0.8, ύψος κύματος H b =0.1 και μήκος κύματος b 4.5, το πλάτος της τροχιάς των σωματιδίων του ρευστού a b ισούται με 0.619. Όλες οι παραπάνω παράμετροι είναι αδιαστατοποιημένες ως προς το χαρακτηριστικό βάθος d 0. Στον Πίνακα 4.1 δίνονται οι τιμές του πλάτους τροχιάς ως προς τις χαρακτηριστικές διαμέτρους κόκκων που μελετήθηκαν. Πίνακας 4. 1 Λόγος πλάτους τροχιάς σωματιδίων ρευστού προς χαρακτηριστική διάμετρο για μεγάλη βάθη και για τη θραύση. Χαρακτηριστική διάμετρος κόκκου i = 10-4 763 619 = 10-4 381.5 1309.5 = 5 10-4 15.6 53.8

7 Κάθε αριθμητική προσομοίωση εκτελέσθηκε για συνολική διάρκεια ίση με 14Τ. Οι πρώτες εννιά περίοδοι ήταν απαραίτητες για τη σταθεροποίηση της συμπεριφοράς των εισερχόμενων κυματισμών και την εξάλειψη των παροδικών φαινομένων που μπορεί να εμφανίζονταν. Ως χρονική αφετηρία t=0t θεωρείται το τέλος της ένατης περιόδου και μελετώνται τα αποτελέσματα για τις πέντε τελευταίες περιόδους (t=0t έως t=5t). 4. Αποτελέσματα αριθμητικής προσομοίωσης Στα Σχήματα 4.-4 παρουσιάζεται η συγκέντρωση του ιζήματος σε αιώρηση που προκαλείται από τη διέλευση του κύματος στο υπολογιστικό πεδίο στο τέλος της πρώτης, της τρίτης και της πέμπτης περιόδου, αντίστοιχα. Η συγκέντρωση ιζήματος σε αιώρηση λόγω του κύματος καθώς και το ύψος ανύψωσης του από τον πυθμένα αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. Για χρόνο μεγαλύτερο του t=5τ, επέρχεται ισορροπία στη συμπεριφορά του αιωρούμενου ιζήματος και για αυτό δεν παρουσιάζονται αποτελέσματα μετά από αυτή τη χρονική στιγμή. Σχήμα 4. Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=1τ.

8 Σχήμα 4. 3 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=3τ. Σχήμα 4. 4 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=5τ.

9 Η παρούσα εργασία εστιάζει στη μελέτη του ιζήματος σε αιώρηση που προκαλείται λόγω της θραύσης του κύματος. Στο Σχήμα 4.5 παρατηρείται η σημαντική αύξηση της τιμής της αδιάστατης διατμητικής τάσης πυθμένα (αδιαστατοποιημένης ως προς gd0 ) μετά το σημείο θραύσης x 1 =40.. Σχήμα 4. 5 Αδιάστατη διατμητική τάση πυθμένα για t=4t. Η διατμητική τάση συνδέεται μέσω του αριθμού Shields με τη συνοριακή συνθήκη πυθμένα (εξίσωση.8) όπως περιγράφεται στο Κεφάλαιο. Το Σχήμα 4.6 παρουσιάζει τη μεταβολή της διαθέσιμης προς αιώρηση συγκέντρωσης σε ύψος D (όπου D η διάμετρος κόκκου) από τον πυθμένα για τη θέση x 1 =45 κάθε 1/64 της πέμπτης περιόδου (t=4t-5t) και για τις τρείς περιπτώσεις χαρακτηριστικής διαμέτρου.

30 Σχήμα 4. 6 Μεταβολή διαθέσιμης συγκέντρωσης ιζήματος πυθμένα στη θέση x 1 =45 κατά τη διάρκεια της πέμπτης περιόδου (Δt=4Τ-5Τ) Στα σχήματα 4.7-11, 4.1-17 και 4.18- παρουσιάζεται η συγκέντρωση ιζήματος κατά τη διάρκεια μίας περιόδου στην περιοχή λίγο πριν και λίγο μετά από τη θραύση του κύματος. Το σημείο θραύσης αντιστοιχεί περίπου στο σημείο x 1 40. του υπολογιστικού πεδίου. Επιλέχθηκε το χρονικό διάστημα μεταξύ t 1 =4T και t =5T με στιγμιότυπα ανά ένα τέταρτο της περιόδου. Αρχικά μελετάται η περίπτωση ιζήματος με χαρακτηριστική διάμετρο κόκκου D ίση με 10-4. Το Σχήμα 4.7 απεικονίζει τη συγκέντρωση ιζήματος τη χρονική στιγμή t=4t. Εξετάζοντας την κατακόρυφη στήλη νερού στη θέση x 1 =4 παρατηρείται ότι η κορυφή του κύματος (η οποία βρίσκεται στη θέση x 1 =4 και αντιστοιχεί σε x -0.3) προκαλεί ανύψωση ιζήματος συγκέντρωσης μεγαλύτερης του 0.0005, που εκτείνεται σε ύψος ίσo με το μισό του συνολικού βάθους. Μια ζώνη υψηλής συγκέντρωσης μεταξύ 0.0-0.1 αναπτύσσεται κοντά στον πυθμένα και διαδίδεται προς τα πίσω, καλύπτοντας συνολικό μήκος της τάξης του.5 (x 1 =40-4.5). Όσο αυξάνει το ύψος από τον πυθμένα σχηματίζονται ζώνες με χαμηλότερη συγκέντρωση, με αυτή που κυμαίνεται μεταξύ των τιμών 0.001-0.005 να καταλαμβάνει την μεγαλύτερη έκταση. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον προκαλεί η προσθήκη μίας ζώνης επιπλέον ιζήματος που προέρχεται από το κύμα που έχει

31 προηγηθεί (η κορυφή του οποίου βρίσκεται περίπου στη θέση x 1 =46). Το εν λόγω ίζημα δεν έχει προλάβει να καθιζήσει και προστίθεται στο συνολικό αιωρούμενο ίζημα που προκαλεί η κορυφή του νέου κύματος στη θέση x 1 =4. Στη γενικότερη εικόνα παρατηρείται μείωση του φαινομένου της αιώρησης του ιζήματος με την απομάκρυνση από το σημείο θραύσης και τη μείωση του βάθους. Σχήμα 4.7 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4t. Τη χρονική στιγμή t=4.5t παρατηρείται ότι καθώς κινείται η κορυφή του κύματος ακολουθεί και αντίστοιχη ανύψωση ιζήματος από τον πυθμένα. Στη θέση x 1 =4 αναπτύσσονται διαδοχικά πάνω από τον πυθμένα ζώνες με φθίνουσα συγκέντρωση σε συνολικό ύψος 0.1 από τον πυθμένα (Σχήμα 4.8).

3 Σχήμα 4.8 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5τ. Μετά την πάροδο μισής περιόδου και ενώ η κορυφή του κύματος απομακρύνεται από τη θέση x 1 =4, το αιωρούμενο ίζημα μπαίνει στη διαδικασία καθίζησης γύρω από τη θέση αυτή. Η μέγιστη συγκέντρωση δεν ξεπερνά το 0.0 (Σχήμα 4.9). Σχήμα 4.9 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5t.

33 Στο Σχήμα 4.10 δίνεται το στιγμιότυπο για τη χρονική στιγμή t=4.75t όπου η διαδικασία καθίζησης συνεχίζει να εξελίσσεται αλλά όχι με γρήγορο ρυθμό. Χαρακτηριστικό είναι ότι στο σημείο x 1 =4 εμφανίζεται μείωση του αιωρούμενου ιζήματος και οι ζώνες συγκέντρωσης αναπτύσσονται ομοιόμορφα. Σχήμα 4.10 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=4.75t. Τη χρονική στιγμή t=5t νέο κύμα φτάνει στη θέση x 1 =4 (Σχήμα 4.11). Η συμπεριφορά του ιζήματος είναι όμοια με εκείνη της χρονικής στιγμής t=4t.

34 Σχήμα 4. 11 Συγκέντρωση ιζήματος για D =10-4 τη χρονική στιγμή t=5t. Παρακάτω εξετάζεται η περίπτωση με διπλάσιο μέγεθος κόκκου, δηλαδή με χαρακτηριστική διάμετρο D = 10-4. Η κορυφή του κύματος στη θέση x B 1 =4 προκαλεί αιώρηση ιζήματος σε συγκέντρωση μεταξύ 0.0-0.1 ακριβώς πάνω από τον πυθμένα σε μια περιοχή ύψους 0.05 και συνολικού μήκους γύρω από το σημείο ίσου με 1.5. Η αντίστοιχη περιοχή για την περίπτωση κόκκου χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 ήταν αντίστοιχου ύψους αλλά συνολικού μήκους.5 το οποίο εκτείνονταν κυρίως προς τα ανάντη. Στο Σχήμα 4.1 διακρίνεται μια περιοχή σχεδόν μηδενικής συγκέντρωσης, η οποία παρεμβάλλεται μεταξύ των περιοχών αιωρούμενου ιζήματος υψηλότερης συγκέντρωσης (στη θέση x 1 =4 και προς τα πίσω). Αυτό πιθανόν οφείλεται σε περαιτέρω ανύψωση του ήδη αιωρούμενου ιζήματος πριν ακόμα το νέο ίζημα προλάβει να ανυψωθεί.

35 Σχήμα 4. 1 Συγκέντρωση ιζήματος για D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4t. B Τη χρονική στιγμή t=4.5t το αιωρούμενο ίζημα αρχίζει να καθιζάνει στη θέση x 1 =4 καθώς το κύμα συνεχίζει να διαδίδεται (Σχήμα 4.13). Σχήμα 4. 13 Συγκέντρωση ιζήματος για D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5τ. B

36 Μετά από χρόνο μισής περιόδου από την έλευση της κορυφής του κύματος από το σημείο x 1 =4, η καθίζηση του αιωρούμενου ιζήματος που παρατηρείται είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη της περίπτωσης ιζήματος χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 (Σχήμα 4.14). Σχήμα 4. 14 Συγκέντρωση ιζήματος για D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5τ. B Συγκρίνοντας τα στιγμιότυπα για ίζημα χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 και D = 10-4 σε χρόνο t=4.75t, παρατηρείται ότι στη θέση x B 1 =4 το αιωρούμενο ίζημα για τον μεγαλύτερο κόκκο έχει χαμηλότερη συγκέντρωση και περιορίζεται σε μικρό ύψος πάνω από τον πυθμένα (Σχήμα 4.15), ενώ για τον μικρότερο κόκκο το ίζημα κοντά στο πυθμένα έχει υψηλότερη συγκέντρωση (c>0.01).

37 Σχήμα 4. 15 Συγκέντρωση ιζήματος για D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.75t. B Όταν το νέο κύμα φτάνει στο σημείο x 1 =4 (Σχήμα 4.16), η εικόνα του ιζήματος σε αιώρηση είναι όμοια με αυτήν για το χρόνο t=4t. Σχήμα 4. 16 Συγκέντρωση ιζήματος για D = 10-4 τη χρονική στιγμή t=5t. B

38 Τέλος, μελετήθηκε ίζημα με χαρακτηριστική διάμετρο κόκκου D =5 10-4. Το κύμα C που φτάνει στη θέση x 1 =4 δεν μπορεί να ανυψώσει το ίζημα του πυθμένα σε ύψος αντίστοιχο με αυτό των δύο προηγούμενων περιπτώσεων (Σχήμα 4.17). Το αιωρούμενο ίζημα περιορίζεται σε μια περιοχή ύψους ίσου με το ¼ της αντίστοιχης περιοχής αιώρησης για τους μικρότερους κόκκους, και με εμφάνιση υψηλών συγκεντρώσεων (c>0.0) σε μια πολύ μικρή περιοχή κοντά στο πυθμένα που εκτείνεται σε μήκος μικρότερο του 0.5 ( τα αντίστοιχο μήκος για D =10-4 είναι.5 και για D = 10-4 είναι 1.5). B Σχήμα 4. 17 Συγκέντρωση ιζήματος για D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=4t. C Στα Σχήματα 4.18-19 φαίνεται ότι καθώς η κορυφή του κύματος διαδίδεται προκαλεί την αιώρηση ιζήματος μόνο πολύ κοντά στον πυθμένα. Όσο μειώνεται το βάθος και το ύψος του κύματος, η αιώρηση του ιζήματος περιορίζεται σημαντικά.

39 Σχήμα 4. 18 Συγκέντρωση ιζήματος για D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.5t. C Σχήμα 4. 19 Συγκέντρωση ιζήματος για D =5 10-4 C τη χρονική στιγμή t=4.5t. Μετά την πάροδο ¾ της περιόδου δεν είναι δυνατή η ανύψωση ιζήματος πέρα από το σημείο x 1 =46 (Σχήμα 4.0).

40 Σχήμα 4. 0 Συγκέντρωση ιζήματος για D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=4.75t. C Τα στιγμιότυπα για t=4t και 5Τ παρουσιάζουν την ίδια εικόνα ανύψωσης ιζήματος λόγω της διέλευσης του θραυόμενου κύματος (Σχήμα 4.1). Σχήμα 4. 1 Συγκέντρωση ιζήματος για D =5 10-4 τη χρονική στιγμή t=5t. C

41 Στα Σχήματα 4.-4, 4.5-7 και 4.8-30 δίνεται η μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος σε αιώρηση ως προς το βάθος, σε τρεις θέσεις αμέσως μετά τη θραύση, για χαρακτηριστική διάμετρο κόκκου D =10-4, D = 10-4 και B D =5 10-4, αντίστοιχα. Το C βάθος θραύσης αντιστοιχεί στη κατακόρυφη συντεταγμένη d b =x =-0.8. Τα σημεία που επιλέχθηκαν είναι το x 1 =41 με βάθος πυθμένα ίσο με d=x =0.9 d b =-0.57, το x 1 =4 με βάθος πυθμένα ίσο με d=x =0.8 d b =-0.9 και το x 1 =43 με βάθος πυθμένα ίσο με d=x =0.7 d b =-0.0. Στην περίπτωση υλικού με χαρακτηριστική διάμετρο κόκκου ίση με D =10-4 (Σχήματα 4.-4), η μεγαλύτερη ανύψωση ιζήματος επιτυγχάνεται όταν η κορυφή του κύματος βρίσκεται πάνω από το κάθε σημείο (για χρόνο t=4.75τ στο x 1 =41, t=5τ στο x 1 =4 και t=4.5τ στο x 1 =43). Συγκεντρώσεις μεγαλύτερες του 0.0 παρατηρούνται μέχρι ύψος 0.0 πάνω από τον πυθμένα για τις θέσεις x 1 =41 και x 1 =4, ενώ για τη θέση x 1 =43 το αντίστοιχο ύψος μειώνεται στο 0.01. Η συγκέντρωση του αιωρούμενου ιζήματος μηδενίζεται για τιμές μικρότερες του x =-0.11 για x 1 =41, μικρότερες του x =-0.10 για x 1 =4 και μικρότερες του x =-0.09 για x 1 =43. Ο μηδενισμός της συγκέντρωσης στον πυθμένα τις χρονικές στιγμές που η κορυφή του κύματος δεν βρίσκεται πάνω από το σημείο, επιβάλλεται από την οριακή συνθήκη του πυθμένα και αντιστοιχεί σε μηδενική διαθέσιμη συγκέντρωση ιζήματος προς αιώρηση.

4 Σχήμα 4. Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =41 (d/d b =0.9). Σχήμα 4. 3 Μεταβολή συγκέντρωσης ιζήματος αιώρησης χαρακτηριστικής διαμέτρου D =10-4 ως προς την κατακόρυφη συντεταγμένη σε διάστημα μίας περιόδου στη θέση x 1 =4 (d/d b =0.8).