Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου

Μετρώντας τη γη με μαθητές γυμνασίου Ξενοφών Φανουρίου Γεωλόγος-Ωκεανογράφος 17 Σεπτεμβρίου 2015 Περίληψη Ο υπολογισμός του μεγέθους της γης αλλά και των άλλων σταθερών της, απασχόλησε από τα αρχαία χρόνια τον άνθρωπο. Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας, προσπαθήσαμε να δώσουμε απαντήσεις στα βασικά αυτά ερωτήματα, χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά και τη φυσική που διδάσκονται στο γυμνάσιο και τα αποτελέσματα ήταν θετικά. Υπολογίστηκε με ακρίβεια η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης, το γεωγραφικό πλάτος της Κω, η ακτίνα της γης, η ταχύτητα περιστροφής της στον ισημερινό αλλά και στο ύψος της Κω. Τέλος υπολογίσαμε την μέγιστη λόξωση της ελλειπτικής που είναι υπεύθυνη για τις εναλλαγές των εποχών και τη διαφορετική διάρκεια της ημέρας καθ όλο το έτος. 1

Περιεχόμενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ 2 2.1 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη.... 3 2.2 Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς της μεθόδου του Ερατοσθένη............................. 5 2.3 Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS.. 7 2.3.1 Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού..... 8 2.3.2 Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του παραλλήλου................................... 10 3 Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης 13 4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής 13 Κατάλογος πινάκων 1 Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω........................ 7 2 Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω...................... 7 3 Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω....................... 8 4 Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης........... 12 Κατάλογος σχημάτων 1 Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω... 3 2 Λειτουργία γνώμονα................................. 3 3 Υπολογισμός γωνίας α............................... 5 4 Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές.................... 6 5 Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth............ 11 6 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης........................ 11 1

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τελευταία, όλο και περισσότερο γίνεται αποδεκτό ότι οι επιμέρους επιστημονικοί κλάδοι στο σχολείο δεν θα πρέπει να ακολουθούν το γνωστό μοναχικό και ανιαρό δρόμο, αλλά θα πρέπει να αναζητούν διαρκώς νέες μεθόδους που οδηγούν σε μια σφαιρική και διεπιστημονική παρουσίαση και επίλυση των επιμέρους ερωτημάτων. Είναι φανερό ότι από παιδαγωγική άποψη, η διεπιστημονικότητα είναι σημαντική, διότι αποσκοπεί στη σφαιρική καλλιέργεια των μαθητών, προσελκύοντας το ενδιαφέρον και αναδεικνύοντας τις δεξιότητες και τις ικανότητες τους. Όλα αυτά τα οφέλη πιστεύω ότι απεκόμισαν οι μαθητές των δυο γυμνασίων της Κω, κατά την αντιμετώπιση της άσκησης που σκοπό είχε τον υπολογισμό της απόστασης της πόλης της Κω από το κέντρο της γης. Το ερώτημα αυτό αφού απαντήθηκε, δημιούργησε νέα υποερωτήματα που αφορούν τον υπολογισμό της ταχύτητας περιστροφής της, της κλίσης του άξονα κατά τις διαφορετικές εποχές κ.α. Όλα αυτά τα ερωτήματα που έρχονται από το παρελθόν και τα οποία απασχόλησαν πολλούς επιφανείς της αρχαιότητας, απαντήθηκαν στο σχολείο μας με βάση τις γνώσεις που παρέχονται από τη διδακτέα ύλη των μαθηματικών και της φυσικής των γυμνασίων καθώς και από τις δυνατότητες που παρέχει σήμερα, η πρόσβαση στις νέες τεχνολογίες και τη διαδικτυακή πληροφόρηση. Στις μετρήσεις και υπολογισμούς συμμετείχε η πλειοψηφία των μαθητών, έτσι ώστε ο καθένας να γίνεται μέτοχος της γνώσης και να αισθανθεί τη χαρά της δημιουργίας που δίνει η απάντηση σε ερωτήματα που απασχολούσαν από παλιά τον σκεπτόμενο άνθρωπο. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η εργασία που παρουσιάζεται παρακάτω εξελίχτηκε κατά την διάρκεια των τελευταίων τεσσάρων ετών και τμήμα της το 2012 απέσπασε έπαινο σε διαγωνισμό υπό την αιγίδα του υπουργείου παιδείας. 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Στα πλαίσια του μαθήματος της γεωγραφίας μια από τις συχνότερες ερωτήσεις που θέτουν οι μαθητές, αφορά το μέγεθος της γης. Η αναζήτηση μεθόδων υπολογισμού της ακτίνας, με μέσα και τρόπους που μπορούν να χειριστούν οι μαθητές καθιερώθηκαν τα τελευταία χρόνια ως άσκηση στην αυλή του σχολείου (εικόνα 1). Παρουσιάζουμε έτσι 4 διαφορετικές μεθόδους υπολογισμού της ακτίνας της γης και 3 παραλλαγές: 1. Την κλασική μέθοδο του Ερατοσθένη. 2. Κατόπιν πρότασης μας και με την εξασφάλιση της συνεργασίας τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου (1ο Γυμνασιο Κω, Ν. Δωδεκανήσου, Λυκειο Δικαιων, Ν. Εβρου, Γυμνασιο Τυχερου, N. Εβρου, Γυμνασιο Πηγαδίων Καρπαθου, Ν. Δωδεκανήσου) εφαρμόσαμε μια παραλλαγή της αρχικής μεθόδου του Ερατοσθένη, που μας επέτρεψε την παράκαμψη των χρονικών και τοπικών περιορισμών της. 3. Με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS και χρησιμοποιώντας δυο στίγματα γνωστής απόστασης επί του μεσημβρινού και του παραλλήλου αντίστοιχα, υπολογίσαμε 2

Σχήμα 1: Μέτρηση μήκους σκιάς γνώμονα στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω την ακτίνα της γης. 4. Υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου. Ας δούμε συνοπτικά τους προαναφερόμενους τρόπους υπολογισμού. 2.1 Υπολογισμός της ακτίνας της Γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη Η εφαρμογή της μεθόδου του Ερατοσθένη έγινε στην αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω (Εικόνες 1, 2) χρησιμοποιώντας μια ράβδο μήκους ενός μέτρου (1 m) που λειτούργησε ως γνώμονας και ακολουθήθηκε η παρακάτω διαδικασία. Σχήμα 2: Λειτουργία γνώμονα 3

Η ημερομηνία μέτρησης, έπρεπε να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στις ισημερίες και στην δική μας περίπτωση στη φθινοπωρινή ισημερία στις 23 Σεπτεμβρίου. Κατά την ισημερία, ο ήλιος βρίσκεται στο σημείο τομής της εκλειπτικής (επίπεδο της φαινομενικής τροχιάς του ήλιου) και του ουράνιου ισημερινού (προέκταση του επιπέδου του γήινου ισημερινού). Πρακτικά κατά τις ισημερίες ο ήλιος περνά από το επίπεδο του γήινου ισημερινού δηλαδή οι ακτίνες του είναι κάθετες στον άξονα της γης στο σημείο αυτό. Έχουμε λοιπόν, ένα σημείο αναφοράς που είναι ο ισημερινός, αντίστοιχο του πηγαδιού του Ασουάν που χρησιμοποίησε ο Ερατοσθένης. Με αυτή την επιλογή εξασφαλίζεται το ότι η γωνία κορυφής α του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζει ο γνώμονας με τη σκιά του, στο σχολείο μας να είναι ίση με την επίκεντρο γωνία της γης α, που βλέπει το τόξο Κως-Ισημερινός. Η μέτρηση της σκιάς της ράβδου έγινε κατά μήκος του μεσημβρινού που περνά από την αυλή του 2ου γυμνασίου Κω. Υπήρχαν τρεις δυνατότητες για τον προσδιορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού: 1. Να θεωρήσουμε ότι η κατεύθυνση της μαγνητικής πυξίδας (μαγνητικός βορράς) συμπίπτει σε γενικές γραμμές με τον γεωγραφικό βορρά 2. Να βρούμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού στο σχολείο μας από το Google Earth διάμεσου της εφαρμογής του πλέγματος. 3. Να υπολογίσουμε την κατεύθυνση του μεσημβρινού φέρνοντας την διχοτόμο στην γωνία που σχηματίζουν δυο ισομήκεις σκιές του γνώμονα, την ίδια ημέρα, στην αυλή του σχολείου (Εικ. 2). Επιλέχτηκε για διδακτικούς λόγους η τελευταία μέθοδος, η οποία λειτούργησε και ως ξεχωριστή εργασία για τον καθορισμό της διεύθυνσης του μεσημβρινού ενός τόπου, καθώς και αυτής του βορρά χωρίς πυξίδα. Τοποθετώντας τον γνώμονα στην αυλή του σχολείου μας είχαμε το μεσημέρι στις 23 Σεπτεμβρίου 2011: Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 0.75 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμε την σχέση εφα = σκιά υψος γνωμονα = l h = 0.75 1 = 0.75 α = 37 o (1) άρα η γωνία α = 37 o αποτελεί και το γεωγραφικό πλάτος του σχολείου μας. Χρησιμοποιώντας το Google Earth μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος του τόξου D της γης, από το σχολείο μας μέχρι τον ισημερινό κατά μήκος του ίδιου μεσημβρινού που είναι D = 4.0080 km. Από την σχέση που συνδέει το τόξο με την επίκεντρο γωνία ενός κύκλου (Εικ.4) έχουμε 37 D = 360 x x = 39.697 km (2) όπου x η περίμετρος του μεσημβρινού θεωρώντας τον ως κύκλο. Από τον τύπο x = 2πR έχουμε R 0 = 6321km. Άρα η ακτίνα της γης με την μέθοδο του Ερατοσθένη στην Κω είναι R 0 = 6321km. 4

Σχήμα 3: Υπολογισμός γωνίας α 2.2 Συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου για τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης παρακάμπτοντας τους χρονικούς περιορισμούς της μεθόδου του Ερατοσθένη Με τον παραπάνω τρόπο επιχειρήθηκε, η ταυτόχρονη μέτρηση του μήκους της σκιάς ενός κάθετου στύλου σε τέσσερα σχολεία. Η μέτρηση έγινε την ίδια μέρα και την ώρα περίπου που μεσουρανούσε ο ήλιος στον κάθε τόπο υπολογίζοντας τη καθυστέρηση μεσουράνησης με απλές αναλογίες, ανάλογα με το γεωγραφικό μήκος. Η επιλογή των σχολείων έγινε με κριτήριο την μικρότερη απόσταση τους από τον μεσημβρινό που περνά από τη Κω. Με τον τρόπο αυτό έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την περίμετρο του μεσημβρινού και κατά συνέπεια την ακτίνα της γης οποιαδήποτε μέρα του χρόνου. Η γενική διαδικασία ήταν η εξής: Τοποθετήθηκε ένας κάθετος στύλος στην αυλή των σχολείων και μετρήθηκε: το μήκος σκιάς l και το ύψος του h. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικόνα 3) έχουμε: εφα = σκιά μήκος γνωμονα = l h από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνία α. Επαναλαμβάνοντας την διαδικασία για δύο σχολεία, Α και Β, μετρήσαμε τα μήκη των σκιών, l A και l B για ύψη γνωμονος, h A και h B, οπότε υπολογίζουμε τις γωνίες α A και α B, αντίστοιχα. Αν S είναι το σημείο της Γης όπου οι ακτίνες του Ήλιου είναι παράλληλες με τον άξονα της ακτίνας της Γης (εικόνα 4), καταλήγουμε: (3) α A SA = 360 2πr α B SB = 360 2πr (4) 5

Σχήμα 4: Υπολογισμός γωνίας α για δύο περιοχές 6

και άρα: οπότε: α A α B AB = 360 2πr r = 360 ΑΒ (α β) 2π Το μήκος ΑΒ, που είναι η απόσταση ανάμεσα σε δυο σχολεία, το υπολογίζουμε με τις δυνατότητες που μας δίνει η εφαρμογή Google Earth ή πάνω σε χάρτη γνωστής κλίμακας, Στο 1ο Γυμνάσιο Κω οι μετρήσεις έγιναν στην αυλή του και συμμετείχαν όλοι οι μαθητές της Β Γυμνασίου. Η κριτική ανάλυση και επεξεργασία των αποτελεσμάτων από τις μετρήσεις του σχολείου μας αλλά και εκείνων που λαμβάναμε από τα συνεργαζόμενα σχολεία, μέσω ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, έγιναν από εθελοντική ομάδα μαθητών, με τη βοήθεια του καθηγητή τους. Ανάλογες δράσεις αλλά και παρατηρήσεις για την μέθοδο που ακολουθήθηκε προήλθαν από το Γυμνάσιο Τυχερού, το Γυμνάσιο Πηγαδίων Καρπάθου και το Λύκειο Δικαίων. Αναφέρουμε στους παρακάτω πίνακες (1, 2 και 3) τις τρεις καλύτερες μετρήσεις ανάμεσα στα σχολεία, όπου για τους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε τους τύπους (3) και (6). Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 1 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Δίκαια 09-12-2011 12:00 100 212 64.7 Κως 09-12-2011 11:57 100 172 59.8 533.5 6241 Πίνακας 1: Μετρήσεις μεταξύ Δικαιων και Κω Ο μέσος όρος των τριών τελικών μετρήσεων με την προηγούμενη μέθοδο είναι r = 6361 Km, τιμή αρκετά κοντά στο πραγματικό μέγεθος της ακτίνας της Γης. (5) (6) 2.3 Μέτρηση της ακτίνας της Γης χρησιμοποιώντας άμεσα ή έμμεσα GPS Η μέτρηση της ακτίνας της Γης, με την χρήση άμεσα η έμμεσα GPS έγινε με δύο διαφορετικούς τρόπους διαμέσου του μεσημβρινού και διάμεσου του παράλληλου. Η μέτρηση της ακτίνας του μεσημβρινού θεωρώντας τον ότι είναι κύκλος, έγινε με την παρακάτω διαδικασία. Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 2 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Πηγάδια 05-12-2011 12:01 83 134αʹ 58.2 Κως 05-12-2011 12:00 100 170 59.53 145.33 6264 αʹμήκος παρασκιάς 141 cm. Πίνακας 2: Μετρήσεις μεταξύ Καρπάθου και Κω 7

Σχολείο Ημερομηνία Ώρα Ύψος στύλου Μήκος σκιάς Γωνία α AB r 3 (cm) (cm) ( o ) (Km) (Km) Τυχερό 10-12-2011 12:22 44.5 86.6 62.8 Κως 10-12-2011 12:11 100 165 58.7 470.61 6580 Πίνακας 3: Μετρήσεις μεταξύ Τυχερού και Κω Στην αυλή του δεύτερου γυμνασίου Κω ορίστηκαν δυο σημεία Α και Β επί του ίδιου μεσημβρινού. Μετρήθηκαν δυο μεγέθη: 1. Η απόσταση ανάμεσα στα δυο σημεία Α και Β σε μέτρα δηλαδή το μήκος του τόξου. 2. Το τόξο ΑΒ σε μοίρες, ως διαφορά ανάμεσα στα γεωγραφικά πλάτη των δυο σημείων Α και Β και κατά συνέπεια την επίκεντρο που αντιστοιχεί σε αυτό, με κορυφή το κέντρο της γης. Χρησιμοποιώντας την μαθηματική σχέση που συνδέει τα μήκη των τόξων με τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες του, μπορούμε να αναχθούμε στον υπολογισμό της περιμέτρου του μεσημβρινού και κατά συνέπεια της ακτίνας του, δηλαδή της ακτίνας της γης. Ο υπολογισμός των γεωγραφικών συντεταγμένων των σημείων Α και Β έγινε με τρεις παραλλαγές: 1. Με το GPS Explorist 100 2. Με κινητό ΝΟΚΙΑ 52 3. Με το Google Earth 2.3.1 Πρώτος τρόπος: Μέτρηση με GPS μέσω του μεσημβρινού Μέτρηση με τον GPS Explorist 100: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικό μήκος και διαφορετικό πλάτος). Οι συντεταγμένες των σημείων είναι: A (360 o 53 16.40 N, 270 o 17 46.01 E) B (360 o 53 17.42 N, 270 o 17 46.01 E) (7) Άρα η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των σημείων Α και Β είναι 1.02 και αντιστοιχεί στην επίκεντρο γωνία, με κορυφή το κέντρο της γης, που βλέπει στο τόξο ΑΒ. Μετράμε το μήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος. Από τις τιμές που υπολογίσαμε εξαιρούμε τις ακραίες, ως πιθανές τιμές απόκλισης και παίρνουμε το μέσο όρο των υπολοίπων: Σε τόξο μήκους 2πR αντιστοιχεί γωνία 360 o ή 1296000 (= 360 60 60 ). 8

Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους 30.9375 m αντιστοιχεί σε επίκεντρο 1. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα έχουμε: 2πR 1 = 30.9375 1296000 R = 30.9375 1296000 2π 1 R = 40095000 6.28 1 R = 40095000 6.28 R = 6384554.14 m (8) Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 1 = 6384.5Km. Υπολογισμός συντεταγμένων με κινητό NOKIA 52: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου μας πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (σημεία με το ίδιο γεωγραφικό μήκος και διαφορετικό πλάτος) με απόκλιση γεωγραφικού πλάτους 1. Μετράμε το μήκος του τόξου ΑΒ στο έδαφος που αντιστοιχεί σε επίκεντρο γωνία 1. Από τις παρακάτω τιμές που υπολογίσαμε εξαιρούμε τις ακραίες ως πιθανές τιμές μεγάλης απόκλισης και παίρνουμε τη μέση τιμή των υπολοίπων: Σε τόξο μήκους 2πR m αντιστοιχεί γωνία 360 o = 1296000 (= 360 o 60 60 = 1296000. Με βάση την υπολογισθείσα μέση τιμή βρίσκουμε ότι τόξο μήκους 31.5 m αντιστοιχεί σε επίκεντρο 1. Επειδή τα ποσά είναι ανάλογα: 2πR 1 = 31.5 1296000 R = 31.5 1296000 2π 1 R = 40824000 6.28 1 R = 40824000 6.28 R 2 = 6500636.943 m (9) Άρα η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 2 = 6500.6Km. Συγκρίνοντας τις δυο υπολογισθείσες τιμές των ακτινών της γης, βλέπουμε ότι οι τιμές έχουν μια απόκλιση ΔR = R 2 R 1 = 6500.636943 6384.55414 = 116.082Km (10) Υπολογισμοί με τη χρήση του Google Earth: Επιλέγουμε δύο σημεία Α και Β στο Google Earth στην αυλή του δευτέρου γυμνασίου Κω (εικ. 5), πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (με 9

το ίδιο γεωγραφικό μήκος) μετράμε το μήκος του ΑΒ πάλι με τις δυνατότητες που μας δίνει το Google Earth. Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Α και Β είναι: 36 o 53 17.80 36 o 53 16.67 = 1.13 (11) και η απόσταση ΑΒ = 34.78 m Και έχουμε : Τα ποσά του πίνακα είναι ανάλογα και έχουμε: 2πR 1.13 = 34.78 1296000 R = 6351.795276 Κm (12) Άρα η ακτίνα της γης με βάση αυτή τη μέτρηση είναι R 3 = 6351Κm 2.3.2 Δεύτερος τρόπος: Μέτρηση της ακτίνας της Γης μέσω του παραλλήλου Ο υπολογισμός της ακτίνας της γης μέσω του παραλλήλου έγινε ως εξής: Υπολογίζοντας πρώτα την ακτίνα του παράλληλου που διέρχεται από τη Κω, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας το γεωγραφικό πλάτος του τόπου αναλύουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η ακτίνα του παράλληλου, η ακτίνα της γης στον τόπο μέτρησης και τμήμα του άξονα της γης (Εικ. 7). Με τον τρόπο αυτό παρακάμπτεται και το πρόβλημα της μη κυκλικότητας του μεσημβρινού και τα πιθανά υπολογιστικά λάθη. Αρχίζουμε με την μέτρηση της ακτίνας του παράλληλου κύκλου της περιοχής και στη συνέχεια της ακτίνας της Γης. Θεωρούμε δυο σημεία Α και Β στην αυλή του σχολείου (Εικόνα 5) που έχουν το ίδιο γεωγραφικό πλάτος: Η διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο σημείων Α και Β είναι: 27 o 17 45.04 27 o 17 47.04 = 2 (13) και η απόσταση που υπολογίζεται με την δυνατότητα που μας δίνει το Google Earth είναι ΑΒ = 49.44 m. Η παραπάνω απόσταση θεωρούμε ότι είναι το μήκος του τόξου που ορίζουν τα δύο σημεία. Άρα: Τα μεγέθη του πίνακα είναι ανάλογα και έχουμε: 2πR 2 = 49.44 1296000 R = 5101.4 Km (14) Άρα η ακτίνα ρ της παράλληλου είναι 5101.4 Km. Γνωρίζοντας ότι το γεωγραφικό πλάτος της Κω στο ύψος του σχολείου μας είναι 36.88 o, δηλαδή στην εικόνα 6 η γωνία φ = 36.8833 από το τρίγωνο CC D έχουμε τη σχέση: R = ρ συν(36.8833) R = 5101.452229 Km συν(36.88) R = 5101.452229 Km 0.7998 R = 6378.409888 km (15) Άρα με το δεύτερο τρόπο η υπολογισθείσα ακτίνα της γης είναι R 4 = 6378.4km που είναι και η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης. 10

Σχήμα 5: Η αυλή του 1ου Γυμνασίου Κω από το Google Earth Σχήμα 6: Υπολογισμός της ακτίνας της Γης 11

ΓΕΩΓΡΑΦΟΣ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΤΟΣ ΑΚΤΙΝΑ ΣΕ ΜΕΤΡΑ Eρατοσθένης ΑΙΓΥΠΤΟΣ 230 π.χ 6314.500 Posidonio ΑΙΓΥΠΤΟΣ, ΡΟΔΟΣ 7064.055 Abelseda ΑΡΑΒΙΑ 827 7122.910 AlHYPERLINK ΠΕΡΣΙΑ 995 6339.600 Albazen ΑΡΑΒΙΑ 1100 6074.308 Fernal ΓΑΛΛΙΑ 1528 6448.480 Snell ΟΛΛΑΝΔΙΑ 1617 6099.082 Norwood ΑΓΓΛΙΑ 1635 6412.592 Ricolli e Firmaldi ΛΟΜΒΑΡΔΙΑ 1658 6865.301 Picard ΓΑΛΛΙΑ 1669 1672 6369.140 Cassini ΓΑΛΛΙΑ 1681 1718 6411.948 Everest 1830 6377.276 6356.075 Bessel 1841 6377.397 6356.079 Clarke 1866 6378.206 6356.584 Clarke 1880 6378.301 6356.584 Hayford 1909 6378.388 6356.912 Fischer 1960 6378.160 6356.778 Πίνακας 4: Χρονολόγιο διαφόρων μετρήσεων της ακτίνας της Γης Συνοψίζοντας: Το μήκος της ακτίνας της γης είναι: Με τη μέθοδο του Ερατοσθένη R 0 = 6321km. Με το GPS Explorist 100, R 1 = 6384Km. Με κινητό ΝΟΚΙΑ 52, R 2 = 6500Km. Με το Google Earth, R 3 = 6351Κm. Διαμέσου του παράλληλου δηλαδή η απόσταση της Κω από το κέντρο της γης, R 4 = 6378km. Με την συνεργασία τεσσάρων σχολείων της παραμεθορίου υπολογίστηκε ο μέσος όρος των ακτινών ανάμεσα στα σχολεία που είναι R 5 = 6361Κm. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων μας, με τις διάφορες μετρήσεις που έγιναν ανά τους αιώνες (πίνακας 4) και αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα αποτελέσματα είναι μέσα σε αποδεκτά όρια εξαιρούμενης της τιμής R 2 = 6500Km που υπολογίσαμε με το κινητό ΝΟΚΙΑ 52. Οι διαφορές στις τιμές κατά τον υπολογισμό της ακτίνας της Γης που έχουμε μπορεί να οφείλονται: στην διαφορετική ακρίβεια των οργάνων και στην ακρίβεια των μετρήσεων. Ειδικά για την ακρίβεια των μετρήσεων, προσπαθήσαμε να περιορίσουμε τα πιθανά λάθη, αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων και παίρνοντας τον μέσο όρο, ειδικά σε αυτές που έγιναν με GPS Explorist 100 ή με το κινητό ΝΟΚΙΑ 52. 12

3 Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης Ο Πλανήτης Γη πραγματοποιεί τέσσερις κινήσεις: Την περιστροφή γύρω από τον άξονά της, την περιφορά γύρω από τον Ήλιο, την Ηλιακή μεταβατική περιφορά που πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφή του Ηλιακού συστήματος και την Γαλαξιακή μεταβατική περιφορά, που πραγματοποιεί ακολουθώντας την περιστροφή του Γαλαξία. Οι δύο πρώτες είναι οι σημαντικότερες. Από τον Κοπέρνικο (1473-1543) γνωρίζουμε ότι η Γη κινείται γύρω από τον Ήλιο. Ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται η Γη λέγεται άξονας περιστροφής και γίνεται από τα δυτικά προς τα ανατολικά. Η ταχύτητα περιστροφής, ενός σημείου της επιφάνειας της Γης, εξαρτάται από το γεωγραφικό του πλάτος. Στον ισημερινό η Γη έχει μεγαλύτερη ταχύτητα απ ότι σε μεγαλύτερα γεωγραφικά πλάτη. Στο γεγονός αυτό οφείλεται στο σχήμα της. Στην περιστροφή της Γης οφείλεται η εναλλαγή της ημέρας και της νύχτας. Η διαφορετική χρονική διάρκεια της ημέρας κατά τη διάρκεια του έτους, η οποία παρατηρείται μεταξύ του ισημερινού και του πολικού κύκλου, οφείλεται στην διαφορετική κλίση του άξονα της γης κατά την ετήσια περιφορά της γύρω από τον Ήλιο. Στην ίδια αιτία οφείλεται και η εναλλαγή των εποχών κατά τη διάρκεια του έτους. Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στον Ισημερινό Από τη στιγμή που υπολογίσαμε την ακτίνα της γης μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο της στον ισημερινό με τον τύπο Π = 2πR = 2 3.14 6370 = 40000 km (16) και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας στον ισημερινό προκύπτει U = Π t = 40000 km 24 h = 1666 km/h (17) Άρα η ταχύτητα περιστροφής στον ισημερινό είναι U = 1666 km/h = 19.6 m/s. Υπολογισμός της ταχύτητας περιστροφής της Γης στο ύψος της Κω Γνωρίζοντας την ακτίνα του παραλλήλου στο ύψος της Κω, μπορούμε να υπολογίσουμε την περίμετρο του με τον τύπο Π = 2πR = 2 3.14 5100 = 32028 km (18) και από τον γενικό τύπο της γραμμικής ταχύτητας έχω την ταχύτητα περιστροφής στην Κω U = Π 32028 km = = 1334 km/h = 15.4 m/s (19) t 24 h 4 Υπολογισμός λόξωσης της ελλειπτικής Λόξωση της ελλειπτικής ονομάζεται η γωνία που σχηματίζει το επίπεδο της ελλειπτικής με το επίπεδο του ουράνιου ισημερινού. Οι 4 εποχές του έτους οφείλονται 13

στη λόξωση της ελλειπτικής όπως και η διαφορετική διάρκεια της ημέρας κατά το έτους. Αποφασίσαμε να υπολογίσουμε τη λόξωση της ελλειπτικής, ως διαφορά του μήκους των σκιών του γνώμονα σε δυο διαφορετικές μέρες του έτους, δηλαδή την ώρα που ο ήλιος μεσουρανεί κατά την διάρκεια της φθινοπωρινής ισημερίας και του χειμερινού ηλιοστασίου. Η μέθοδος αυτή δεν είναι απολύτως ακριβής, δίνει όμως το μέγεθος της γωνίας με ακρίβεια μοίρας. Η διαδικασία ήταν η εξής: Τοποθετήθηκε γνώμονας στην αυλή του σχολείου και είχαμε το μεσημέρι στις 23-9-2012, κατά την φθινοπωρινή ισημερία, τις παρακάτω τιμές: Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 0.75 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα (εικ. 3) έχουμε την σχέση εφα = l h = 0.75 = 0.75 (20) 1 άρα η γωνία α = 37 o. Τοποθετήθηκε o ίδιος γνώμονας στην αυλή του σχολείου μας κοντά στο χειμερινό ηλιοστάσιο και είχαμε το μεσημέρι στις 22-12-2012, τις εξής μετρήσεις Μέση τιμή μήκους σκιάς l = 1.8 cm και ύψος γνώμονα h = 100 cm. Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζει η σκιά με τον γνώμονα έχουμε την σχέση εφβ = l h = 1.8 = 1.8 β = 60 (21) 1 Η λόξωση της ελλειπτικής είναι η διαφορά των γωνιών β α = 60 37 = 23 o (22) Αναφορές [1] Νικάστρο Νίκολας. Ο Ερατοσθένης και η αρχαία προσπάθεια για τη μέτρηση της υδρογείου. Εκδόσεις Μίνωας. [2] Tonali Paolo. Antica e nuova matematica. Ed. Libero [3] Μαθηματικά γ γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ [4] Μαθηματικά β γυμνασίου Ο.Ε.Δ.Β ΑΘΗΝΑ [5] http://www2.e-yliko.gr/htmls/physyliko/supastron.aspx [6] http://www.sxoleio.eu/%ce%91%cf%83%cf%8%ce%b1.php [7] https://sites.google.com/site/astronomy/syndesmoi [8] http://www.imagenet.org [9] Η επεξεργασία του κειμένου της παρούσας εργασίας με τον L A TEX/X από τον συνάδελφο φυσικό Ἰωάννη Ἀ. Βαμβακᾶ. L A TEX έγινε E 14