Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122

Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο ει ναι συνεκτικο και ακυκλικο ονομα ζεται δένδρο Δάσος: Ένα μη συνεκτικο γρα φημα χωρι ς κυ κλους ονομα ζεται δάσος Οι συνεκτικε ς συνιστω σες ενο ς δα σους ει ναι δε νδρα Φύλλο: Κορυφη δε νδρου με βαθμο 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 108 / 122

Λήμμα 5.1: Έστω ε να δε νδρο T. Το τε E(T) = V(T) 1 Απόδειξη : Γνωρι ζουμε ο τι: εα ν ε να γρα φημα G ει ναι συνεκτικο, το τε E(G) V(G) 1 E(T) V(T) 1 Έστω E(T) > V(T) 1 V(T) (1) [γιατι T συνεκτικο ] e(t) = E(T) V(T) V(T) V(T) = 1 [e(t)= πυκνο τητα] Γνωρι ζουμε ο τι: Εα ν e(g) q το τε το G περιε χει κυ κλο(υς) T περιε χει κυ κλο(υς). άτοπο E(T) V(T) 1 (2) (1),(2) E(T) = V(T) 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 109 / 122

Λήμμα 5.2: Κα θε δε νδρο T με V(T) 2 ε χει τουλα χιστον 2 φυ λλα Απόδειξη : Έστω ο τι ε χει το πολυ 1 φυ λλο x με d(x) = 1 u V(T)\x d(u) 2 2 E(T) = d(v) = 1 + d(v) 1 + 2( V(T) 1) v V(T) v V(T)\u 2 E(T) 2 V(T) 1 E(T) V(T) 1/2 [ E(T) ακε ραιος] E(T) V(T) άτοπο, γιατι T δε νδρο και E(T) = V(T) 1 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 110 / 122

Θεώρημα 5.3: Έστω απλο γρα φημα T. Το T ει ναι δε νδρο ανν υπα ρχει ακριβω ς 1 μονοπα τι ανα μεσα σε κα θε ζευ γος κορυφω ν του T Απόδειξη : Έστω κορυφε ς u, v V(T) που συνδε ονται με 2 μονοπα τια, ε στω P 1 (u, v) και P 2 (u, v) ακμη e = (x, y) : e P 1 (u, v), e / P 2 (u, v) G = (P 1 P 2 )\e συνεκτικο (x, y)-μονοπα τι P στο G P {e} κυ κλος. άτοπο αφου T δε νδρο Έστω 1 μονοπα τι ανα μεσα σε κα θε ζευ γος κορυφω ν του T T συνεκτικο. Θα δει ξω ο τι το T δεν ε χει κυ κλο [με επαγωγη στο V(T) ] Βα ση: V(T) = 2 χωρι ς κυ κλο Ε.Υ. Κα θε γρα φημα T με V(T) < k, k 3, για το οποι ο ακριβω ς 1 μονοπα τι ανα μεσα σε κα θε ζευ γος κορυφω ν του ει ναι δε νδρο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 111 / 122

Ε.Β. Έστω γρα φημα T με V(T) = k Έστω ε να μεγιστοτικο (u, v)-μονοπα τι P(u, v) του T Κα θε γει τονας του u P(u, v) διαφορετικα το P(u, v) δεν ει ναι με γιστο Έστω d(u) 2 τουλα χιστον d(u) (u, v)-μονοπα τια u 1 2 d(u) v άτοπο γιατι το (u, v)-μονοπα τι ει ναι μοναδικο d(u) = 1 [ο μοια d(v) = 1] [Μο λις ει δαμε μια εναλλακτικη απο δειξη για το Λη μμα5.2] Έστω w ο γει τονας της u στο T Η διαγραφη του u απο το T δεν επηρεα ζει τα υπο λοιπα μονοπα τια του T T\ {u} ει ναι δε νδρο [απο Ε.Υ.] Στο T\ {u} η προσθη κη της κορυφη ς u και της ακμη ς (w, u) δεν δημιουργει κυ κλο ενω το νε ο γρα φημα ει ναι το T Το T ει ναι συνεκτικο Το T δεν ε χει κυ κλο =========== Το T ει ναι δε νδρο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 112 / 122

Θεώρημα 5.4[Χαρακτηρισμός των δένδρων]: Έστω ε να γρα φημα T με V(T) 1. Οι παρακα τω προτα σεις ει ναι ισοδυ ναμες: i. Το T ει ναι συνεκτικο και χωρι ς κυ κλους [ο ορισμο ς του δε νδρου] ii. Το T ει ναι συνεκτικο και E(T) = V(T) 1 iii. Το T δεν ε χει κυ κλους και E(T) = V(T) 1 iv. Για κα θε ζευ γος κορυφω ν u, v V(T) ακριβω ς 1 (u, v)-μονοπα τι v. Το T ει ναι συνεκτικο και κα θε ακμη του ει ναι γε φυρα Απόδειξη [Να λυθεί σαν άσκηση]: Σημείωση: Η ισοδυναμι α i. iv. ει ναι το Θεω ρημα 5.1. Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 113 / 122

Θεώρημα 5.5: Έστω γρα φημα G με V(G) 1. Το τε το G περιε χει ως υπογρα φημα του κα θε δε νδρο T με k δ(g) ακμε ς Απόδειξη [Με επαγωγή ως προς το k]: Βα ση: Ε.Υ. k = 0 Το δε νδρο αποτελει ται απο 1 κορυφη Το T ει ναι υπογρα φημα του G Έστω ο τι 0 k k κα θε δε νδρο με k ακμε ς ει ναι υπογρα φημα κα θε γραφη ματος G με δ(g) k Ε.Β. Θα δει ξουμε ο τι το αυθαι ρετο δε νδρο με k + 1 ακμε ς ει ναι υπογρα φημα κα θε γραφη ματος G με δ(g) k + 1 Έστω αυθαι ρετο δε νδρο T με k + 1 ακμε ς Έστω αυθαι ρετο γρα φημα G με δ(g) k + 1 k 0 k + 1 > 0 Το T ε χει 2 ακμε ς Το T ε χει τουλα χιστον 2 φυ λλα Έστω u ε να φυ λλο του T και w η γειτονικη κορυφη του Έστω το T = T\ {u}. Το T ει ναι δε νδρο με k ακμε ς και V(T ) = k + 1 d(w) k (3) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 114 / 122

δ(g) k + 1 > k Ε.Υ. = Το T ει ναι υπογρα φημα του G Έστω w G η κορυφη του G στην οποι α αντιστοιχει ο κο μβος w του T = T\ {u} δ(g) k + 1 d(w G ) k + 1 Υπα ρχει μια κορυφη γειτονικη της w G στο G στην οποι α δεν ε χει αντιστοιχιθει καμμι α γειτονικη του w στο T. Έστω u G η κορυφη αυτη Επεκτει νουμε την αντιστοι χιση του T\ {u} στο G αντιστοιχι ζοντας την κορυφη u V(T) στην u G V(G) Άρα το T ει ναι υπογρα φημα του G Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 115 / 122

Σκελετικα Δε νδρα Σκελετικό δένδρο [Spanning Tree]: Έστω γρα φημα G. Ένα παραγο μενο υπογρα φημα T του G το οποι ο ει ναι δε νδρο ονομα ζεται σκελετικό δένδρο του G Σημείωση: Ένα παραγο μενο υπογρα φημα του G δημιουργει ται με την διαγραφη ακμω ν απο το G. Δένδρο με ετικέτες: Δε νδρο T ο που σε κα θε κορυφη u V(T) ε χει αντιστοιχιθει διακριτο ς ακε ραιος απο το συ νολο {1, 2,..., V(T) }. Έστω l : v(t) {1, 2,..., V(T) } η συνα ρτηση που αντιστοιχει ετικε τες στις κορυφε ς του T Η l ει ναι 1 1 και επι Ένα δε νδρο T με συνα ρτηση ετικετω ν l συμβολι ζεται με < T, l > Ισομορφισμός δένδρου με ετικέτες: Δυ ο δε νδρα < T 1, l 1 > και < T 2, l 2 > ει ναι ισόμορφα αν υπα ρχει ισομορφισμο ς σ : T 1 T 2 : v V(T 1 )l 1 (v) = l 2 (σ(v)) Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 116 / 122

Ακολουθία Prüfer: Μι α ακολουθι α n 2 ο ρων απο τους φυσικου ς αριθμου ς {1, 2,..., n} ονομα ζεται ακολουθία Prüfer τάξης n Παρα δειγμα: Η < 5, 4, 4, 2, 2, 3, 7 > ει ναι μια ακολουθι α Pru fer βαθμου 9 Θεώρημα 5.6[Cayley]: Ο αριθμο ς των διαφορετικω ν δε νδρων με ετικε τες ει ναι n n 2 ο που n ο αριθμο ς των κορυφω ν του δε νδρου Απόδειξη : Έστω T n το συ νολο των δε νδρων με ετικε τες που ε χουν n κορυφε ς Έστω W n το συ νολο των ακολουθιω ν Pru fer τα ξης n Θα κατασκευα σουμε μια αμφιμονοση μαντη συνα ρτηση ϕ : T n W n Η ϕ ονομα ζεται κω δικας Pru fer W n = n n 2 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 117 / 122

Αναδρομικο ς ορισμο ς του κω δικα Pru fer ϕ : T n W n [ως προς το n] Υποθε τουμε ο τι οι κορυφε ς του V ε χουν ονο ματα/ετικε τες στο συ νολο {1,..., n} Βα ση: n = 2 μοναδικο δε νδρο T: Ορι ζουμε ϕ(t) = ϵ [η κενη λε ξη] n n 2 = 2 0 = 1, W 2 = {ϵ} = 1 Αναδρομικο ς ορισμο ς: Έστω u(t) το φυ λλο του T με την μικρο τερη ετικε τα Έστω e(t) η ακμη του T που προσπι πτει στη u(t) Έστω o(t) η κορυφη στο α λλο α κρο της e(t) T : T \u(t ) e(t ) u(t ) o(t ) Το T\u(T) ε χει n 1 κορυφε ς ϕ(t) =< o(t), ϕ(t\u(t)) > Πρε πει να δει ξουμε ο τι ο ντως ε χουμε ορι σει μια αμφιμονοση μαντη αντιστοιχι α Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 118 / 122

Παρα δειγμα: T 0 T 1 = T 0 \ {3} T 2 = T 1 \ {5} T 3 = T 2 \ {4} 8 9 8 9 8 9 8 9 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 6 7 6 7 4 6 7 6 7 3 5 5 < 4, ϕ(t 1 ) > < 4, ϕ(t 2 ) > < 2, ϕ(t 3 ) > < 2, ϕ(t 4 ) > A < 4, 4, 2, 2, 2, 1, 1 > < 4, 2, 2, 2, 1, 1 > < 2, 2, 2, 1, 1 > < 2, 2, 1, 1 > B T 4 = T 3 \ {6} T 5 = T 4 \ {7} T 6 = T 5 \ {2} T 7 = T 6 \ {8} 8 9 8 1 9 8 9 1 2 1 1 9 2 7 A < 2, ϕ(t 5 ) > < 1, ϕ(t 6 ) > < 1, ϕ(t 7 ) > ϵ B < 2, 1, 1 > < 1, 1 > < 1 > Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 119 / 122

Λήμμα 5.7: Για οποιοδη ποτε δε νδρο T η κορυφη u ει ναι φυ λλο ανν η u δεν εμφανι ζεται στον κωδικο ϕ(t) Απόδειξη : Έστω ο τι η u ει ναι φυ λλο και ε στω ο τι εμφανι ζεται στον κωδικο ϕ(t) Η u προστε θηκε στο ϕ(t) κατα την δια ρκεια της κατασκευη ς του Η u η ταν γειτονικη προς το ελα χιστο φυ λλο u(h) του υποδε νδρου H [του βη ματος στο οποι ο προστε θηκε] το οποι ο ει χε με γεθος > 2 [διαφορετικα δεν θα ει χε προστεθει καμι α κορυφη ] Η u δεν ει ναι φυ λλο στο υποδε νδρο H Αλλα, η u ει ναι φυ λλο στο T, α ρα ει ναι φυ λλο και στο H άτοπο Έστω ο τι η u δεν εμφανι ζεται στο ϕ(t) και ε στω ο τι η u δεν ει ναι φυ λλο του T Η u δεν ει ναι φυ λλο d(u) 2 τουλα χιστον 2 προσπι πτουσες στην u ακμε ς μια ακμη που προσπι πτει στην u και το α λλο α κρο της αφαιρει ται (ως φυ λλο) κατα την κατασκευη του ϕ(t) Το τε απο κατασκευη η u εμφανι ζεται στο ϕ(t) άτοπο Λη μμα Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 120 / 122

Λήμμα 5.8: Ο κω δικας Pru fer ϕ : T n W n ει ναι αμφιμονοση ματνη αντιστοιχι α Απόδειξη [Με επαγωγή στο n]: Βα ση: n = 2 Αντιστοιχει το μοναδικο δε νδρο T με V(T) = 2 στην κενη λε ξη ϵ Ε.Υ. Έστω ο τι η ακολουθι α Pru fer ϕ : T n W n για κα θε n < n, n 3 ει ναι αμφιμονοση μαντη Ε.Β. 1 1 Θα δει ξουμε ο τι η ϕ : T n W n ει ναι αμφιμονοση μαντη [Αμφιμονοση μαντη: 1 1 και επι ] Έστω δεν ει ναι 1 1 διαφορετικα T 1, T 2 T n : ϕ(t 1 ) = ϕ(t 2 ) Έστω u το ελα χιστο στοιχει ο του {1, 2,..., n} το οποι ο δεν εμφανι ζεται στον ϕ(t 1 ) Το u ει ναι το ελα χιστο φυ λλο των T 1 και T 2 Έστω v ει ναι το πρω το στοιχει ο της ϕ(t 1 ) Η ακμη e = (u, v) ανη κει στο T 1 και το T 2 T 1 = T 1 \ {u}, T 2 = T 2 \ {u} Απο τον ορισμο Pru fer: ϕ(t 1 ) = ϕ(t 2 ) Απο Ε.Υ. T 1 = T 2 Απο κατασκευη των T 1, T 2 T 1 = T 2 άτοπο Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 121 / 122

επι Έστω μια αυθαι ρετη ακολουθι α Pru fer W =< w 1, w 2,..., w n 2 > W n Έστω u ει ναι το ελα χιστο στοιχει ο που δεν εμφανι ζεται στην ακολουθι α Απο Ε.Υ. δε νδρο T με συ νολο κορυφω ν το V(T)\ {u}: ϕ(t ) =< w 2, w 3,..., w n 2 > Προσθε τοντας την ακμη e = (u, w 1 ) στο T σχηματι ζουμε το δε νδρο T με ϕ(t) =< w 1, ϕ(t ) >=< w 1, w 2,..., w n 2 > Λη μμα Θεω ρημα Cayley Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 122 / 122