Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών
Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου τα στοιχεία ονομάζονται κορυφές, καιένασύνολο Eπουείναιυποσύνολοτου V Vκαιτουοποίουτα στοιχείαονομάζονταιακμές: E {(u,v) u,v V}
Μη κατευθυνόμενα γραφήματα Μηκατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου E {{u,v} u,v V} δηλαδήμιαακμήσεέναμηκατευθυνόμενογράφημαείναιέναμη διατεταγμένο ζεύγος κορυφών. Μια πρόταση που ισχύει για κατευθυνόμενα γραφήματα συνήθως μεταφέρεται και στα μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Το αντίστροφο είναι πιο σπάνιο.
Βρόχοι Ο ορισμός επιτρέπει θεωρητικά την ύπαρξη βρόχων(loops), δηλ. ακμώντηςμορφής (u,u), u V. Γραφήματα χωρίς βρόχους και παράλληλες ακμές ονομάζονται απλά γραφήματα. Τα γραφήματα που δεν είναι απλά ονομάζονται πολυγραφήματα. Οταν λέμε«γράφημα» θα εννοούμε απλό γράφημα. Αν ασχολούμαστε με πολυγράφημα, θα το αναφέρουμε ρητά.
Κατευθυνόμενα/ Μη κατευθυνόμενα Διαφορές: (u,v) {u,v} V ( V 1)δυνατέςακμές V ( V 1)/2δυνατέςακμές Συμβολισμός Αριθμόςκορυφών: V ήn Αριθμόςακμών: E ήm
Σχεδίαση γραφημάτων 2 3 1 1 (a) 4 4 2 3 (b) Σχήμα: Γραφικές παραστάσεις του ίδιου γραφήματος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ(Σχεδίαση Γραφημάτων) Δεν πρέπει να συγχέουμε ένα γράφημα με τη σχεδίασή του. Ενα γράφημα μπορεί να έχει πολλές σχεδιάσεις.
Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων Συμπλήρωμα Ḡ = (V,E )του G = (V,E): E = {{u,v} {u,v} E,u v}. Ορισμός(Πλήρες/ Κενό) 2 3 2 3 1 1 5 4 5 4 (a) (b) Σχήμα:Ταγραφήματα K 5 και K 5
Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Ορισμός(Μονοπάτι/ Κύκλος) 1 2 3 4 5 1 2 3 5 4 (a) (b) Σχήμα:Ταγραφήματα P 5 και C 5
Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Ορισμός(Διμερές γράφημα) Εναγράφημα G = (V,E)ονομάζεταιδιμερέςαν V = A B, A B =,καιγιακάθε {u,v} E, u A,v B. Εναδιμερέςγράφημα G = (V,E)μεδιαμέριση {A,B}θατο συμβολίζουμεως G = (A B,E). Ορισμός(Πλήρες διμερές) Πλήρεςδιμερέςγράφημα K n,m ορίζεταιωςτο G = (A B,E) όπου A = n, B = mκαι E = {{u,v} u A,v B}.
Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Ορισμός(Πλήρες διμερές) a b c d e f Σχήμα:Τογράφημα K 3,3
Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Δωδεκάεδρο(από τη Βικιπαίδεια) Το αντίστοιχο γράφημα
Ειδικές κατηγορίες γραφημάτων(συνέχεια) Ορισμός(Γράφημα του Πέτερσεν) 2 1 6 7 8 3 5 10 9 4 Σχήμα: Το γράφημα του Petersen
1 2 3 5 4 Ορισμός Βαθμός μιας κορυφής σε μη κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται ο αριθμός των ακμών που την περιέχουν. Θεώρημα Σε κάθε γράφημα, το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών είναι άρτιο. Απόδειξη. Κάθε ακμή συνεισφέρει στο βαθμό δυο κορυφών.
Θεώρημα(Γενίκευση) Σεκάθεγράφημα G = (V,E)με mακμές,τοάθροισματων βαθμώντωνκορυφώνείναιίσομε 2m. degree(u) = u V u V v V :{u,v} E 1 = {u,v} E 2 = 2m 1 2 5 3 4 1 2 3 4 5 {1,2} {1,4} {2,3} {2,5} {3,4} {3,5}
1 2 3 5 4 Πόρισμα Σε κάθε γράφημα, ο αριθμός των κορυφών περιττού βαθμού είναι άρτιος. Σε κάθε ομάδα ανθρώπων με περιττό αριθμό μελών, υπάρχει πάντα κάποιος που έχει άρτιο αριθμό γνωστών.
Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή 2 3 1 5 1: 2, 4, 5 2: 2, 3 Λίστες γειτνίασης: 3: 2 4: 3 5: Πλεονεκτήματα: Οικονομική σε μνήμη για αραιά γραφήματα: Θ( V + E log V ).Κατάλληληγιακάποιουςαλγόριθμους. Μειονεκτήματα: Απαιτεί έργο για να ελέγξουμε αν μια ακμή (u,v)ανήκειστογράφημα. 4
Παράσταση γραφημάτων σε υπολογιστή 2 3 Πίνακας γειτνίασης: 1 5 4 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 Πλεονεκτήματα: Άμεση απάντηση αν μια ακμή (u, v) ανήκει στο γράφημα. Εύκολα γενικεύεται για γραφήματα με βάρη στις ακμές. Μειονεκτήματα: Απαιτητική σε μνήμη για αραιά γραφήματα.
Μονοπάτια, κύκλοι 2 3 1 4 6 5 ΑπλόΜονοπάτι: (1,2,3,5) Μονοπάτι(μηαπλό): (2,3,5,4,3,6) Κύκλος: (2,3,5,4,6,2)
Συνεκτικότητα Ορισμός Εναμηκατευθυνόμενογράφημα G = (V,E)ονομάζεται συνεκτικόαν u,v Vυπάρχειμονοπάτιαπότο uστο v. Ενα κατευθυνόμενο γράφημα όπου u, v υπάρχει μονοπάτι από το uστο vκαιαπότο vστο uονομάζεταιισχυράσυνεκτικό. Παραδείγματα συνεκτικού, μη συνεκτικού και μη ισχυρά συνεκτικού γραφήματος: 1 2 5 3 4 1 2 5 3 4 1 2 5 3 4
Η έννοια του ελαχιστικού/μεγιστικού Εστωμιασχέσημερικήςδιάταξης πάνωσεένασύνολο P. Ενα στοιχείο p του P καλείται ελαχιστικό(αντίστοιχα μεγιστικό)ωςπροςτην ανδενυπάρχει p Pτέτοιοώστε p p(p p ). Με τους όρους ελαχιστικό/μεγιστικό μεταφράζουμε τους αγγλικούς όρους minimal/maximal, σε αντιδιαστολή με τους όρους minimum/maximum οι οποίοι υπονοούν ολική διάταξη. Διαισθητικά ένα γράφημα είναι μεγιστικό(ελαχιστικό) ως προς μια ιδιότητα αν δεν μπορούμε να προσθέσουμε(αφαιρέσουμε) κορυφή ή ακμή και να διατηρηθεί η ιδιότητα.
Συνεκτικές συνιστώσες Ορισμός Εστωγράφημα G = (V,E).Υπογράφηματου Gκαλείταιένα γράφημα G = (V,E )όπου V Vκαι E E. Ορισμός Εστωγράφημα G = (V,E).Συνεκτικήσυνιστώσατου G καλείται κάθε μεγιστικό συνεκτικό υπογράφημα του G. Παρατήρηση Αν το G είναι συνεκτικό, η μοναδική συνεκτική του συνιστώσα είναιτοίδιοτο G.
Δένδρα Ερώτηση: Ποια γραφήματα είναι ελαχιστικά συνεκτικά (minimally connected); Δηλαδή είναι συνεκτικά αλλά χάνουν τη συνεκτικότητα τους αν αφαιρέσουμε οποιαδήποτε ακμή τους; Απάντηση: Τα δένδρα. Ορισμός Δένδρα ονομάζονται τα συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν κύκλους. 5 2 3 6 4 1 7 Σχήμα: Δένδρο
Ιδιότητες των δένδρων Θεώρημα Σε κάθε δένδρο με τουλάχιστον δύο κορυφές υπάρχει μία τουλάχιστον κορυφή με βαθμό 1. Απόδειξη. Θεωρήστεένααπλόμονοπάτι P = (u 1,u 2,...,u k )μεόσοτο δυνατόμεγαλύτερομήκος.οιδύοακραίεςκορυφές u 1 και u k του μονοπατιούπρέπειναέχουνβαθμό 1.Ανόχι,το Pδενέχει μέγιστο μήκος(γιατί;). Αποδείξαμε την ισχυρότερη πρόταση ότι σε κάθε δένδρο με τουλάχιστον δύο κορυφές υπάρχουν τουλάχιστον δύο φύλλα (κορυφές βαθμού 1).
Ιδιότητες των δένδρων Θεώρημα Οι παρακάτω προτάσεις είναι όλες ισοδύναμες με τον ορισμό των δένδρων: 1 Δένδρα είναι τα συνεκτικά γραφήματα που αν αφαιρέσουμε οποιαδήποτε ακμή τους παύουν να είναι συνεκτικά. Είναι δηλαδή ελαχιστικά γραφήματα ως προς τη συνεκτικότητα. 2 Δένδρα είναι τα γραφήματα που δεν έχουν κύκλους, αλλά αν προσθέσουμε οποιαδήποτε νέα ακμή αποκτούν κάποιο κύκλο. Είναι δηλαδή μεγιστικά άκυκλα γραφήματα. 3 Δένδραείναιτασυνεκτικάγραφήματαμε n 1ακμές, όπου nείναιοαριθμόςτωνκορυφώντους. 4 Δένδρα είναι τα γραφήματα όπου για κάθε ζεύγος κορυφών uκαι vυπάρχειέναμοναδικόμονοπάτιαπότο uστο v.
Γραφήματα Δένδρα Επίπεδα γραφήματα Κύκλοι Euler Επίπεδα γραφήματα Ορισμός Ενα γράφημα G λέγεται επίπεδο (planar) αν υπάρχει τρόπος να σχεδιαστεί στο επίπεδο με τέτοιο τρόπο ώστε οι ακμές του να τέμνονται μόνο σε κορυφές. Σχήμα: Το επίπεδο γράφημα K4 και τρεις διαφορετικές σχεδιάσεις του.
Οψεις σε γραφήματα Ορισμός Ενα γράφημα G λέγεται ενεπίπεδο (plane) αν έχει σχεδιαστεί στοεπίπεδο R 2 μετέτοιοτρόποώστεοιακμέςτουνατέμνονται μόνο σε κορυφές. Οψεις ενός ενεπίπεδου G καλούνται οι μεγιστικές συνεκτικές περιοχέςτου R 2 \G.Τογράφηματουσχήματοςέχει5όψεις. Ενα υποσύνολο S του επιπέδου καλείται συνεκτική περιοχή αν οποιαδήποτε δύο σημεία του S μπορούν να συνδεθούν με μία καμπύληηοποίαδενεξέρχεταιτου S.
Τύπος του Euler Αριθμός κορυφών: n Αριθμός ακμών: m Αριθμός όψεων: f Θεώρημα(Τύπος του Euler) Σε κάθε συνεκτικό ενεπίπεδο γράφημα ο αριθμός των κορυφών n, τωνακμών mκαιτωνόψεων f συνδέονταιμετησχέση n m +f = 2. Απόδειξη: Με επαγωγή στον αριθμό των ακμών. Βάση της επαγωγής: Δένδρα.
Αριθμός όψεων επίπεδου γραφήματος Η έννοια της όψης ορίστηκε για ενεπίπεδα γραφήματα. Σε ένα επίπεδο γράφημα αντιστοιχούν πολλά(άπειρα) διαφορετικά ενεπίπεδα γραφήματα, αφού υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι να σχεδιάσουμε το G στο επίπεδο ώστε οι ακμές να μη διασταυρώνονται. Οτύποςτου Eulerδείχνειότιοαριθμόςτωνόψεωνενός συνεκτικού ενεπίπεδου γραφήματος εξαρτάται μόνο από το nκαιτο m.(συγκεκριμένα, f = m+2 n.) Άρα, όπως και να σχεδιάσουμε ένα επίπεδο γράφημα, ο αριθμός των όψεων είναι πάντα ο ίδιος.
Σχέση ακμών και κορυφών Θεώρημα Σεκάθεσυνεκτικόεπίπεδογράφημαμε n 3κορυφέςκαι m ακμές m 3n 6. Απόδειξη. Η απόδειξη βασίζεται σε δυο παρατηρήσεις: 1 Κάθεακμήσυνορεύειμε(τοπολύ)δυοόψεις. 2 Κάθε όψη συνορεύει με 3 τουλάχιστον ακμές.
4 3 5 2 1 {1,2} {2,3} {3,4} {1,4} {1,5} {3,5} {4,5} (1,2,3,5) (1,4,5) (3,4,5) (1,2,3,4) Αν μετρήσουμε τις ακμές του διμερούς γραφήματος από αριστερά, είναιτοπολύ 2m(κάθεακμήβρίσκεταισε2τοπολύόψεις).Απόδεξιά είναι τουλάχιστον 3f (κάθε όψη έχει 3 τουλάχιστον ακμές). Άρα,σεκάθεγράφημα 3f 2m.Από Euler f = 2 n+m...
Η προηγούμενη απόδειξη δείχνει πόσο χρήσιμα είναι τα γραφήματα: Χρησιμοποιεί ένα διμερές γράφημα για να επιχειρηματολογήσει για τη σχέση ακμών και όψεων ενός άλλου γραφήματος! Το φράγμα που αποδείξαμε είναι το καλύτερο δυνατό; Υπάρχει επίπεδογράφημαμε nκορυφέςκαιακριβώς 3n 6ακμές;
Το K 5 δενείναιεπίπεδο Το K 5 δενείναιεπίπεδο Πράγματι,το K 5 έχει n = 5κορυφέςκαι m = 10ακμές.Δεν ισχύειπως m 3n 6,άραδενείναιεπίπεδο. Αναγκαία αλλά όχι ικανή Ησυνθήκη m 3n 6είναιαναγκαίαγιαναείναιέναγράφημα επίπεδο. Δεν είναι όμως ικανή: Υπάρχουν γραφήματα με λίγες ακμές που δεν είναι επίπεδα.
Συνθήκη για διμερή γραφήματα Θεώρημα Σε κάθε συνεκτικό διμερές επίπεδο γράφημα ο αριθμός των κορυφών nκαιτωνακμών mικανοποιεί m 2n 4. Συμπέρασμα:το K 3,3 δενείναιεπίπεδογιατίέχει n = 6και m = 9 > 2n 4
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για επίπεδα γραφήματα Σχήμα: Ενα γράφημα και μια υποδιαίρεσή του Θεώρημα(Kuratowski, 1930) Εναγράφημαείναιεπίπεδοανκαιμόνοανδενπεριέχειως υπογράφημακάποιαυποδιαίρεσητου K 5 ήτου K 3,3. (Χωρίς απόδειξη)
Κύκλοι Euler και Hamilton Ορισμός Κύκλος Eulerσεέναγράφημα G = (V,E)είναιέναςκύκλοςπου διέρχεταιακριβώςμίαφοράαπόκάθεακμήτου E. Ορισμός Κύκλος Hamiltonσεέναγράφημα G = (V,E)είναιέναςκύκλος πουδιέρχεταιακριβώςμίαφοράαπόκάθεκορυφήτου V.
Δωδεκάεδρο Είναι το γράφημα του δωεδεκαέδρου Χαμιλτονιανό;(Περιέχει δηλαδή κύκλο Χάμιλτον);
Δωδεκάεδρο Ναι, είναι!
Άλλα παραδείγματα
Το γράφημα του Tutte Είναι το γράφημα του Tutte Χαμιλτονιανό;
Κύκλοι Euler 3 2 1 4 Σχήμα: Οι γέφυρες του Königsberg
Κύκλοι Euler
Leonhard Euler (1707-1783)
Κύκλοι Euler 3 2 4 1 Σχήμα: Το γράφημα των 7 γεφυρών Θεώρημα Ενασυνεκτικόγράφημαέχεικύκλο Eulerμόνοανκαιμόνοαν όλες οι κορυφές του έχουν άρτιο βαθμό.
Κύκλοι Euler 7 8 9 4 5 6 1 2 3 Σχήμα: Γράφημα με κύκλο Euler Θεώρημα Ενασυνεκτικόγράφημαέχεικύκλο Eulerμόνοανκαιμόνοαν όλες οι κορυφές του έχουν άρτιο βαθμό.