דף נוסחאות פיסיקה 2 - חשמל ומגנטיות חוק קולומב והשדה החשמלי F = kq 1q 2 r 2 r k = 1 = 9 10 9 [ N m2 חוק קולומב 4πε ] C 2 0 כח שפועל בין שני מטענים נקודתיים E (r) = kq r 2 r שדה חשמלי בנקודה מסויימת de = Kdq r 2 r אלמנט שדה חשמלי שיוצר אלמנט מטען r 1,2 = r 2 r 1 r 1,2 = x 2 + y 2 + z 2 r = r 1,2 r 1,2 F = E q = E dq הכח שפועל על מטען בשדה חשמלי )כח חשמלי שמפעיל שדה חשמלי על מטען( E total = E 1 + E 2 השדה הכולל בנקודה מסויימת -ע"פ עיקרון הסופרפוזיציה חיבור רכיבי השדות )כלל ההרכבה( q e = 1.6 10 19 [c] q p = 1.6 10 19 [c] m e = 9.11 10 31 [kg] m p = 1.67 10 27 [kg] מטען אלקטרון )המטען היסודי( מטען פרוטון מסת אלקטרון מסת פרוטון 6
חוק גאוס = E ds N m2 [ C ] שטף חשמלי - הגדרה מדד לכמות קווי השדה שעובר דרך יחידת שטח מסויים. אינטגרל של מכפלה סלקרית בין ווקטור השדה החשמלי לווקטור אלמנט שטח. = (E x, E y, E z ) (ds x, ds y, ds z ) שטף חשמלי צורה ווקטורית שימושי כאשר השדה החשמלי נתון ברכיביו = E ds cosθ שטף חשמלי צורה סקלרית )גדלים בלבד( = E ds שטף חשמלי דרך צורה סגורה עבור צורה סגורה נבחר אלמנט שטח ds שמכוון כלפי חוץ הצורה. = q in ε 0 ε 0 = 8.854 10 12 k = 1 4πε 0 = 9 10 9 [ N m2 C 2 ] C 2 [ N m 2] חוק גאוס השטף החשמלי דרך צורה סגורה שווה למטען הכולל הכלוא חלקי קבוע )אפסילון אפס( צורה סגורה )נפח כלוא( נקראית גם מעטפת גאוסית. = E(r) 4πr 2 N m2 [ C ] שטף עבור סימטריה כדורית כאשר השדה תלוי רק ב r כלומר שדה רדיאלי = E(r) 2πrL שטף עבור סימטריה גלילית L אורך הגליל = E(z) 2A שטף עבור סימטריה מישורית Aשטח חתך E = 0 שדה חשמלי בתוך מוליך שווה אפס 1
E (r < R) = ρ 0r 3ε 0 שדה חשמלי היוצר כדור מלא טעון בצפיפות מטען נפחית אחידה כיוון השדה רדיאלי E (r > R) = ρ 0R 3 3ε 0 r 2 E (r < R) = 0 E (r > R) = σ 0R 2 ε 0 r 2 שדה חשמלי היוצרת קליפה כדורית טעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה הערה- שדה חשמלי בצפיפות מטען משטחית, בפני המוליך לא מוגדר ולכן בפונקציית השדה לא רושמים גדול שווה 1 קטן שווה. E(r) = λ 0 2πrε 0 שדה חשמלי שיוצר תיל אניסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה r מרחק אנכי מהתיל, כיוון השדה רדיאלי E(z) = ρ 0z ε 0 z < d 2 E(z) = ρ 0d 2ε 0 z > d 2 שדה חשמלי שיוצר לוח אינסופי בעל עובי d,טעון בצפיפות מטען נפחית אחידה כיוון השדה אנכית מהלוח E(r < R) = ρ 0r 3 4ε 0 שדה חשמלי שיוצר גליל אינסופי טעון בצפיפות מטען נפחית רדיאלית כיוון השדה רדיאלי E(r > R) = ρ 0R 4 4ε 0 r E(r < R) = 0 E(r > R) = σ 0R ε 0 r שדה חשמלי שיוצרת קליפה גלילית אינסופית טעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה R רדיוס הקליפה הגלילית )קליפה של צינור( E = k2πrλz (R 2 + z 2 ) 3 r 2 שדה חשמלי שיוצרת טבעת בעלת רדיוס R, הטעונה בצפיפות מטען קווית אחידה, בנקודה כלשהיא בגובה Z מעל מרכז הטבעת 3
אנרגיה ופוטנציאל חשמלי U = Kq 1q 2 r 1,2 אנרגיה חשמלית סך העבודה הדרושה בכדי לבנות מערך מטענים i j U = 1 2 Kq iq j i,j r i,j אנרגיה אלקטרוסטטית של מערכת מטענים בדידה φ(r) = Kq r [Volt] = N m c r 1,2 = r 2 r 1 r 1,2 = r x 2 + r y 2 + r z 2 r פוטנציאל חשמלי )סקלר( הפוטנציאל שיוצר מטען q במרחק (r הוא גודל( ממנו U = φ 1 (r) q 2 U = q φ = F dr A r 2 r 2 W r1 r 2 = F dr = qe dr B אנרגיה פוטנציאלית חשמלית הפוטנציאל שיוצר מטען q1 בנקודה מסויימת כפול מטען q2 שמוצב בנקודה. עבודת כח חשמלי r 1 r 1 W r1 r 2 = U = q φ = q(φ(r 2 ) φ(r 1 )) העבודה המושקעת בכדי להזיז מטען חשמלי r 2 V 1 2 = φ(r 2 ) φ(r 1 ) = E (r ) dr E (r) = φ = ( φ φ φ x, y, x y z z ) r 1 הקשר בין פוטנציאל לשדה חשמלי )ווקטורי( הפוטנציאל של נקודה 1 ביחס לפוטנציאל בנקודה 6 הפוטנציאל החשמלי גדל נגד כיוון קווי השדה הפוטנציאל החשמלי קטן עם כיוון קווי השדה פוטנציאל חשמלי בכל נקודה במוליך זהה ושווה לפוטנציאל על שפת המוליך, מכיוון שבתוך מוליך השדה שווה אפס. )לא משנה הצורה של המוליך( פוטנציאל חשמלי היא פונקציה רציפה ולכן ניתן תמיד לרשום גדול שווה 1 קטן שווה. φ(0,0, z) = φ(r) = KQ r φ(r) = KQ R 2πKλR R 2 + z 2 = r R r R KQ R 2 + z 2 פוטנציאל חשמלי שיוצרת קליפה כדורית טעונה בצפיפות מטען אחידה 0 פוטנציאל חשמלי שיוצרת טבעת טעונה בצפיפות מטען קווית אחידה, על ציר Z העובר במרכזה. λ צפיפות קווית אחידה R רדיוס הטבעת Z הגובה מעל מרכז הטבעת
קיבול חשמלי [ coulombs =Farad] volt קיבול של קבל C = ε 0ε r A d ε 0 = 8.854 10 12 [ F m ] = [ C 2 N m 2] קיבול של קבל לוחות קיבולו של קבל תלוי בגורמים גיאומטריים בלבד ε r = E ext E total הכנסת חומר דיאלקטרי )מבודד( מנחית את השדה החשמלי בתוך החומר המבודד חומר דיאלקטרי מקטין את השדה החשמלי בתוך החומר המבודד, ולכן מקטין את הפרש הפוטנציאלים בין לוחות הקבל, ולכן מגדיל את הקיבול U = Q2 2C = CV2 2 = QV 2 אנרגיה שאגורה בקבל )קבל מהווה מאגר של אנרגיה חשמלית( C total = C 1 + C 2 1 C total = 1 C 1 + 1 C 2 C = 2πε 0L ln R 2 R 1 קיבול שקול - חיבור קבלים במקביל קיבול שקול - חיבור קבלים בטור קיבול של קבל גלילי ארוך מאוד R2 רדיוס חיצוני R1 רדיוס פנימי 5
מגנטיות F = q(v B ) F = q v B sinθ ווקטור הכח המגנטי הפועל על מטען נע ווקטור התוצאה של המכפלה הווקטורית מאונך למישור הווקטורים המוכפלים, ומכוון ע"פ כלל יד ימין. במידה ומדובר במטען שלילי אז הכח הפועל עליו הוא מנוגד גודל הכח המגנטי R = mv qb רדיוס תנועה מעגלית עבור מטען נע בשדה מגנטי אחיד F = q(e + v B ) v = E B כח לורנץ כח כולל הפועל על מטען שנע באזור בו שורר שדה חשמלי ושדה מגנטי מהירות מטען היוצא מבורר מהירויות אורך F = I(dL B ) ווקטור הכח הפועל על תיל נושא זרם הנמצא בשדה מגנטי חיצוני )אינטגרציה על אורך התיל בכיוון הזרם( התיל dl = dl φ = dl( sinθ, cosθ ) = Rdθ ( sinθ, cosθ ) ווקטור dl עבור קשת מעגלית 1
B = μ 0I dl r 4π r 2 חוק ביו-סבר שדה מגנטי הנוצר ע"י תיל נושא זרם μ 0 = 4π 10 7 T m [ A ] N s [T] = [ C m ] = [ N s ] = [V A m m 2 ] B = μ 0I 4πR θ שדה מגנטי שיוצר תיל נושא זרם מכופף לקשת מעגלית הנשען על זווית טטה, בנקודה שנמצאת במרכז הקשת B = μ 0I 4πD (sinθ 1 + sinθ 2 ) שדה מגנטי מערבולתי 0I שיוצר B = μ תיל אינסופי נושא זרם, 2πD בנקודה הנמצאת במרחק אנכי Dמהתיל. שדה מגנטי מערבולתי שיוצר תיל נושא זרם בנקודה כלשהיא במרחק אנכי D מהתיל ובזוויות ראיה טטה 6 וטטה 1 מקרה פרטי של הנוסחא מעל שדה מגנטי שנוצר בסילונית B = μ 0 n I השדה המגנטי מחוץ לסילונית הוא זניח, ועבור סילונית ארוכה מאוד )אינסופית( הוא אפס השדה המגנטי בתוך הסילונית אחיד n = N m צפיפות ליפופים בסילונית זרם דרך לולאת אמפר בסילונית I enc = I N 7
Γ = B dl = μ 0 I encloused חוק אמפר Γ = B dl = B(r) dl = B(r) dl = B(r)2πr r<r Γ = μ 0 I encloused = μ 0 j(r) 2πr dr 0 סרקולציה עבור שדה מגנטי מערבולתי אחיד ע"פ רדיוס, כאשר לולאת אמפר היא מעגלית סרקולציה עבור זרם שזורם בלולאת אמפר מעגלית בתיל גלילי בעל צפיפות זרם משתנה רדיאלית j A = I total [ m 2] s צפיפות זרם ליחידת שטח 8
השראה אלקטרומגנטית ε ind [Volt] = N dφ B dt E dl = dφ B dt חוק פארדיי לנץ כא"מ מושרה = מתח מושרה שינוי בשטף המגנטי יוצר מתח מושרה ונקבל זרם מושרה. N מספר הליפופים של התיל שזורם בו הזרם המושרה צורה אינטגרלית φ B = B ds = B ds cosθ = BScosθ שטף מגנטי [Wb] = [weber] = [T m 2 ] = [V s] = [ j A ] השטף המגנטי צריך להיות תלוי זמן,אחרת אם הוא קבוע אז הנגזרת שלו היא אפס, ואז אין מתח מושרה φ B = B ds = 0 שטף מגנטי עבור צורה סגורה I = V R I ind = ε ind R R [Ω] = ρl A I = dq dt P = I 2 R = V2 R = IV חוק אוהם זרם מושרה התנגדות של מוליך זרם חשמלי הספק חוק ג'ול חוק לנץ הזרם המושרה יהיה בכיוון שיתנגד לאפקט היווצרותו אפקט היווצרותי = שינוי בשטף המגנטי אם השטף המגנטי גדל אז השדה המגנטי המושרה יהיה בכיוון שמקטין את השדה המגנטי כלומר הפוך לשדה המגנטי החיצוני אם השטף המגנטי קטן אז השדה המגנטי המושרה יהיה בכיוון שמגדיל את השדה המגנטי כלומר יווצר שדה מגנטי מושרה בכיוון השדה המגנטי החיצוני 9
גיאומטריה a b sinθ 2 שטח של משולש מחצית המכפלה של שתי צלעות וסינוס הזווית שביניהן πr 2 = πd2 4 שטח של מעגל 4πr 2 שטח פנים של כדור )מעטפת כדורית 1 קליפה כדורית( 2πr(h + r) שטח פנים של גליל )צילינדר( 6a 2 π(r 2 r 2 ) R 2πr dr r שטח פנים של קוביה בעלת מקצוע a שטח דיסקה πr 2 H 4 3 πr3 נפח של גליל נפח של כדור r = (Rcosθ, Rsinθ) מיקום קרטזי ע"ג מעגל s = Rθ [rad] אורך קשת מעגלית φ = ( sinθ, cosθ ) ווקטור יחידה בכיוון המשיק למעגל נכון כאשר הזווית מוגדרת ביחס לציר X 6/
חדו"א f(x) g(x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) f(g(x)) f (g(x)) g (x) f(x) g(x) g(x) f (x) f(x) g (x) g(x) 2 נגזרת של מכפלה נגזרת של פונקציה מורכבת )כלל השרשרת( נגזרת של מנה (1 + x) n 1 + nx + n2 n 2! x 2 + n3 3n 2 + 2n 3! x 3 + + fk k! xk פולינום )טור( טיילור לפונקציה, סביב 0=x0 )מקלורן( אינטגרלים מיידים x n dx = xn+1 n + 1 + c (ax + b)n dx = 1 (ax + b) n+1 + c n 1 a n + 1 1 1 dx = ln x + c dx = ln ax + b + c x ax + b e x dx = e x + c e ax+b dx = 1 a eax+b + c k x dx = kx ln (k) + c k ax+b dx = kax+b aln (k) + c cosx dx = sinx + c cos (ax + b) dx = 1 sin (ax + b) + c a sinx dx = cosx + c sin (ax + b) dx = 1 cos (ax + b) + c a tanx dx = ln cosx + c tan(ax + b) dx = 1 ln cos(ax + b) + c a 1 cos 2 x dx = tanx + c 1 cos 2 (ax + b) dx = 1 tan (ax + b) + c a lnx dx = xlnx x 66
צפיפויות מטען λ(r ) C m Q total = λl C m אחידה L צפיפות מטען קווית צפיפות מטען קווית אורך בו המטען מפוזר σ(r ) C m 2 Q total = σs c m 2 ρ(r ) C m 3 צפיפות מטען משטחית צפיפות מטען משטחית אחידה שטח עליו מפוזר המטען = S צפיפות מטען נפחית Q total = ρv[ c m 3] צפיפות מטען נפחית אחידה נפח בו המטען מפוזר = V 61
63
קינמטיקה t 2 r(t) = r 0 + v(t) dt ווקטור מיקום בכל רגע רדיוס ווקטור t 1 t 2 v(t) = v 0 + a(t) dt ווקטור מהירות בכל רגע t 1 a(t) = v(t) dt t dt ווקטור תאוצה בכל רגע )נגזרת לפי זמן של ווקטור מהירות בכל רגע( v(t) = r(t) dt t dt ווקטור מהירות בכל רגע )נגזרת לפי זמן של ווקטור מיקום בכל רגע( r(t) = r 0 + v 0 t + 1 2 at2 ווקטור מיקום בכל רגע תקף עבור תאוצה קבועה v(t) = v 0 + at ווקטור מהירות בכל רגע תקף עבור תאוצה קבועה 60
רדיוס הדיסקה /116611/60 R משתנה האינטגרל מ/ ועד R r' dr' אלמנט רוחב של טבעת אלמנט שטח של טבעת בעלת צפיפות מטען משטחית ds = 2πr dr dq = σ ds = σ2πr dr אלמנט שטח של טבעת מטען שנמצא על אלמנט שטח של טבעת מוט דק טעון בצפיפות מטען קווית dl אלמנט אורך dl = dx dq = λdl = λd אלמנט אורך מטען שנמצא על אלמנט אורך 65