0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò áõôïß ìáò äßíïõí ìßá óåéñü áðü ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åîýëéîç ôïõ öáéíïìýíïõ. Ìðïñïýìå íá Ý ïõìå ìßá áðëþ êáé ðáñáóôáôéêþ åéêüíá ôçò ó Ýóçò (áëëçëïåîüñôçóçò) äýï öõóéêþí ìåãåèþí, áí ìå âüóç ôïí ðßíáêá ôéìþí êáôáóêåõüóïõìå ôçí áíôßóôïé- ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç. Ãéá íá êáôáóêåõüóïõìå ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò äýï öõóéêþí ìåãåèþí - ìåôáâëçôþí, åñãáæüìáóôå ùò åîþò:
c m y k Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò áñüóóïõìå óå áñôß, óõíþèùò éëéïóôïìåôñéêü (ìéëéìåôñý) äýï çìéåõèåßåò êüèåôåò ìåôáîý ôïõò (ôïõò Üîïíåò óõíôåôáãìýíùí). Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá (Üîïíá ôùí ôåôìçìýíùí) ôïðïèåôïýìå ôçí áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ ãñüöïíôáò ôï üíïìá (Þ ôï óýìâïëï) ôïõ öõóéêïý ìåãýèïõò ìáæß ìå ôçí ìïíüäá óôçí ïðïßá ìåôñþèçêå. Óôïí êáôáêüñõöï Üîïíá ôïðïèåôïýìå ôçí åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ. Âáèìïíïìïýìå êáôüðéí ôïõò äýï Üîïíåò. Èåùñïýìå ùò óçìåßï ìçäýí ãéá ôïí êüèå Üîïíá ôï óçìåßï ôïìþò ôïõò (áñ Þ ôùí óõíôåôáãìýíùí). ùñßæïõìå ôïí ïñéæüíôéï Üîïíá óå ßóá äéáóôþìáôá Ýôóé, þóôå ôï êáèýíá íá áíôéðñïóùðåýåé ôç ìïíüäá Þ ßóï áñéèìü ìïíüäùí ôçò áíåîüñôçôçò ìåôáâëçôþò. Óå êüèå õðïäéáßñåóç ôïõ Üîïíá óçìåéþíïõìå ôçí áíôßóôïé ç ôéìþ (áñéèìü ìïíüäùí ìýôñçóçò) ôçò áíåîüñôçôçò ìåôáâëçôþò. ôóé åðüíù óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá ó çìáôßæåôáé ìßá âáèìïíïìçìýíç êëßìáêá. ¼ìïéá åñãáæüìáóôå ãéá íá âáèìïíïìþóïõìå ôïí êáôáêüñõöï Üîïíá. ÌåôÜ ôç âáèìïíüìçóç óçìåéþíïõìå óôï åðßðåäï ôùí áîüíùí ôá ðåéñáìáôéêü óçìåßá êáôü ôï ãíùóôü áðü ôá ÌáèçìáôéêÜ ôñüðï. Óå êüèå æåýãïò ôéìþí ôïõ ðßíáêá ìåôñþóåùí áíôéóôïé åß Ýíá ðåéñáìáôéêü óçìåßï. Äéá ìýóïõ ôùí óçìåéùìýíùí ðåéñáìáôéêþí óçìåßùí áñüóóïõìå ôçí êáëýôåñç ãñáììþ, äçëáäþ ôçí ïìáëþ ãñáììþ ðïõ ðñïóåããßæåé ðåñéóóüôåñï ôá óçìåßá Þ äéýñ åôáé áðü áõôü. ÐÉÍÁÊÁÓ ñüíïò Áðüóôáóç t (s) (m) 0 0 0,5 2 2,0 3 4,5 4 8,0 H ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ t óå ìßá åõèýãñáììç ïìáëü åðéôá õíüìåíç êßíçóç Óçìåßùóç ç : ÅðÜíù óå êüèå Üîïíá óçìåéþíïõìå ôéò ôéìýò ôçò êëßìáêáò ü é üìùò êáé ôéò ôéìýò ôùí ðåéñáìáôéêþí ìåôñþóåùí. Óçìåßùóç 2 ç : Ç åêëïãþ ôùí êëéìüêùí ãéá ôïõò äýï Üîïíåò ðñýðåé íá åßíáé ôýôïéá, þóôå ôá ðåéñáìáôéêü óçìåßá íá êáëýðôïõí üóï ôï äõíáôüí ìåãáëýôåñï ìýñïò áðü ôï áñôß ó åäßáóçò. Óçìåßùóç 3 ç : Ç êüèå õðïäéáßñåóç ôçò êëßìáêáò óôïõò Üîïíåò ðñýðåé íá åßíáé ßóç Þ áêýñáéï ðïëëáðëüóéï ôùí áñéèìþí,2,5,0.
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò ÁõôÞ ç åðéëïãþ ìáò äéåõêïëýíåé íá ðñïóäéïñßæïõìå ôá óçìåßá ðïõ áíôéóôïé ïýí óå ôéìýò åíäéüìåóåò áðü áõôýò ðïõ Ý ïõí óçìåéùèåß. Óçìåßùóç 4 ç : ÓõíäÝïõìå ôá ðåéñáìáôéêü óçìåßá ìå ïìáëþ ãñáììþ êáé ü é ôåèëáóìýíç. ¼ôáí äåí ìðïñïýìå íá öýñïõìå ïìáëþ ãñáììþ ðïõ íá äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá, ôüôå áñüóóïõìå ôçí ïìáëþ ãñáììþ ðïõ ôá ðñïóåããßæåé êáé ôá êáôáíýìåé éóüññïðá áðü ôç ìéá êáé ôçí Üëëç ðëåõñü. 0.2 ÃñáöéêÝò ðáñáóôüóåéò ìåñéêþí áðëþí óõíáñôþóåùí ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç åõèýùò áíáëüãùí ðïóïôþôùí Óôïí ÐÉÍÁÊÁ öáßíåôáé üôé, üôáí ç ìåôáâëçôþ (áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ) äéðëáóéüæåôáé, ôüôå êáé ç ìåôáâëçôþ y (åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ) äéðëáóéüæåôáé, üôáí ç ôñéðëáóéüæåôáé, ôüôå êáé ç y ôñéðëáóéüæåôáé ê.ï.ê. ËÝìå üôé ç y åßíáé åõèýùò áíüëïãç ôçò Þ óõìâïëéêü y. Éó ýåé y k üðïõ k åßíáé ç óôáèåñü áíáëïãßáò Þ y=k ÐÉÍÁÊÁÓ y 3 2 6 3 8 4 0 Ãéá ìßá åîßóùóç, üðùò ç y=k, ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç åßíáé åõèåßá ç ïðïßá äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ðáñáäåßãìáôá ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò ìåôáîý äýíáìçò êáé åðéìþêõíóçò åëáôçñßïõ (Íüìïò ôïõ Hooke) ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò ó Ýóçò ìåôáîý ôüóçò êáé Ýíôáóçò çëåêôñéêïý ñåýìáôïò (Íüìïò ôïõ Ohm).
ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ðïóïôþôùí ðïõ ìåôáâüëëïíôáé ãñáììéêü áëëü ü é åõèýùò áíüëïãá Ç ó Ýóç ìåôáîý ôùí ìåôáâëçôþí êáé y åßíáé y = k +c üðïõ k êáé c åßíáé óôáèåñýò ðïóüôçôåò. Ãéá ôç óõíüñôçóç áõôþ ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç åßíáé åõèåßá, ç ïðïßá äåí äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Ç áñ Þ ôçò åõèåßáò åßíáé ôï óçìåßï (0, c) ÐáñÜäåéãìá Óôçí åõèýãñáììç ïìáëü åðéôá õíüìåíç êßíçóç ìå áñ éêþ ôá ýôçôá õ 0 éó ýåé ç åîßóùóç õ = õ 0 +át üðïõ õ ç ôá ýôçôá ôïõ êéíçôïý êáôü ôç ñïíéêþ óôéãìþ t, õ 0 ç áñ éêþ ôïõ ôá ýôçôá êáé á ç åðéôü õíóþ ôïõ. Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóþ ôçò åßíáé åõèåßá. Ç áñ Þ ôçò åõèåßáò åßíáé ôï óçìåßï (0, õ 0 ). ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç áíôéóôñüöùò áíáëüãùí ðïóïôþôùí Óôïí ÐÉÍÁÊÁ öáßíåôáé üôé, üôáí ç ÐÉÍÁÊÁÓ ìåôáâëçôþ äéðëáóéüæåôáé, ôüôå ç y y ãßíåôáé ç ìéóþ, üôáí ç ìåôáâëçôþ 2 ôñéðëáóéüæåôáé, ôüôå ç y ãßíåôáé 2 6 ôï /3 ê.ï.ê. ËÝìå üôé ç y åßíáé 3 4 áíôéóôñüöùò áíüëïãç ôçò Þ óõìâïëéêü y 4 3. ÅðåéäÞ óôéò áíôéóôñüöùò áíüëïãåò ðïóüôçôåò ôï ãéíüìåíï äýï áíôßóôïé ùí ôéìþí åßíáé óôáèåñü, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå. y = k üðïõ k åßíáé ìßá óôáèåñü Þ y k Ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y óõíáñôþóåé ôçò åßíáé ìßá êáìðýëç. Áí üìùò èåùñþóïõìå ùò áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ ôçí ðïóüôçôá, ôüôå ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ðïõ èá ðñïêýøåé åßíáé åõèåßá ðïõ äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. ÐáñÜäåéãìá Ãéá óôáèåñþ äýíáìç F, ç åðéôü õíóç á ðïõ áðïêôü Ýíá óþìá åßíáé áíôéóôñüöùò áíüëïãç ôçò ìüæáò ôïõ. á F m
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò 0.3 Ç êëßóç ôçò ãñáììþò óå ìßá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç Êëßóç ãñáììéêþò óõíüñôçóçò Áò èåùñþóïõìå ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ìéáò ãñáììéêþò óõíüñôçóçò ð.. ôçò y = á, ç ïðïßá åßíáé åõèåßá. Ãéá íá âñïýìå ôçí êëßóç ôçò åõèåßáò, ó åäéüæïõìå Ýíá ìåãüëï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ, üðùò öáßíåôáé óôçí åéêüíá. Âñßóêïõìå ôéò ôéìýò ôùí äýï êüèåôùí ðëåõñþí ôïõ óôéò áíôßóôïé åò ìïíüäåò ôùí áîüíùí. ÁÂ = Äy = y 2 -y êáé ÃÁ = Ä = 2 - Õðïëïãßæïõìå Ýðåéôá ôçí êëßóç ôçò ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò áðü ôï ëüãï ôùí äýï áõôþí ðëåõñþí ôïõ ôñéãþíïõ Êëßóç ÁÂ ÃÁ Äy Ä y y 2 2 ÖõóéêÞ óçìáóßá ôçò êëßóçò óå ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò Ç êëßóç ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò Ý åé óå ðïëëýò ðåñéðôþóåéò êüðïéá öõóéêþ óçìáóßá: åßíáé ßóç ìå ôçí ôéìþ êüðïéïõ öõóéêïý ìåãýèïõò. Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò åðéìþêõíóçò óõíáñôþóåé ôçò äýíáìçò åßíáé ßóç ìå ôï áíôßóôñïöï ôçò óôáèåñüò k ôïõ åëáôçñßïõ y F k H êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò åðéôü õíóçò óõíáñôþóåé ôçò äýíáìçò åßíáé ßóç ìå ôï áíôßóôñïöï ôçò ìüæáò m ôïõ óþìáôïò á F m Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ óôçí åõèýãñáììç ïìáëþ êßíçóç åßíáé ßóç áñéèìçôéêü ìå ôçí ôá ýôçôá ôïõ êéíçôïý Ä 2 õ Ät t t 2
Åñãáóôçñéáêüò ïäçãüò Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò ôá ýôçôáò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ óôçí åõèýãñáììç ïìáëü åðéôá õíüìåíç êßíçóç åßíáé ßóç áñéèìçôéêü ìå ôçí åðéôü õíóç ôïõ êéíçôïý Äõ Ät õ õ0 t á Êëßóç óå ìç ãñáììéêþ óõíüñôçóç ¼ôáí ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç åßíáé êáìðýëç ãñáììþ ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí êëßóç ôçò ãéá äýï óçìåßá ôçò Þ ãéá Ýíá. Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ ãéá äýï óçìåßá ôçò êáìðýëçò åßíáé ßóç ìå ôçí áñéèìçôéêþ ôéìþ ôçò ìýóçò ôá ýôçôáò õ ì ôïõ êéíçôïý. ÁÂ ÃÁ Ä Ät t t 2 2 Ç êëßóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò áðüóôáóçò óõíáñôþóåé ôïõ ñüíïõ óå Ýíá óçìåßï (äçëáäþ óå ìéá ñïíéêþ óôéãìþ t ) âñßóêåôáé, áí öýñïõìå ôçí åöáðôïìýíç óôï óçìåßï áõôü êáé ó çìáôßóïõìå Ýíá ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ. Ç êëßóç ôçò åöáðôïìýíçò åßíáé ßóç ìå ôçí ôéìþ ôçò óôéãìéáßáò ôá ýôçôáò ôïõ êéíçôïý. ÁÂ ÃÁ Ä Ät B Ät õ 0.4 Ôï åìâáäüí ãñáöéêþò ðáñüóôáóçò Óå ðïëëýò ðåñéðôþóåéò ôï åìâáäüí ðïõ ïñßæåôáé áðü ôç ãñáììþ ôçò óõíüñôçóçò y=f(), áðü ôïí Üîïíá ôùí ôåôìçìýíùí êáé ôá üñéá ìåôáâïëþò ôçò ôåôìçìýíçò Ý åé áîéïóçìåßùôç öõóéêþ óçìáóßá. Óå êüèå äéüãñáììá ôï åìâáäüí åßíáé ßóï áñéèìçôéêü ìå ôçí áðüóôáóç ðïõ äéþíõóå ôï êéíçôü. Óå êüèå äéüãñáììá ôï åìâáäüí åßíáé ßóï áñéèìçôéêü ìå ôï Ýñãï W ðïõ ðáñþãáãå ç äýíáìç F.
Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κινηµατική Εξάσκηση στα διαγράµµατα υ t και t υ (m/s) 20 6 2 8 2 4 0 2 4 6 8 0 t (s) 00 (m) 2 80 60 40 20 0 2 4 6 8 0 t (s) ύο αυτοκίνητα Α και Α 2 κινούνται ευθύγραµµα στον ίδιο δρόµο και ένας πεζός στέκεται στο δρόµο και αρχίζει να παρατηρεί τις δύο κινήσεις τους τη χρονική στιγµή t ο =0. Στα πιο πάνω διαγράµµατα απεικονίζονται οι ταχύτητες υ, υ 2 και οι θέσεις, 2 των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση µε το χρόνο t, όπως τις καταγράφει ο πεζός, από τη στιγµή µηδέν µέχρι τη στιγµή t=0s (δηλαδή για: 0 t 0s).. Από 0 έως 2s τα δύο αυτοκίνητα κινούνται οµαλά. _Σ Λ_ 2. Από 0 έως 0s το Α κάνει οµαλή κίνηση ενώ το Α 2 κάνει οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση. _Σ Λ_ 3. Τη στιγµή t=0 τα δύο αυτοκίνητα βρίσκονται στην ίδια θέση. _Σ Λ_
Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κινηµατική 4. Τη στιγµή t=5s το Α έχει µετατοπιστεί κατά 50m. _Σ Λ_ 5. Τα Α, Α 2 συναντώνται δύο φορές στο χρονικό διάστηµα των 0s. _Σ Λ_ 6. Τη στιγµή t=5s το Α 2 προλαβαίνει το Α και το προσπερνά. _Σ Λ_ 7. Οι µετατοπίσεις των δύο αυτοκινήτων κατά το χρονικό διάστηµα από 0 έως 5s είναι ίσες. _Σ Λ_ 8. Η µετατόπιση του Α 2 στη διάρκεια των 0s είναι κατά 20m µεγαλύτερη από αυτή του Α. _Σ Λ_ 9. Το Α κινείται πιο αργά από το Α 2 για χρονικό διάστηµα 6s. _Σ Λ_ 0. Το εµβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της υ (t) και τον άξονα των χρόνων, από 0 έως 0s, εκφράζει τη θέση στην οποία έχει φτάσει το Α τη στιγµή 0s. _Σ Λ_. Η επιτάχυνση του 2 ου αυτοκινήτου τη στιγµή 2s είναι α=4m/s². _Σ Λ_ 2. Τη στιγµή 8s το Α 2 έχει πάλι ίδια επιτάχυνση α =4m/s². _Σ Λ_ 3. Η κίνηση του 2 ου αυτοκινήτου από 0 έως 5s είναι οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα, ενώ από 5s έως 0s οµαλά επιβραδυνόµενη µε αρχική ταχύτητα 20m/s. _Σ Λ_ 4. H εξίσωση της ταχύτητας του Α 2 είναι στο S.I. (επιλέξτε το σωστό): 4 t (0 t < 5) 4 t (0 t < 5) Α. υ 2 = 20 4 t (5 t 0) Β. υ 2 = 20 4 (t 5) (5 t 0) 5. H εξίσωση της θέσης του Α 2 είναι στο S.I. (επιλέξτε το σωστό): 2 t² (0 t< 5) Α. 2 = 50 + 20 t 2 (t 5)² (5 t 0) Β. 2 = 2 t² (0 t<5) 20 t 2 (t 5)² (5 t 0) 6. H εξίσωση της θέσης του Α είναι στο S.I. (επιλέξτε το σωστό): Α. = 8 t (0 t 0) Β. = 0 + 8 t (0 t 0) 7. Ένας δεύτερος πεζός αρχίζει να παρατηρεί την κίνηση των δύο αυτοκινήτων αργότερα από τον πρώτο και συγκεκριµένα τη στιγµή που το ένααυτοκίνητο προσπερνά το άλλο! Η στιγµή έναρξης της παρατήρησης είναι για τον 2 ο πεζό (επιλέξτε το σωστό): Α. t o = 0s Β. t o = 5s Γ. t o = 0s 2
Υλικό Φυσικής-Χηµείας Κινηµατική 8. Τώρα το δύσκολο! Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της θέσης των δύο αυτοκινήτων στο S.I., όπως ισχύουν για τον 2 ο πεζό: υ =.. =.. + 8 (t.. ) (0 t 0) υ 2 =. + 4 (t. ) 2 =. +. (t. ) + 2 (t. )² (0 t <. ) υ 2 =. 4 (t. ) 2 =. +. (t. ) 2 (t. )² (. t < 0) 9. Και τώρα το ακατόρθωτο! Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας και της θέσης του 2 ου αυτοκινήτου στο S.I., για την επιταχυνόµενη µόνο κίνησή του (δηλαδή από 0 έως 5s), θεωρώντας όµως ως στιγµή «έναρξης» της παρατήρησης τη στιγµή t o =0s! υ 2 =. + 4 (t. ) 2 =. +. (t. ) + 2 (t. )² (0 t < 5) 20. Και τέλος ένα κάπως πιο εύκολο, για να συνέλθουµε από το προηγούµενο! Αν τη στιγµή 0s µηδενιστεί η επιτάχυνση του 2 ου αυτοκινήτου, ποια στιγµή θα βρεθούν ξανά και τα δύο αυτοκίνητα στην ίδια θέση; www.ylikonet.gr 3