ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: 5(ΠΕΝΤΕ) ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι g g, Μονάδες 7 Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α3. Αν,,..., ν είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w, w,..., w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε τον σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για τη συνάρτηση ισχύουν 0 0 για 0 α,β, α, 0 και 0 στο 0 διάστημα. α,β για 0 0 στο,β, τότε η παρουσιάζει ελάχιστο στο β) Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. γ) Η διακύμανση των παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Αν για τους συντελεστές μεταβολής των δειγμάτων Α και Β ισχύει CV >CV, τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφανίζει μεγαλύτερη ομοιογένεια B A από το δείγμα Α. ε) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε η έκφραση «η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β» δηλώνει ότι Α Β. Μονάδες 0 Έστω Α, Β και Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, A B και A B ανήκουν στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης 3 8 6 0. Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ ανήκει στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης 9 3 0. Β. Να αποδείξετε ότι P(A), P(A B) και P(A B). 3 4 Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(A B ), καθώς επίσης και την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ: «πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Β3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Β4. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. Μονάδες 8 Μονάδες 6 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής Χ, τις οποίες ομαδοποιούμε σε 5 ισοπλατείς κλάσεις, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα Ι, όπου i%, i,,3,4,5 είναι οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό των αντιστοίχων κλάσεων. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Δίνεται ότι : Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μικρότερες του 0 είναι 0%. Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 6 είναι 30%. Στο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων, η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην 3 η κλάση είναι 08 ο. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 4. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Kλάσεις i % [8, 0) [0, ) [, 4) [4, 6) [6, 8) ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Γ. Να αποδείξετε ότι % 0, % 0, 3 % 30, 4% 0, 5% 30. Δεν είναι απαραίτητο να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον Πίνακα Ι συμπληρωμένο. Μονάδες 6 Γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι 6,6,57. Μονάδες 7 Γ3. Έστω,, 3 και 4 τα κέντρα της ης, ης, 3 ης και 4 ης κλάσης αντίστοιχα και ν, ν, ν 3 και ν 4 οι συχνότητες της ης, ης, 3 ης και 4 ης κλάσης αντίστοιχα. Αν 4 i ν 780, βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων του δείγματος. i i Μονάδες 5 Γ4. Έστω,, 3, 4, 5 πέντε τυχαία επιλεγμένες παρατηρήσεις διαφορετικές μεταξύ τους από το παραπάνω δείγμα ν παρατηρήσεων. Ορίζουμε ως τη μέση τιμή των πέντε αυτών παρατηρήσεων και S α την τυπική τους απόκλιση. i Εάν, για i=,, 3, 4, 5, να δείξετε ότι η μέση τιμή του δείγματος i S β i, i=,, 3, 4, 5 είναι ίση με 0 και η τυπική του απόκλιση S β είναι ίση με. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=5 και ορθογώνιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτόν με πλευρά ΑΒ=, όπως φαίνεται στο Σχήμα Ι. A Β Δ Ο Γ ΣΧΗΜΑ Ι Δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ως συνάρτηση του, δίνεται από τον τύπο () 00, 0 0. Μονάδες 4 Δ. Να βρείτε την τιμή του για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο. Για την τιμή αυτήν του, δείξτε ότι το ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Μονάδες 5 ( ) 99 Δ3. Να υπολογίσετε το όριο lim 0 98 Μονάδες 8 Δ4. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν P(A-B)>0, να δείξετε ότι P(A B) P(A) 00 P (A) 00 P (A B).. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σχολ. βιβλίο σελ. 3. Α. Λέµε ότι µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 του πεδίου ( 0+ h) ( 0) ορισµού της, όταν και µόνον όταν το lim υπάρχει και h 0 h είναι πραγµατικός αριθµός. Α3. Ορισµός, σχολ. βιβλίο σελ. 86-87. Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης ( )( ),,, µε < <. 3 4 4 3 Επειδή Α Β Α Α Β 3 8 6 + = 0 είναι έπεται Ρ( Α Β) Ρ( Α) Ρ( Α Β). Ρ Α Β =, Ρ Α =, Ρ Α Β =. 4 3 Έτσι προκύπτει ( ) ( ) ( ) Β. ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ Α Β = Ρ Α + Ρ Β Ρ Α Β 5 = + Ρ( Β) Ρ( Β ) =. 3 4 Για το ενδεχόµενο Α Β είναι: Α Β = Α Β = Α Β = Β Α ( ). 5 5 3 Ρ Α Β = Ρ Β Α = Ρ Β Ρ Α Β = = = =. 4 6 Α Β οπότε Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) Το ενδεχόµενο ισούται µε ( ), 3 Ρ( ) = Ρ ( Α Β ) = Ρ( Α Β ) = =. 4 4 ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ
Β3. Το ενδεχόµενο Ε ισούται µε ( A B) ( B A) οπότε P( E) P ( A B) ( B A) P( A) P( A B) P( B) P( A B) = = + = 5 = P( A) + P( B) P( A B) = + =. 3 4 4 Β4. Η εξίσωση 9 3 = 0, έχει ρίζες =, =. Άρα P( Γ ) =. 3 3 3 Αν τα ενδεχόµενα Β, Γ ήταν ασυµβίβαστα θα ήταν 5 3 P( Β Γ ) = P( Β ) + P( Γ) P( Β Γ ) = + P( Β Γ ) = >, άτοπο. 3 Άρα τα Β, Γ δεν µπορεί να είναι ασυµβίβαστα. ΘΕΜΑ Γ Γ. Από τα δεδοµένα προκύπτει % = 0 και % 30 5 =. Επίσης είναι 08 3= = 0,3 360 Άρα % = 30 3 Τα κέντρα των κλάσεων είναι = 9, =, 3= 3, 4= 5, 5= 7. Από τον τύπο 5 i i προκύπτει i= = 4 = 9 0,+ + 3 0,3 + 5 + 7 0,3 4 4 = + 5 4 + 9.9 + 5 4 = 4, () Επίσης είναι + + + + + 0,+ + 0,3+ + 0,3 = + 4 = 0.3 (). 3 4 5 4 + 5 4 = 4, Από το σύστηµα των (), () : + 4 = 0,3 4= 0,. Άρα % = 0 και % = 0. 4 Κλάσεις % [8, 0) 0 [0, ) 0 [, 4) 30 [4, 6) 0 [6, 8) 30 S i i v i = προκύπτει = 0, και ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ S = v Γ. Από τον τύπο ( ) v 5 5 i i i i= v i= i προκύπτει S = ( ) S = ( ) Έτσι S ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + = 3 3 4 4 5 5.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0, 9 4 + 0, 4 + 0,3 3 4 + 0, 5 4 + 0,3 7 4 = = 0, 5 + 0, 9 + 0,3 + 0, + 0,9 9 =,5 + 0,9 + 0,3 + 0, +, 7 = 6, 6. S = 6, 6 άρα S= 6,6, 57. S,57 Ισχύει ότι CV= = 0,8> 0,. 4 Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. 5 4 ν i i ν i i + ν 5 5 i= i= 780 + 5 ν 5 Γ3. Ισχύει ότι = = 4 = ν ν ν 780 4 ν = 780 + 0,3 ν 7 4 ν 5, ν = 780 8,9 ν = 780 ν = 8,9 ν = 00 Γ4. Από την εφαρµογή της σελ 99 του σχολικού βιβλίου προκύπτει ότι αν δυο µεταβλητές, y συνδέονται µε τη σχέση Υ = α X + β όπου α, β R, τότε y= + β και S = S. y i Από το δεδοµένο βi = βi = i, προκύπτει ότι οι µεταβλητές S S S α, β συνδέονται µε τη σχέση β=. S S Άρα ΘΕΜΑ. β = 0 S S = και Α S β= S S. S = S = Ο ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ Το τµήµα ΑΒ=, είναι χορδή του κύκλου, άρα 0 < < ρ 0 < < 0. Η γωνία ΑΒ είναι ορθή, άρα η χορδή Β είναι διάµετρος του κύκλου. Β Γ
Έτσι από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ είναι ΑΒ=, Β = 0 και άρα Α = 0 = 00. Το εµβαδό του ορθογωνίου ΑΒΓ είναι AB A 00 ( ) = =.. Η είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (0,0) µε 00 ( ) = 00 + = 00 =. 00 00 00 ( ) = 0 00 = 0 = 50 = 50 ή = 50. Επειδή ( 0,0) προκύπτει = 50= 5. Προκύπτει ο επόµενος πίνακας µεταβολής. 0 + 5 ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ - τ.µέγιστο Συµπεραίνουµε ότι για την τιµή = 5 η παρουσιάζει µέγιστο. Για την τιµή αυτή είναι Α = 00 = 00 50 = 50, δηλ. Α = ΑΒ, οπότε το ορθογώνιο ΑΒΓ είναι τετράγωνο. 3. Παρατηρούµε ότι 99 = 00 = ( ). ( + ) 99 ( + ) ( ) Έτσι lim lim = = 98 98 0 0 00 98 99 ( ) 98 98 98 99 = = = = =. 00 99 99, άρα P( A B) P( A) και επειδή P( A B) > 0, P( A) είναι: 0< P( A B) P( A) < 5. 4. Είναι A B A Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( ) 0,5 άρα ( ) ( ) ( ) 00 ( ) ( ) 00 ( ) P( A B) P( A) (). 00 P ( A) 00 P ( A B) P A B P A P A B P A B P A P A 0
Είναι P( A B) P ( A B) 0, άρα ( ) ( ) ( ) P A B 00 P A B 99 00 P A B 99 99 ( ) 00 P A B Επειδή P( A) 0 Τελικά 0 και, προκύπτει 99 ( ) 00 P A B ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A <. 00 P A 00 P A B ( ) ( ) Όµως η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( ) P( A B) P( A). 00 P ( A) 00 P ( A B) P A 00 P A B 99 <. 0,5 άρα ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÈÅÌÅËÉÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ