P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

Transcript

1 ΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΝΕΛΛΔΙΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ Γ ΤΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ Ι ΕΠΛ (ΟΜΔ Β ) ΠΡΣΕΥΗ 0 ΜΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΖΟΜΕΝΟ ΜΘΗΜ: ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜ 1. ν A και A είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες. Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 A ; Μονάδες. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ν και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Β, τότε για τις πιθανότητές τους ισχύει P(A) P(Β). β) Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος ή σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς. γ) ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες, τότε ισχύει ότι: (f() g()) = f ()g() + f()g (). δ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. ε) ν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f() > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Μονάδες 10 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜ Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 5 f() = + 6 1,. Β1. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 9 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της A(0,f(0)). Μονάδες Β. Να υπολογίσετε το όριο ΘΕΜ Γ f() 1 lim Μονάδες Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά της ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησής τους. Γ1. Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος χρησιμοποιώντας ένα δενδροδιάγραμμα. Μονάδες Γ. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: A: «τo πρώτο παιδί είναι κορίτσι» Β: «ο αριθμός των κοριτσιών υπερβαίνει τον αριθμό των αγοριών» Γ: «τα δύο πρώτα παιδιά είναι του ίδιου φύλου». Μονάδες 6 Γ. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:, Δ = A B Ε = A B, Ζ= Γ Ε. (μονάδες 9 ) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Η: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα,β» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα,β». (μονάδες 6 ) Μονάδες 15 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜ Δ Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν ν υπολογιστές για να τρέξουν ένα πρόγραμμα, έχουν ομαδοποιηθεί σε ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιμή i Συχνότητα ν i [, ) 0 [, ) 1 15 [, ) 10 [, ) ν ΣΥΝΟΛΟ ν=... Δ1. Να αποδείξετε ότι c=. Μονάδες Δ. ν η μέση τιμή των χρόνων είναι = 1, να αποδείξετε ότι ν = 5 (μονάδες ) και στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο (μονάδες ). Μονάδες 6 Δ. ν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, να βρείτε πόσοι υπολογιστές χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραμμα. Μονάδες 5 Δ. Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s= και να εξετάσετε αν το δείγμα των χρόνων είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 Δ5. ντικαθιστούμε τον επεξεργαστή κάθε υπολογιστή με έναν ταχύτερο και βρίσκουμε ότι κάθε υπολογιστής τρέχει τώρα το πρόγραμμα στο 0% του χρόνου που χρειαζόταν πριν. Να εξετάσετε ως προς την ομοιογένεια το καινούργιο δείγμα χρόνων. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ Σ ΝΕΟ & ΠΛΙΟ ΣΥΣΤΗΜ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνωπάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. ατά την αποχώρησή σας, να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει.. άθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 10.0 π.μ. ΣΣ ΕΥΧΟΜΣΤΕ KΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΜΘΗΜΤΙ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΕΝΔΕΙΤΙΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΠΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 016 ΘΕΜ 1. πόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 7. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 1. α) ΣΩΣΤΟ σελ.151 ΘΕΜ B β) ΛΘΟΣ σελ. 6 γ) ΣΩΣΤΟ σελ. 1 δ) ΣΩΣΤΟ σελ.67 ε) ΛΘΟΣ σελ.0 5 f()= 6 1 για κάθε R B1. Οπότε για κάθε f ()= -5+6 Είναι R έχουμε: f ()=0-5+6=0 = ή = - + f () f() H f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, ] και στο [, + ) ενώ είναι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] 11 Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 1 = με τιμή f()= H f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο = με τιμή f()= 7

6 B. Έστω y=λ+β η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f. Βρίσκω f(0)= -1 Το σημείο M(0, f(0)) είναι Μ(0, -1) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εξίσωσης είναι λ=f (0)= 6 Υπολογίζω το β : -1=60+β 1 Επομένως η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f είναι : y=6-1 B. Είναι lim 1 f lim 1 / ΘΕΜ Γ ( ) 1 lim lim lim Γ1. ΡΧΗ

7 Γ. AAA, AAK, AKK, AKA, KKK, KKA, KAK, KAA A KKK, KKA, KAK, KAA B AKK, KKK, KKA, KAK AAA, AAK, KKK, KKA Γ. α),, άρα ( ) 5,,,, άρα ( ) 1, άρα ( ) ' β) φού 1, 1

8 ΘΕΜ Δ Δ1. Το πλάτος κάθε κλάσης είναι c. Οπότε: 1 η κλάση: [,+c) η κλάση: [+c, +c) Η κεντρική τιμή της ης κλάσης είναι: 1 οπότε: c c 1 c 16 c 16 c 1 c Δ. Χρόνος εντρική τιμή Συχνότητα (σε λεπτά) i ν i i v i [,1) [1,16) [16,0) [0,) v =5 v ΣΥΝΟΛΟ v=5+v 590+v πό τον τύπο της μέσης τιμής 1 v v i i έχουμε: 1 v 5 v i1 5 v v 601v 590 v v 0 v 5

9 Άρα Χρόνος (σε λεπτά) εντρική τιμή i i συχνότητα v i v i [,1) 10 0 [1,16) 1 15 [16,0) 1 10 [0,) 5 ΣΥΝΟΛΟ 50 Δ. Επειδή οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες έχουμε: πό την 1 η κλάση: v η κλάση: v 15 η κλάση: v 10 η κλάση: v 5 Οπότε οι υπολογιστές που χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά είναι: ν 1 + ν + ν + ν = =5 υπολογιστές. Δ. πό τον τύπο της διακύμανσης έχουμε: s v 1 i1 i v i Χρόνος (σε λεπτά) [,1) [1,16) [16,0) [0,) ΣΥΝΟΛΟ s 16 ά 50 Άρα Οπότε s= λεπτά i v i i i vi

10 CV s 1 7 Επειδή 1 το δείγμα δεν είναι ομοιογενές 7 10 Δ5. Επειδή ο επεξεργαστής του υπολογιστή είναι ταχύτερος τότε η νέα μέση τιμή γίνεται: y αι s y s 10 CV s y y s s CV Τότε y Άρα η ομοιογένεια δεν μεταβάλλεται.