ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α A. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7 A. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. Μονάδες 4 A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f ; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z = z (μονάδες ) β) Αν μια συνάρτηση f είναι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη. γ) Αν lim f ( ) =, τότε lim f ( ) ( ) =+ (μονάδες ) (μονάδες ) δ) Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) f( ) g ( ) (μονάδες ) ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. (μονάδες ) Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w για τους οποίους η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, την = w 4 i = z, B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =, καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,) και ακτίνα ρ = 4 Μονάδες 8 B. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους. Μονάδες 5 B. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, w του ερωτήματος Β να αποδείξετε ότι: z w και z+ w Μονάδες 6 B4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει: ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ( ) ( ) z z zz = 5 f + f () = f () για κάθε f() = για την οποία ισχύουν: Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 Γ. Να αποδείξετε ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ f( ) =, + και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του ερωτήματος Γ. Μονάδες 4 Γ. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση: ( + ) ( + ) f 5( ) 8 f 8( ) Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ξ ξ () = ξ( ξ ) ( ξ ξ) f t dt f Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f: [,+ ) δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [, + ), για την οποία ισχύουν: u ( f () t ) f = + dt du f() t ( ) για κάθε > f( ) f ( ) για κάθε > και f( ) = Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: ( ) ( ) f g() = με f ( ) > και h( ) f ( ) = με ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ. Nα αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) f f + = f για κάθε > Μονάδες 4 Δ. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f στο (, + ) (μονάδες 4) β. Να αποδείξετε ότι f ( ) = (μονάδες ) Μονάδες 7 Δ. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (, + ), να αποδείξετε ότι: α. g( ) για κάθε (, + ) f d < β. ( ) ( ) (μονάδες ) (μονάδες 4) Μονάδες 6 Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες = και = Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 8: KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ IOYNIΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤA MAΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α4. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. Η εξίσωση γίνεται : - w i + z = Πρέπει Δ = - w i - 4 z = w i w i = 6 z z = () 6 -β w i Το είναι διπλή ρίζα άρα = = α 4 w i = 4 () ος τρόπος ος τρόπος Το είναι ρίζα της εξίσωσης άρα ( ) w i - w i + z = - w i w i + w i = = w i - 4 = w i - 4 = w i = 4 () Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ο κύκλος C με κέντρο Κ (4, ) και ακτίνα ρ = 4 () 4 ( ) z = z = Κ 6 Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος C με κέντρο O (, ) και ακτίνα ρ = Σ

7 B. (ΟΚ) = (4 - ) + ( - ) y = = 5 = 5 Είναι (ΟΚ) = ρ + ρ, άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά σε ένα σημείο Α (σχήμα) Επομένως υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους. O A 4 K B. w = (OB) = (OK) + ρ = = 9 ma y z - w z + -w B z - w + w z - w + w ma z - w + 9 K z - w z + w z + w O A 4 z + w + w z + w + w ma z + w + 9 z + w

8 z - z - zz = 5 z (z - - z) = 5 B4. (-) + 4Im(z) z = z z - z - = 5 (z - z) - = 5 Im(z) i - = Im(z) i = 5 = Im (z) = 5 6Im (z) = 6 Im (z) = Im(z) = z = Re (z) + Im (z) = Re (z) + = Re (z) = Re(z) = Eπομένως z = ± i ΘΕΜΑ Γ Γ. Για κάθε ΙR είναι : f () + [f () - ] = -f () f () + f () - + f () = f () - + f () = από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι f () - + f () = c Για = έχω : f () - + f () = c c = Επομένως για κάθε ΙR είναι : f () - + f () = f () + f () = ( + )f () = f () = + f () = = + ( + ) ( + ) - ( ) ( + ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) και το "=" ισχύει μόνο για = άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR

9 Γ. Η f είναι συνεχής στο IR, άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες f () im = im + = im = im = = λ imf () - λ = im - = im = im = = β άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο - την y = f f () im = im + = im = im = = λ im f () - λ = im - = im = im = = β άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την y = f Γ. f 5( + ) - 8 f 8( + ) 5( + ) - 8 8( + ) 5( + ) 8( + ) + 8 5( + ) 8 ( + ) + ( + ) ( + ) f + f f + - f

10 - Γ4. Έστω συνάρτηση h, με h () = f (t) dt,, Η συνάρτηση f είναι συνεχής άρα η συνάρτηση f, με f () = f (t) dt είναι παρ/μη στο [, ],άρα και συνεχής η h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις των συνεχών f, f, με f () = - και f, με f () =. η h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων με - h () = f f (t) dt h () = f (t) dt = και h = f (t) dt = Άρα από θ. Rolle η εξίσωση h () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ξ -ξ f (t) dt = -ξ (ξ - ) f (ξ - ξ). ΘΕΜΑ Δ u f (t) - Δ. f () = + dt du () f (t) Παραγωγίζουμε την () και έχουμε : f (t) - f () = + dt, > f (t) () Παραγωγίζουμε την () και έχουμε για κάθε > f () - f () = f () f () = f () - f () f () f () + = f ()

11 Δ.α. Είναι f (). f (), για κάθε >,άρα f () και f (). Η f είναι συνεχής στο (, +) και f (), για κάθε >, άρα από συνέπειες θ. Bolzano, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, +). Είναι u f (t) - f () = + dt du = >, f (t) επομένως f () >, για κάθε >. Η f είναι συνεχής στο (, +) και f (), για κάθε >, άρα από συνέπειες θ. Bolzano, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, +). f (t) - Είναι f () = + dt = >, f (t) επομένως f () >, για κάθε >. β. f () = + f () f (), για κάθε > Eίναι f () >, για κάθε >, άρα f ()= + f () f () Η f είναι συνεχής στο =, άρα f () = im im im im f () = + f () f () = + f () f () f () = = + f () f () = = f () f () f () - f () () - Δ.α. g () = = = f () f () f () f () - - g () = = = και g () = = = - f () f () (ε) : εφαπτομένη της C στο σημείο Μ (, g ()) (ε) : y - g () = g () ( - ) y = - + g H g είναι κυρτή άρα η C βρίσκεται πάνω από την (ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Μ, άρα g () -, για κάθε > g

12 Δ.β. Για κάθε > είναι : f ()> f () g () - - f () ( - ) f () f () Για = είναι : f () > ( - ) f () άρα f () ( - ) f (), για κάθε f () - ( - ) f (), για κάθε και το "=" δεν ισχύει παντού Eπομένως f () -( - ) f () d > f () d - ( - ) f () d > f () > ( - ) f () d f () - f () > > ( - ) f () d ( - ) f () d ( - ) f () d > Δ4. Eίναι h () >, για κάθε [, ] () Ε = f () d = f () f () d = f () f () - f () f () f () d = f () f () - f () f () = - f () - f () d = - f () d + f ()d f () - f () - d Άρα Ε = - Ε + f () Ε = + f () - f () Ε = + E = E = τ.μ.