ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α A. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 7 A. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. Μονάδες 4 A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ποια σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f ; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z = z (μονάδες ) β) Αν μια συνάρτηση f είναι στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη. γ) Αν lim f ( ) =, τότε lim f ( ) ( ) =+ (μονάδες ) (μονάδες ) δ) Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο ισχύει: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) f( ) g ( ) (μονάδες ) ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. (μονάδες ) Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w για τους οποίους η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, την = w 4 i = z, B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ =, καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(4,) και ακτίνα ρ = 4 Μονάδες 8 B. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους. Μονάδες 5 B. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, w του ερωτήματος Β να αποδείξετε ότι: z w και z+ w Μονάδες 6 B4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει: ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ( ) ( ) z z zz = 5 f + f () = f () για κάθε f() = για την οποία ισχύουν: Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

3 Γ. Να αποδείξετε ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ f( ) =, + και στη συνέχεια ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f του ερωτήματος Γ. Μονάδες 4 Γ. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση: ( + ) ( + ) f 5( ) 8 f 8( ) Μονάδες 7 Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: ξ ξ () = ξ( ξ ) ( ξ ξ) f t dt f Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f: [,+ ) δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [, + ), για την οποία ισχύουν: u ( f () t ) f = + dt du f() t ( ) για κάθε > f( ) f ( ) για κάθε > και f( ) = Θεωρούμε επίσης τις συναρτήσεις: ( ) ( ) f g() = με f ( ) > και h( ) f ( ) = με ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ. Nα αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) f f + = f για κάθε > Μονάδες 4 Δ. α. Να βρείτε το πρόσημο των συναρτήσεων f και f στο (, + ) (μονάδες 4) β. Να αποδείξετε ότι f ( ) = (μονάδες ) Μονάδες 7 Δ. Δεδομένου ότι η συνάρτηση g είναι κυρτή στο (, + ), να αποδείξετε ότι: α. g( ) για κάθε (, + ) f d < β. ( ) ( ) (μονάδες ) (μονάδες 4) Μονάδες 6 Δ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες = και = Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 8: KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

6 Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων Στο μάθημα: «Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης» ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕ.Λ. Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Πέμπτη, Ιουνίου Θέμα Α: Α. Θεωρία, σελ.7 Σχολικό Βιβλίο (απόδειξη) Α. Θεωρία, σελ.6 Σχολικό Βιβλίο (διατύπωση θεωρήματος) Α. Θεωρία, σελ. 6 Σχολικό Βιβλίο (Κρίσιμα σημεία λέγονται τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος της είναι μηδέν) Α4. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Σωστό Θέμα Β Β.Αφού το είναι διπλή ρίζα της δοθείσας εξίσωση θα έχουμε: w 4 6 z () w 4 z w 4 z () Από τις σχέσεις () και () έχουμε: ( z ) 66 z z z ( z ) z και άρα η εκόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος κέντρου Ο(,) και ακτίνας Η σχέση () δίνει w 4 4 και άρα η εκόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος κέντρου K (4,) και ακτίνας 4. Β. Αν κ=α+βi ( a, ) ο μιγαδικός αριθμός που ανήκει ταυτόχρονα και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους θα έχουμε:

7 ( 4 )( 4 ) 6 kk 4k ki 4k 6 i ki i 9 6 4k 4k ki ki 9 4( k k ) i( k k ) a 5a 4 a (5 ) και άρα ο μιγαδικός κ είναι μοναδικός και είναι ο Β. Έχουμε : 4 k i 5 5 w 4 i w 4 4 w 5 4 w 9 z w z w 9 z w (, αντίστοιχα οι ακτίνες των δύο παραπάνω κύκλων) Β4. Έχουμε: z z zz 5 z z z 5 z z ( z a i, a, ) 4i , a Άρα οι ζητούμνοι μιγαδικοί αριθμοί είναι : z z i i Θέμα Γ Γ. Έχουμε διαδοχικά: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) (( ) ( )) ( ) f ( ) ( ) f c f () c c f f ( ) ( ) ( ),

8 Η f ε ιναι παραγωγίσιμη στο R με f ( ), και έτσι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. ( ) Γ. Για τις ασύμπτωτες: Δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες αφού lim f ( ), για κάθε Στο έχουμε: y f ( ) lim lim lim( f ( ) ) lim y Στο έχουμε f ( ) lim lim lim ( f ( ) ) lim y Άρα η f έχει ασύμπτωτη την y στο και Γ. Η ανίσωση,επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, θα γίνει διαδοχικά: f (5( ) 8) f (8( ) ) 5( ) 8 8( ) 5( ) 8(( ) ) ( ) 8 ( ) 5 f ( ) f () Γ4. Θεωρούμε την συνάρτηση του Rolle στο [,]. και εφαρμόζουμε το θεώρημα g( ) f ( t) dt, [,] Έχουμε: Η g είναι παραγωγίσιμη στο [,] με '( ) ( ) ( )( ) g f t dt f

9 g() g() Άρα υπάρχει,ένα τουλάχιστον, (,) : g ( ) f ( t) dt f ( )( ) Θέμα Δ u ( f ( t)) Δ. Θέτουμε: dt g( u) και η δοθείσα σχέση γίνεται: f ( t) Η συνάρτηση g( u) du είναι παραγωγίσιμη αφού και η ( f ( t)) u ( f ( t)) παραγωγίσιμη αφού η είναι συνεχής ως πάξεις συνεχών. f ( t) Παραγωγίζοντας την () για χ> έχουμε διαδοχικά: f ( ) h( ) f ( ) ( f ( t)) f ( t) dt ( f ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )), f f f f f ( ) f ( ) g( u) du. () dt h( u) είναι f ( t) Δ. α) Αφού f ( ) f ( ), και η f ( ) f ( ) είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) σημαίνει ότι διατηρεί σταθερό πρόσημο για χ>. f () f () f () f () Άρα f ( ) f ( ), για κάθε >, δηλαδή η f ( ), f ( ) έχουν το ίδιο πρόσημο και αφού f () f ( ) θα είναι f () f ( ),> β) Η σχέση του ερωτήματος Δ έχουμε (αφού και η f είναι συνεχής): lim( f ( )) ( f ()) ( f ()) lim( f ( ) f ( ) ) f () f () και άρα ( f ()) f () η f () αφού όμως f ( ), θα είναι f () 4

10 Δ. α) Θα βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο σημείο f () A(, g ()). Είναι g(). Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, ),ως πηλίκο f () f ( ) f ( ) ( f ( )) παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g ( ), με g () f ( ) y g ()( ) (αφούf ()=) και έτσι η εφαπτομένη είναι. Επειδή η g είναι κυρτή στο y (, ) θα έχουμε ότι g( ), (, ) β) Από την προηγούμενη σχέση θα έχουμε: f ( ) g( ) f ( ) ( ) f ( ), αφού f ( ) και άρα θα έχουμε f ( ) f ( ) d ( ) f ( ) d f () f () ( ) f ( ) d ( ) f ( ) d Δ4. Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι διαδοχικά και με την χρήση του ερωτήματος Δ. E( ) f ( ) f ( ) d f ( )( f ( )) d [ f ( ) f ( )) ] f ( ) f ( ) f ( ) ( f ( ) ) f ( ) d f ( ) d ( f ( )) d f () f () ( ) ( ) ( ) ( ) τ.μ. 5