Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή στα ροϊκά φαινόμενα

Κεφάλαιο Εισαγωγή στα οϊκά φαινόμενα Σύνοψη Η έννοια του ανοικτού συστήματος (όγκος ελέγχου) Ρυθμός μεταβολής των ιδιοτήτων του συστήματος Νόμος της συνέχειας Νόμος της ομής (δυνάμεις) Γενικευμένη εξίσωση της διατήησης της ενέγειας Τύποι οής των ευστών, η σημασία των απωλειών Εφαμογή του νόμου της διατήησης της ενέγειας σε υδαυλικό σύστημα Η έννοια του μανομετικού ύψους στις ευστοδυναμικές μηχανές Ποαπαιτούμενη γνώση Εφαμοσμένη Ρευστομηχανική Δημήτιος Παπανίκας Εκδόσεις MEDI GURU Κύια λήμματα: Ροϊκό σύστημα, όγκος ελέγχου, νόμος συνέχειας, νόμος της ομής, νόμος της ενέγειας. Μαθησιακοί στόχοι Ικανότητα του σπουδαστή να διαχειίζεται τους νόμους που διέπουν τη οή των ευστών. Κατανόηση της έννοιας του μανομετικού ύψους στις ευστοδυναμικές μηχανές.. Μοφές οής των ευστών - Η σημασία των απωλειών.. Στωτή ή Γαμμική οή Τυβώδης οή Το ιξώδες, μ, όπως αναφέθηκε στο Κεφάλαιο, είναι χαακτηιστική φυσική ιδιότητα των παγματικών ευστών και το αίτιο της δημιουγίας διατμητικών τάσεων, μεταξύ δύο διαδοχικών στωμάτων του ευστού που βίσκονται σε σχετική κίνηση (οή). Η λειτουγία του ιξώδους ποσομοιάζει με εκείνη της τιβής μεταξύ δύο κινουμένων στεεών επιφανειών σε επαφή. Τα λεπτόευστα υγά έχουν μικό ιξώδες ενώ τα παχύευστα μεγάλο. Ποφανώς το ιδανικό ευστό δεν παουσιάζει εσωτεική τιβή και δεν έχει ιξώδες. Δύο βασικές μοφές οής των ιξωδών ευστών, υγών, ή αείων, συναντώνται στις πακτικές εφαμογές. Η στωτή, ή στωματική, ή γαμμική (laminar) οή και η τυβώδης (turbulent) οή, η οποία κυιαχεί στα οϊκά φαινόμενα των εφαμογών της μηχανικής των ευστών. Στωτή, ή στωματική, ή γαμμική οή υφίσταται όταν τα δομικά στοιχεία του ευστού έουν, ομαλά, κατά στώματα, ή κατά γαμμές χωίς καμία συναλλαγή μάζας και ομής κάθετα πος την κίνηση των στωμάτων ή των γαμμών. Η στωτή οή δεν είναι ευσταθής και αν αυξηθεί η ταχύτητα, με ευκολία μεταβαίνει σε τυβώδη κατάσταση. Η τυβώδης οή ή τύβη χαακτηίζεται από χαοτική κίνηση των δομικών στοιχείων του ευστού. Ασταθείς στοβιλισμοί, κάθε κλίμακας, σχηματίζονται στη μάζα του ευστού και συναλλάσσουν μάζα και ομή, αλληλοεπιδώντας μεταξύ τους. Όταν ανοίγεται μια βύση σχετικά λίγο, παατηείται ότι το νεό τέχει στωτά, σχηματίζοντας ένα σχεδόν διαφανές εύμα. Εδώ η οή είναι γαμμική. Όταν όμως η βύση ανοίγεται ακετά, παατηείται ότι το νεό κινείται άτακτα πος τα κάτω, στοβιλίζεται (δημιουγείται τύβη) και το εύμα δεν είναι πλέον διαφανές. Εδώ πόκειται για τυβώδη οή. Όταν ένα εύμα ευστού, δεδομένης ταχύτητας, έει, εφαπτόμενο σε στεεό τοίχωμα (κυλινδικό, ή επίπεδο), η ταχύτητά του βαίνει μειούμενη, λόγω του ιξώδους, καθώς ποσεγγίζεται το στεεό αυτό όιο. Ακιβώς στη διεπαφή η ταχύτητα του ευστού θεωείται μηδενική. Το στώμα του ευστού, στο οποίο γίνεται βάθμωση της ταχύτητας, από τη μηδενική τιμή μέχι την ταχύτητα του ελευθέου εύματος, ονομάζεται οιακό στώμα (boundary layer). Το οιακό στώμα είναι στωτό ή τυβώδες, ανάλογα με το ιξώδες του ευστού, την τιμή της ταχύτητας του εύματος και το μέγεθος της ταχύτητας του στεεού οίου []... Μόνιμη Μεταβαλλόμενη οή Όταν οι τιμές των χαακτηιστικών ιδιοτήτων (πααμέτων) μιας οής, σε οποιοδήποτε σημείο του ευστού, δεν μεταβάλλονται με το χόνο, τότε η οή θεωείται μόνιμη (steady). Στη μόνιμη οή, σε οποιαδήποτε θέση της, θα ισχύει: 0 t

0 t T 0 t 0 t Δηλαδή δεν αλλάζει με το χόνο σε κάθε θέση του οϊκού πεδίου, η ταχύτητα, η πίεση, η θεμοκασία T και η πυκνότητα,, της οής. Τα μεγέθη αυτά μποεί να είναι διαφοετικά σε διάφοες θέσεις του οϊκού πεδίου, αλλά σε κάθε θέση πααμένουν σταθεά με το χόνο. Η τυβώδης οή χαακτηίζεται από διακύμανση των τιμών των χαακτηιστικών ιδιοτήτων της, σε κάθε θέση της, κατά τη διάκεια του χόνου. Στην πείπτωση αυτή, σημειώνεται με έμφαση ότι η οή είναι μόνιμη, όταν δε μεταβάλλεται με το χόνο η μέση τιμή του μεγέθους. Για παάδειγμα, έστω η ταχύτητα σε κάποιο σημείο τυβώδους οής διακυμαίνεται με το χόνο, σύμφωνα με την ακόλουθη γαφική απεικόνιση: Σχήμα.. Μόνιμη τυβώδης οή Η μέση ταχύτητα που είναι (t) t o dt πέπει να είναι σταθεή κατά την πάοδο του χόνου, για να t θεωηθεί η οή μόνιμη. [Σχήμα..]. Αν υπάχει μεταβολή της μέσης τιμής των χαακτηιστικών ιδιοτήτων της οής με το χόνο σε οποιοδήποτε σημείο του οϊκού πεδίου, τότε η οή ονομάζεται μεταβαλλόμενη [Σχήμα..] 0 t 0 t T 0 t 0 t Σχήμα.. Μεταβαλλόμενη τυβώδης οή

.3. Ομοιόμοφη Ανομοιόμοφη οή Ομοιόμοφη (homoeneous) χαακτηίζεται η οή που παουσιάζει αμελητέα σχετική κίνηση. Δηλαδή, στη οή αυτή το διάνυσμα της ταχύτητας πααμένει σταθεό, κατά μέτο, διεύθυνση και φοά σε οποιοδήποτε σημείο της οής, σε οποιονδήποτε χόνο. Σε κάθε άλλη πείπτωση η οή είναι ανομοιόμοφη. Στα επόμενα θα θεωηθεί ομοιόμοφη η οή σε σωληνωτούς αγωγούς σταθεής διατομής. Ανεξάτητα από το γεγονός ότι υπάχει βάθμωση της ταχύτητας από το κέντο του αγωγού πος τα τοιχώματα, όταν η μέση ταχύτητα διατηείται σταθεή χωικά και χονικά, τότε η οή θεωείται ομοιόμοφη..4.ροϊκή γαμμή Ροϊκή γαμμή (stream line) ονομάζεται η διαδομή ενός οϊκού δομικού στοιχείου ευστού σε μόνιμη, στωτή οής. Η γαμμή που διαγάφεται έχει εφαπτόμενο, σε κάθε σημείο της, το διάνυσμα της ταχύτητας του ευστού [Σχήμα.3.]. Δηλαδή, αν d s είναι ένα στοιχειώδες τμήμα της γαμμής οής: d s dx, dy,d,, 0 x y Σχήμα.3. Ροϊκή γαμμή Αν x, y και είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας στις διευθύνσεις x, y και αντίστοιχα, τότε οι διαφοικές εξισώσεις μιας γαμμής οής ποκύπτουν από την ανάπτυξη της ποηγούμενης σχέσης, ως εξής: dx x dy y d Στη μόνιμη οή, αφού δε μεταβάλλεται η ταχύτητα σε κάθε σημείο, οι γαμμές οής θα είναι σταθεές στο χώο, τοχιές των σωματιδίων του ευστού. Δε συμβαίνει όμως το ίδιο στη μεταβαλλόμενη οή. Εδώ ένα σωματίδιο μποεί να διαγάφει μια γαμμή οής σε ένα δεδομένο χόνο και άλλη στην χονική στιγμή που ακολουθεί. Οι γαμμές οής μιας δισδιάστατης στωτής οής [Σχήμα.4.] μποούν να παατηηθούν και να καταγαφούν, διαχέοντας στο ευστό ιχνηλάτες, με τη μοφή μικοσκοπικών χωματισμένων σωματιδίων, τα οποία μποούν να παακολουθούν τη οή του ευστού. Σχήμα.4. Δισδιάστατη γαμμή οής [commons.wikimedia.or/wiki/file:streamlines_relatie_to_airfoil.pn]

.5. Αδιαβατική οή Ισεντοπική οή Όταν η κίνηση ενός ευστού γίνεται χωίς αυτό να συναλλάσσει θεμότητα με το πειβάλλον του, τότε η οή ονομάζεται αδιαβατική. Θεωείται μια αδιαβατική οή, η οποία γίνεται με αντιστεπτό τόπο. Δηλαδή, πέαν της απουσίας της συναλλαγής θεμότητας, και το έγο που γίνεται επί του ευστού παάγεται ή καταναλώνεται χωίς απώλειες (τιβές). Η οή αυτή ονομάζεται ισεντοπική, είναι ιδανική και χησιμοποιείται για σύγκιση με την παγματική.. Η έννοια του ανοικτού συστήματος (όγκος ελέγχου) Η οή ενός παγματικού ευστού είναι ένα σύνθετο, πολυπααμετικό φαινόμενο με ακετά δύσκολη εξέταση. Οι βασικοί νόμοι και εξισώσεις που διέπουν την κίνηση του ευστού είναι δύσκολο να αναπτυχθούν και να λυθούν με αναλυτικές μαθηματικές μεθόδους. Το πείαμα, οι εμπειικές μέθοδοι και οι αιθμητικές μέθοδοι, σε συνεγασία με τους υπολογιστές, χησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση ποβλημάτων σχετικών με τη οή, η λύση των οποίων επηεάζει άμεσα το σχεδιασμό των ευστοδυναμικών μηχανών. Στο κεφάλαιο αυτό μελετώνται οι νόμοι στους οποίους βασίζεται η ανάλυση της κίνησης των ευστών και οι βασικές σχέσεις των μεγεθών που χαακτηίζουν τη οή. Στη μηχανική των ευστών αλλά και σε άλλες επιστημονικές πειοχές (θεμοδυναμική) γίνεται συχνά η χήση του όου σύστημα. Σύστημα είναι μια οισμένη ποσότητα ύλης, η οποία μποεί να εξεταστεί χωιστά από ότι την πειβάλλει. Στην πείπτωση που η ποσότητα αυτή της ύλης (μάζα) πααμένει πάντοτε η ίδια, χωίς να αλλάζει κατά τη διάκεια των μεταβολών τις οποίες παθαίνει ονομάζεται κλειστό σύστημα. Στην πείπτωση όμως που η ύλη βίσκεται σε οή και μετακινείται συνεχώς, τότε πόκειται για ανοικτό σύστημα. Ένα οϊκό σύστημα μποεί να αναλυθεί εισάγοντας την έννοια του όγκου ελέγχου. Ως όγκος ελέγχου οίζεται ένας συγκεκιμένος χώος ο οποίος πειβάλλεται από μια επιφάνεια (επιφάνεια ελέγχου), που αποτελεί και χώο για τον οποίον υπάχει ενδιαφέον ανάλυσης των πααμέτων της οής. Ο όγκος ελέγχου, δηλαδή, πειβάλλει το σύστημα στην αχή μέτησης του χόνου. Ο όγκος ελέγχου μποεί να είναι ακίνητος, κινούμενος, με μεταβλητά όια ή με ακλόνητα, απααμόφωτα όια και υπάχει συνεχής οή ευστού δια της επιφανείας του. Όταν λοιπόν διεευνάται οή ευστού γίνεται αναφοά πάντα σε ανοιχτό σύστημα, το οποίο πέπει να οίζεται σαφώς από την αχή. 3. Ο υθμός μεταβολής των ιδιοτήτων του συστήματος Η μάζα, η ομή, η ενέγεια, η ενθαλπία, η εντοπία είναι μεικές από τις ιδιότητες των συστημάτων. Η θεμότητα και το έγο δεν είναι ιδιότητες των συστημάτων, απλώς παάγονται ή καταναλώνονται κατά τη διάκεια μεταβολών του συστήματος. Ρυθμός μεταβολής μιας ιδιότητας του συστήματος είναι η μεταβολή της ιδιότητας πος την αντίστοιχη χονική διάκεια στην οποία συνέβη. Η μελέτη και ο υπολογισμός των υθμών μεταβολής των ιδιοτήτων των οϊκών συστημάτων έχει μεγάλο ενδιαφέον για τη Ρευστομηχανική. Στη συνέχεια θα μελετηθεί ο υθμός μεταβολής μιας ιδιότητας του συστήματος, που μποεί να είναι η μάζα, η ενέγεια ή η ομή και θα διατυπωθεί μια γενική μαθηματική σχέση με βάση την οποία θα τεθούν οι βασικοί νόμοι που διέπουν τη οή της ύλης και της ενέγειας. Πόκειται για τους νόμους της διατήησης της μάζας ενός συστήματος, που αναφέεται και ως νόμος της συνέχειας, της διατήησης της ενέγειας και της διατήησης της ομής. Για το σκοπό αυτό θα χησιμοποιηθεί η έννοια του όγκου ελέγχου, όπως οίσθηκε πααπάνω [3]. Έστω η ύπαξη οής ευστού σχετικά με ένα τισδιάστατο σύστημα αναφοάς (x,y,). Θεωείται ένας όγκος ελέγχου, όπως φαίνεται στο Σχήμα.5.. Κατά τη χονική στιγμή t, ο χώος μέσα από την επιφάνεια Α (συνεχής γαμμή) ταυτίζεται με το σύστημα. Μετά από χόνο, δηλαδή τη χονική στιγμή t+, το σύστημα μετακινήθηκε στη θέση Α (διακεκομμένη γαμμή). Στο χονικό διάστημα, μάζα του ευστού πέασε από την επιφάνεια Α, εισεχόμενη στο το χώο και εξεχόμενη στο χώο 3, ενώ ο χώος καταλαμβάνεται από το ευστό σε όλο το διάστημα.

Έστω I το μέγεθος μιας ιδιότητας του συστήματος, που μποεί να είναι η μάζα, η ενέγεια ή η ομή στο σύστημα κατά τη χονική στιγμή t, και i, το μέγεθος της ιδιότητας ανά μονάδα μάζας του ευστού. Θα υπολογισθεί ο υθμός μεταβολής της ιδιότητας I του συστήματος ως πος τον χόνο [3]. Η μεταβολή της ιδιότητας I του συστήματος μετά από χονικό διάστημα είναι : I ΣΥΣ di dt di dt di dt lim 0 Σχέση.. t I ΣΥΣ t I t I 3t I t I t I t I t lim 0 lim 0 I I ΣΥΣ t I t I t I t t I t I t I t 3 ΣΥΣ lim 0 3 Σχήμα.5. Όγκος ελέγχου ανοικτού συστήματος t i I ο.ε. Έστω η πυκνότητα του ευστού, V ο όγκος και η ταχύτητα του ευστού. Η ιδιότητα I (μάζα, ενέγεια, ομή) κατά τη χονική στιγμή t έχει μέγεθος: dv lim 0 Έτσι ο πώτος όος της Σχέσης.., όπως διαμοφώθηκε τελικά, είναι : I (t ) I (t) i dv t ο.ε.

Αφού, όταν 0,τότε ο χώος () τη χονική στιγμή t+ τείνει να ταυτισθεί με το χώο () τη χονική στιγμή t. Τη χονική στιγμή t ο χώος () συμπίπτει με τον όγκο ελέγχου, όπως αυτός έχει οισθεί. Δηλαδή: () t+ () t = όγκος ελέγχου (ο.ε.) Για το δεύτεο όο της Σχέσης., όπως διαμοφώθηκε τελικά και για το ποσό της ιδιότητας (μάζα, ενέγεια, ομή) στο χώο (3) κατά τη χονική στιγμή t+ και στο χώο () κατά τη χονική στιγμή t, ισχύει : I 3 (t I ) i d ΤΕΤ t i d ΤΔΤ Το διάνυσμα d οίζεται ως ένα διάνυσμα το οποίο έχει μέτο το εμβαδόν της στοιχειώδους επιφάνειας του όγκου ελέγχου, d, διεύθυνση κάθετη στη στοιχειώδη επιφάνεια και φοά πάντοτε πος τα έξω από τον όγκο ελέγχου. Έτσι λοιπόν για μια στοιχειώδη επιφάνεια του όγκου ελέγχου, από την οποία το ευστό εξέχεται με ταχύτητα, το εσωτεικό γινόμενο d d cosθ (όπου θ η γωνία των δύο διανυσμάτων), εκφάζει την εξεχόμενη παοχή όγκου του ευστού με θετικό πάντοτε πόσημο. Αυτό συμβαίνει, διότι το γινόμενο cosθ είναι το μέτο της συνιστώσας της ταχύτητας που είναι κάθετη στη στοιχειώδη επιφάνεια, η οποία, πολλαπλασιαζόμενη με το μέτο της στοιχειώδους επιφάνειας, δίνει την εξεχόμενη παοχή όγκου του ευστού από τη στοιχειώδη επιφάνεια d [Κεφάλαιο ο, Παάγαφος 3.]. Το πόσημο είναι πάντοτε θετικό, διότι η γωνία θ για εξεχόμενη οή είναι πάντοτε οξεία και, συνεπώς, έχει θετικό συνημίτονο [Σχήμα.5.]. Ομοίως, για μια στοιχειώδη επιφάνεια του όγκου ελέγχου από την οποία το ευστό εισέχεται σε αυτόν με ταχύτητα, το εσωτεικό γινόμενο d d cosθ (όπου θ η γωνία των δύο διανυσμάτων), εκφάζει την εισεχόμενη παοχή όγκου του ευστού με ανητικό πάντοτε πόσημο. Αυτό συμβαίνει, διότι το γινόμενο cosθ είναι το μέτο της συνιστώσας της ταχύτητας,, που είναι κάθετη στη στοιχειώδη επιφάνεια, η οποία,, πολλαπλασιαζόμενη με το μέτο της στοιχειώδους επιφάνειας, δίνει την εισεχόμενη παοχή όγκου του ευστού στη στοιχειώδη επιφάνεια d [Κεφάλαιο ο, Παάγαφος 3.]. Το πόσημο είναι πάντοτε ανητικό, διότι η γωνία θ για εισεχόμενη οή είναι πάντοτε αμβλεία [Σχήμα.5.]. Σύμφωνα με τα πααπάνω, για το τμήμα ΤΕΤ της επιφάνειας ελέγχου (επιφάνεια εξόδου του ευστού από τον όγκο ελέγχου), το εσωτεικό γινόμενο d, εκφάζει την εξεχόμενη παοχή όγκου με θετικό πόσημο, ενώ για το τμήμα ΤΔΤ της επιφάνειας ελέγχου, το εσωτεικό γινόμενο d, εκφάζει την εισεχόμενη στην επιφάνεια ελέγχου παοχή με ανητικό πόσημο. Η παοχή όγκου διαμέσου της στοιχειώδους επιφάνειας, πολλαπλασιαζόμενη με την πυκνότητα,, του ευστού, εκφάζει την παοχή μάζας του ευστού διαμέσου της στοιχειώδους επιφάνειας. Η παοχή μάζας, πολλαπλασιαζόμενη με το ποσό της ιδιότητας I ανά μονάδα μάζας του ευστού (i), εκφάζει τη οή της ιδιότητας I του ευστού ανά μονάδα χόνου. Το ολοκλήωμα του υθμού αυτού οής της ιδιότητας διαμέσου μιας επιφάνειας εισόδου ή εξόδου του όγκου ελέγχου, πολλαπλασιασμένο με το χονικό διάστημα που παέχεται εκφάζει τη συνολική οή της ιδιότητας (μάζα, ενέγεια, ομή) διαμέσου μιας επιφάνειας εισόδου ή εξόδου του όγκου ελέγχου. Δηλαδή: I 3 t dt I t i d lim 0 I 3 Ο δεύτεος όος της Σχέσης.., διαμοφώνεται τελικά ως εξής : t dt I t dt i d Τελικά η Σχέση. παίνει την τελική μοφή :

di i dv i d dt t ο.ε. Σχέση.. Θεώημα μεταφοάς του Reynolds Η πααπάνω εξίσωση εκφάζει ότι ο υθμός μεταβολής μιας ιδιότητας I του συστήματος (μάζα, ομή, ενέγεια) ισούται με το υθμό μεταβολής της ιδιότητας στον όγκο ελέγχου και τη συνολική οή της ιδιότητας διαμέσου της επιφάνειας ελέγχου. 4. Ο νόμος της συνέχειας Η μάζα ενός συστήματος πααμένει σταθεή στο χόνο, δηλαδή: dm dt 0 Όπου m η συνολική μάζα του συστήματος. Αν η ιδιότητα I είναι η μάζα του συστήματος και i είναι το μέγεθος της ιδιότητας (μάζα) ανά μονάδα μάζας, τότε : m i i m Συνεπώς η Σχέση.. γάφεται: dm dv d dt t o.ε. 0 dv d t ο.ε. Σχέση.3. Η ποηγούμενη εξίσωση αναφέεται σαν εξίσωση συνέχειας και εκφάζει ότι η μεταβολή της μάζας (υθμός αύξησης ή μείωσης της μάζας) σε έναν όγκο ελέγχου ισούται με τον υθμό της συνολικής οής μάζας διαμέσου της επιφάνειας ελέγχου. 5. Ο νόμος της ομής Ο δεύτεος νόμος του Newton εκφάζεται μαθηματικά με τη σχέση: d F m dt Δηλαδή το άθοισμα των εξωτεικών δυνάμεων (πεδιακές δυνάμεις, δυνάμεις λόγω πίεσης, δυνάμεις συνεκτικότητας), που ασκούνται σε ένα σύστημα, ισούται με το υθμό μεταβολής της ομής του. Για την εφαμογή της Σχέσης.., με ιδιότητα I την ομή οίζεται I m και η ομή ανά μονάδα μάζας, i, είναι : m i i dt

Δηλαδή, d F dt Σχέση.4. m dv d t ο.ε. Η πααπάνω εξίσωση εκφάζει ότι η συνισταμένη των εξωτεικών δυνάμεων που ασκείται σε ένα σύστημα είναι ίση με το υθμό μεταβολής της ομής του συστήματος συν τη συνολική οή της ομής από την επιφάνεια ελέγχου. 6. Εξίσωση διατήησης της ενέγειας To άθοισμα όλων των μοφών ενέγειας [ικανότητα για πααγωγή έγου] που εμπειέχει (αποθηκευμένη ενέγεια) ένα σύστημα ονομάζεται εσωτεική ενέγεια (Ε) του συστήματος. Η θεμότητα Q είναι μια μοφή ενέγειας, η οποία δεν μποεί να αποθηκευτεί στα συστήματα, μποεί όμως να μεταφέεται από και πος αυτά.[η ποσδιδόμενη θεμότητα συμφωνείται να έχει θετικό πόσημο]. Ένα σύστημα μποεί να παάγει ή να καταναλώνει έγο (W).[Το έγο συμφωνείται να έχει θετικό πόσημο, αν παάγεται από το σύστημα, και ανητικό αν καταναλώνεται]. Το έγο που παάγεται από ένα σύστημα μποεί να χωισθεί σε δύο μέη: Έγο από δυνάμεις που μετακινούνται στα όια του συστήματος, W p F s [Εσωτεικό γινόμενο του διανύσματος της δύναμης και του διανύσματος της μετατόπισης του σημείου εφαμογής της]. Έγο σε άξονα, από πειστοφή στοφείου ευστοδυναμικής μηχανής, που τοποθετείται κατάλληλα μέσα στο σύστημα W s Ο πώτος θεμοδυναμικός νόμος εκφάζει τη διατήηση της ενέγειας σε ένα σύστημα. Δηλαδή, αν από μια κατάσταση, μέσω κάποιας μεταβολής, το σύστημα φθάσει στην κατάσταση, τότε: E E Q W Δηλαδή η αύξηση της εσωτεικής ενέγειας ενός συστήματος είναι ίση με τη θεμότητα που δίδεται σε αυτό μείον το έγο που παάγεται από το σύστημα. Αν οισθεί η εσωτεική ενέγεια ανά μονάδα μάζας του συστήματος (e) ως το άθοισμα της δυναμικής ενέγειας ανά μονάδα μάζας του συστήματος της κινητικής ενέγειας ανά μονάδα μάζας του συστήματος και της ενυπάχουσας εσωτεικής ενέγειας (u) λόγω της κινητικής κατάστασης των δομικών στοιχείων του συστήματος, τότε: e u Με στόχο την εφαμογή του θεωήματος μεταφοάς του Reynolds (Σχέση..), με ιδιότητα Ι την ενέγεια ενός συστήματος, οίζεται I=Ε και συνεπώς i=e. Δηλαδή : de dt de dt e dv e d t ο.ε. dq dw e dv e d dt dt t ο.ε.

dq dt dws dt dq dws dt dt Σχέση.5. edv e d t ο.ε. dwp edv e d t ο.ε. dt dwp dt Το έγο από δυνάμεις που μετακινούνται στα κινούμενα όια του συστήματος υπολογίζεται, θεωώντας, μια στοιχειώδη επιφάνεια d του κινουμένου οίου της εξωτεικής επιφανείας του συστήματος, η οποία δέχεται κάθετη δύναμη df, λόγω της πίεσης. Το όιο αυτό σε χόνο μετακινείται διάστημα δs και παάγει έγο δw [Σχήμα.6.]. p Σχήμα.6. Έγο από δυνάμεις που μετακινούνται στα όια του συστήματος df d δw δw δw df δs d δs δs d d δw Σχέση.6. δq Σε όλη την επιφάνεια του οίου Α, το στοιχειώδες έγο είναι : d Έτσι η Σχέση.5. σε συνδυασμό με τη Σχέση.6. διαμοφώνεται, τελικά, ως εξής: δws δq δw s Σχέση.7. d d e dv e t ο.ε. edv e d t ο.ε. Η Σχέση.7. αναφέεται ως εξίσωση διατήησης της ενέγειας. 7. Εφαμογή του νόμου διατήησης της ενέγειας σε υδαυλικό σύστημα. Ως υδαυλικό σύστημα οίζεται ένα ανοικτό οϊκό σύστημα, το οποίο λειτουγεί μέσα σε πειοισμένα στεεά όια, τα οποία όμως διαθέτουν μία τουλάχιστον είσοδο και μία τουλάχιστον έξοδο. Για παάδειγμα, σε μία σωλήνωση, ή σε ένα δίκτυο αεαγωγών, μποεί να οισθεί ένα ανοικτό οϊκό υδαυλικό σύστημα. Στις πακτικές εφαμογές τα υδαυλικά συστήματα εξετάζονται σε μόνιμη οή.

Η ταχύτητα στην είσοδο και την έξοδο του συστήματος κατανέμεται ομοιόμοφα στη διατομή του σωλήνα, και είναι σταθεή. Οι ταχύτητες στις συνήθεις εφαμογές δεν είναι σημαντικά μεγάλες, δεν εμφανίζονται φαινόμενα συμπιεστότητας και για τα υγά και αέια συστήματα η πυκνότητα,, του ευστού έχει σταθεές τιμές στην είσοδο και την έξοδο του συστήματος. Στα υγά συστήματα (αλλά και στα αέια χαμηλών ταχυτήτων) όταν δεν υπάχει σημαντική μεταβολή της θεμοκασίας, η πυκνότητα του ευστού είναι ίδια στην είσοδο και την έξοδο του συστήματος. Όταν δεν υπάχει σημαντική μεταβολή της θεμοκασίας μεταξύ εισόδου και εξόδου της οής, η εσωτεική ενυπάχουσα ενέγεια u, του συστήματος πααμένει σταθεή. Στις συνήθεις εφαμογές δεν ποσδίδεται θεμότητα στο ανοικτό σύστημα ούτε αποβάλλεται από αυτό, και τότε θεωείται μονωμένο (αδιαβατικό). Τα υδαυλικά συστήματα μποεί να εμπειέχουν ευστοδυναμικές μηχανές, δηλαδή αντλίες, συμπιεστές, ανεμιστήες αλλά και στοβίλους(υδοστοβίλους, αειοστόβιλους) [Σχήμα.7.]. Όταν πόκειται για αντλία, ανεμιστήα ή συμπιεστή, ενέγεια ανά μονάδα μάζας, ποσεχομένου ευστού w s, δίνεται στο σύστημα υπό μοφή ειδικού έγου από το στοφείο της ευστοδυναμικής μηχανής. Όταν πόκειται για στόβιλο, ενέγεια ανά μονάδα μάζας ποσεχομένου ευστού w s, αποδίδεται από το σύστημα υπό μοφή ειδικού έγου στο στοφείο της ευστοδυναμικής μηχανής. Σχήμα.7. Υδαυλικά συστήματα που εμπειέχουν ευστοδυναμικές μηχανές. Στο Σχήμα.8, παιστάνεται σχηματικά ένα υδαυλικό σύστημα, το οποίο μποεί να εμπειέχει αντλία ή στόβιλο. Στόχος είναι η εφαμογή του νόμου διατήησης της ενέγειας (Σχέση.7.) για το σύστημα αυτό, με βάση τις ποϋποθέσεις και πααδοχές που αναπτύχθηκαν πααπάνω.

Σχήμα.8. Σχηματική παάσταση υδαυλικού συστήματος Η Σχέση.7. για ανοικτό οϊκό σύστημα στοβίλου διαμοφώνεται ως εξής: δq δw s edv e d t ο.ε. δq δq Για μόνιμη οή: δw s δw s q w s Σχέση.8. e d e d e () () d u () d u d δq δw Όπου q ο υθμός της ποσδιδόμενης θεμότητας (θετικό πόσημο) και w s s ο υθμός του αποδιδόμενου έγου(ισχύς) από το σύστημα στο στοφείο του στοβίλου Ο νόμος της συνέχειας για μόνιμη οή του υδαυλικού αυτού συστήματος με βάση τη Σχέση.3. 0 Σχέση.9. d d d () () To εσωτεικό γινόμενο των διανυσμάτων και d ισούται με το γινόμενο των μέτων τους επί το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζουν μεταξύ τους. Η γωνία αυτή για την είσοδο () είναι 80 ο (το διάνυσμα της στοιχειώδους επιφάνειας της επιφάνειας ελέγχου του συστήματος, όπως έχει συμφωνηθεί είναι κάθετο σε αυτή και πάντοτε πος το εξωτεικό του συστήματος), ενώ για την έξοδο () είναι 0 ο. Συνεπώς η Σχέση.9. διαμοφώνεται ως εξής: ()

m () () d d 0 Όπου m, είναι η παοχή μάζας διαμέσου της επιφάνειας εισόδου και εξόδου του συστήματος, η οποία διατηείται σταθεή, σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας. Με βάση τα πααπάνω η Σχέση.8. διαμοφώνεται ως εξής: m u m u w s q Σχέση.0. w s q h h Όπου u h είναι εξ οισμού η ενθαλπία ανά μονάδα μάζας του συστήματος. s w και q είναι το έγο ανά μονάδα μάζας (ειδικό έγο) ποσεχομένου ευστού, που γίνεται στο στοφείο του στοβίλου, και η ποσφεόμενη θεμότητα ανά μονάδα μάζας αντίστοιχα. Όταν ο στόβιλος είναι αδιαβατικός, δεν υπάχει συναλλαγή θεμότητας του συστήματος με το πειβάλλον του. Επίσης δεν υπάχει σημαντική διαφοά γεωδαιτικού ύψους μεταξύ εισόδου και εξόδου του στοβίλου. Τότε το έγο ανά μονάδα μάζας ποσεχομένου ευστού στο στόβιλο ισούται με τη διαφοά της ολικής ενθαλπίας ( h o h ) ανά μονάδα μάζας του ευστού στην είσοδο και στην έξοδο του στοβίλου: ws o h o h Όταν πόκειται για ανοικτό σύστημα με στόβιλο, με σταθεή πυκνότητα (υγά, αέια χαμηλών ταχυτήτων) και σταθεή θεμοκασία, τότε δεν υπάχει μεταβολή της εσωτεικής ενέγειας του συστήματος και η Σχέση.0. διαμοφώνεται ως εξής (αφοά κυίως υδοστοβίλους): s w w s Σχέση.. Όταν ο στόβιλος είναι αδιαβατικός (δεν υπάχει συναλλαγή θεμότητας του συστήματος με το πειβάλλον του), οι ταχύτητες εξόδου και εισόδου στο στόβιλο είναι ίσες (ίδιες διατομές σωλήνων και σταθεή παοχή σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας) και δεν υπάχει σημαντική διαφοά γεωδαιτικού ύψους μεταξύ εισόδου και εξόδου του στοβίλου, τότε το έγο ανά μονάδα μάζας ποσεχομένου ευστού στο στόβιλο ισούται με τη διαφοά της πίεσης του ευστού στην είσοδο και στην έξοδο του στοβίλου διηημένης με την πυκνότητά του : ws

Η ίδια ακιβώς ανάλυση μποεί να γίνει και για την πείπτωση της αντλίας, του ανεμιστήα, ή του συμπιεστή Η μόνη διαφοά εδώ είναι ότι το έγο ανά μονάδα μάζας ποσεχομένου ευστού s w, δεν παάγεται, αλλά καταναλώνεται, ποσδίδεται από το στοφείο της ευστοδυναμικής μηχανής στο σύστημα και, συνεπώς, πέπει να έχει ανητικό πόσημο. Και εδώ ισχύει ο νόμος της συνέχειας, που ποκύπτει από τη Σχέση.9., και μάλιστα, αν η πυκνότητα του ευστού πααμένει σταθεή και η ίδια πείπου στην είσοδο και στην έξοδο της αντλίας, του ανεμιστήα ή του συμπιεστή, πάγμα που ισχύει για τα υγά και τα αέια σε χαμηλές ταχύτητες, τότε: m Q Όπου Q, είναι η παοχή όγκου του ευστού, όπως αυτή οίσθηκε στο ο Κεφάλαιο, και αποτελεί ένα από τα κύια χαακτηιστικά μεγέθη που διέπουν τη λειτουγία των ευστοδυναμικών μηχανών. Ο νόμος διατήησης της ενέγειας, όταν στο υδαυλικό σύστημα εμπειέχεται αντλία, ανεμιστήας ή συμπιεστής, όπως εκφάσθηκε με τη Σχέση.0., διαμοφώνεται τώα ως εξής: m u m u w s q q w s ή για αδιαβατικό σύστημα που πειλαμβάνει αντλία: w s Σχέση.. Με q εκφάζεται η θεμότητα που ποσδίδεται στο σύστημα μεταξύ της εισόδου και της εξόδου της αντλίας, του ανεμιστήα ή του συμπιεστή. Όταν η αντλία ή ο συμπιεστής λειτουγούν σε αδιαβατικά συστήματα και δεν υπάχει σημαντική διαφοά γεωδαιτικού ύψους μεταξύ εισόδου και εξόδου της αντλίας., τότε το έγο, που αποδίδεται στο ευστό ανά μονάδα μάζας ποσεχομένου ευστού στο στοφείο της αντλίας, ισούται με τη διαφοά της ολικής ενθαλπίας ανά μονάδα μάζας του ευστού ( h o h ) στην έξοδο και στην είσοδο της αντλίας: ws o h o h Ποφανώς, όταν στο υδαυλικό σύστημα δεν υπάχει ευστοδυναμική μηχανή, αυτό αποτελεί ένα υδαυλικό σωληνωτό σύστημα, με είσοδο και έξοδο, για το οποίο ισχύει: q Όταν πόκειται για άτιβο ιδανικό ευστό, και στο σύστημα δεν εμφανίζεται απώλεια ενέγειας ούτε συναλλαγή θεμότητας, ποσομοιάζει με οϊκή γαμμή. Τότε η πααπάνω σχέση είναι γνωστή ως εξίσωση Bernoulli:

8. Η έννοια του μανομετικού ύψους στις ευστοδυναμικές μηχανές. Στις Σχέσεις.. και. όλοι οι όοι εκφάζουν διάφοες ενεγειακές μοφές ανά μονάδα μάζας του ευστού. Αν διαιεθούν όλοι οι όοι των σχέσεων αυτών με την επιτάχυνση της βαύτητας, τότε θα εκφάζουν ενεγειακές μοφές ανά μονάδα βάους του ευστού συστήματος. Σημειώνεται ότι το μέγεθος αυτό έχει μονάδα μέτησης μήκους, δηλαδή Nm m. N Επομένως για υδοστοβίλους, κυίως, και για εφαμογές που η συμπιεστότητα δε λαμβάνεται υπόψη: w s w Το έγο ανά μονάδα βάους της οής s που αποδίδεται από τη οή στο στόβιλο πειλαμβάνει ένα σημαντικό μέος που μετατέπεται σε μηχανική ενέγεια, σύμφωνα με τη θεωητική ανάλυση που ακολουθεί στο 5 ο Κεφάλαιο, και ονομάζεται θεωητικό μανομετικό ύψος στοβίλου (Η [m]) και ένα μικότεο μέος που χάνεται στο εσωτεικό του στοβίλου υπό μοφή απωλειών (τιβές, κούσεις και αναντιστεπτότητες) και ονομάζεται ύψος απωλειών ( H ΑΠ [m]). Συνεπώς η πααπάνω σχέση διαμοφώνεται ως εξής: γ γ H H ΑΠ Η συνολική ενέγεια ανά μονάδα βάους ποσεχόμενου ευστού που αποδίδεται από αυτό στο στόβιλο είναι: Ht H H ΑΠ Ο λόγος H e h ονομάζεται υδαυλικός βαθμός απόδοσης στοβίλου. H t Το μανομετικό ύψος και η παοχή είναι βασικά μεγέθη, που χαακτηίζουν το στόβιλο και καθοίζουν τη διατιθέμενη σε αυτόν (καταναλισκόμενη) ισχύ: N KT Ενέγεια Χόνος Ενέγεια Βάος Ρευστού Βάος Ρευστού Χόνος γ V H t γ Q H t t N ΩΦ Η ωφέλιμη ισχύς του στοβίλου είναι αυτή που αποδίδει τελικά στον άξονά του: F s F R φ M ω t t Όπου Μ η ασκούμενη από τον άξονα οπή και ω η γωνιακή του ταχύτητα [Σχήμα.9.].

Σχήμα.9. Για αντλίες, ανεμιστήες, συμπιεστές: w s w Το έγο ανά μονάδα βάους της οής s που αποδίδεται από την αντλία στη οή ως μηχανική ενέγεια είναι αυτό που ποκύπτει από τη θεωητική ανάλυση που ακολουθεί στο 5 ο Κεφάλαιο και ονομάζεται θεωητικό μανομετικό ύψος αντλίας (Η [m]) μειωμένο κατά ένα μικό σχετικά μέος που χάνεται στο εσωτεικό της αντλίας υπό μοφή απωλειών (τιβές, κούσεις και αναντιστεπτότητες) και ονομάζεται ύψος απωλειών ( H ΑΠ [m]). Συνεπώς η πααπάνω σχέση διαμοφώνεται ως εξής: γ γ H - H ΑΠ ή γ H H γ ΑΠ είναι: Η συνολική μηχανική ενέγεια ανά μονάδα βάους ποσεχόμενου ευστού που αποδίδεται σε αυτό Hp H H ΑΠ Ο λόγος Hp e h ονομάζεται υδαυλικός βαθμός απόδοσης αντλίας. H Το μανομετικό ύψος και η παοχή είναι βασικά μεγέθη που χαακτηίζουν την αντλία και καθοίζουν την αποδιδόμενη από αυτήν (ωφέλιμη) ισχύ: N ΩΦ Ενέγεια Χόνος Ενέγεια ΒάοςΡευστ ού ΒάοςΡευστ ού γ V Hp γ Q Hp Χόνος t Η καταναλισκόμενη ισχύς από την αντλία είναι αυτή που δίνεται στον άξονά της:

N KT F s F R φ M ω t t Όπου Μ η ασκούμενη στον άξονα της αντλίας, ή του ανεμιστήα, οπή και ω η γωνιακή ταχύτητα πειστοφής του άξονα [Σχήμα.0.] Σχήμα.0. Κιτήιο αξιολόγησης Κιτήια αξιολόγησης ου κεφαλαίου Στη διατομή ενός αποκλίνοντος τμήματος σωλήνωσης [Σχήμα.] που έει νεό, η ταχύτητα είναι 3 m/sec και η διάμετος 0.6 m. Στη διατομή η διάμετος είναι m. Να βεθεί η παοχή όγκου και η ταχύτητα στη διατομή. Σχήμα.. Δεδομένα: Ταχύτητα ευστού εισόδου: =3 m s Διάμετος σωληνώσεως στη θέση : D =0.6 m

Διάμετος σωληνώσεως στη θέση : D = m Απάντηση/Λύση Για τον πααπάνω όγκο ελέγχου ισχύει ότι: d d d 0 () () 0 d d () () = ( D D ) =3 ( 0.6 ) Άα η παοχή: Q= π D = 4 π D 4 Q=3 π 0.6 [ m3 4 sec ] Q 0.85 m3 sec [ m sec ] =.08 m sec Κιτήιο αξιολόγησης Στα υδοηλεκτικά έγα γίνεται μετατοπή της δυναμικής ενέγειας του νεού σε ηλεκτική ενέγεια. Κατά τις μετατοπές τη ενέγειας υπάχουν πάντοτε ενεγειακές απώλειες που οφείλονται σε αναντιστεπτότητες των διεγασιών μετατοπής. Έτσι και εδώ, απώλειες θα υπάξουν κατά τη μετατοπή της δυναμικής ενέγειας του νεού σε μηχανική ενέγεια στον άξονα του στοβίλου και κατά τη μετατοπή της μηχανικής ενέγειας του άξονα σε ηλεκτική ενέγεια στη γεννήτια ηλεκτικού εύματος. Σε ένα υδοηλεκτικό εγοστάσιο το ύψος της υδατόπτωσης είναι h=60m. Η παοχή νεού είναι Q=8 m 3 /s. Ο υδοστόβιλος στέφεται με συχνότητα f=800 rpm. Η δημιουγούμενη οπή στον άξονα του στοβίλου μετήθηκε M=00 Ν m. H ισχύς που αποδίδει η γεννήτια μετήθηκε N ΗΛ =4 ΜW. Πέπει να υπολογισθούν: α. Η διατιθέμενη ισχύς από την υδατόπτωση για πααγωγή ηλεκτικής ενέγειας. β. Το ποσό των απωλειών ισχύος. Δίνεται η επιτάχυνση της βαύτητας: =9.8 m s Δεδομένα: Υδοστατικό ύψος: h=60 m Παοχή νεού : Q=8 m3 s Στοφές στοβίλου: f = 800 rpm= 800 60 s- =30 s - Ροπή:

M=00 Ν m Ισχύς που αποδίδει η γεννήτια: Ν ΗΛ =4 ΜW=4 0 6 W Πυκνότητα νεού: =000 k m 3 Επιτάχυνση της βαύτητας: =9.8 m s Απάντηση/Λύση W Δ =m h () W Δ = V h α. Η δυναμική ενέγεια νεού μάζας m είναι: Όμως η μάζα του νεού είναι: m V, όπου V, ο όγκος που καταλαμβάνεται από τη μάζα m. Άα η () διαμοφώνεται: H διατιθέμενη ισχύς για πααγωγή ηλεκτικής ενέγειας (ενέγεια ανά μονάδα χόνου), που ζητείται, ποϋποθέτει μηδενική απώλεια ενέγειας, δηλαδή εκμετάλλευση για πααγωγή ηλεκτικής ενέγειας του συνόλου της δυναμικής ενέγειας του νεού, που βίσκεται στο δεδομένο γεωδαιτικό ύψος. Η ωφέλιμη δηλαδή ισχύς με ποϋποθέσεις αντιστεπτότητας θα είναι : N ΩΦ = W Δ N t ΩΦ = V h () t Όμως: Ειδικό βάος: γ και Παοχή όγκου: Άα η () διαμοφώνεται ως εξής: N ΩΦ =γ Q h N ΩΦ =000 [ k m m3] 9.8 8 sec [m3 ] 60 [m] sec N ΩΦ =4708800 W=4708.8 kw Ν ΣΤΡ =Μ ω (3) Η ισχύς που αποδίδει ο άξονας του στοβίλου: Όπου ω, η γωνιακή ταχύτητα του στοβίλου: ω= π f= π 30= π 30 [sec - ] 88.5 sec - Άα η (3)διαμοφώνεται ως εξής: Ν ΣΤΡ = 00 [Ν m] 88.5 [sec - ] Ν ΣΤΡ 484700 W=484.7 kw Έτσι λοιπόν ποκύπτουν τα εξής: V Q t

ισχύς: Η ισχύς, που αποδίδει η γεννήτια, είναι η τελικά αποδιδόμενη από την εγκατάσταση ηλεκτική Ν ΗΛ =4 ΜW=4 0 6 W Ο βαθμός απόδοσης της εγκατάστασης μέχι τον άξονα του στοβίλου θα είναι: η ΣΤΡ = Ν ΣΤΡ N ΩΦ η ΣΤΡ = 484.7 4708.8 η ΣΤΡ 0.89=89% Ο βαθμός απόδοσης της γεννήτιας η GEN = Ν ΗΛ Ν ΣΤΡ η GEN = 4000 484.7 η GEN 0.95=95% β. Απώλειες ισχύος λόγω φαινομένων αναντιστεπτότητας (απώλειες) μέχι τον άξονα του στοβίλου, που αποβάλλονται στο πειβάλλον υπό μοφή θεμότητας: (4708.8-484.7) kw=54. kw Απώλειες ισχύος λόγω φαινομένων αναντιστεπτότητας στη γεννήτια ηλεκτικού εύματος που αποβάλλονται στο πειβάλλον υπό μοφή θεμότητας: (484.7-4000) kw=84.7 kw Κιτήιο αξιολόγησης 3 Όταν δημιουγούνται καμπυλότητες στις σωληνώσεις των υδαυλικών έγων τότε, στη μόνιμη κατάσταση, ο υθμός μεταβολής της ομής στην επιφάνεια ελέγχου του συστήματος ισούται με τη συνισταμένη των εξωτεικών δυνάμεων που δουν σε αυτό. Η συνολική εξωτεική δύναμη είναι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στον όγκο ελέγχου που έχει όια τα στεεά τοιχώματα της καμπύλης και τα όια του ευστού, πιν και μετά την καμπύλη. Η συνισταμένη αυτή ποκύπτει από δυνάμεις επιφανείας (λόγω πίεσης στα όια του όγκου ελέγχου σε ευστή κατάσταση ή διάτμησης), πεδιακές δυνάμεις (βαύτητα) ή άλλες δυνάμεις που ασκούνται στον όγκο ελέγχου. Να βεθεί η συνιστώσα της συνολικής εξωτεικής δύναμη F x (κατά τη διεύθυνση x) που ασκείται στον όγκο ελέγχου της μόνιμης οής νεού, στην καμπύλη που φαίνεται στο Σχήμα... Σχήμα..

Απάντηση/Λύση Ο όγκος ελέγχου που εικονίζεται στο πααπάνω Σχήμα.., πεικλείεται από το όιο της σωλήνωσης και τις διατομές εισόδου(α ) και εξόδου(α ) του ευστού σε αυτόν. Διαμέσου του όγκου ελέγχου έει το σύστημα (ανοικτό), με μόνιμη οή. Ο νόμος της ομής σύμφωνα με το δεύτεο νόμο του Νεύτωνα (Newton) εκφάζεται μαθηματικά με τη Σχέση.4: d F m dv d dt t ο.ε. Άα η συνιστώσα της συνολικής εξωτεικής δύναμης, που ασκείται στο σύστημα σε μόνιμη οή, κατά τη διεύθυνση x, εκφάζεται, σύμφωνα με την πααπάνω σχέση, ως εξής: Fx x d Ροή διαμέσου της επιφανείας ελέγχου υφίσταται μόνο στην επιφάνεια εισόδου και στην επιφάνεια εξόδου του όγκου ελέγχου (διακεκομμένες γαμμές). Έτσι η πααπάνω σχέση, σύμφωνα με τη θεωητική ανάλυση που ποηγήθηκε, διαμοφώνεται ως εξής: F x = (Α ) x - (Α ) x () Όμως σύμφωνα με το νόμο της συνέχειας, που αναπτύχθηκε θεωητικά ποηγουμένως και εφαμόσθηκε σε ποηγούμενο κιτήιο αξιολόγησης: Q=Α =Α Καθώς και: = αφού η οή του νεού είναι ασυμπίεστη. Συνεπώς η () διαμοφώνεται τελικά ως εξής: F x = Q ( x - x ) Κιτήιο αξιολόγησης 4 Οι αγωγοί μεταφοάς νεού στα υδαυλικά έγα, πολλές φοές παουσιάζουν αλλαγή διεύθυνσης αλλά και διατομής. Δημιουγούνται συγκλίνουσες ή αποκλίνουσες καμπυλότητες ανάλογα με τις ανάγκες του έγου. Στα καμπύλα αυτά τμήματα των σωληνωτών δικτύων ασκούνται σημαντικές δυνάμεις οι οποίες πέπει να υπολογίζονται για να επιλεγεί η κατάλληλη μοφή στήιξης του αγωγού. Ένα τέτοιο τμήμα υδαυλικού δικτύου πειλαμβάνει μια συγκλίνουσα καμπυλότητα, που εικονίζεται στο Σχήμα.3. Η καμπύλη είναι τοποθετημένη κατακόυφα και έει μέσα σε αυτή νεό. Να υπολογισθεί το μέγεθος της δύναμης που ασκείται από το νεό επάνω στο καμπύλο αυτό τμήμα της σωλήνωσης. (Ως εφαμογή εξάσκησης να υπολογισθεί η δύναμη που δέχεται η καμπύλη από το νεό, όταν είναι τοποθετημένη οιζόντια) [3].

Σχήμα.3 Δεδομένα: Διάμετος εισόδου: D =.5 m Διάμετος εξόδου D = m Παοχή νεού: Q=8 m3 s Βάος του συστήματος στον όγκο ελέγχου μεταξύ των διατομών εισόδου και εξόδου: B=5000 kp Διαφοά γεωδαιτικού ύψους εισόδου και εξόδου: = m Γωνία θ: θ=0 Σχετική πίεση εισόδου: =3 kp cm Απόσταση x: x=.3m Απώλειες: j Απώλειες=0.5 k Απάντηση/Λύση Λαμβάνεται όγκος ελέγχου ο χώος που πειλαμβάνει τα τοιχώματα της καμπύλης και τις επιφάνειες εισόδου () και εξόδου () του ευστού. Οι δυνάμεις από την ατμοσφαιική πίεση πέιξ του όγκου ελέγχου αλληλοαναιούνται. Για το λόγο αυτό θα χησιμοποιηθούν στους υπολογισμούς οι σχετικές πιέσεις που δείχνουν τα μηχανικά μανόμετα στις θέσεις εισόδου και εξόδου του ευστού. H δύναμη βαύτητας Β, ασκείται στον όγκο ελέγχου: B=5000 kp=5000 9.8 [Ν]=49050 Ν Η σχετική πίεση στην είσοδο του όγκου ελέγχου είναι:

=3 [ kp cm ] =3 [bar]=3 05 [ Ν m ] Οι απώλειες της οής ανά μονάδα μάζας: J k Απώλειες=0.5 [ J k ] =0.5 [ Ν m k m k ] =0.5 [ sec m ] =0.5 k [ m sec ] Ειδικό βάος νεού: γ= =000 [ k m 3] 9.8 [m s ] =980 N m 3 Α = π D 4 Α = π D 4 Το εμβαδόν των διατομών εισόδου και εξόδου είναι: = π.5 [m ].77 m 4 = π 0.79 m 4 Άα λοιπόν από την παοχή που δίνεται ποκύπτει: = Q 8 [ m3 sec ] Α =.77[m ] 4.5 m sec = Q 8 [ m3 sec ] Α = 0.79[m ] 0 m sec Οι απώλειες συνεπώς, (ανά μονάδα μάζας) του συστήματος είναι: Απώλειες=0.5 =0.5 0 m m 50 sec sec Εφαμόζοντας το νόμο διατήησης της ενέγειας (ανά μονάδα μάζας) για τις θέσεις και, ποκύπτει: + + = + + +Απώλειες 3 0 5 [ Ν m ] 000 [ k + m 3] 4.5 [ m sec ] m +0= 000 [ k m 3] + 0 [ m sec ] +[m]+50 [ m sec ] m m m 000 [ k =300 [ m 3] sec] +0. [ sec] -50 [ sec] -[m]-50 [ sec ] m 000 [ k =08. [ m 3] sec ] =08. 0 3 N kp. bar=. m cm

(σχετική πίεση) Σύμφωνα με το δεύτεο νόμο του Νεύτωνα, ο υθμός μεταβολής της ομής του συστήματος, ισούται με τη συνολική δύναμη που δέχεται το σύστημα, και εκφάζεται για μόνιμη οή, με τη μαθηματική σχέση: d F dt Άα: F x x d F y y d m d Αναλύοντας τις ταχύτητες εισόδου και εξόδου και αντίστοιχα σε δυο συνιστώσες μια κατά τον άξονα x και μια κατά τον άξονα y, ποκύπτει: Για την είσοδο στην καμπύλη ισχύει: x = Για την έξοδο από την καμπύλη ισχύει ότι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ των x και είναι 60, αφού η γωνία αυτή είναι πααπληωματική της γωνίας θ=0. Άα: cos(60 ) = x x =- cos(60 ) y =0 (Το ανητικό πόσημο δικαιολογείται με βάση το σύστημα αναφοάς που έχει οισθεί). Επίσης για την είσοδο στην καμπύλη ισχύει: Για την έξοδο από την καμπύλη ισχύει: sin(60 ) = y y = sin(60 ) Συνεπώς, για τις συνισταμένες των δυνάμεων, που δέχεται το σύστημα του νεού, που καταλαμβάνει την καμπύλη, κατά τη διεύθυνση x και κατά τη διεύθυνση y ποκύπτει: Fx d d cos60 o x Καθώς και: Fy y sin 60 o d Οπότε ο υθμός μεταβολής της ομής ως πος τον άξονα x, ο οποίος εκφάζει τη συνισταμένη δύναμη κατά τη διεύθυνση x, ποκύπτει: ΣF x =- Q - Q cos(60 ) ΣF x =- Q [ + cos(60 )]

ΣF x =-000 [ k m3] 8 [m3 sec ] (4.5 [ m sec ] +0 [ m sec ] ) ΣF x =-76000 N Η τιμή της συνισταμένης των δυνάμεων ΣF x, η οποία υπολογίστηκε πααπάνω ποέκυψε με ανητικό πόσημο, γεγονός που σημαίνει ότι ο συνολικός όγκος ελέγχου του σχήματος δέχεται μια δύναμη, κατά τη διεύθυνση x, αντίθετη με αυτή του οισθέντος συστήματος συντεταγμένων. Ομοίως, ο υθμός μεταβολής της ομής ως πος τον άξονα y, ο οποίος εκφάζει τη συνισταμένη δύναμη κατά τη διεύθυνση y, ποκύπτει: ΣF y = Q sin(60 ) ΣF y =000 [ k m3] 8 [m3 s ] 0 [m s ] 3 ΣF y 698 N Έστω ότι ο όγκος ελέγχου του πααπάνω συστήματος, για να συγκατηθεί στη θέση του, δέχεται μια εξωτεική δύναμη F, με συνιστώσες F x,f y, καθώς και τη δύναμη του βάους με μέτο B=5000 kp=49050 Ν. Οπότε, αν συνυπολογισθούν και οι εξωτεικές δυνάμεις λόγω της επικατούσας σχετικής πίεσης στην είσοδο και στην έξοδο, θα ισχύει: ΣF Χ = +F Χ + cos(60 ) F Χ =- - cos(60 ) +ΣF Χ F Χ =-(3 0 5 ) [ N m ].77[m ]-. 0 5 [ N m ] 0.79 [m ] -76000 [N] F Χ =-689950 N -70330 kp Το ανητικό πόσημο σημαίνει ότι η δύναμη αυτή, που δέχεται ο όγκος ελέγχου, έχει φοά αντίθετη από αυτή της αχικής υπόθεσης. Καθώς και: ΣF y =F y - sin(60 ) -Β F y = sin(60 ) +Β+ΣF y F y =. 0 5 [ N m ] 0.79 [m ] 3 +49050 [N] +698 [N] F y 6000 N 6708 kp Σχήμα.4 Άα η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών θα είναι η εξωτεική δύναμη που δέχεται ο όγκος ελέγχου για να συγκατηθείαπό στη θέση του. Ίση και αντίθετη δύναμη ασκεί το σύστημα που πεικλείει ο όγκος ελέγχου (ανοικτό σύστημα) πάνω στη στήιξή του:

F= F x +F y F= (-689950) +(6000) [N] F 7380 N=753 kp Η διεύθυνση της δύναμης αυτής σχηματίζει γωνία β με τον ανητικό ημιάξονα x του συστήματος αναφοάς, δηλαδή: tan β Fy Fx 6000 689950 N N 0.38 β 0.8 o Για την εύεση της θέσης της, εφόσον ο όγκος ελέγχου ισοοπεί, τότε το άθοισμα των οπών των εξωτεικών δυνάμεων, ως πος το σημείο τομής των αξόνων των δύο διατομών (Σχήμα.4.), θα είναι μηδενικό. Τότε: B x 5000.3 kp m F α B x α 0.09m F 753 kp Κιτήιο αξιολόγησης 5 Στις κατασκευές μηχανολογικού ενδιαφέοντος (υδοστόβιλοι, άδευση, πυόσβεση, μηχανές εσωτεικής καύσης, αεοποικοί κινητήες) απαιτείται συχνά η τοποθέτηση ακοφυσίων ή ψεκαστήων. Οι συσκευές αυτές δημιουγούν αύξηση της ταχύτητας του ευστού κατά την έξοδό του στην ατμόσφαια. Η μεταβολή αυτή της ταχύτητας του ευστού δημιουγεί δύναμη επάνω στο ακοφύσιο, η οποία πολλές φοές είναι ιδιαίτεα μεγάλη και απαιτείται ιδιαίτεος υπολογισμός της στήιξης του ακοφυσίου επάνω στο σωλήνα. Πέπει λοιπόν να υπολογισθεί η δύναμη που ασκείται από το ακοφύσιο στο σωλήνα που φαίνεται στο Σχήμα.5. Το ευστό έχει ειδικό βάος 900 kp/m 3 και η σχετική πίεση, που μετείται με μηχανικό μανόμετο, στην έξοδο του σωλήνα είναι 0 bar [3]. Σχήμα.5.

Δεδομένα: Ειδικό βάος: γ=900 kp/m 3 =900 9.8 N/m 3 =889 N/m 3 Άα η πυκνότητα του ευστού, το οποίο έει εσωτεικά του όγκου ελέγχου του πααπάνω σχήματος θα ισούται: γ= = γ 889 [ N = m 3] 9.8 [ m =900 sec] k m 3 Παατηείται ότι η πυκνότητα και το ειδικό βάος εκφάζονται με τον ίδιο αιθμό, αλλά οι μονάδες είναι διαφοετικές, καθώς και οι ιδιότητες του ευστού, και δεν πέπει να συγχέονται. Σχετική πίεση στη θέση του όγκου ελέγχου: =0 kp cm =0 bar=0 05 N m Α = π D 4 Α = π D 4 Διάμετος στη θέση του όγκου ελέγχου: D =5 cm=0.05 m Άα το εμβαδόν στη θέση του όγκου ελέγχου θα ισούται: = π 0.05 m.96 0-3 m 4 Διάμετος στη θέση του όγκου ελέγχου: D = cm=0.0 m Άα το εμβαδόν στη θέση του όγκου ελέγχου θα ισούται: = π 0.0 m 7.85 0-5 m 4 o = bar 0 5 a=0 5 N m Η πίεση γύω από την επιφάνεια ελέγχου είναι παντού ατμοσφαιική εκτός της επιφάνειας που επικοινωνεί με το σωλήνα στην οποία η πίεση είναι 0bar υπεάνω της ατμοσφαιικής. Η ατμοσφαιική πίεση πέιξ του όγκου ελέγχου ασκεί δυνάμεις που αλληλοαναιούνται. Απάντηση/Λύση Εφαμόζοντας το νόμο διατήησης της ενέγειας για το ανοικτό αυτό σύστημα ευστού, με είσοδο στη θέση και έξοδο στη θέση, για H Π =0 και = =0, ποκύπτει η παακάτω σχέση. Οι ενεγειακές απώλειες θεωούνται αμελητέες και δεν λαμβάνονται υπόψη. Η σχετική πίεση στη θέση είναι μηδενική: γ + + = γ + + +H Π γ + = γ + - = - () Ο νόμος της συνέχειας για το ανοικτό αυτό σύστημα, με είσοδο στη θέση και έξοδο στη θέση, απαιτεί: 0 d d d () ()

0 d d () () Α = Α = Α Α = 7.85 0-5.96 0-3 0.04 () - - Αντικαθιστώντας τη σχέση () στην εξίσωση (), ποκύπτει: = -(0.04 ) = (-0.04) = ( - ) (0.96) (0 0 5 ) [ N = m ] (0.96) 900 [ k m 3] 34.8 [ m sec ] m = 34.8 sec 48. m sec Οπότε από την σχέση () ποκύπτει: =0.04 48. m sec.9 m sec Εφαμόζεται η εξίσωση της ομής για το ανοικτό αυτό σύστημα, με είσοδο στη θέση και έξοδο στη θέση, υποθέτοντας F x την εξωτεική δύναμη που δέχεται ο όγκος ελέγχου από τη στήιξη στο σωλήνα με φοά πος τα δεξιά. Επίσης λαμβάνεται υπόψη η δύναμη που ασκείται στον όγκο ελέγχου, λόγω της σχετικής πίεσης που επικατεί στη θέση εισόδου του ευστού. Στη θέση εξόδου η σχετική πίεση είναι μηδενική. Οι δυνάμεις λόγω των πιέσεων, όπως έχει αναφεθεί, λαμβάνονται πάντοτε, εξωτεικά του όγκου ελέγχου και κάθετα πος την επιφάνεια ελέγχου: ΣF= Α +F x - Α =- Α + Α F x =- Α + Α - Α F x =Α (- - )+Α ( ) F x =.96 0-3 (-900.9-0 0 5 )+7.85 0-5 (900 48. ) F x -803 N -83.8 kp Το ανητικό πόσημο το οποίο ποέκυψε στον πααπάνω υπολογισμό της δύναμης (F x ) δηλώνει ότι η δύναμη που ασκείται στον όγκο ελέγχου, έχει αντίθετη φοά με αυτή που χησιμοποιήθηκε υποθετικά για τη διατύπωση της εξίσωσης της ομής(πος τα δεξιά). Φυσικά, σύμφωνα με την αχή της δάσης και της αντίδασης, το ακοφύσιο ασκεί στο σωλήνα δύναμη 83.8 kp πος τα δεξιά, και ο σωλήνας ασκεί ίση και

αντίθετη δύναμη σε αυτό πος τα αιστεά, όπως αναμένεται να συμβαίνει και εμπειικά. Τη δύναμη αυτή που δέχεται ο σωλήνας που συγκατεί το ακοφύσιο την ανλαμβάνουν οι κοχλίες σύνδεσης ή η συγκολλητική αφή. Βιβλιογαφία ου Κεφαλαίου [3] V. STREETER E. WYLIE, Μηχανική Ρευστών, Εκδόσεις ΦΟΥΝΤΑΣ 000 [6] ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΠΑΝΙΚΑΣ, Εφαμοσμένη Ρευστομηχανική, Εκδόσεις MEDI GURU 00 [9] Θ.Ι. ΤΣΙΡΙΚΟΓΛΟΥ, Ρευστοδυναμικές Μηχανές, Διδακτικές Σημειώσεις ΤΕΙ ΘΕΣΣΑΛΛΙΑΣ 00 [] ΔΗΜΟΣΘΕΝΗΣ ΠΑΠΑΗΛΙΟΥ, Τεχνική Θεμοδυναμική (Στοβιλοκινητήες), Διδακτικές Σημειώσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ