Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Τανυστικός Λογισμός Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

ÊåöÜëáéï 2 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ¼ðùò èá äéáðéóôþóïõìå óôá åðüìåíá êåöüëáéá, ç Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé áðáñáßôçôç ãéá íá ðåñéãñüøïõìå ìåñéêýò, íýåò ãéá ìáò, Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò, ïðùò ãéá ðáñüäåéãìá åßíáé ç Ýííïéá ôçò ôüóçò óôï åóùôåñéêü Ýíïò óþìáôïò ç Ýííïéá ôçò ðáñáìïñöùóçò. ÅðåéäÞ üìùò ïé öïéôçôýò ôïõ 2ïõ Ýôïõò äåí Ý ïõí áêïýóåé ôï ðáñáìéêñü ãéá ôï ôé åßíáé Ýíáò ôáíõóôþò, èá ðñýðåé íá åðé åéñþóïõìå ìéá óýíôïìç åéóáãùãþ óôçí Ýííïéá áõôþ. Ìéëþíôáò ëßãï áüñéóôá, ìðïñïýìå íá éó õñéóôïýìå üôé áðü ôéò ìý ñé ôþñá ãíùóôýò Ýííïéåò åêåßíç ðïõ ðëçóéüæåé ðåñéóóüôåñï óôçí Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ åßíáé ôï äéüíõóìá. Ãé' áõôü ëïéðüí áò îåêéíþóïõìå áðü áõôï. 2.1 Ôé åßíáé ôï äéüíõóìá; Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé öïñü. Åðßóçò, ãíùñßæïõìå üôé óå Ýíá êáñôåóéáíü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí Ýíá äéüíõóìá áíáðáñßóôáôáé áðü ìéá ôñéüäá ðñáãìáôéêþí áñéèìùí. ÐñÜãìáôé, Ýóôù Ýíá äéüíõóìá v. Óå Ýíá êáñôåóéáíü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí èá ãñüöåôáé v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ; (2.1) üðïõ ôá e 1 ; e 2 êáé e 3 åßíáé ôñßá ãñáììéêü áíåîüñôçôá, ìïíáäéáßá êáé ïñèïãþíéá ìåôáîý ôïõò äéáíýóìáôá, äçëáäþ áðïôåëïýí ìéá ïñèêáíïíéêþ âüóç ôïõ ôñéóäéüóôáôïõ Åõêëåßäéïõ þñïõ. Ãéá äåäïìýíç âüóç, õðüñ åé ìéá áêñéâþò ôñéüäá áñéèìþí (åí ðñïêåéìýíù ôá v 1 ; v 2 êáé v 3 ) ïé ïðïßïé áíáðáñéóôïýí ôï äéüíõìá v. Ïé áñéèìïß v 1 ; v 2 êáé v 3 ðñïêýðôïõí áðü ôçí ðñïâïëþ

10 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ôïõ äéáíýóìáôïò v óôïõò Üîïíåò 1 ; 2 êáé 3, áíôéóôïß ùò üðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï Ó Þìá 2.1. Ç ðñïâïëþ üìùò ôïõ äéáíýóìáôïò v óôïí Üîïíá 1 äßíåôáé áðü ôï åóùôåñéêü Ó Þìá 2.1. Ôï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí 1 2 3 êáé ç âüóç e 1 ; e 2 ; e 3. ãéíüìåíï: v 1 = v e 1 ; (2.2) Ýôóé þóôå ôï äéüíõóìá v íá ãñüöåôáé áðü ôç ó Ýóç (2.1) v = (v e 1 )e 1 + (v e 2 )e 2 + (v e 3 )e 3 ; (2.3) Áí ãíùñßæïõìå áõôþ ôçí ôñéüäá, ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôï ìýôñï êáé ôç äéåýèõíóç åíüò äéáíýóìáôïò êáèþò êáé ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï ìåôáîý äõï äéáíõóìüôùí. óôù ãéá ðáñüäåéãìá Ýíá äåýôåñï äéüíõóìá w ìå óõíéóôþóåò w 1 ; w 2 êáé w 3, ôüôå ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï ìåôáîý ôùí v êáé w èá äßíåôáé áðü ôçí Ýêöñáóç v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 : (2.4) Åðßóçò, ôï ìýôñï ôïõ v èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç: v = v = v v = v1 2 + v2 2 + v3: 2 (2.5) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.2 Ï Êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò 11 Ç äéåýèõíóç åíüò äéáíýóìáôïò êáèïñßæåôáé áðü ôéò ãùíßåò ðïõ ó çìáôßæåé áõôü ôï äéüíõóìá ìå ôïõò ôñåéò Üîïíåò ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí (ôá áíôßóôïé á óõíçìßôïíá ôùí ãùíéþí áõôþí áíáöýñïíôá ùò óõíçìßôïíá êáôåýèõíóçò): cos(v; e 1 ) = (v e 1) v ; cos(v; e 2 ) = (v e 2) v ; cos(v; e 3 ) = (v e 3) : (2.6) v óêçóç: ñçóéìïðïéþíôáò ôéò ó Ýóåéò (2.6) íá áðïäåßîåôå üôé ãéá ôïí ÉR 2 éó ýåé tan = v 2 v 1 ; üðïõ ç ãùíßá ðïõ ó çìáôßæåé ôï äéüíõóìá v ìå ôïí Üîïíá X 1. ÓçìáíôéêÞ ðáñáôþñçóç: ÐñÝðåé íá óçìåéþóïõìå üôé Ýíá äéüíõóìá åßíáé êüôé ðáñáðüíù áðü ôéò óõíéóôþóåò ôïõ. Ãéá íá ôï ðïýìå äéáöïñåôéêü: ïé óõíéóôþóåò åíüò äéáíýóìáôïò áíáðáñéóôïýí ðëþñùò ôï äéüíõóìá ìüíï üôáí äßíåôáé ç âüóç ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Áõôü óçìáßíåé üôé ç äéáôåôáãìýíç ôñéüäá áñéèìþí ðïõ áðïôåëïýí ôéò óõíéóôþóåò åíüò äéáíýóìáôïò áëëüæåé ìå ôçí áëëáãþ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Áò ôï äïýìå ìå Ýíá ðáñüäåéãìá. ÐáñÜäåéãìá óôù Ýíá óõóôçìá óõíôåôáãìýíùí ìå Üîïíåò X 1 ; X 2 êáé Ýíá äéüíõóìá v ôï ïðïßï ãñüöåôáé óe áõôü ôï óýóôçìá óõíôåôáãìåíùí ùò åîþò: v = ( 2; 2) = 2 e 1 + 2 e 2 ; üðïõ {e 1 ; e 2 } ç âüóç ôïõ óõóôþìáôïò. óôù ôþñá Ýíá äåýôåñï óýóôçìá ìå Üîïíåò X 1; X 2 ôï ïðïßï ó çìáôßæåé ãùíßá 45 ìïéñþí ìå ôï ðñþôï, üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 2.2. Ôüôå ôï ßäéï äéüíõóìá èá ãñüöåôáé óôï óõóôçìá óõíôåôáãìýíùí X 1; X 2: v = (2; 0) = 2 e 1 + 0 e 2; üðïõ e 1 êáé e 2 ôá äéáíýóìáôá âüóçò ôïõ äåýôåñïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. ÐáñáôçñÞóôå üôé ôï ìýôñï ôïõ äéáíýóìáôïò ðáñáìýíåé áíáëëïßùôï áðü ôçí áëëáãþ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. 2.2 Ï Êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò Èá ðñïóðáèþóïõìå ôþñá íá åéóüãïõìå ôçí Ýííïéá ôïõ Êáñôåóéáíïý ôáíõóôþ (Þ áðëþò ôáíõóôþ óôá ðëáßóéá áõôïý ôïõ ìáèþìáôïò) äåýôåñçò ôüîçò. ÐñïêáôáâïëéêÜ áíáöýñïõìå üôé Ýíáò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò áðïôåëåß ìéá ãñáììéêþ áðåéêüíéóç áðü ôïí ÉR 2 óôïí ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

12 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò Ó Þìá 2.2. Ôï äéüíõóìá v óå äõï äéáöïñåôéêü óõóôþìáôá óõíôåôáãìýíùí 1 2 êáé 1 2. ÉR 2. ÄçëáäÞ äñá ùò ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ìéáò äéáíõóìáôéêþò ìåôáâëçôþò. Ìå áðëü ëüãéá áõôü óçìáßíåé üôé ãéá êüèå äéüíõóìá ðïõ äßíåôáé ùò áíåîüñôçôç ìåôáâëçôþ (üñéóìá), ç óõíüñôçóç ìáò åðéóôñýöåé Ýíá Üëëï äéüíõóìá ùò åéêüíá y = f(x); x IR 3 ; y IR 3 (2.7) Áí ìéá óõíüñôçóç óáí ôçí ðáñáðüíù åßíáé åðéðëýïí ãñáììéêþ, ôüôå èá Ý åé õðï ñåùôéêü ôç ìïñöþ: y 1 M 11 M 12 M 13 x 1 y 2 = M 21 M 22 M 23 x 2 (2.8) y 3 M 31 M 32 M 33 x 3 Áò ðñïóðáèþóïõìå íá ôï êáôáíïþóïõìå ìå Ýíá ðáñüäåéãìá (óôïí ÉR 2 ) áðü ôç Ìç áíéêþ. óôù ìéá áðüëõôá åëáóôéêþ óöáßñá, ìüæáò m ç ïðïßá åêóöåäïíßæåôáé ìå áñ éêþ ôá ýôçôá v, õðü ãùíßá, ðñïò Ýíá áðüëõôá ëåßï Ýäáöïò üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 2.3. Áí áãíïþóïõìå ôçí åðßäñáóç ôïõ ðåäßïõ âáñýôçôáò, ìðïñïýìå åýêïëá íá õðïëïãßóïõìå ôçí ôá ýôçôá ìå ôçí ïðïßá ç óöáßñá èá áíáðçäþóåé óôï Ýäáöïò. ÅðåéäÞ ç êñïýóç åßíáé áðüëõôá åëáóôéêþ, ç êéíçôéêþ åíýñãåéá ðñéí êáé ìåôü ôçí êñïýóç èá ðáñáìåßíåé ßäéá. Õðåíèõìßæïõìå üôé ç êéíçôéêþ åíýñãåéá ðñéí êáé ìåôü ôçí êñïýóç äßíåôáé áðü ôéò ó Ýóåéò 1 2 mv2 = 1 2 mw2 v = w Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.2 Ï Êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò 13 Ó Þìá 2.3. Ç áíüðçäçóç ìéáò åëáóôéêþò óöáßñáò óå Ýíá áðüëõôá ëåßï åðßðåäï. Ç âüóç {e 1 ; e 2 } õðïäåéêíýåé ôç äéåýèõíóç ôùí áîüíùí ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Óõìðåñáßíïõìå ëïéðüí üôé ôï ìýôñï ôçò ôá ýôçôáò äåí áëëüæåé ìåôü ôçí êñïýóç. Áõôü ðïõ áëëüæåé åßíáé ç äéåýèõíóç ôçò ôá ýôçôáò. ÅðéðëÝïí, åðåéäþ ôüóï ç ãùíßá ðñüóðôùóçò êáé ç ãùíßá áíáðþäçóçò åßíáé ßóåò ìå, óõìðåñáßíïõìå åýêïëá üôé êáé ïé ãùíßåò ðïõ ó çìáôßæïõí ôá äéáíýóìáôá v êáé w ìå ôïí Üîïíá X 1 èá åßíáé åðßóçò ßóåò ìå êáé öõóéêü ßóåò ìåôáîý ôïõò. ôóé åýêïëá, óõìðåñáßíïõìå üôé ïé áíôßóôïé åò óõíéóôþóåò êáôü ôïí Üîïíá X 1 èá åßíáé ßóåò ìåôáîý ôïõò, äçëáäþ w 1 = v 1 : Ìå ðáñüìïéá åðé åéñþìáôá 1, ìðïñïýìå íá êáôáëþîïõìå üôé ç ó Ýóç ìåôáîý ôùí óõíéóôùóþí êáôü ôïí Üîïíá X 2 åßíáé w 2 = v 2 : Ïé äõï ðáñáðüíù ó Ýóåéò åíóùìáôþíïíôáé óôçí áêüëïõèç ìçôñùéêþ ó Ýóç: ( w1 w 2 ) = ( 1 0 0 1 ) ( v1 ÌåôÜ ôá ðáñáðüíù åßíáé åýêïëï íá ðåñüóïõìå óôïí ôñéóäéüóôáôï þñï, áöïý ç ôñßôç óõíéóôþóá (êüèåôç óôï åðßðåäï ôïõ Ó Þìáôïò) èá åßíáé ìçäýí ôüóï ãéá ôçí ôá ýôçôá ðñüóðôùóçò üóï êáé ãéá ôçí ôá ýôçôá áíáðþäçóçò. ôóé ëïéðüí ôá óõìðåñüóìáôü ìáò 1 Ìðïñåß êüðïéïò íá ñçóéìïðïéþóåé ôéò ó Ýóåéò (2.2) êáé (2.3) ãéá íá êáôáëþîåé óôï ßäéï óõìðýñáóìá v 2 ) : ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

14 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ãñüöïíôáé óôïí IR 3 ùò åîþò: w 1 w 2 w 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 v 1 v 2 v 3 : (2.9) Áí óõãêñßíïõìå ôéò ó Ýóåéò (2.8) êáé (2.9) êáôáëþãïõìå óôï óõìðåñáóìá üôé, ãéá ôï õðü óõæþôçóç ðñüâëçìá, ôï ìçôñþï (ðßíáêáò) ðïõ åìöáíßæåôáé óôç ó Ýóç (2.8) ðáßñíåé ôç ìïñöþ M 11 M 12 M 13 1 0 0 M 21 M 22 M 23 = 0 1 0 : (2.10) M 31 M 32 M 33 0 0 1 ÊáôÜ óõíýðåéá ç ó Ýóç ìåôáîõ ôçò ôá ýôçôáò ðñüóðôùóçò êáé ôçò ôá ýôçôáò áíáðþäçóçò ðáßñíåé ôçí áðëþ ãñáììéêþ ìïñöþ w 1 M 11 M 12 M 13 v 1 w 2 = M 21 M 22 M 23 v 2 : w 2 M 31 M 32 M 33 v 3 Ç ðáñáðüíù ó Ýóç ìðïñåß íá ãñáöåß óôçí áêüëïõèç ìïñöþ w = Mv; (2.11) üðïõ ôï Ì óôï óõãêåêñéìýíï óýóôçìá ðáßñíåé ôéò ôéìåò ôïõ ìçôñþïõ (2.10). ÐáñáôçñÞóôå ôçí ïìïéüôçôá ôçò ó Ýóçò (2.11) ìå ôéò ãíþñéìýò ìáò ãñáììéêýò óõíáñôþóåéò óôïí IR, ïðïõ ùò ãíùóôüí áíáðáñéóôïýí åõèåßåò ãñáììýò ðïõ äéýñ ïíôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí. Âåâáßá, áíôé ãéá ôçí êëßóç (ðïõ äßíåôáé ìå Ýíáí áñéèìü), åäù Ý ïõìå 9 áñéèìïýò äéáôåôáãìýíïõò óå Ýíá ìçôñþï 3 3. Åê ðñþôçò üøåùò, ç áíüëõóç ôïõ ðñïâëþìáôïò ðïõ óõæçôïýìå äåí åðéâüëëåé ôçí åéóáãùãþ êüðïéáò íýáò ìáèçìáôéêþò Ýííïéáò üðùò åßíáé ï ôáíõóôþò 2çò ôüîçò. Áí üìùò åîåôüóïõìå ìå ðñïóï Þ ôçí áíüëõóç ðïõ ðñïþãçèçêå, èá äéáðéóôþóïõìå üôé ôï áðüôåëåóìü ìáò, äçëáäþ ç åîßóùóç (2.9) åîáñôüôáé áðü ôï óõóôçìá óõíôåôáãìýíùí ðïõ åìåßò åðéëýîáìå (âëýðå Ó Þìá 2.3). Ôï öõóéêü ðñüâëçìá ðïõ åîåôüæïõìå, äçëáäþ ç ó Ýóç ìåôáîý ôçò ôá ýôçôáò ðñüóðôùóçò êáé ôçò ôá ýôçôáò áíáðþäçóçò, äåí åîáñôüôáé áðü ôï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. Åßíáé ëïãéêü ëïéðüí íá áíáñùôçèåß êáíåßò ðïéá èá Þôáí ç ìïñöþ ôçò ó Ýóçò (2.9) áí åðéëýãáìå Ýíá Üëëï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí; Óôï Ó Þìá 2.4, ðñüãìáôé, åðéëýãïõìå Ýíá Üëëï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí ôï ïðïßï ðñïêýðôåé áðü ôï áñ éêü ìå ìéá áðëþ ðåñéóôñïöþ óôçí öïñü ôïõ ùñïëïãéïý êáôü 45 ìïßñåò. Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç, ìðïñåß íá áðïäåßîåé êáíåßò üôé ç ãñáììéêþ óõíüñôçóç ìåôáîý ôùí ôá õôþôùí äßíåôáé áðü ôçí áêüëïõèç ó Ýóç w 1 w 2 w 3 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 v 1 v 2 v 3 : (2.12) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.2 Ï Êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò 15 Ó Þìá 2.4. Ç åîßóùóç (2.12) ãñüöåôáé åðßóçò óôç óõìðáãþ ìïñöþ ôçò ó Ýóçò (2.11), ìüíï ðïõ ôþñá ôï M óôï íýï óýóôçìá ðáßñíåé ôç ìïñöþ M = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 : Ôï êåíôñéêü ìáò óõìðåñüóìá, ëïéðüí, åßíáé üôé Ýíáò ôáíõóôþò M Ý åé 9 óõíéóôþóåò ðïõ äßíïíôáé ìå ôç ìïñöþ Ýíïò ìçôñþïõ 3 3, ðïõ áëëüæåé ìå ôçí áëëáãþ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. Ïðùò ôï äéüíõóìá õðüñ åé êáé Ý åé Ýííïéá áíåîáñôþôùò ôïõ óõôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí êéá äåí ôáõôßæåôáé ìå ìéá óõãêåêñéìýíç äéáôåôáãìýíç ôñéüäá áñéèìþí, Ýôóé êáé ï ôáíõóôþò M äåí ôáõôßæåôáé ìå Ýíáí ðßíáêá. Áðëþò, ï ôáíõóôþò áíáðáñßóôáôáé óå Ýíá óõêåêñéìýíï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí ìå Ýíá ìçôñþï 3 3. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

16 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò 2.3 Ï óõìâïëéóìüò ôùí äåéêôþí Èá åéóüãïõìå ôþñá Ýíáí Üëëï ôñüðï íá óõìâïëßæïõìå ôïõò ôáíõóôýò. Èá îåêéíþóïõìå ðüëé áðü ôá äéáíõóìáôá. ¼ðùò Ý ïõìå Þäç ðåé áí åßìáóôå óå Ýíá óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí, Ýíá äéüíõóìá v ðåñéãñüöåôáé ìå ôéò óõíéóôþóåò ôïõ v 1 ; v 2 ; v 3. Áíôß íá ãñüöïõìå üëåò ôéò óõíéóôþóåò, ãñüöïõìå áðëþò v i ; i = 1; 2; 3, Þ äåäïìýíïõ üôé åßìáóôå óôïí IR 3 ãñüöïõìå áðëþò v i. ôóé óôï åîþò Ýíá ïðïéïäþðïôå óýìâïëï ìå Ýíá äåßêôç èá óçìáßíåé äéüíõóìá. Åðéóçìáßíïõìå üôé ôï üíïìá ôïõ äåßêôç äåí ðáßæåé êáíýíá ñüëï. Ãéá ðáñüäåéãìá åðßóçò v i (v 1 ; v 2 ; v 3 ); v j (v 1 ; v 2 ; v 3 ): Áí âñéóêüìáóôå óôïí IR 2, ï óõìâïëßóìïò ðáñáìýíåé ßäéïò. ÅðåéäÞ üìùò ôþñá Ýíá äéüíõóìá èá Ý åé äõï óõíéóôþóåò, äçëáäþ v i ; i = 1; 2, ôï ßäéï óýìâïëï èá óçìáßíåé v i (v 1 ; v 2 ): Áò ðåñüóïõìå ôþñá óôïí ôáíõóôþ 2çò ôüîçò ï ïðïßïò, óýìöùíá ìå ôçí ðñïçãïýìåíç ðáñüãñáöï, Ý åé åííéü óõíéóôþóåò óôïí ôñéóäéüóôáôï þñï. ôóé, Ýíáò ôáíõóôþò 2Þò ôüîçò A óå Ýíá óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí Ý åé óõíéóôþóåò Á 11 Á 12 Á 13 Á 21 Á 22 Á 23 Á 31 Á 32 Á 33 Óýìöùíá ìå ôá ðáñáðüíù, áíôß íá ãñüöïõìå êáé ôéò åííéü óõíéóôþóåò, ãñüöïõìå ìüíï Á ij ; i; j = 1; 2; 3 Þ áðëþò Á ij. ÄçëáäÞ Á ij : Á 11 Á 12 Á 13 Á 21 Á 22 Á 23 Á 31 Á 32 Á 33 Åðßóçò, óôïí IR 2 ôï ßäéï óýìâïëï èá äéáâüæåôáé äéáöïñåôéêü, áöïý ôþñá ï ôáíõóôþò Ý åé ìüíï ôýóóåñåéò óõíéóôþóåò: ( ) Á11 Á Á ij 12 : Á 21 Á 22 Óôï åîþò ëïéðüí äõï äåßêôåò èá óçìáßíïõí ôáíõóôþ 2çò ôüîçò. ÖõóéêÜ, õðüñ ïõí êáé ôáíõóôýò ôñßôçò, ôýôáñôçò ê.ï.ê. ôüîçò ìå 27 êáé 81 óõíéóôþóåò áíôéóôïß ùò (óôïí IR 3 ). Èá ìðïñïýóáìå üëá ôá ìåãýèç ðïõ èá óõíáíôþóïõìå íá ôá èåùñþóïõìå Ýíá åßäïò ôáíõóôþ, áí óõìöùíþóïõìå íá ëýìå ôáíõóôýò ìçäåíéêþò ôüîçò üëá ôá âáèìùôü ìåãýèç, äçëáäþ êüèå : Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.3 Ï óõìâïëéóìüò ôùí äåéêôþí 17 ìåôáâëçôþ Þ óôáèåñü ðïõ áíþêåé óôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò êáé ôáíõóôýò 1çò ôüîçò ôá äéáíýóìáôá (Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò ìåôáâëçôýò). ÔáíõóôÞò ìçäåíéêþò ôüîçò (âáèìùôü): a ÔáíõóôÞò ðñþôçò ôüîçò (äéüíõóìá): ÔáíõóôÞò äåýôåñçò ôüîþò: TáíõóôÞò ôñßôçò ôüîçò: a i A ij B ijk ÐáñáôçñÞóôå üôé ï áñéèìüò ôùí äåéêôþí ìáò ðëçñïöïñåß ãéá ôçí ôüîç ôïõ ôáíõóôþ. Ìðïñïýìå íá ôïðïèåôïýìå ðëüé-ðëüé ôáíõóôýò äéáöïñåôéêþò ôüîçò, áäéáöïñþíôáò ãéá ôçí þñá, ôé ðñüîç ðñáãìáôïðïéïýìå. Ôï áðïôýëåóìá èá åßíáé ðüëé ôáíõóôþò. Ãéá ðáñüäåéãìá ç Ýêöñáóç a i B jkl a áðïôåëåß ôï "ãéíüìåíï" åíüò äéáíýóìáôïò ìå Ýíá ôáíõóôþ ôñßôçò ôüîçò êáé ìå Ýíá âáèìùôü ìåãýèïò. Ôï áðïôýëåóìá åßíáé Ýíáò ôáíõóôþò ôýôáñôçò ôüîçò, áöïý äéáèýôåé ôýóóåñéò äéáöïñåôéêïýò äåßêôåò. Óçìåéþíïõìå, üôé ïé äåßêôåò ó åôßæïíôáé ìå ôï áñáêôþñá ìéáò ðïóüôçôáò êáé ü é ìå ôçí óõãêåêñéìýíç ðïóüôçôá. ÄçëáäÞ, Ýíá äéüíõóìá á, ãñüöåôáé ìå ôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí á i. Ï äåßêôçò i ìáò äçëþíåé üôé ç ðïóüôçôá ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå ôï á åßíáé Ýíá äéüíõóìá. ÅðïìÝíùò, áí ãñüøïõìå á j, èá åííïïýìå ôçí ßäéá áêñéâþò äéáíõóìáôéêþ ðïóüôçôá. Åíþ áí ãñüøïõìå â i, (Þ éóïäýíáìá â ê ) èá åííïïýìå ìéá Üëëç äéáíõóìáôéêþ ðïóüôçôá. 2.3.1 Ç áèñïéóôéêþ óýìâáóç ÌÝ ñé ôþñá, ïé äåßêôåò ðïõ ñçóéìïðïéþóáìå Þôáí óå êüèå ðåñßðôùóç, äéáöïñåôéêïß ìåôáîý ôïõò. Ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå êáé ôïí ßäéï äåßêôç, áëëü ôüôå èá åííïïýìå Üèñïéóç ìå ôçí áêüëïõèç Ýííïéá A ii = 3 A ii =A 11 + A 22 + A 33 : i=1 ÌåôÜ áðü áõôü ðñýðåé íá õðïãñáììßóïõìå üôé Ý ïõìå äýï åéäþí äåßêôåò. Ôïõò åðáíáëáìâáíüìåíïõò (Þ âùâïýò) äåßêôåò, ðïõ óçìáßíïõí, êáôü ôá áíùôýñù, Üèñïéóç êáé ôïõò åëåýèåñïõò äåßêôåò ðïõ ìáò ðëçñïöïñïýí ãéá ôïí ôáíõóôéêü áñáêôþñá ìéáò ðïóüôçôáò. Ðñïóï Þ, âùâüò äåßêôçò óçìáßíåé åìöüíéóç ôïõ ßäéïõ äåßêôç äõï öïñýò. ¼ é ðáñáðüíù! Áí ðáñ' åëðßäá Ýíáò äåßêôçò åìöáíéóôåß ôñåéò Þ ðáñáðüíù öïñýò ðñýðåé íá øüîïõìå íá âñïýìå ôé ëüèïò Ý ïõìå êüíåé. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

18 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ÐáñÜäåéãìá 2.1 Äßíïõìå ôþñá ìåñéêü ðáñáäåßãìáôá åöáñìïãþò ôçò áèñïéóôéêþò óýìâáóçò B iij = B 11j + B 22j + B 33j ; a k B kj b i = a 1 B 1j b i + a 2 B 2j b i + a 3 B 3j b i ; a l b l = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 : ÁóêÞóåéò 1. Íá äåßîåôå üôé ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï äýï äéáíõóìüôùí a êáé b ãñüöåôáé a b = a k b k : (2.13) 2. Íá äåßîåôå üôé ôï ãéíüìåíï äýï ìçôñþùí Á êáé  ãñüöåôáé AB = A ik B kj : 2.3.2 Ôï ä ôïõ Kronecker êáé ï åíáëëáêôéêüò ôáíõóôþò Ôï ä ôïõ Kronecker ïñßæåôáé ùò åîþò ä ij = { 0; áí i j 1; áí i = j Óýìöùíá ìå ôá ðñïçãïýìåíá ôï ä ôïõ Kronecker èá åßíáé Ýíáò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò. ÏõóéáóôéêÜ ðñüêåéôáé ãáé ôïí ìïíáäéáßï ôáíõóôþ. ¼ôáí "ðïëëáðëáóéüæåôáé" ìå ïðïéïäþðïôå ôáíõóôþ ìå ôïí ïðïßï Ý åé Ýíá êïéíü äåßêôç Ý åé ùò áðïôýëåóìá íá áëëüæåé áõôüò ï äåßêôçò üðùò óôá ðáñáêüôù ðáñáäåßãìáôá a i ä ij = a j ; A kl ä kj b i = A jl b i ; B ij ä ji = B ii = B 11 + B 22 + B 33 ; ä ij ij = ä ii = ä 11 + ä 22 + ä 33 = 3: Ï åíáëëáêôéêüò ôáíõóôþò ïñßæåôáé ùò åîþò 0 áí äõï äåßêôåò åßíáé ßäéïé e ijk = 1 Üñôéá äéüôáîç äåéêôþí 1 ðåñéôôþ äéüôáîç äåßêôþí Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.3 Ï óõìâïëéóìüò ôùí äåéêôþí 19 Ó Þìá 2.5. Ó çìáôéêþ áíáðáñüóôáóç ðåñéôôþí êáé Üñôéùí äéáôüîåùí. Ãéá íá îå ùñßæåôå ôçí Üñôéá áðü ôçí ðåñéôôþ äéüôáîç ôùí äåéêôþí ðáñáôçñþóôå ôï ó Þìá ðïõ áêïëïõèåß Óýìöùíá ì' áõôü, Üñôéá åßíáé êüèå äéüôáîç ôùí 1, 2 êáé 3 ìå ôç èåôéêþ öïñü, åíþ áíôéèýôùò ç áñíçôéêþ öïñü èá åßíáé ç ðåñéôôþ äéüôáîç. ôóé èá Ý ïõìå e 123 = e 231 = e 312 = 1; e 321 = e 213 = e 132 = 1; e 112 = e 122 = e 233 = e 111 = = 0: Åðßóçò, óå ìéá ïðïéáäþðïôå äéüôáîç, ìéá áíôéìåôüèåóç äýï äåéêôþí Ý åé ùò áðïôýëåóìá ôçí áëëáãþ ôïõ ðñüóçìïõ, äçëáäþ e ijk = e jik ; e jik = e jki ; Þ ðéï áðëü e 123 = e 213 ; e 123 = e 132 ; ê.ï.ê. Ôï ä ôïõ Kronecker êáé ï åíáëëáêôéêüò ôáíõóôþò óõíõðüñ ïõí óôïí áêüëïõèï ñþóéìï ôýðï e ijk e ilm = ä jl ä km ä jm ä kl : (2.14) Óçìåéþíïõìå üôé ãéá íá åöáñìïóôåß ï ðáñáðüíù ôýðïò ðñýðåé ôïõëü éóôïí ïé äõï ðñþôïé äåßêôåò ôùí åíáëëáêôéêþí óõìâüëùí óôï ðñþôï ìýñïò ôçò (2.14) íá åßíáé ßäéïé. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

20 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ÐáñÜäåéãìá 2.2 Ìå ôç âïþèåéá ôïõ åíáëëáêôéêïý ôáíõóôþ ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôï ãíùóôü ìáò åîùôåñéêü ãéíüìåíï ìåôáîý ôùí äéáíõóìüôùí v êáé w ùò åîþò: AóêÞóåéò 1. Íá õðïëïãßóôåé ôï ä kk. v w = e ijk v j w K : (2.15) 2. Íá äåßîåôå üôé ç åêöñáóç e ijk Á 1i Á 2j A 3k áðïôåëåß ôçí ïñßæïõóá ôïõ ôáíõóôþ 2çò ôüîçò A. 2.4 ÐñÜîåéò ìåôáîý ôáíõóôþí Áò îåêéíþóïõìå ðüëé áðü ôá äéáíýóìáôá. Ãíùñßæïõìå üôé ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá äýï äéáíõóìüôùí w (Þ w i ) êáé v i (Þ v i ) ãñüöåôáé w + v = w i + v i = (w 1 + v 1 ; w 2 + v 2 ; w 3 + v 3 ): ÄçëáäÞ, ôï äéáíõóìáôéêü Üèñïéóìá äýï äéáíõóìüôùí åßíáé Ýíá Üëëï äéüíõóìá ôïõ ïðïßïõ ïé óõíéóôþóåò åßíáé ôï Üèñïéóìá ôùí áíôßóôïé ùí óõíéóôùóþí ôùí äéáíõóìüôùí ðïõ ðñïóôßèåíôáé. Áíáëüãá ïñßæåôáé ôï Üèñïéóìá ìåôáîý ôáíõóôþí 2çò ôüîçò. ÄçëáäÞ èá ðáßñíïõìå ìßá ðñïò ìßá ôéò óõíéóôþóåò ôïõ áèñïßóìáôïò ðñïóèýôïíôáò áðëþò ôéò áíôßóôïé åò óõíéóôþóåò ôùí ôáíõóôþí 2çò ôüîçò ðïõ ðñïóèýôïõìå. óôù ëïéðüí äýï ôáíõóôýò 2çò ôüîçò A (A ij ) êáé  ( ij ). Ôï Üèñïéóìá ôïõò èá ãñüöåôáé: A +  = A ij +  ij = Á 11 +  11 Á 12 +  12 Á 13 +  13 Á 21 +  21 Á 22 +  22 Á 23 +  23 Á 31 +  31 Á 32 +  32 Á 33 +  33 : (2.16) ÖõóéêÜ ôï ðáñáðüíù Üèñïéóìá ïñßæåôáé ìå ôïí ßäéï ôñüðï êáé ãéá ôáíõóôýò 3çò, 4çò ôüîçò ê.ï.ê. Ãéá ðüñáäåéãìá ãéá ôáíõóôýò 3çò ôüîçò èá ãñüöïõìå Ì + L = M ijk + L ijk : Ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ðïëëþí åéäþí ãéíüìåíá ìåôáîý ôáíõóôþí áíüëïãá ìå ôï ðùò èá "óõíäýóïõìå" ôïõò äåßêôåò äýï ôáíõóôþí. íá åíäéáöýñïí ãéíüìåíï ìåôáîý ôáíõóôþí 2çò Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.4 ÐñÜîåéò ìåôáîý ôáíõóôþí 21 ôüîçò åßíáé ôï áêüëïõèï: A = A ij  jk : (2.17) ÐñïóÝîôå üôé óôï ðáñáðüíù ãéíüìåíï ï äåýôåñï äåßêôçò ôïõ ðñþôïõ ôáíõóôþ óõíäýåôáé ìå ôïí ðñþôï äåßêôç ôïõ äåýôåñïõ ôáíõóôþ (óçìåéþíïíôáé ìå êüêêéíï ñþìá). Åðßóçò, ôï áðïôýëåóìá èá åßíáé Ýíáò Üëëïò ôáíõóôþò åðßóçò 2çò ôüîçò (äýï åëåýèåñïé äåßêôåò i êáé k). Áò õðïëïãßóïõìå ôï óôïé åéï (23) ôïõ ãéíïìýíïõ: A 2j  j3 = A 21  13 + A 22  23 + A 23  33 : ÏõóéáóôéêÜ ðñïêåéôáé ãáé ôï "åóùôåñéêü ãéíüìåíï" ìåôáîý ôçò äåýôåñçò ãñáììþò ôïõ ðñþôïõ ôáíõóôþ åðß ôçò ôñßôçò óôþëçò ôïõ äåýôåñïõ ôáíõóôþ üðùò ó çìáôéêü öáßíåôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá Á 11 Á 12 Á 13 Á 21 Á 22 Á 23 Á 31 Á 32 Á 33  11  12  13  21  22  23  31  32  33 Åßíáé öáíåñü üôé ôï ðáñáðüíù ãéíüìåíï áíôéóôïé åß óôï ãéíüìåíï ìåôáîý ðéíüêùí. ÌÝ ñé ôþñá Ý ïõìå óõíáíôþóåé äýï ãéíüìåíá ìåôáîý êáñôåóéáíþí ôáíõóôþí 1çò ôüîçò (äéáíýóìáôá), ôï åóùôåñéêü ãéíüìåíï (âëýðå ó Ýóç (2.13)) êáé ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï (ó Ýóç (2.15)). Ôï ðñþôï ìáò äßíåé Ýíá âáèìùôü ìýãåèïò, åíþ ôï äåýôåñï Ýíá äéüíõóìá. Èá ïñßóïõìå ôþñá Ýíá íýï ãéíüìåíï ìåôáîý äéáíõóìüôùí ôï áðïôýëåóìá ôïõ ïðïßïõ åßíáé Ýíáò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò. Ïñéóìüò óôù äýï äéáíýóìáôá u êáé v. Ôï ôáíõóôéêü ôïõò ãéíüìåíï (ãñüöåôáé u v) óå Ýíá óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí ïñßæåôáé ùò åîþò: : u v = u i v j : (2.18) Ðñïöáíþò ôï äåîéü ìýñïò ôçò (2.18) ãñüöåôáé åðßóçò a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 : a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 óôù Ýíáò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò A (A ij ). Áí áíôéóôñýøïõìå ôç óåéñü ôùí äåéêôþí èá ðñïêýøåé ï áíüóôñïöïò ôáíýóôþò. ÄçëáäÞ ï A ji èá åßíáé ï áíüóôñïöïò ôïõ A ij. Åßíáé öáíåñü üôé ï áíüóôñïöïò ôïõ A ðñïêýðôåé áðü ôïí A áí ìåôáôñýøïõìå ôéò ãñáììýò ôïõ óôþëåò. Ôïí áíüóôñïöï ôïõ A èá ôïí óõìâïëßóïõìå ìå A Ô. ÄçëáäÞ ìðïñïýìå íá ãñüöïõìå Á 11 Á 12 Á 13 Á 11 Á 21 Á 31 A = A ij = Á 21 Á 22 Á 23 A T = A ji = Á 12 Á 22 Á 32 : Á 31 Á 32 Á 33 Á 13 Á 23 Á 33 ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

22 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò Ïñéóìüò íáò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò A (A ij ) èá ëýãåôáé óõììåôñéêüò áí éó ýåé Þ Þ Á 11 Á 12 Á 13 Á 21 Á 22 Á 23 Á 31 Á 32 Á 33 A = A T A ij = A ji (2.19) = Á 11 Á 21 Á 31 Á 12 Á 22 Á 32 Á 13 Á 23 Á 33 Á 12 = Á 21 ; Á 13 = Á 31 ; Á 23 = Á 32 : ÄçëáäÞ Ýíáò óõììåôñéêüò ôáíõóôþò Ý åé ßóá ôá óôïé åßá ðïõ åßíáé óõììåôñéêü ùò ðñïò ôçí êýñéá äéáãþíéï üðùò öáßíåôáé ðáñáêüôù: Á 11 Á 12 Á 13 Á 12 Á 22 Á 23 : Á 13 Á 23 Á 33 ; Ïñéóìüò íáò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò A (A ij ) èá ëýãåôáé áíôóéõììåôñéêüò áí éó ýåé Ðñïöáíþò ïé áíôéóõììåôñéêïß ôáíõóôýò èá Ý ïõí ôçí ìïñöþ: Á 11 Á 12 Á 13 Á 12 Á 22 Á 23 : Á 13 Á 23 Á 33 A = A T A ij = A ji : (2.20) Ðñüôáóç ÊÜèå ôáíõóôþò 2çò ôüîçò ãñüöåôáé ùò Üèñïéóìá åíüò óõììåôñéêïý êáé åíüò áíôéóõììåôñéêïý ôáíõóôþ Áðüäåéîç ÐñÜãìáôé, êüèå ôáíõóôþ 2çò ôüîçò A ìðïñåß íá ãñáöåß óôç ìïñöþ: A = 1 2 (A + AÔ ) + 1 2 (A + AÔ ): Ðáñáôçñïýìå ôþñá üôé ôï Üèïéóìá 1 2 (A + AÔ ) åßíáé Ýíáò óõììåôñéêüò ôáíóõóôþò, åíþ ôï åßíáé Ýíáò áíôéóõììåôñéêüò ôáíõóôþò. 1 2 (A AÔ ) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.5 Íüìïò ìåôáó çìáôéóìïý ôùí ôáíõóôþí 23 ÁóêÞóåéò 1. Áí A åßíáé Ýíáò óõììåôñéêüò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò êáé  Ýíáò áíôßóõììåôñéêïò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò, íá äåßîåôå üôé ôï ãéíüìåíï A  åßíáé ï ìçäåíéêüò ôáíõóôþò. 2. Íá áðïäåßîåôå üôé åíáò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò A åßíáé óõììåôñéêüò ôüôå êáé ìüíï ôüôå áí éó ýåé e ijk A jk = 0: 3. Áí A åßíáé Ýíáò óõììåôñéêüò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò êáé u, v åßíáé äýï áõèáßñåôá äéáíýóìáôá, íá äåßîåôå üôé éó ýåé u Av = v Au: 2.5 Íüìïò ìåôáó çìáôéóìïý ôùí ôáíõóôþí ¼ëá ôá äéáíõóìáôéêü êáé ôá ôáíõóôéêü ìåãýèç ðïõ èá ñçóéìïðïéþóïõìå ó' áõôü ôï ìüèçìá èá åêöñüæïíôáé óå êüðïéï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí. Ðïëý áðëü èá ìðïñïýóáìå íá ðïýìå üôé Ýíá óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí ðñïóäéïñßæåôáé áðü Ýíá óçìåßï Ï ðïõ èåùñåßôáé ç áñ Þ ôïõ óõóôþìáôïò, áðü ôñåéò äéáöïñåôéêïýò Üîïíåò 1 ; 2 êáé 3 ðïõ äéýñ ïíôáé áðü ôï óçìåßï Ï êáé ôñßá ìïíáäéáßá ãñáììéêü áíåîüñôçôá äéáíýóìáôá e 1 ; e 2 êáé e 3 áíôéóôïß ùò. Áí ïé Üîïíåò åßíáé ïñèïãþíéïé ìåôáîý ôïõò ôï óýóôçìá ëýãåôáé ïñèïãþíéï Þ êáñôåóéáíü êáé ôá äéáíýóìáôá èá åßíáé ïñèïêáíïíéêü. ÅðåéäÞ ôï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí åßíáé ôçò äéêþò ìáò åðéëïãþò êáé äåí åßíáé ðüíôïôå ôï ßäéï ðñýðåé íá ãíùñßæïõìå ðùò èá áëëüæïõìå Ýíá óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí êáé ôé åðéðôþóåéò èá Ý åé áõôþ ç áëëáãþ óôéò äéüöïñåò äéáíõóìáôéêýò êáé ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò. óôù äýï êáñôåóéáíü óõóôþìáôá óõíôåôáãìýíùí X 1 X 2 êáé X 1X 2 ìå ìïíáäéáßá êüèåôá äéáíýóìáôá {e 1 ; e 2 } êáé {e 1; e 2}, áíôéóôïß ùò. Ôï óõíçìßôïíï ôçò ãùíßáò ðïõ ó çìáôßæïõí ïé Üîïíåò 1 êáé 2 èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç 12 = e 1 e 2 = cos (X 1 ; X 2) : ôóé,ïñßæïõìå ôï ìçôñþï ìåôáó çìáôéóìïý ìåôáîý ôùí äýï óõóôçìüôùí óõíôåôáãìýíùí Ë 11 12 13 21 22 23 31 32 33 ; (2.21) üðïõ ij = e i e j = cos ( X i ; X j) : (2.22) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

24 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò Ìðïñåß íá áðïäåé èåß üôé ôï ìçôñþï ìåôáó çìáôéóìïý ìåôáîý äýï êáñôåóéáíþí óõóôçìüôùí óõíôåôáãìýíùí åßíáé ðüíôá ïñèïãþíéï, äçëáäþ ôï áíôßóôñïöï ìçôñþï ôïõ åßíáé ßóï ìå ôï áíüóôñïöü ôïõ Ë 1 = Ë Ô Þ 1 ij = ji : (2.23) Åðßóçò ìðïñåß íá áðïäåé èåß üôé áí ôï äåýôåñï êáñôåóéáíü óýóôçìá ðñïþëèå áðü ìéá ðåñéóôñïöþ ôïõ ðñþôïõ, ôüôå ç ïñßæïõóá ôïõ ìçôñþïõ ìåôáó çìáôéóìïý èá åßíáé õðï ñåùôéêü ßóç ìå Ýíá det Ë = 1: Ãåíéêþò, ôï ìçôñþï ìåôáó çìáôéóìïý áñáêôçñßæåé ðëþñùò ôç ó Ýóç ìåôáîý ôùí äýï êáñôåóéáíþí óõóôçìüôùí. ÄçëáäÞ, áí ãíùñßæïõìå ôï Ýíá óýóôçìá ìðïñïýìå íá ðåñüóïõìå óôï Üëëï êáé ôï áíôßóôïñïöï. óêçóç Áí ij åßíáé ôï ìçôñþï ìåôáó çìáôéóìïý ìåôáîý äýï êáñôåóéáíþí óõóôçìüôùí óõíôåôáãìýíùí ôüôå éó ýåé ç áêüëïõèç ó Ýóç ij kj = ik : ÐáñÜäåéãìá 2.3 Áò äïýìå ôþñá ðùò ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå ôï äéüíõóìá ôïõ óõóôþìáôïò üôáí îýñïõìå ôá ìïíáäéáßá äéáíýóìáôá ôïõ óõóôþìáôïò. e 1 = (e 1 e 1 )e 1 + (e 1 e 2 )e 2 + (e 1 e 3 )e 3 = (e 1 e 1)e 1 + (e 2 e 1)e 2 + (e 3 e 1)e 3 = 11 e 1 + 21 e 2 + 31 e 3 : Ïìïßùò, âñßóêïõìå e 2 = 12 e 1 + 22 e 2 + 32 e 3 ; e 3 = 13 e 1 + 23 e 2 + 33 e 3 : Áí ñçóéìïðïéþóïõìå ôçí áèñïéóôéêþ óýìâáóç ôá ðáñáðüíù áðïôåëýóìáôá ãñüöïíôáé óå óõíïðôéêþ ìïñöþ e i = ji e j ; i; j = 1; 2; 3: (2.24) Åðßóçò, åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôþóïõìå üôé éó ýåé ç áíôßóôñïöç ó Ýóç e i = ij e j; i; j = 1; 2; 3: ÌåôÜ áðü áõôü åßíáé åýêïëï íá äïýìå ðùò ìåôáó çìáôßæåôáé ïðïéïäþðïôå äéüíõóìá áðü ôï Ýíá óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí óôï Üëëï. óôù Ýíá äéüíõóìá a ðïõ ïé óõíéóôþóåò ôïõ ùò ðñïò ôá äõï óõóôþìáôá óõíôåôáãìýíùí êáé åßíáé áíôéóôïß ùò a = a i e i Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.5 Íüìïò ìåôáó çìáôéóìïý ôùí ôáíõóôþí 25 êáé ÅðïìÝíùò èá Ý ïõìå a = a ie i: a = a i e i = a i ij e j = a je j (a i ij a j)e j = 0 êáé ëüãù ôçò ãñáììéêþò áíåîáñôçóßáò ôùí äéáíõóìüôùí âüóçò, ðñïêýðôåé Þ Ìå áíüëïãï ôñüðï ðáßñíïõìå a j = a i ij a j = ij a i : a j = ij a i : (2.25) a j = ji a i: (2.26) Ãéá íá èõìüìáóôå ðéï åýêïëá ôéò ó Ýóåéò (2.25-2.26) ôéò äßíïõìå ðáñáêüôù êáé óôçí ìçôñùéêþ ôïõò ìïñöþ, äçëáäþ ùò ó Ýóåéò ìåôáîý ðéíüêùí. a = Ëa ; a = Ë T a Þ êáé a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 = = 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 21 31 12 22 32 13 23 33 a 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 3 (2.27) (2.28) Áöïý åßäáìå ðùò ìåôáâüëëïíôáé ïé óõíéóôþóåò åíüò ôõ áßïõ äéáíýóìáôïò a êüôù áðü ïðïéïäþðïôå ìåôáó çìáôéóìü ïñèïãùíßùí óõóôçìüôùí óõíôåôáãìýíùí, èá ìðïñïýóáìå íá "ïñßóïõìå" îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò áðü ôïí ôñüðï ðïõ áõôü óõìðåñéöýñåôáé õðü ôïõò ìåôáó çìáôéóìïýò óõíôåôáãìýíùí. Ïñéóìüò Ìéá ðïóüôçôá a ìå ôñåéò óõíéóôþóåò óôïí IR 3 èá ëýãåôáé äéüíõóìá áí óå Ýíá ôõ áßï ìåôáó çìáôéóìü áðü ôï ïñèïãþíéï óýóôçìá ìå âüóç ôá e 1 ; e 2 êáé e 3 óå Ýíá Üëëï ïñèïãþíéï óýóôçìá ìå âüóç ôá e 1; e 2 êáé e 3, ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôï ìçôñþï ìåôáó çìáôéóìïý ij, ïé óõíéóôþóåò a i óôï ðñþôï óýóôçìá êáé ïé óõíéóôþóåò a i óôï äåýôåñï óýóôçìá óõíäýïíôáé ìå ôéò ó Ýóåéò a j = ji a i; a j = ij a i : (2.29) Ðïëý óõ íü, ç ðáñáðüíù äéáôýðùóç ñçóéìïðïéåßôáé ùò ï êýñéïò ïñéóìüò ôïõ äéáíýóìáôïò óôïí ôáíõóôéêü ëïãéóìü. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

26 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò Ìðïñïýìå ôþñá ðïëý åýêïëá íá ðåñüóïõìå óôçí Ýííïéá ôïõ ôáíõóôþ ãåíéêåýïíôáò ôïí ðáñáðüíù ïñéóìü ôïõ äéáíýóìáôïò. Ïñéóìüò Ìéá ðïóüôçôá Ô ìå åííéü óõíéóôþóåò óôïí IR 3 èá ëýãåôáé êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò áí óå Ýíá ôõ áßï ìåôáó çìáôéóìü áðü Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá ìå âüóç ôá e 1 ; e 2 êáé e 3 óå Ýíá Üëëï ïñèïãþíéï óýóôçìá ìå âüóç ôá e 1; e 2 êáé e 3, ðïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôï ìçôñþï ìåôáó çìáôéóìïý ij, ïé óõíéóôþóåò T ij óôï ðñþôï óýóôçìá êáé ïé óõíéóôþóåò T ij óôï äåýôåñï óýóôçìá óõíäýïíôáé ìå ôéò ó Ýóåéò T ij = im jk T mk; T ij = mi kj T mk : (2.30) Ïé ðáñáðüíù ó Ýóåéò óõ íü áíáöýñïíôáé ùò íüìïò ìåôáó çìáôéóìïý ôùí ôáíõóôþí. Ïé ó Ýóåéò (2.30) ìðïñïýí íá ãñáöïýí óå ìçôñùúêþ ìïñöþ ùò åîþò: Ïé ßäéåò ó Ýóåéò ãñüöïíôáé åðßóçò Ô 11 Ô 12 Ô 13 11 12 13 Ô 21 Ô 22 Ô 23 = 21 22 23 Ô 31 Ô 32 Ô 33 31 32 33 êáé Ô 11 Ô 12 Ô 13 Ô 21 Ô 22 Ô 23 Ô 31 Ô 32 Ô 33 = T = ËT Ë T ; T = Ë T TË (2.31) 11 21 31 12 22 32 13 23 33 Ô 11 Ô 12 Ô 13 Ô 21 Ô 22 Ô 23 Ô 31 Ô 32 Ô 33 Ô 11 Ô 12 Ô 13 Ô 21 Ô 22 Ô 23 Ô 31 Ô 32 Ô 33 11 21 31 12 22 32 13 23 33 11 12 13 21 22 23 31 32 33 (2.32) (2.33) ÐáñÜäåéãìá 2.4 Ùò ðáñüäåéãìá åöáñìïãþò ôïõ ðáñáðüíù ïñéóìïý èá áðïäåßîïõìå üôé ôï ôáíõóôéêü ãéíüìåíï äýï äéáíõóìüôùí (åî. (2.18)) åßíáé Ýíáò êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò. ÄçëáäÞ èá äåßîïõìå ç ðïóüôçôá a i b j åßíáé êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò áí ôá a i êáé b j åßíáé ïé óõíéóôþóåò ôùí äéáíõóìüôùí a êáé b. ÐñÜãìáôé, ãéá ôéò óõíéóôþóåò ôùí äéáíõóìüôùí èá éó ýåé a j = ji a i; b j = ji b i; êáé a i = ji a j ; b i = ji b j : Óõíåðþò ãéá ôï ãéíüìåíï èá Ý ïõìå a i b j = im a m jk b k = im jk a mb k Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.5 Íüìïò ìåôáó çìáôéóìïý ôùí ôáíõóôþí 27 êáé a mb k = im a i jk b j = im jk a i b j : ñá ç ðïóüôçôá ðëçñïß ôï íüìï ìåôáó çìáôéóìïý ôùí ôáíõóôþí, äçëáäþ áðïôåëåß Ýíáí êáñôåóéáíü ôáíõóôþ äåýôåñçò ôüîçò. ÐáñÜäåéãìá 2.5 Íá áðïäåé èåß üôé ôï ß íïò åíüò ôáíõóôþ åßíáé áíáëëïßùôï óå ìåôáó çìáôéóìïýò ìåôáîý ïñèïãùíßùí óõóôçìüôùí óõíôåôáãìýíùí. óôù A Ýíáò êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò. Óå Ýíá ïñèïãþíéï óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí ìå âüóç ôá e i, ïé óõíéóôþóåò ôïõ èá åßíáé A ij êáé ôï ß íïò ôïõ èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç tr(a) = A 11 + A 22 + A 33 = A ii : óôù Ýíá Üëëï ïñèïãþíéï óýóôçìá ìå âüóç {e 1 ; e 2 ; e 3 } ðïõ óõíäýåôáé ìå ôï ðñþôï ìå ôïí áêüëïõèï ìåôáó çìáôéóìü: e i = ji e j ; i; j = 1; 2; 3: Ôüôå ôï ß íïò ôïõ óôï äåýôåñï óýóôçìá èá ãñüöåôáé ÄçëáäÞ áðïäåßîáìå üôé tr(a) = A ii = mi ki A mk = mk A mk = A kk : A 11 + A 22 + A 33 = A 11 + A 22 + A 33: Ìå Üëëá ëüãéá ôï Üèñïéóìá ôùí äéáãùíßùí óôïé åßùí åßíáé óôáèåñü óå êüèå óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí ìïëïíüôé ïé óõíéóôþóåò ðïõ áðáñôßæïõí ôï Üèñïéóìá áëëüæïõí óå êüèå ìåôáâïëþ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí. ÐáñÜäåéãìá 2.6 óôù äýï êáñôåóéáíü óõóôþìáôá óõíôñôáãìýíùí 1 2 3 êáé 1 2 3. Ôï äåýôåñï ðñïêýðôåé áðü ôï ðñþôï ìå ðåñéóôñïöþ ôïõ ðñþôïõ óõóôþìáôïò êáôü =3 ãýñù áðü ôïí 1 (Ó Þìá 2.6). Äßíåôáé ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò Ô ôïõ ïðïßïõ ïé óõíéóôþóåò ùò ðñïò ôï 1 2 3 åßíáé: 3 2 1 Ô ij = 2 0 4 : 1 4 1 Íá õðïëïãéóôïýí ïé óõíéóôþóåò ôïõ Ô óôï 1 2 3. ÅðåéäÞ ï ôáíõóôþò åßíáé óõììåôñéêüò, ìéá éäéüôçôá ðïõ äåí åîáñôüôáé áðü óýóôçìá óõíôåôáãìýíùí, áñêåß íá õðïëïãßóïõìå 6 óõíéóôþóåò óôï êáéíïýñéï óýóôçìá. Îåêéíïýìå ìå ôïí õðïëïãéóìü Ýíá ðñïò Ýíá ôùí óôïé åßùí ôïõ ìçôñþïõ ìåôáó çìáôéóìïý áðü ôç ó Ýóç ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

28 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò Ó Þìá 2.6. ÐåñéóôñïöÞ ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìåíùí ãýñù áðü ôïí 1 êáôü =3. (2.21). 11 = cos(x 1 ; X 1) = cos 0 = 1; 12 = cos(x 1 ; X 2) = cos (=2) = 0; 13 = cos(x 1 ; X 3) = cos (=2) = 0; 21 = cos(x 2 ; X 1) = cos (=2) = 0; 22 = cos(x 2 ; X 2) = cos (=3) = 1=2; 23 = cos(x 2 ; X 3) = cos (=2 + =3) = 3=2; 31 = cos(x 3 ; X 1) = cos (=2) = 0; 32 = cos(x 3 ; X 2) = cos (=6) = 3=2; 33 = cos(x 3 ; X 3) = cos (=3) = 1=2; ÄçëáäÞ ôï ìçôñþï ìåôáó çìáôéóìïý Ý åé ôç ìïñöþ: Ë = 1 0 0 0 1=2 3=2 0 3=2 1=2 : Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.5 Íüìïò ìåôáó çìáôéóìïý ôùí ôáíõóôþí 29 ôóé, ïé óõíéóôþóåò ôïõ Ô óôï êáéíïýñéï óýóôçìá èá äßíïíôáé áðü ôç ó Ýóç (2.30â) T 11 = m1 k1 T mk = 11 11 T 11 + 11 21 T 12 + 11 31 T 13 + 21 11 T 21 + 21 21 T 22 + 21 31 T 23 + 31 11 T 31 + 31 21 T 32 + 31 31 T 33 = 11 11 T 11 = T 11 = 3; T 21 = m2 k1 T mk = 12 11 T 11 + 12 21 T 12 + 12 31 T 13 + 22 11 T 21 + 22 21 T 22 + 22 31 T 23 + 32 11 T 31 + 32 21 T 32 + 32 31 T 33 = 22 11 T 21 + 32 11 T 31 = 1 3 2 1( 2) + 1( 1) = 1 2 3 2 ; T 31 = m3 k1 T mk = 13 11 T 11 + 13 21 T 12 + 13 31 T 13 + 23 11 T 21 + 23 21 T 22 + 23 31 T 23 + 33 11 T 31 + 33 21 T 32 + 33 31 T 33 = 23 11 T 21 + 33 11 T 31 = 3 2 1( 2) + 1 2 1( 1) = 3 1 2 ; T 22 = m2 k2 T mk = 12 12 T 11 + 12 22 T 12 + 12 32 T 13 + 22 12 T 21 + 22 22 T 22 + 22 32 T 23 + 32 12 T 31 + 32 22 T 32 + 32 32 T 33 = 22 22 T 22 + 22 32 T 23 + 32 22 T 32 + 32 32 T 33 = 1 3 3 2 2 T 1 3 23 + 2 2 T 32 + 2 3 3 = 4 ( 4) + 4 ( 4) + 3 4 1 = 2 3 + 3 4 ; 3 2 T 33 ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

30 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò T 23 = m2 k3 T mk = 12 13 T 11 + 12 23 T 12 + 12 33 T 13 + 22 13 T 21 + 22 23 T 22 + 22 33 T 23 + 32 13 T 31 + 32 23 T 32 + 32 33 T 33 = 22 23 T 22 + 22 33 T 23 + 32 23 T 32 + 32 33 T 33 = 3 1 2 2 T 23 + 3 3 3 2 2 T 32 + 2 = 3 3 3 ( 4) + 4 4 ( 4) + 4 1 = 3 3 2 + 3 1 2 T 33 êáé T 33 = m3 k3 T mk = 13 13 T 11 + 13 23 T 12 + 13 33 T 13 + 23 13 T 21 + 23 23 T 22 + 23 33 T 23 + 33 13 T 31 + 33 23 T 32 + 33 33 T 33 = 23 23 T 22 + 23 33 T 23 + 33 23 T 32 + 33 33 T 33 = 3 1 2 2 T 23 + 3 1 2 2 T 32 + 1 1 2 2 T 33 = 3 4 ( 4) + 3 4 ( 4) + 1 4 1 = 2 3 + 1 4 : ÁóêÞóåéò 1. Äßíåôáé ç ó Ýóç Á ij = C ijkl B kl : Áí ïé Á êáé Â åßíáé êáñôåóéáíïß ôáíõóôýò äåýôåñçò, ôüôå ï C åßíáé êáñôåóéáíüò ôáíõóôþò ôýôáñôçò ôüîçò. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.6 ÐáñÜãùãïé âáèìùôþí, äéáíõóìáôéêþí êáé ôáíõóôéêþí ðåäßùí 31 2.6 ÐáñÜãùãïé âáèìùôþí, äéáíõóìáôéêþí êáé ôáíõóôéêþí ðåäßùí Óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò, ïé óõíáñôþóåéò ðïõ ìáò åíäéáöýñïõí åîáñôþíôáé áðü ìéá äéáíõóìáôéêþ ìåôáâëçôþ x åðåéäþ ôï óõíå Ýò óþìá B, åðß ôïõ ïðïßïõ ïñßæïíôáé, áðïôåëåß Ýíá õðïóýíïëï ôïõ ÉR 3. Óôï åîþò üëåò ôéò óõíáñôþóåéò ðïõ ïñßæïíôáé åðß ôïõ ÉR 3 Þ åðß ïðïéïäþðïôå õðïóõíüëï ôïõ èá áíáöýñïíôáé ùò ðåäßá. 2.6.1 Ç êëßóç âáèìùôïý ðåäßïõ óôù ìéá ïìáëþ âáèìùôþ óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé óôïí ÉR 3 ö : ÉR 3 ÉR; y = ö(x) = ö(x 1 ; x 2 ; x 3 ) Ç êëßóç (gradient) ôçò âáèìùôþò óõíüñôçóçò ö (ãñüöåôáé åðßóçò grad ö) ïñßæåôáé ùò áêïëïýèùò ö = @ö e 1 + @ö e 2 + @ö e 3 (2.34) @x 1 @x 2 @x ( 3 @ö = ; @ö ; @ö ) @x 1 @x 2 @x 3 Áí õéïèåôþóïõìå ôïí óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí (âëýðå ÐáñÜãñáöï 2.3), ç ó Ýóç (2.34) ãñüöåôáé ( @ö ; @ö ; @ö ) @ö @x 1 @x 2 @x 3 @x i Ó' áõôü ôï óçìåßï åéóüãïõìå Ýíá íýï óõìâïëéóìü ãéá ôçí ìåñéêþ ðáñüãùãï. Èá ãñüöïõìå ö ;1 = @ö @x 1 ; ö ;2 = @ö @x 2 ; ö ;3 = @ö @x 3 (2.35) ÄçëáäÞ ôï êüììá èá óçìáßíåé ðáñáãþãéóç êáé ï äåßêôçò ðïõ áêïëïõèåß èá ìáò äåß íåé ôçí ìåôáâëçôþ ùò ðñïò ôçí ïðïßá ðáñáãùãßæïõìå. ÖõóéêÜ, ìðïñïýìå íá ðüñïõìå êáé äåýôåñç Þ ôñßôç ðáñüãùãï üðùò öáßíåôáé óôá ðáñáäåßãìáôá ðïõ áêïëïõèïýí ö ;11 = @2 ö ; ö @x 2 ;12 = @2 ö ; ö ;113 = @3 ö : 1 @x 1 @x 2 @x 2 1@x 3 Åðßóçò ö ;ij = @2 ö ; ö ;ii = @2 ö = @2 ö ; ê.ï.ê @x i @x j @x i @x i @x 2 i ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

32 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò ÅðïìÝíùò ìðïñïýìå íá ãñüöïõìå ö = grad ö = ö ;i : (2.36) Áðü ôçí ðáñáðüíù ó Ýóç áðïêáëýðôåôáß üôé ç êëßóç ìéáò âáèìùôþò óõíüñôçóçò åßíáé Ýíá äéáíõóìáôéêü ìýãåèïò áöïý Ý åé Ýíáí åëåýèåñï äåßêôç, ïðùò áëëùóôå áðáéôåß êáé ï ïñéóìüò (2.34). ÌÜëéóôá, ðïëëýò öïñýò ìðïñïýìå íá âëýðïõìå ôïí ßäéï ôïí äéáöïñéêü ôåëåóôþ ùò äéáíõóìáôéêþ ðïóüôçôá, äçëáäþ @ : (2.37) @x i Ìå áõôü ôïí ôñüðï ìðïñïýìå íá åéñéæüìáóôå Üöïâá ôéò êëßóåéò ôùí âáèìùôþí óõíáñôþóåùí óôïí ôáíõóôéêü ëïãéóìü. Áò äïýìå ôï åðüìåíï ÐáñÜäåéãìá 2.7 óôù n Ýíá ìïíáäéáßï äéüíõóìá, ôüôå ç ðáñüãùãïò êáôü êáôåýèõíóç n ìéáò âáèìùôþò óõíüñôçóçò ö äßíåôáé áðü ôçí Ýêöáóç ö ;i n i. Ðñáãìáôé, ç ðïóüôçôá áõôþ ãñüöåôáé ö ;i n i = ö ;1 n 1 + ö ;2 n 2 + ö ;3 n 3 = @ö n 1 + @ö n 2 + @ö n 3 @x 1 @x 2 @x 3 = @ö (n e 1 ) + @ö (n e 2 ) + @ö (n e 3 ) @x 1 @x 2 @x ( 3 @ö = n e 1 + @ö e 2 + @ö ) e 3 @x 1 @x 2 @x 3 = n ö: 2.6.2 ÐáñÜãùãïé äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí Åóôù ôþñá ìéá ïìáëþ äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç f : ÉR 3 ÉR 3 äçëáäþ f(x) = f 1 (x)e 1 + f 2 (x)e 2 + f 3 (x)e 3 = (f 1 (x); f 2 (x); f 2 (x); f 3 (x)) Ç áðüêëéóç (divergence) ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò f (ãñüöåôáé åðßóçò div f) ïñßæåôáé ùò åîþò: f = div f = @f 1 @x 1 + @f 2 @x 2 + @f 3 @x 3 : (2.38) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.6 ÐáñÜãùãïé âáèìùôþí, äéáíõóìáôéêþí êáé ôáíõóôéêþí ðåäßùí 33 Óçìåéþíïõìå üôé ç áðüêëéóç ìéáò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò åßíáé âáèìùôþ ðïóüôçôá. Áí ñçóéìïðïéþóïõìå ôïí óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí êáé ôçí áèñïéóôéêþ óýìâáóç, ç ó Ýóç (2.38) ãñüöåôáé @f 1 + @f 2 + @f 3 = @f i = f i;i : @x 1 @x 2 @x 3 @x i Áí äïýìå ôï ùò ìia äéáíõóìáôéêþ ðïóüôçôá (üðùò óôç ó Ýóç (2.37)), ôüôå ôï ðñþôï ìýëïò ôçò (2.38) áðïôåëåß Ýíá "åóùôåñéêü ãéíüìåíï" êáé åðïìýíùò ìðïñåß íá äéáâáóôåß ùò ( ) @ @ @ f = ; ; (f 1 (x); f 2 (x); f 2 (x); f 3 (x)) @x 1 @x 2 @x 3 = @f 1 @x 1 + @f 2 @x 2 + @f 3 @x 3 = @f i @x i ÅðïìÝíùò, áõôü ðïõ èá ðñýðåé íá óõãêñáôþóïõìå åßíáé üôé óôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí, ç åêöñáóç f i;i áðïôåëåß ôçí áðüêëéóç ôïõ äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ f. Óçìåéþíïõìå üôé ï äéáöïñéêüò ôåëåóôþò ìðïñåß íá "äñáóåé" êáé ìå áëëïõò ôñüðïõò ðüíù óå ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá ç ãíùóôþ ìáò ðåñéóôñïöþ. Ç ðåñéóôñïöþ (divergence) ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò f (ãñüöåôáé åðßóçò rotf Þ curlf) ïñßæåôáé ùò åîþò: e 1 e 2 e 3 f = @ @ @ @x 1 @x 2 @x 3 f 1 f 2 f 3 : (2.39) Åßíáé åýêïëï íá äéáðéóôþóåé êáíåßò üôé ôï rotf åßíáé Ýíá äéüíõóìá. ÐñÜãìáôé, áíáðôýóïíôáò ôçí ïñßæïõóá óôï äåîéü ìýëïò ôçò (2.39) ðáßñíïõìå @ @ e @x 2 @x 3 1 f 2 f 3 e @ @ @x 1 @x 3 2 f 1 f 3 + e @ @ @x 1 @x 2 3 f 1 f 2 ( @f3 = @f ) ( 2 @f1 e 1 + @f ) ( 3 @f2 e 2 + @f ) 1 e 3 (2.40) @x 2 @x 3 @x 3 @x 1 @x 1 @x 2 Ìðïñïýìå íá äïýìå ôï åîùôåñéêü ãéíüìåíï óôï áñéóôåñü ìýëïò ôçò (2.39) ìå ôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí ìå ôç âïþèåéá ôçò (2.15): f = @ @ @f k f k = e ijk f k = e ijk = e ijk f k;j @x j @x j @x j Ç ôåëåõôáßá åêöñáóç óôçí ðáñáðüíù åîßóùóç åßíáé Ýíá äéüíõóìá ãéáôß Ý åé Ýíá ìüíï åëåýèåñï äåßêôç (ôïí i). Ïé ôñåéò óõíßóôùóåò ôïõ Ý ïõí ùò åîþò: (e 1jk f k;j ; e 2jk f k;j ; e 3jk f k;j ) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

34 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò Áò õðïëïãßóïõìå ôþñá ôéò óõíéóôþóåò ìßá ðñïò ìßá: e 1jk f k;j = e 123 f 3;2 + e 132 f 2;3 = f 3;2 f 2;3 = @f 3 @x 2 @f 2 @x 3 ; e 2jk f k;j = e 213 f 3;1 + e 231 f 1;3 = f 3;1 + f 1;3 = @f 1 @x 3 @f 3 @x 1 ; e 3jk f k;j = e 312 f 2;1 + e 321 f 1;2 = f 2;1 f 1;2 = @f 2 @f 1 : @x 1 @x 2 Ìðïñïýìå åýêïëá íá åðéâåâáéþóïõìå ôá ðáñáðüíù áðïôåëýóìáôá ìå ìéá áðëþ óýãêéóç ìå ôéò áíôßóôïé åò óõíéóôþóåò ôïõ äéáíýóìáôïò ðïõ åìöáíßæåôáé óôç ó Ýóç (2.40). ÔÝëïò õðüñ åé áêüìç Ýíáò ôñüðïò íá äñüóåé ôï åðß åíüò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ: Ç êëßóç (gradient) ôçò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò f ïñßæåôáé ùò åîþò: grad f = f (2.41) Ðéï óõ íü óõìâïëßæïõìå ôçí êëßóç åíüò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ ìå f áíôß ôïõ f. ÄçëáäÞ ìåôáîý ôïõ êáé ôçò óõíüñôçóçò f äåí õðáñ åé êáíýíá óçìüäé, üðùò áêñéâþò óôç ó Ýóç (2.34) ðïõ áöïñü óôçí êëßóç ôùí âáèìùôþí ðåäßùí. Áò áíáëýóïõìå ôþñá ôç (2.41) ìå ôç âïþèåéá ôçò (2.17) êáé (2.37): Þ éóïäýíáìá f = f = @ @x i f j = @f j @x i = f j;i ; f 1;1 f 1;2 f 1;3 f 2;1 f 2;2 f 2;3 f 3;1 f 3;2 f 3;3 : (2.42) Ãßíåôáé ëïéðüí öáíåñü üôé ç êëßóç åíüò äéáíõóìáôéêïý ðåäßïõ åßíáé Ýíáò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò. ÁóêÞóåéò 1. Áí ö åßíáé Ýíá âáèìùôü ðåäßï, íá äåßîåôå üôé Ý åé íüçìá ç Ýêöñáóç div(grad ö) êáé óôç óõíý åéá íá áðïäåßîåôå üôé div(grad ö) = 2 ö = ö ;ii ; üðïõ 2 ç ËáðëáóéáíÞ (Laplacian). 2. Áí a êáé b åßíáé äéáíýóìáôá, íá åîåôüóåôå ôï ãéíüìåíï (a ) b. 3. Áí f = f(x) = x 1 x 2 x 3 e 1 + x 1 x 2 e 2 + x 1 e 1, íá ðñïóäéïñßóåôå ôá div f; curl f; grad f êáé 2 f. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.6 ÐáñÜãùãïé âáèìùôþí, äéáíõóìáôéêþí êáé ôáíõóôéêþí ðåäßùí 35 2.6.3 ÐáñÜãùãïé ôáíõóôéêþí ðåäßùí Êáô' áíáëïãßá ìå ôá äéáíýóìáôá ïñßæïõìå ôçí áðüêëéóç, ôçí êëßóç êáé ôçí ðåñéóôñïöþ ôáíõóôþí 2çò ôüîçò. óôù A Ýíáò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò, ôüôå diva = @A ij @x j = A ij;j ; (2.43) grad A = @A ij @x k = A ij;k ; (2.44) rot A = e ijk @A lj @x k = e ijk A lj;k : (2.45) Ðáñáôçñïýìå üôé ç áðüêëéóç åíüò ôáíõóôþ 2çò ôüîçò åßíáé Ýíá äéüíõóìá (ôáíõóôþò 1çò ôüîçò) äçëáäþ êáôåâüæåé ôçí ôüîç ôïõ ôáíõóôþ êáôü Ýíá. ÁíôéèÝôùò, ç êëéóç áíåâüæåé ôçí ôüîç ôïõ ôáíõóôþ êáôü Ýíá áöïý ôï áðïôýëåóìá åßíáé Ýíáò ôáíõóôþò 3çò ôüîçò. ÔÝëïò, ôï áðïôýëåóìá ôçò ðåñéóôñïöþò åíüò ôáíõóôþ 2çò ôüîçò åßíáé îáíü Ýíáò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò. Óôïí ðßíáêá 2.1 óõíïøßæïõìå ôïõò ôñüðïõò ðïõ ï ôåëåóôþò äñá åðß ôùí äéáíõóìáôéêþí ðåäßùí ÄñÜóç Óõìâïëéóìüò Óõìâïëéóìüò ôïõ Äéáíõóì. Áíáëýóçò äåéêôþí êëßóç gradö = ö ö ;i áðüêëéóç div f = f f i;i ðåñéóôñïöþ rot f = f e ijk f k;j êëßóç grad f = f f i;j áðüêëéóç div A = A A ij;j ðåñéóôñïöþ rot A = A e ijk A lj;k êëßóç grad A = A A ij;k ÁóêÞóåéò Ðßíáêáò 2.1. Ç äñüóç ôïõ ôåëåóôþ åðß âáèìùôþí, äéáíõóìáôéêþí êáé ôáíõóôéêþí ðåäßùí. 1. Íá äåßîåôå üôé (öa) = a ö + ö a; ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

36 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò üðïõ ö êáé a åßíáé âáèìùôü êáé äéáíõóìáôéêü ðåäßï áíôßóôïé á. 2. Íá äåßîåôå üôé (öa) = ö a + ö a; üðïõ ö êáé a åßíáé âáèìùôü êáé äéáíõóìáôéêü ðåäßï áíôßóôïé á. 3. Íá åîåôüóåôå ôçí Ýêöñáóç (Ab); üðïõ b êáé A åßíáé ôíõóôýò ðñþôçò êáé äåýôåñçò ôüîçò, áíôßóôïé á. 4. Íá áðïäåßîåôå üôé (öé) = ö; üðïõ ö Ýíá âáèìùôü ðåäßï êáé É ï ìïíáäéáßïò ôáíõóôþò 2çò ôüîçò. 2.6.4 Ôï èåþñçìá Gauss Ðïëý óõ íü óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò ñåéüæåôáé íá ìåôáôñýðïõìå Ýíá åðéöáíåéáêü ïëïêëþñùìá óå Ýíá ôñéðëü ïëïêëþñùìá (üãêïõ) êáé ôï áíôßóôñïöï. Áõôü åðéôõã Üíåôáé ìå ôï èåþñçìá ôçò áðüêëéóçò Þ ôï èåþñçìá Gauss. Èåþñçìá Gauss óôù Ýíá éêáíïðïéçôéêü ïìáëü 2 âáèìùôü ðåäßï ö ïñéóìýíï åðß Ýíïò ïìáëïý ùñßïõ Ù IR 3. Áí @Ù åßíáé ç óõíïñéáêþ åðéöüíåéá ôïõ Ù êáé n ôï ìáíáäéáßï êüèåôï äéüíõóìá åðß ôçò óõíïñéáêþò åðéöüíåéáò, ôüôå @Ù önds = Ù grad ödv; (2.46) Ç ó Ýóç (2.46) ìå ôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí ãñüöåôáé @Ù ön i ds = Ù ö ;i dv: (2.47) Oé õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôåò êáé óôá äõï ïëïêëçñþìáôá åßíáé äéáíõóìáôéêýò (åëåýèåñïò äåßêôçò ôï i). ÐñïóÝîôå üôé ï äåßêôçò i áðü ôï n i óôï áñéóôåñü ïëïêëþñùìá ðåñíüåé óôçí ðáñüãùãï ôïõ ö óôï äåîéü ïëïêëþñùìá. 2 Åí ðñïêåéìýíù, " éêáíïðïéçôéêü ïìáëü" óçìáßíåé üôé ôï ðåäßï ö åßíáé óõíå Ýò åðß ôïõ êëåéóôïý Ù êáé óõíå þò ðáñáãùãßóéìï åðß ôïõ åóùôåñéêïý ôïõ Ù. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.7 ÁðåéñïóôÜ ìåãýèç 37 óôù ôþñá Ýíá ïìáëü äéáíõóìáôéêü ðýäéï f. Ôï èåþñçìá Gauss ìáò äéáâåâáéþíåé üôé f nds = @Ù Ù div fdv: (2.48) Óå óõìâïëéóìü äåéêôþí ç ðáñáðüíù ó Ýóç ãñüöåôáé: f i n i ds = f i;i dv: (2.49) @Ù Áò ðñïóýîïõìå üôé ïé õðü ïëïêëþñùóç ðïóüôçôåò åßíáé âáèìùôýò ðïóüôçôåò êáé åðßóçò üôé ï äåßêôçò i áðü ôï n i óôï áñéóôåñü ïëïêëþñùìá ðåñíüåé óôçí ðáñüãùãï ôïõ ö óôï äåîéü ïëïêëþñùìá. Ìå âüóç áõôþ ôçí ðáñáôþñçóç, ôï Èåþñçìá Gauss ãéá Ýíá ïìáëü ôáíõóôéêü ðåäßï 2çò ôüîçò A ij èá Ý åé ôç ìïñöþ: Á ij n j ds = A ij;j dv; (2.50) @Ù Ù Ù äçëáäþ Ánds = div Ádv: (2.51) @Ù Ù ôóé ãéá Ýíá ïìáëü ôáíõóôéêü ðåäßï ïðïéáóäþðïôå ôüîçò (ð.. 4çò ôüîçò), ôï È. Gauss èá ãñüöåôáé: Ô ijkl n l ds = T ijkl;l dv: @Ù Ù 2.7 ÁðåéñïóôÜ ìåãýèç Èá ëýìå üôé ìéá ðïóüôçôá åßíáé áðåéñïóôþ óôï ìçäýí áí ðåñéãñüöåôáé áðü ìéá óõíüñôçóç f(x) ìå x IR ôýôïéá þóôå lim f(x) = 0: (2.52) x 0 Åðßóçò, èá ëýìå üôé ìéá ðïóüôçôá åßíáé áðåéñïóôþ óôï x 0, áí lim f(x) = 0: (2.53) x x 0 Èá ñçóéìïðïéïýìå ôá óýìâïëá "ìåãüëï ï" (Ï) êáé "ìéêñü ï" (ï) ìå ôïí áêüëïõèï Ýííïéá: óôù äýï óõíáñôþóåéò f(x) êáé g(x) ìå x IR. Èá ëýìå üôé ç f åßíáé áðåéñïóôü ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

38 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò êáôþôåñçò ôüîçò ìåãýèïõò áðü ôçí g óôï ìçäýí (Þ éóïäýíáìá, ç g åßíáé áðåéñïóôü áíþôåñçò ôüîçò áðü ôçí f óôï ìçäýí) êáé èá ãñüöïõìå f(x) = o(g(x)); óôçí ðåñéï Þ ôïõ 0; (2.54) áí éó ýåé f(x) lim x 0 g(x) = 0: Åðßóçò, áí f êáé g åßíáé áðåéñïóôü óôï x 0, èá ëýìå üôé ç f åßíáé áðåéñïóôü êáôþôåñçò ôüîçò ìåãýèïõò áðü ôçí g óôï x 0, êáé èü ãñüöïõìå f(x) = o(g(x)); óôï x 0 ; (2.55) áí éó ýåé f(x) lim x x 0 g(x) = 0: Èá ëýìå üôé ïé f êáé g åßíáé ßäéáò ôüîçò ìåãýèïõò óôï ìçäýí êáé èá ãñüöïõìå f(x) = O(g(x)); óôçí ðåñéï Þ ôïõ 0; (2.56) Þ áðëü áí éó ýåé Ïìïßùò, èá ãñüöïõìå áí éó ýåé f(x) lim x 0 g(x) f(x) g(x) (2.57) = k; k > 0: f(x) = O(g(x)); óôï x 0 ; (2.58) f(x) lim x x 0 g(x) = k; k > 0: ÔÝëïò èá ëýìå üôé ïé f êáé g åßíáé éóïäýíáìåò óôçí ðåñéï Þ ôïõ ìçäåíüò êáé èá ãñüöïõìå f(x) g(x); (2.59) áí éó ýåé f(x) lim x 0 g(x) = 1: Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.7 ÁðåéñïóôÜ ìåãýèç 39 Ðáñüìïéá, f(x) g(x) óôï x 0, áí f(x) lim x x 0 g(x) = 1: Ðáñáäåßãìá 2.8 Èá äåßîïõìå üôé ôï sin 2x åßíáé ßäéáò ôüîçò áðåéñïóôü ìå ôçí f(x) = x óôï ìçäýí, äçëáäþ sin 2x = Ï(f(x)) = Ï(x); óôï 0: ÐñÜãìáôé, áñêåß íá ðáñáôçñþóïõìå üôé Ðñïöáíþò éó ýåé åðßóçò êáé sin(2x) lim x 0 x = 2: sin x = O(x); óôï 0: sin x x; óôï 0: ÐáñÜäåéãìá 2.9. Áí f(x) = x 3 5x 2 + x êáé g(x) = x, ôüôå íá óõãêñßíåôå ôéò f êáé g óôçí ðåñéï Þ ôïõ ìçäåíüò. Îåêéíïýìå áðü ôïí ïñéóìü f(x) lim x 0 g(x) = lim x 3 5x 2 + x x 0 x ÅðïìÝíùò, f g óôï ìçäýí. Ðéï ãåíéêü, êüèå ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç = lim x 0 (x 2 5x + 1) = 1; P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 åßíáé áðåéñïóôü üôáí a 0 = 0. Óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç åßíáé áðåéñïóôü ôüîçò Ï(x) óôï ìçäýí, áí a 1 > 0. Ãåíéêüôåñá, ç ôüîç êüèå ðïëõùíõìéêþò óõíüñôçóçò ( ùñßò óôáèåñü üñï Ýôóé þóôå íá åßíáé áðåéñïóôü ìýãåèïò óôï ìçäýí) åßíáé ßóç ìå ôçí ôüîç ôïõ åëá éóôïâüèìéïõ üñïõ ôïõ, äçëáäþ a n x n + a n 1 x n 1 + + a k x k = O(x k ) ãéá a k > 0 êáé n > k > 0. ¼ôáí ìéá óõíüñôçóç f åßíáé ßäéáò ôüîçò ìå ôçí k äýíáìç ôïõ x Èá ëýìå üôé ç f åßíáé áðåéñïóôü k ôüîçò. Ãéá ðáñüäåéãìá ôï sin x åßíáé áðåéñïóôü ðñþôçò ôüîçò. ÁóêÞóåéò 1. Áí f(x) = O(x n ) êáé g(x) = O(x k ) óôï ìçäýí ìå n > k, ôüôåí áðïäåé èåß üôé ç f + g åßíáé áðåéñïóôü ôüîçò k óôï ìçäýí. 2. Áí f(x) = o(g(x)) êáé g(x) = o(h(x)) óôï ìçäýí, ôüôå f(x) = o(h(x)) óôï ìçäýí. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

40 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò 2.8 Ðñïóåããßóåéò ìå ôç âïþèåéá ôïõ ÈåùñÞìáôïò Taylor óôù ìéá óõíüñôçóç f = f(x) ç ïðïßá Ý åé ðáñüãùãï ïðïéáóäþðïôå ôüîçò óôïí IR (f åßíáé Üðåéñåò öïñýò ðáñáãùãßóéìç). Ç óåéñü Taylor ãýñù áðü ôï óçìåßï x 0 èá äßíåôáé áðü ôçí Ýêöñáóç f(x) = n=0 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2! f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n + : : : (2.60) êáé èá óõãêëßíåé ãéá üëá ôá x ðïõ âñßóêåôáé áñêåôü êïíôü óôï óçìåßï x 0 Ýôóé þóôå x x 0 < 1. Óôçí ðñüîç ñçóéìïðïéïýìå ïñéóìýíïõò üñïõò áðü ôï áíüðôõãìá ôïõ äåîéïý ìýëïõò ôçò (2.60) ãéá íá ðñïóåããßóïõìå ôç óõíüñôçóç f óôçí ðåñéï Þ ôïõ x 0. ÄçëáäÞ ñçóéìïðïéïýìå Ýíá ðïëõþíõìï k ôüîçò áíôß ãéá ôçí óåéñü ìå ôïõò Üðåéñïõò üñïõò. Áõôü óçìáßíåé üôé ðáñáëåßðïõìå Üðåéñïõò üñïõò ãíùñßæïíôáò üôé ç óõìâïëþ ôïõò óôçí Ýêöñáóç (2.60) åßíáé ìéêñþ. Ôï èåþñçìá Taylor ìáò äßíåé ðëçñïöïñßåò ãéá ôï óöüëìá ðïõ åéóüãïõìå ìå áõôüí ôïí ôñüðï. Ãéá ðáñüäåéãìá áí êñáôþóïõìå üñïõò ìý ñé êáé k ôüîçò, ôüôå ôï óöüëìá ðïõ åéóüãåôáé åîáéôßáò ôùí Üðåéñùí üñùí ðïõ ðáñáëåßðïõìå èá åßíáé áðåéñïóôü ôüîçò k + 1. ÄçëáäÞ, éó ýåé f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2! f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k +Å k (x); (2.61) üðïõ Å k (x) = O ( (x x 0 ) k+1) : (2.62) ñçóéìïðïéþíôáò ôéò (2.61) êáé (2.62) ìðïñåß åýêïëá íá áðïäåé èåß üôé éó ýåé üðïõ f(x) f k (x) óôï x 0 ; f k (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + 1 2! f (x 0 )(x x 0 ) 2 + + 1 k! f (k) (x 0 )(x x 0 ) k ; (2.63) üðïõ f k åßíáé ôï áíüðôõãìá Taylor k ôüîçò. Èá ñçóéìïðïéïýìå ëïéðüí ôï áíüðôõãìá Taylor ãéá íá ðñïóåããßæïõìå ôç óõíüñôçóç f óå Ýíá óõãêåêñéìýíï óçìåßï x ðïõ âñßêåôáé óôç ãåéôïíéü ôïõ x 0 (ìå x x 0 < 1): f( x) f k ( x) = f(x 0 )+f (x 0 )( x x 0 )+ 1 2! f (x 0 )( x x 0 ) 2 + + 1 k! f (k) (x 0 )( x x 0 ) k ; (2.64) Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

2.8 Ðñïóåããßóåéò ìå ôç âïþèåéá ôïõ ÈåùñÞìáôïò Taylor 41 üðïõ f( x) åßíáé ç áêñéâþò ôéìþ ôçò f óôï x êáé f k ( x) ç áíôßóôïé ç ðñïóåããéóôéêþ ôçò ôéìþ óôï x. Óýìöùíá ìå ôçí åî. (2.62) ãíùñßæïõìå üôé ç ôüîç ôïõ óöüëìáôïò ðïõ åéóüãåôáé áðü áõôþ ôçí ðñïóýããéóç èá åßíáé: f( x) f k ( x) = O ( x x 0 k+1) : (2.65) ÐáñáôçñÞóôå üôé ôï óöüëìá åîáñôüôáé áðü äõï ðáñüãïíôåò: áðü ôïí áêýñáéï áñéèìü k êáé áðü ôçí áðüóôáóç x x 0. ¼óï ìåãáëýôåñïò åßíáé ï k, äçëáäþ üóï ðåñéóóüôåñïõò üñïõò ðáßñíïõìå óôï áíüðôõãìá (2.63), ôüóï ìéêñüôåñï 3 ãßíåôáé ôï óöüëìá (2.64). Åðßóçò ôï óöüëìá ìåéþíåôáé üóï ðéï êïíôá óôï x 0 åßíáé ôï óçìåßï x, óôï ïðïßï èýëïõìå íá ðñïóåããßóïõìå ôçí f. Ôï èýùñçìá Taylor Ý åé áíôßóôïé ç "Ýêäïóç" êáé ãéá óõíáñôþóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí. Áò èåùñþóïõìå ìéá âáèìùôþ óõíüñôçóç ìå äõï áíýîáñôçôåò ìåôüâëçôåò f(x) = f(x 1 ; x 2 ) ãéá ôçí ïðïßá õðïèýôïõìå üôé åßíáé Üðåéñåò öïñýò äéáöïñßóéìç. Ôüôå ôï áíüðôõãìá Taylor ôçò f ãýñù áðü ôï óçìåßï x 0 = (x 0 1; x 0 2), áí êñáôþóïõìå üñïõò ìý ñé äåýôåñçò ôüîçò, èá äßíåôáé áðü ôçí Ýêöñáóç f 2 (x 1 ; x 2 ) = f((x 0 1; x 0 2)) + @f (x 1 ; x 2 ) ( ) x 1 x 0 @f 1 + (x 1 ; x 2 ) ( ) x 2 x 0 2 + @x 1 @x [ 2 1 @ 2 f (x 2 @x 2 1 ; x 2 ) ( ) x 1 x 0 2 @ 2 f 1 + 2 (x 1 ; x 2 ) ( ) ( x 1 x 0 1 x2 x 0 @ 1 @x 1 @x 2) 2 f + (x 2 @x 2 1 ; x 2 ) ( ] ) x 2 x 0 2 2 : 2 (2.66) Ç ôüîç ôïõ óöüëìáôïò óôçí ðñïóýããéóç äßíåôáé áðü ôçí Ýêöñáóç f(x 1 ; x 2 ) f 2 (x 1 ; x 2 ) óôï (x 0 1; x 0 2); O ( x x 0 2) = O ( (x1 x1) 0 2 ( ) ) + x2 x 0 2 2 : Ðáñáäåßãìá 2.10 Äßíåôáé ç óõíüñôçóç f(x) = sin x. Íá ôçí áíáðôýîåôå óå óåéñü Taylor ãýñù áðü ôï ìçäýí. êáô'áñ Þí õðïëïãßæïõìå ôéò ðáñáãþãïõò ôçò f óôï ìçäýí: 3 ÈõìçèÞôå üôé x x 0 < 1: f (0) = cos 0 = 1 f (0) = sin 0 = 0 f (0) = cos 0 = 1 f (4) = sin 0 = 0 = f (n) = 0 f (2n+1) = ( 1) n ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

42 Ôáíõóôéêüò Ëïãéóìüò Ìå ôç âïþèåéá ôçò (2.60) ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå f(x) = sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)! + (2.67) Áðü ôçí (2.67) ðñïêýðôåé ç ãíùóôþ ðñïóýããéóç: ãéá ôçí ïðïßá ôï óöüëìá åßíáé ôüîçò Ï(x 3 ). Aí èýëáìå áêüìç êáëëßôåñç ðñïóåããßóç, ðñïóåããéóôéêü ôýðï: sin x x ãéá ìéêñü x; sin x x x3 3! ãéá ôçí ïðïßá ôï óöüëìá åßíáé ôüîçò Ï(x 5 ). èá ìðïñïýóáìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôïí ãéá ìéêñü x; ÐáñÜäåéãìá 2.11 Íá äùèåß Ýíáò ðñïóåããéóôéêüò ôýðïò óôçí ðåñéï Þ ôïõ ìçäåíüò ãéá ôç óõíüñôçóç f(x) = 1 + x. Õðïëïãßæïõìå ôçí ðáñáãþãï ôçò f: f (x) = 1 2 1 + x : Ôï Üíáðôõãìá Taylor óôï ìçäýí áí êñáôþóïõìå üñïõò ìý ñé êáé ðñþôçò ôüîçò åßíáé f(x) f(0) + f (0)(x 0); x < 1: ÅðïìÝíùò, ï æçôïýìåíïò ðñïóåããéóôéêüò ôýðïò åßíáé x 1 + x 1 + ; ãéá ìéêñü x: 2 Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php? id=1296.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης. «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου. Τανυστικός Λογισμός». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?i d=1296.

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/ by-sa/4.0/.