Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 2 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε Άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναγράφεται ρητώς.
Λογική και Συναρτησιακός Προγραμματισμός Η έννοια της συνάρτησης Η συνάρτηση μπορεί να νοηθεί ως ένας κανόνας που συνδέει κάθε αντικείμενο στο οποίο εφαρμόζεται η συνάρτηση (όρισμα) με ένα άλλο αντικείμενο (τιμή της συνάρτησης γι' αυτό το όρισμα).
Συνήθως στα Μαθηματικά κάθε συνάρτηση f συνδέεται με: ένα (ορισμένο από πριν) σύνολο επιτρεπτών ορισμάτων Α, το οποίο αποκαλείται το πεδίο ορισμού της f, και ένα σύνολο B, το οποίο αποτελείται από όλες τις τιμές που μπορεί μια συνάρτηση να πάρει για όλες τις δυνατές τιμές των ορισμάτων της και το οποίο καλείται το πεδίο τιμών της f.
Γράφουμε τότε: f : A B Συνήθως τα αντικείμενα στο σύνολο A είναι απλά αντικείμενα (π.χ. αριθμοί), δεν είναι δηλαδή συναρτήσεις. Τίποτα όμως δεν αποκλείει τα αντικείμενα στο A να είναι και συναρτήσεις.
Έκταση και Ένταση Πότε είναι δύο συναρτήσεις ίδιες? Η συνολοθεωρητική απάντηση είναι ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίδιες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και όταν για κάθε x που ανήκει σ' αυτό το (fx) είναι ίδιο με το (gx). Αυτή η άποψη είναι η άποψη της ισότητας των συναρτήσεων ως προς την έκταση.
Οπότε δύο συναρτήσεις ταυτίζονται όταν ταυτίζονται ως σύνολα, δηλαδή όταν έχουν τα ίδια στοιχεία. Όμως, είναι δυνατόν να θεωρήσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g μπορεί να είναι ίδιες ως προς την έκταση άλλα να μην είναι ίδιες όσον αφορά τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζουν τις τιμές τους.
Υπό αυτή τη θεώρηση οι συναρτήσεις νοούνται ως συναρτήσεις ως προς την ένταση. Οπότε θα πρέπει στα διάφορα (υπολογιστικά) πλαίσια και με διάφορα κριτήρια να αποφασίζουμε πότε δύο συναρτήσεις είναι ίδιες ως προς την ένταση (ισότητα ως προς την ένταση).
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Είναι επιθυμητό να έχουμε στη διάθεσή μας την έννοια, για κάθε φυσικό n 1, της συνάρτησης n μεταβλητών (n N). Αυτό μπορούμε να το κάνουμε χωρίς να αποσπαστούμε την παραδοχή ότι οι συναρτήσεις είναι μιας μεταβλητής.
Η ιδέα οφείλεται στον Schonfinkel αλλά ονομάζεται "currying" από τον H. B. Curry που την εισήγαγε και αυτός ανεξάρτητα. Η βασική ιδέα είναι ότι η συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση μιας μεταβλητής της οποίας οι τιμές είναι συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Και αυτό μπορεί να επεκταθεί σε οποιοδήποτε n.
Αφαίρεση Είναι αναγκαίο να διαχωρίζουμε μεταξύ ενός συμβόλου ή έκφρασης που δηλώνει μια συνάρτηση και μιας έκφρασης που περιέχει μια μεταβλητή και δηλώνει με αμφίβολο τρόπο κάποια τιμή της συνάρτησης. Θα λέγαμε λοιπόν ότι στην έννοια της συνάρτησης αντιστοιχούν δύο πράξεις.
Η πρώτη πράξη που ονομάζεται εφαρμογή αντιστοιχεί σ' αυτό που κάνει η συνάρτηση όταν ενεργεί. Εάν έχω μια συνάρτηση f μπορώ να την εφαρμόσω στο όρισμα g και να πάρω το f(g) (που με τη σειρά του είναι συνάρτηση).
Η δεύτερη πράξη (για τις συναρτήσεις που ορίζονται ή υπολογίζονται μέσω μιας φόρμουλας) ονομάζεται αφαίρεση και χρειάζεται για την κατανόησή της μεγαλύτερη προσοχή.
Αν θέλουμε να δώσουμε έναν συνοπτικό ορισμό της πράξης θα λέγαμε ότι αντιστοιχεί στην αναγόρευση μιας φόρμουλας υπολογισμού σε μαθηματικό αντικείμενο, σε συνάρτηση. Θα προχωρήσουμε τώρα στον ορισμό του συστήματος του καθαρού (χωρίς τύπους) λ- λογισμού.
Ορισμός: Το σύνολο Λ των λ-όρων είναι το σύνολο των εκφράσεων που σχηματίζεται ξεκινώντας από ένα άπειρο σύνολο μεταβλητών V={v,v',v'',...} (αριθμήσιμο σύνολο) με τη χρήση των τελεστών της εφαρμογής και της λ-αφαίρεσης.
Ο γενικευμένος ορισμός είναι ο εξής: (1) x V x Λ (2) Μ, Ν Λ (ΜΝ) Λ (3) Μ Λ, x V λx. M Λ Κάθε όρος της μορφής (ΜΝ) θα λέγεται εφαρμογή του M στο Ν ενώ κάθε όρος της μορφής λx. M θα λέγεται λ-αφαίρεση (στο x).
Ελεύθερες και δεσμευμένες μεταβλητές Όταν σχηματίζεται ο όρος λx. M ο τελεστής λx δεσμεύει τη μεταβλητή x στον όρο M. Για παράδειγμα, λέμε ότι στον όρο λx.yx η x είναι δεσμευμένη ενώ η y ελεύθερη μεταβλητή. Η αντικατάσταση [x:= N] εκτελείται μόνο στις ελεύθερες εμφανίσεις της x.
Οι δεσμευμένες εμφανίσεις των μεταβλητών στην πραγματικότητα έχουν χάσει το status των μεταβλητών. Λειτουργούν μόνον ως αναφορές για τις οποίες σημασία δεν έχει το όνομα αλλά η θέση. Έτσι μπορούμε να αλλάξουμε το όνομά τους χωρίς να διαταράξουμε τη σημασία της παράστασης στην οποία εμφανίζονται.
Λήμμα αντικατάστασης Έστω M, N Λ. Υποθέτουμε ότι x y και x FV(L). Τότε M[x N][y L] M[y L][x N][y L].
Αναγωγή Παρακάτω δίνεται ο ορισμός για τη σχέση της αναγωγής στους λ-όρους. β είναι η μικρότερη διμελής σχέση στο Λ ώστε να ισχύει ότι: (λx. P)Q β P[x Q]
Η οποία είναι κλειστή για τους ακόλουθους κανόνες: P β P x V: λx. P β λx. P P β P Z Λ: PZ β P Z P β P Z Λ: ZP β ZP
Ορισμός: H έννοια του υποόρου ορίζεται ως εξής: οι υποόροι του x είναι το x, οι υποόροι του (M N) είναι ο (M N), οι υποόροι του Μ και οι υποόροι του Ν, οι υποόροι του λx. M είναι ο λx. M καθώς και οι υποόροι του Μ.
Πρόταση Ισχύει η ακόλουθη πρόταση: Μ β Ν Ακριβώς ένας υποόρος του M που είναι contractum έχει αντικατασταθεί με το redex του και προέκυψε ο N.
Πόρισμα Ο όρος Μ είναι β-κανονική μορφή αν και μόνον εάν δεν περιέχει (ως υποόρο) κανένα redex.
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ CHURCH-ROSSER Θεώρημα Εάν Μ β Μ 1 και Μ β Μ 1 τότε υπάρχει Μ 3 ώστε Μ 1 β Μ 3 και Μ 2 β Μ 3
Ορισμός Έστω Μ β Ν και Ν είναι β-κανονική μορφή. Τότε ο όρος N λέγεται β-κανονική μορφή του M. Πόρισμα Κάθε όρος μπορεί να έχει (αν έχει) μόνον μία κανονική μορφή.
Το θεώρημα Church-Rosser μας δίνει την δυνατότητα ενός χαρακτηρισμού της β- ισότητας. Πόρισμα Ισχύει το παρακάτω: Μ = β Ν Υπάρχει όρος L ώστε Μ β L και N β L.
Πόρισμα N είναι η (μοναδική) β-κανονική μορφή του Μ Ν είναι κανονική μορφή και Μ = β Ν Πόρισμα Αν Μ β Ν και Μ β L και Ν, L κανονικές μορφές, τότε N L.
Πόρισμα O λ-λογισμός ως θεωρία της β-ισότητας είναι συνεπής θεωρία, δηλαδή υπάρχει ένα ζεύγος Μ και Ν λ-όρων που δεν είναι β-ισοδύναμοι.
ΕΚΦΡΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΟΚΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Στο λ-λογισμό μπορούμε να ορίσουμε τα στοιχεία (αριθμούς, συναρτήσεις) που αφορούν στους συνήθεις υπολογισμούς. Με αυτή την έννοια ο λ-λογισμός μπορεί να νοηθεί ως μία εναλλακτική τυποποίηση της θεωρίας αναδρομής.
Ορισμός Αν F, A Λ x N ορίζουμε το F n (M) Λ ως ακολούθως: F 0 (M) = Μ F n+1 (M) = F(F n (Μ))
Ορισμός [Νούμερα του Church] Για n N, τα νούμερα του Church c 0, c 1, c 3, ορίζονται ως: c n = λfx. f n (x) Τα νούμερα του Church c n είναι οι αναπαραστάσεις των αριθμών n N στον λ- λογισμό. Τα c n είναι όλα σε κανονική μορφή.
Ορισμός Η κλάση των αναδρομικών συναρτήσεων είναι η μικρότερη κλάση των αριθμητικών συναρτήσεων που περιλαμβάνει τις αρχικές συναρτήσεις: προβολές: $U i m (n 1,, n m ) = n i για όλα τα i με 1 i m. επόμενος: S (n) = n+1 μηδενική: Z (n) = 0
Λήμμα Οι αρχικές συναρτήσεις είναι λ-ορίσιμες. Λήμμα Οι λ-ορίσιμες συναρτήσεις είναι κλειστές για το σχήμα της πρωτογενούς αναδρομής.
Θεώρημα του Σταθερού Σημείου 1. Για κάθε F Λ υπάρχει ένας Χ Λ ώστε FX = β X (X είναι σταθερό σημείο του F) 2. Υπάρχει ένας συνδυαστής σταθερού σημείου F(YF) = β YF δηλαδή για κάθε F, YF είναι σταθερό σημείο του F.
Λήμμα Οι λ-ορίσιμες συναρτήσεις είναι κλειστές για την ελαχιστοποίηση. Θεώρημα Όλες οι αναδρομικές συναρτήσεις είναι λ- ορίσιμες.
Ορισμός Έστω Α Λ. Α είναι κλειστό για το = β αν Μ Α, Μ = β Ν Ν Α. Α είναι μη-τετριμμένο αν Α και Α Λ. Α είναι αναδρομικό αν το σύνολο #Α = {#Μ Μ Α είναι αναδρομικό.
Θεώρημα Έστω Α Λ μη-τετριμμένο και κλειστό για την ισότητα = β. Τότε το Α δεν είναι αναδρομικό. Πόρισμα [Church] Το σύνολο {M Λ Μ = β true} δεν είναι αναδρομικό.
Πόρισμα Το σύνολο {M Λ M έχει β κανονική μορφή} δεν είναι αναδρομικό.
Χρηματοδότηση - Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. - Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. - Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικού πόρους.