Μαθηματικά. Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Transcript

1 Μαθηματικά Ενότητα 9: Όριο Συνάρτησης στο Διηνεκές Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τις έννοιες των ορίων συνάρτησης στο διηνεκές. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Όριο συνάρτησης στο διηνεκές. Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές. 5

6 Όριο στο διηνεκές (1) Ενδεικτικές τιμές της συνάρτησης f x = 1 x, (x > 0) 6

7 Όριο στο διηνεκές (2) Καθώς το x αυξάνει (για x > 0) η f(x) τείνει στο +. 7

8 Όριο στο διηνεκές (3) 8

9 Όριο στο διηνεκές (4) 9

10 Όριο στο διηνεκές (5) 10

11 Όριο στο διηνεκές (6) 11

12 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (1) Το όριο πολυωνυμικής συνάρτησης f x = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 όταν το x τείνει στο άπειρο έχει ως αποτέλεσμα το + ή ανάλογα με το πρόσημο του μεγαλύτερου σε βαθμό όρου. Συγκεκριμένα, f x = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a nx n με συνθήκη a n 0 και n N. Το όριο a nx n διαφοροποιείται ανάλογα με την τιμή του α: 12

13 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (2) για α > 0 a nx n = +, π.χ. 3x5 = +. για α < 0 a nx n = π.χ. 5x4 =. 13

14 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (3) f x = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = a nx n με x x συνθήκη a n 0 και n N. Το όριο a nx n διαφοροποιείται, όπως και παραπάνω, ανάλογα με την τιμή του α: για α > 0 και n άρτιος x a nx n = +, π.χ. x 7x4 = +. για α > 0 και n περιττός x a nx n =, π.χ. x 3x3 =. για α < 0 και n άρτιος x a nx n =, π.χ. x 5x2 =. για α < 0 και n περιττός x a nx n = +, π.χ. x 7x9 = +. 14

15 Τα σημαντικότερα όρια στο Το όριο ρητής συνάρτησης f x διηνεκές (4) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b k x k + b k 1 x k b 1 x + a 0 μπορεί να βρεθεί με τη χρήση ενός πρακτικού κανόνα παρόμοιου με αυτόν του πολυωνύμου. Συγκεκριμένα, P(x) x ± Q(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 x ± b k x k + b k 1 x k b 1 x + a 0 a n x n = x ± b k x k με συνθήκη Q(x) 0 και n, k N. Με άλλα λόγια, το όριο της ρητής συνάρτησης καθορίζεται από τους μεγιστοβάθμιους όρους του αριθμητή και παρονομαστή. 15

16 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (5) 3x 4 x 3 3x 5 2x 3 + 7x = = x 4 (3 1 x 3 x 3 5 x 3 x x 2 = = κοινός παραγοντας το x 4 και το x 3 x 3 1 x 3 x 3 5 x x 2 = = x 3 1 x 3 x 3 5 x x 2 = = + 16

17 Τα σημαντικότερα όρια στο διηνεκές (6) Εφαρμόζοντας τώρα τον κανόνα που προηγουμένως αναφέραμε μπορούμε να πάρουμε το όριο ως εξής: 3x 4 x 3 3x 5 2x 3 = + 7x 3x 4 = 2x 3 = 3 2 x = + 17

18 Παράδειγμα 1 (1) Να βρεθούν τα όρια: x 5 2x 4 + 7x x 2 + 2x

19 Παράδειγμα 1 (2) x 5 2x 4 + 7x x 2 + 2x + 3 = x 5 4x 2 = 1 4 x3 = 19

20 Όριο εκθετικής συνάρτησης Για 0 < α < 1, τότε: αx = 0 x αx = + Για α > 1, τότε: αx = +, π.χ. για τον αριθμό e έχουμε ex = + Υπενθυμίζεται ότι το e είναι η βάση των Νεπερίων λογαρίθμων ή αλλιώς ο αριθμός Όιλερ ίσος περίπου με 2,

21 Άσκηση 1 (1) Να βρεθεί το όριο x x2 x

22 Άσκηση 1 (2) Λύση: Κατ αρχήν θα βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Η υπόριζη ποσότητα πρέπει να είναι θετική. Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου x 2 x + 1, η οποία είναι: Δ = ( 1) = 3 < 0, επομένως η παράσταση είναι θετική για κάθε x R και άρα το πεδίο ορισμού είναι όλο το R. Για x < 0, καθώς το x τείνει στο μείον άπειρο, έχουμε: x (x2 x + 1) = Επομένως, x x2 x + 1 = + x x2 = + 22

23 Άσκηση 2 (1) Να βρεθεί το όριο ( x2 + 1 x 2 + 2) 23

24 Άσκηση 2 (2) Λύση: Οι υπόριζες ποσότητες x και x είναι θετικές για κάθε x R. Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της παραπάνω συνάρτησης είναι όλο το R. Για x > 0 καθώς το x τείνει στο + έχουμε x2 + 1 x = + + = + απροσδιοριστία. 24

25 Άσκηση 2 (3) = = x x = x x x 2 +2 x x x x = 2 x x x = = (x 2 +1) (x 2 +2) x x 2 + x x 2 = στον παρονομαστή βγάλαμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο x 25

26 Άσκηση 2 (4) = 1 = x x x 2 2 x x 2 + x x 2 = x x 2 = 1 = x το όριο x ± = 1 x 1 2 = = 0 1 x n =0 = 26

27 Άσκηση 3 (1) Να βρεθεί το όριο ( x 2x2 + x x) 27

28 Άσκηση 3 (2) Λύση: Για να έχει νόημα η συνάρτηση το υπόριζο πρέπει να είναι θετικό. Συνεπώς, υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου 2x 2 + x + 2 και έχουμε: Δ = = 15 < 0, έπεται, λοιπόν, ότι η παράσταση είναι θετική για κάθε x R και άρα το πεδίο ορισμού είναι όλο το R. Για x < 0, καθώς το x τείνει στο, έχουμε: 28

29 Άσκηση 3 (3) x = x 2x 2 + x x = x x + 2 x 2 + 2x = = x x x + 2 x 2 + 2x = x x x + 2 x 2 + 2x επειδη x<0, x = x 29

30 Άσκηση 3 (4) = x x x + 2 x κοινός παρφγοντας το x x x x x + 2 x = = = = 2 2 = 2 2>0 αφού 2> 2 30

31 Άσκηση 4 (1) Να βρεθεί το όριο x 4 + x 2 + x 1 5 x 31

32 Άσκηση 4 (2) Λύση: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R. Το όριο της συνάρτησης είναι x 4 + x 2 + x x4 + x 2 + x + = = 1 5 x 1 5 x 0 = + 32

33 Άσκηση 5 (1) Να βρεθεί το όριο x x 33

34 Άσκηση 5 (2) Λύση: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R. Το όριο της συνάρτησης είναι: x x = = x x x = x λ ± =0 = = = = = + 3 = + 34

35 Βιβλιογραφία Κοντέος, Γ. & Σαριαννίδης, Ν. (2012). Μαθηματικά. ISBN