ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÌÅÕÀÍÈÊÀ. ÊÎÌÏÜ ÒÅÐÍÛÅ ÍÀÓÊÈ ÓÄÊ 512.77, 517.912 c Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ ÕÀÎÒÈ ÅÑÊÎÅ ÐÀÑÑÅSSÍÈÅ ÒÎ Å ÍÎÃÎ ÂÈÕÐSS ÊÐÓÃÎÂÛÌ ÖÈËÈÍÄÐÈ ÅÑÊÈÌ ÒÂÅÐÄÛÌ ÒÅËÎÌ, ÄÂÈÆÓÙÈÌÑSS Â ÏÎËÅ ÒSSÆÅÑÒÈ Â ñòàòüå àññìîò åíà çàäà à î äâèæåíèè â ïîëå ñèëû òßæåñòè òâå äîãî òåëà, îáëàäà ùåãî ôî ìîé ê óãîâîãî öèëèíä à, âçàèìîäåéñòâó ùåãî ñ òî å íûì âèõ åì, â èäåàëüíîé æèäêîñòè. Â îòëè èå îò ï åäûäóùèõ àáîò â äàííîì ñëó àå öè êóëßöèß æèäêîñòè âîê óã öèëèíä à ï åäïîëàãàåòñß àâíîé íóë.ó àâíåíèß äâèæåíèß ñèñòåìû ï åäñòàâëåíû â ãàìèëüòîíîâîé ôî ìå.óêàçàíû ïå âûå èíòåã àëû ñèñòåìû μ ãî èçîíòàëüíàß è âå òèêàëüíàß êîìïîíåíòû èìïóëüñà, μ ïîñëåäíèé èç êîòî ûõ, î åâèäíî, íåàâòîíîìíûé.èñïîëüçóß àâòîíîìíûé èíòåã àë, ï îâåäåíà åäóêöèß ñèñòåìû íà îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû â àíåå íå àññìàò èâàåìîì ñëó àå íóëåâîé öè êóëßöèè.ïîêàçàíî, òî â îòëè èå îò ñëó àß öè êóëßöèîííîãî îáòåêàíèß â îòñóòñòâèå òî å íûõ âèõ åé, â êîòî îì äâèæåíèå öèëèíä à áóäåò ï îèñõîäèòü â îã àíè åííîé ãî èçîíòàëüíîé ïîëîñå, ï è íàëè èè âèõ åé è öè êóëßöèè, àâíîé íóë, âå òèêàëüíàß êîî äèíàòà öèëèíä à íåîã àíè åííî óáûâàåò.äàëüíåé åå âíèìàíèå â àáîòå ñêîíöåíò è îâàíî íà èñëåííîì èññëåäîâàíèè äèíàìèêè ñèñòåìû, êîòî àß ï è íóëåâîé öè êóëßöèè îáëàäàåò íåêîìïàêòíûìè ò àåêòî èßìè.ïîñò îåíû àçëè íûå âèäû ôóíêöèé àññåßíèß âèõ ß íà öèëèíä å.âèä òèõ ôóíêöèé ñâèäåòåëüñòâóåò î õàîòè åñêîì õà àêòå å àññåßíèß è, ñëåäîâàòåëüíî, îá îòñóòñòâèè äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèòè åñêîãî èíòåã àëà. Êë åâûå ñëîâà: òî å íûå âèõ è, òâå äîå òåëî, õàîòè åñêîå àññåßíèå, ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû, åäóêöèß. 1. Ââåäåíèå Çàäà à î ïàäåíèè òâå äîãî òåëà â æèäêîñòè ßâëßåòñß îäíîé èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ï îáëåì, àññìàò èâàëàñü êàê â êëàññè åñêèõ àáîòàõ [1 3], òàê è â ñîâ åìåííûõ, íàï èìå [4 6]. Íåêîòî ûå ôèçè åñêèå ôåíîìåíû (àâòî îòàöèß òâå äîãî òåëà) ìîæíî îïèñàòü, òîëüêî íàõîäßñü â àìêàõ ìîäåëè âßçêîé æèäêîñòè, è, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñò îãîå àññìîò åíèå äîëæíî îïè- àòüñß íà ó àâíåíèå Íàâüå Ñòîêñà ñ ã àíè íûìè óñëîâèßìè íà ïîäâèæíûõ ã àíèöàõ. Ðå åíèå òàêèõ çàäà îáû íî ïîëó à ò èñëåííî, à âå èôèêàöèß ïîëó åííûõ åçóëüòàòîâ âîçìîæíà òîëüêî ï è ñ àâíåíèè ñ äàííûìè êñïå èìåíòîâ. Ïàäåíèå òåëà â âßçêîé ñ åäå ñîï îâîæäàåòñß ñîï îòèâëåíèåì äâèæåíè, êîòî îå îáóñëîâëåíî, ñ îäíîé ñòî îíû, âíóò åííèì ò åíèåì æèäêîñòè, à ñ ä óãîé μ ïîòå ßìè íå ãèè íà ãåíå- àöè âèõ åé. Â êà åñòâå ïå âîãî ï èáëèæåíèß îáû íî àññìàò èâà ò âìåñòî ñõîäà âèõ åé â âßçêîé æèäêîñòè äâèæåíèå òåëà â èäåàëüíîé æèäêîñòè, â êîòî îé ñóùåñòâóåò çàâèõ åííîñòü. Çàâèõ åííîñòü ìîæåò ó èòûâàòüñß, êàê, íàï èìå, â àáîòàõ [5,7 9], ïîñ åäñòâîì îòëè íîé îò íóëß öè êóëßöèè ï è îáòåêàíèè òåëà. Äàëüíåé èì àçâèòèåì ßâëßåòñß çàäà à î äâèæåíèè òåëà ï è íàëè èè òî å íûõ âèõ åé, ãàìèëüòîíîâ ôî ìàëèçì äëß êîòî ûõ ïå âîíà àëüíî áûë àçâèò óæå Êè õãîôîì [10], à â àáîòàõ [11 14] òîò ôî ìàëèçì áûë àñï îñò àíåí íà ñëó àé äâèæåíèß öèëèíä è åñêîãî òâå äîãî òåëà è òî å íûõ âèõ åé â îòñóòñòâèå òßæåñòè. Äàëåå â 60-õ ãîäàõ XX âåêà áûëà ï åäëîæåíà ìîäåëü Á àóíà Ìàéêëà (Brown Michael), ãäå ñõîä âèõ åé ñ îñò îé ê îìêè òåëà ïîñòóëè óåòñß, à èõ èíòåíñèâíîñòü ìåíßåòñß ñî â åìåíåì. Äâèæåíèå òåëà è âèõ åé èññëåäóåòñß ñ ïîìîùü ìîäåëè Á àóíà Ìàéêëà, íàï èìå, â àáîòå [15]. Íàêîíåö, â îòëè èå îò òî å íûõ âèõ åé ïàäåíèå òåëà â ï èñóòñòâèè àñï åäåëåííîé çàâèõ åííîñòè ( âèõ åâàß ïåëåíà ) èçó åíî â àáîòå [16]. Îòìåòèì â çàêë åíèå àáîòû [17, 18], ãäå àññìîò åíî äâèæåíèå âèõ ß â ï åäïîëîæåíèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèß öèëèíä à, à òàêæå èññëåäîâàíà âîçìîæíîñòü õàîòè åñêèõ åæèìîâ äâèæåíèß âèõ ß ï è âîçìóùåíèè äâèæåíèß öèëèíä à.
Õàîòè åñêîå àññåßíèå òî å íîãî âèõ ß ê óãîâûì öèëèíä è åñêèì òâå äûì òåëîì 185 Â àáîòàõ [19 23] èññëåäóåòñß äâèæåíèå òâå äîãî òåëà, èìå ùåãî ôî ìó ê óãîâîãî öèëèíä à, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òßæåñòè â áåçã àíè íîì îáúåìå èäåàëüíîé æèäêîñòè â ï èñóòñòâèå òî å íûõ âèõ åé è îòëè íîé îò íóëß öè êóëßöèè. Ïå âîíà àëüíî â [19, 20] åçóëüòàòû [11, 12] áûëè àçâèòû â ñëó àå äâèæåíèß òåëà è îäíîãî òî å íîãî âèõ ß â ïîëå ñèëû òßæåñòè. Â àáîòàõ [21, 22] áûëî ïîëó åíî îáîáùåíèå íà ñëó àé N âèõ åé. Íàêîíåö, â [23] áûëà àññìîò åíà ñèñòåìà öèëèíä à è äâóõ âèõ åé, àíàëîãè íàß ïî êîíôèãó àöèè å åíè Ô ïïëß [24], íî íàõîäßùàßñß â ïîëå ñèëû òßæåñòè. Â äàííîé àáîòå, êàê è â [19, 20], âëèßíèå çàâèõ åííîñòè íà ïàäåíèå òåëà â æèäêîñòè àññìîò åíî íà ï èìå å ï îñòåé åé çàäà è î äâèæåíèè ìàññèâíîãî öèëèíä à è âèõ ß â ïîë å òßæåñòè. 2. Ó àâíåíèß äâèæåíèß Êàê è â àáîòàõ [19, 20], èññëåäóåòñß äâèæåíèå òâå äîãî òåëà, èìå ùåãî ôî ìó ê óãîâîãî öèëèíä à, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òßæåñòè â áåçã àíè íîì îáúåìå èäåàëüíîé æèäêîñòè, ñîâå - à ùåé ïëîñêîïà àëëåëüíîå äâèæåíèå è ïîêîßùåéñß íà áåñêîíå íîñòè. Îá àçó ùèå öèëèíä à î òîãîíàëüíû ïëîñêîñòè ïîòîêà. Â æèäêîñòè äâèæåòñß ï ßìîëèíåéíàß âèõ åâàß íèòü, ïà àëëåëüíàß îá àçó ùèì öèëèíä à, èìå ùàß èíòåíñèâíîñòü Γ 1.Âñèëó î åâèäíîé ñèììåò- èè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ïå åìåùåíèß âäîëü îá àçó ùèõ öèëèíä à àññìàò èâàåòñß ïëîñêàß çàäà à. Â îòëè èå îò ï åäûäóùèõ èññëåäîâàíèé [19 22] àññìàò èâàåòñß òàêîå îáòåêàíèå öèëèíä à æèäêîñòü, ï è êîòî îì öè êóëßöèß Γ=0( èñ. 1). Ò åáóåòñß êà åñòâåííî èññëåäîâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû. Ê àòêî íàïîìíèì, òî â àáîòå [19] ï èâåäåíû ó àâíåíèß äâèæåíèß â ïîë å ñèëû òßæåñòè â èäåàëüíîé æèäêîñòè öèëèíä à è òî å íîãî âèõ ß, êîòî ûå èìå ò ãàìèëüòîíîâó ôî ìó äëß ñëó àß ï îèçâîëüíîé öè êóëßöèè. Äàëåå òàì æå óêàçàíû ïå âûå èíòåã àëû, ñ ïîìîùü îäíîãî èç êîòî ûõ áûëà ï îâåäåíà åäóêöèß ñèñòåìû. Åäèíñòâåííûì îã àíè åíèåì, ï èíßòûì â âû åóêàçàííîé àáîòå, áûëî ï åäïîëîæåíèå îòëè íîé îò íóëß öè êóëßöèè. Ï è çàíóëåíèè öè êóëßöèè ïîíèæåíèå ïî ßäêà èçëîæåííûì â äàííîé ñòàòüå ñïîñîáîì îêàçûâàëîñü íåâîçìîæíûì. Ðàññìîò èì ñëó àé öè êóëßöèè, àâíîé íóë. Ñëåäóß îáîçíà åíèßì, ï èíßòûì â [19], ïîëàãàß Γ=0, ó àâíåíèß äâèæåíèß öèëèíä à è òî å íîãî âèõ ß â ïîëå ñèëû òßæåñòè ïîëó àåì â âèäå ṙ 1 = v +grad ϕ(r) r=ri, ṙ c = v, a v 1 = λ 1 ( ỹ 1 ẏ 1 ), a v 2 = λ 1 ( x 1 ẋ 1 ) ag, ãäå r c =(x c,y c ) μ àäèóñ-âåêòî öåíò à öèëèíä à îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîî äèíàò Oxy; v =(v 1,v 2 ) μ ñêî îñòü öèëèíä à; r 1 =(x 1,y 1 ) μ âåêòî, ñîåäèíß ùèé öåíò öèëèíä à ñ âèõ åì; r 1 =( x 1, ỹ 1 )=R 2 r 1 /r1 2 μ âåêòî, ñîåäèíß ùèé öåíò öèëèíä à ñ èíâå ñíûì îá àçîì âèõ ß ( èñ. 1); R μ àäèóñ öèëèíä à; a μ êîíñòàíòà, âêë à ùàß ìàññó è ï èñîåäèíåííó ìàññó öèëèíä à; ag μ âåëè èíà ñèëû òßæåñòè, äåéñòâó ùåé íà öèëèíä ; λ è λ 1 μ ïîñòîßííûå, ñâßçàííûå ñ öè êóëßöèåé æèäêîñòè âîê óã öèëèíä à è èíòåíñèâíîñòü âèõ ß ñîîòíî åíèßìè λ =Γ/(2π), λ 1 =Γ 1 /(2π). Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ïîëàãàåòñß àâíîé 2π. Ôóíêöèß ϕ(r) ßâëßåòñß ïîòåíöèàëîì òå åíèß ϕ(r) èäåàëüíîé æèäêîñòè âíå öèëèíä à ñ èñêë - åííîé îñîáåííîñòü â òî êå r = r 1 : ( ϕ(r) = R2 r 2 (r, v)+λ 1 arctg ( y ỹ1 x x 1 ) arctg ( y y1 x x 1 Ñëåäóß àññóæäåíèßì, ï èâåäåííûì â [19], ëåãêî ïîêàçàòü, òî êîíå íîìå íàß ñèñòåìà (2.1), îïèñûâà ùàß äâèæåíèå öèëèíä à è âèõ ß â ïîëå ñèëû òßæåñòè, ñîõ àíßåò èíâà èàíòíó ìå ó è ìîæåò áûòü ï åäñòàâëåíà â ãàìèëüòîíîâîé ôî ìå: )). (2.1)
186 Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ Ðèñ. 1. Ê óãîâîé öèëèíä è òî å íûé âèõ ü â ïîëå ñèëû òßæåñòè ζ i = {ζ i,h} = k {ζ i,ζ k } H ζ k, ãäå ζ i μêîî äèíàòû ôàçîâîãî âåêòî à ñèñòåìû (2.1): ζ = {x 1,y 1,v 1,v 2,x c,y c }, ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû H = 1 2 av2 + 1 2 λ2 1 ln(r 2 1 R 2 )+agy c, (2.2) îòëè íûå îò íóë ß êîìïîíåíòû êîñîñèììåò è åñêîãî ñò óêòó íîãî òåíçî à ïóàññîíîâîé ñò óêòó û {v 1,x 1 } = 1 a r1 4 R2 (x 2 1 y2 1 ) r1 4, {v 1,y 1 } = 1 a 2R 2 x 1 y 1 r1 4, {v 2,y 1 } = 1 a 2R 2 x 1 y 1 r1 4, r1 4 + R2 (x 2 1 y2 1 ) r1 4, {v 2,x 1 } = 1 a {v 1,v 2 } = λ 1 r1 4 R4 a 2, {x 1,y 1 } = 1, λ 1 {x c,v 1 } = {y c,v 2 } = 1 a. 3. Ïå âûå èíòåã àëû è åäóêöèß r 4 1 (2.3) Íàëè èå âûäåëåííîãî íàï àâëåíèß, çàäàâàåìîãî ñèëîé òßæåñòè, íà ó àåò ñèììåò è îòíîñèòåëüíî ïîâî îòîâ ñèñòåìû, òî ï èâîäèò ê íåñîõ àíåíè ñîîòâåòñòâó ùåãî èíòåã àëà ìîìåíòà. Òåì íå ìåíåå ó ñèñòåìû ñóùåñòâóåò äâà ïå âûõ èíòåã àëà, îòâå à ùèõ ò àíñëßöèßì, μ àâòîíîìíûé èíòåã àë P, ñîîòâåòñòâó ùèé ãî èçîíòàëüíîìó èìïóëüñó ñèñòåìû, è íåàâòîíîìíûé èíòåã àë Q, ñîîòâåòñòâó ùèé âå òèêàëüíîìó èìïóëüñó: Q = a(v 2 + gt) λ 1 ( x 1 x 1 ), P = av 1 + λ 1 (ỹ 1 y 1 ). (3.1) Èñïîëüçóß àâòîíîìíûé èíòåã àë P, ìîæíî ïîíèçèòü ïî ßäîê èñõîäíîé ñèñòåìû (2.1), îáëàäà- ùåé ò åìß ñòåïåíßìè ñâîáîäû, íà îäíó ñòåïåíü. Ðàññìîò èì ñèñòåìó íà ïîâå õíîñòè ó îâíß èíòåã àëà P. Äëß òîãî ïîëîæèì P = p ââû- àæåíèè (3.1), ãäå êîíñòàíòà p îï åäåëßåòñß íà àëüíûìè äàííûìè. Òîãäà, âû àçèâ èç ïîëó- åííîãî àâåíñòâà v 1,ïîäñòàâèì â ïå âîå èç ó àâíåíèé (2.1) èãàìèëüòîíèàí (2.2). Èñêë èâ
Õàîòè åñêîå àññåßíèå òî å íîãî âèõ ß ê óãîâûì öèëèíä è åñêèì òâå äûì òåëîì 187 èç (2.1) ó àâíåíèß íà v 1 è x c, ïîëó èì åäóöè îâàííó ñèñòåìó ẋ 1 = λ 1 a (ỹ 1 y 1 ) p a + ϕ x, r=r1 ẏ 1 = v 2 + ϕ y, r=r1 a v 2 = λ 1 ( x 1 ẋ 1 ) ag, y c = v 2. ñãàìèëüòîíèàíîì H c = 1 2 a ( ( p v2 2 + a λ ) ) 2 1 a (ỹ 1 y 1 ) + 1 2 λ2 1 ln(r2 1 R2 )+agy c è ïóàññîíîâîé ñò óêòó îé, îï åäåëßåìîé êîìïîíåíòàìè ñò óêòó íîãî òåíçî à, ïîëó àåìîãî èç (2.3) âû å êèâàíèåì ñò îê è ñòîëáöîâ, ñîîòâåòñòâó ùèõ ïå åìåííûì v 1 è x c. Îòìåòèì, òî íà ïîâå õíîñòè ó îâíß èíòåã àëà P ó àâíåíèå äëß v 1 ñèñòåìû (2.1) ï åâ àùàåòñß âòîæäåñòâî. 4. Êëàññèôèêàöèß âîçìîæíûõ äâèæåíèé Â îáùåì ñëó àå öè êóëßöèè, îòëè íîé îò íóëß [19], íàéäåíû àñòíûå å åíèß, ïîçâîëß ùèå ñêàçàòü, òî ñóùåñòâóåò ò è âîçìîæíûõ òèïà äâèæåíèé ñèñòåìû öèëèíä âèõ ü ( èñ. 2): (1) öèëèíä è âèõ ü äâèæóòñß âìåñòå â îã àíè åííîé ïîëîñå èçìåíåíèé êîî äèíàòû y ( èñ. 2, a); (2) öèëèíä ïîêèäàåò âèõ ü è äâèæåòñß â îã àíè åííîé ïîëîñå èçìåíåíèé êîî äèíàòû y ( èñ. 2, b); (3) öèëèíä ïîêèäàåò âèõ ü è äâèæåòñß â íàï àâëåíèè äåéñòâèß ñèëû òßæåñòè ( èñ. 2, c). Ïî ïîâîäó ï èâåäåííîé êëàññèôèêàöèè ñòîèò îòìåòèòü, òî â ñèñòåìå íàáë äà òñß äâèæåíèß ñ çàõâàòîì âèõ ß öèëèíä îì, àíàëîãè íûå îïèñàííûì â àáîòå [17], à òàêæå äâèæåíèß â îã àíè åííîé ïîëîñå, àíàëîãè íûå îïèñàííûì â àáîòàõ [8, 9]. Îòìåòèì, òî â àññìàò èâàåìîì â äàííîé àáîòå ñëó àå λ =0ìîæíî äîêàçàòü óòâå æäåíèå îòíîñèòåëüíî õà àêòå à äâèæåíèß ñèñòåìû â îäíîì àñòíîì ñëó àå: Ï åäëîæåíèå 1. Åñëè âèõ ü áåñêîíå íî óäàëßåòñß îò öèëèíä à, òî äàëüíåé åå äâèæåíèå öèëèíä à ï îèñõîäèò ï è íåîã àíè åííîì óáûâàíèè ôóíêöèè y c (t), òî åñòü öèëèíä òîíåò. Ä î ê à ç à ò å ëü ñ ò â î. Ï åäïîëîæèì, òî öèëèíä îò ûâàåòñß îò âèõ ß. Òîãäà âòî îå ñëàãàåìîå â ãàìèëüòîíèàíå (2.2) íåîã àíè åííî âîç àñòàåò, ï è òîì ïå âîå ñëàãàåìîå, î åâèäíî, íåîò èöàòåëüíî. Èç ñîõ àíåíèß èíòåã àëà íå ãèè ñ íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò óòâå æäåíèå î íåîã àíè åííîì óáûâàíèè ôóíêöèè y c (t). 5. Õàîòè åñêîå àññåßíèå Â îäíîé èç ïèîíå ñêèõ àáîò [25] àññìîò åíà çàäà à àññåßíèß äâóõ ñîñòàâíûõ îáúåêòîâ íà ï èìå å àññåßíèß âèõ åâûõ ïà. Òàì æå àâòî àìè îïèñàíî ñâîéñòâî ñòîõàñòè íîñòè äâóõ- àñòè íîãî àññåßíèß â ñëó àå íàëè èß ó àñòèö âíóò åííåé ñò óêòó û. Äàëüíåé åå àçâèòèå èäåé õàîòè åñêîãî àññåßíèß âèõ åâûõ ñèñòåì ìîæíî íàéòè, íàï èìå, â àáîòàõ [18,26]. Îñíîâíûå åçóëüòàòû â âû åóêàçàííûõ àáîòàõ áûëè ï èâåäåíû â âèäå ôóíêöèé àññåßíèß: çàâèñèìîñòåé óãëà ìåæäó ñêî îñòßìè àçëåòà ùèõñß âèõ åâûõ ïà îò ï èöåëüíîãî ïà àìåò à, à òàêæå çàâèñèìîñòåé â åìåíè ï îõîæäåíèß ïà û íåêîåé àêòóàëüíîé çîíû âçàèìîäåéñòâèß îò ï èöåëüíîãî ïà àìåò à.
188 Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ Ðèñ. 2. Äâèæåíèå öèëèíä à (ñïëî íàß ëèíèß) è âèõ ß (ïóíêòè ) â ïîëå ñèëû òßæåñòè: (a) âèõ ü çàõâà åí öèëèíä îì, îíè äâèæóòñß â îã àíè åííîé ãî èçîíòàëüíîé ïîëîñå; (b) öèëèíä, ïîêèíóâ âèõ ü, äâèæåòñß â îã àíè åííîé ãî èçîíòàëüíîé ïîëîñå; (c) öèëèíä, ïîêèíóâ âèõ ü, äâèæåòñß âíèç Âî âñåõ àáîòàõ [18, 25, 26] ï èìåíåíèå ôóíêöèè àññåßíèß äëß èññëåäîâàíèß äèíàìèêè ñèñòåìû âèõ åé îáóñëîâëåíî íåâîçìîæíîñòü ïîñò îåíèß ñå åíèß Ïóàíêà å âñëåäñòâèå íåêîìïàêòíîñòè ò àåêòî èé ñèñòåìû, ï èíàäëåæàùèõ ïîâå õíîñòßì ó îâíß ãàìèëüòîíèàíà. Â íà åé çàäà å ïîñò îåíèå ôóíêöèè àññåßíèß â òîì æå âèäå, òî è â òîëüêî òî óïîìßíóòûõ àáîòàõ, íå ï åäñòàâëßåòñß âîçìîæíûì. Ýòî ñâßçàíî ñ òåì, òî â îòëè èå îò âèõ åâîé ïà û, êîòî àß â îòñóòñòâèå âíå íèõ âîçäåéñòâèé îáëàäàåò âîçìîæíîñòü äâèãàòüñß â æèäêîñòè ñ ïîñòîßííîé ñêî îñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, äîïóñêàåò, êàê è â ñëó àå àññåßíèß àñòèö, êëàññè åñêó ïîñòàíîâêó çàäà è àññåßíèß äâóõ òàêèõ ïà, â ñèòóàöèè óåäèíåííîãî âèõ ß åãî ñàìîï îäâèæåíèå â æèäêîñòè íåâîçìîæíî. Êàê òîëüêî âèõ ü óäàëßåòñß íà çíà èòåëüíîå àññòîßíèå îò öèëèíä à è, ñëåäîâàòåëüíî, îò íàõîäßùåãîñß âíóò è ã àíèö òåëà èíâå ñíîãî îá àçà, ñ êîòî ûì îí âçàèìîäåéñòâóåò, âèõ ü ï àêòè åñêè ïå åñòàåò ïå åìåùàòüñß. Â ñâßçè ñ òèì äëß àíàëèçà äèíàìèêè ñèñòåìû öèëèíä âèõ ü ìû ï åäëàãàåì ï èìåíèòü ôóíêöè àññåßíèß, ìîäèôèöè îâàííó ñëåäó ùèì îá àçîì: ïóñòü ôèêñè îâàíû íà àëüíîå ïîëîæåíèå è ñêî îñòü öèëèíä à, à íà àëüíîå ïîëîæåíèå âèõ ß îòíîñèòåëüíî öèëèíä à èçìåíßåòñß. Ï è èññëåäîâàíèè äèíàìèêè òàêîé ñèñòåìû áûëî îáíà óæåíî, òî âèõ ü îò ûâàåòñß îò öèëèíä à ñïóñòß àçëè íîå êîëè åñòâî â åìåíè, ñîâå èâ òî èëè èíîå êîëè åñòâî îáî îòîâ âîê óã äâèæóùåãîñß öèëèíä à. Òîãäà ìîæíî èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü â åìåíè τ cap, êîòî îå âèõ ü íàõîäèòñß â îê åñòíîñòè öèëèíä à, íå óäàëßßñü îò íåãî, (â åìåíè çàõâàòà) êàê ôóíêöè íà àëüíîãî àññòîßíèß d âèõ ß îò öèëèíä à. Íà àëüíîå àññòîßíèå ßâëßåòñß â îï åäåëåííîì ñìûñëå àíàëîãîì ââåäåííîãî â àáîòàõ [18, 25, 26] ï èöåëüíîãî ïà àìåò à. Çàâèñèìîñòü â åìåíè çàõâàòà μ â åìåíè æèçíè ñâßçàííîãî ñîñòîßíèß öèëèíä à è âèõ ß μ îò íà àëüíîãî àññòîßíèß èìååò âèä, ï èâåäåííûé íà èñóíêå 3. Äëß ïîñò îåíèß ï èâåäåííîãî íà èñóíêå 3 ã àôèêà äëß êàæäîãî çíà åíèß d (0.5, 0.75) ñ àãîì 0.001 âû èñëßëîñü â åìß (ñ òî íîñòü 0.00001), ñïóñòß êîòî îå àññòîßíèå ìåæäó öåíò îì öèëèíä à è âèõ åì ñòàíåò áîëü å, åì 1.5d. Ã àôèê ïîñò îåí äëß ñëåäó ùåãî íàáî à ïà àìåò îâ: y 1 =0, x 1 = d, a =10, R =0.5, g =10, λ 1 =20. Êàê âèäíî, çàâèñèìîñòü èìååò íå åãóëß íûé õà àêòå, òî îñîáåííî çàìåòíî ï è íà àëüíûõ ïîëîæåíèßõ âèõ ß âáëèçè ïîâå õíîñòè öèëèíä à. òîáû ï îèëë ñò è îâàòü ô àêòàëüíûé õà àêòå çàâèñèìîñòè τ cap (d), îáùèé âèä êîòî îé
Õàîòè åñêîå àññåßíèå òî å íîãî âèõ ß ê óãîâûì öèëèíä è åñêèì òâå äûì òåëîì 189 cap () a d () b L () bc Ðèñ. 3. Ôóíêöèß àññåßíèß: çàâèñèìîñòü â åìåíè çàõâàòà öèëèíä îì âèõ ß îò íà àëüíîãî àññòîßíèß âèõ ß äî öåíò à öèëèíä à: (a) îáùèé âèä; (b) óâåëè åííûé ô àãìåíò èñóíêà (a), âûäåëåííîãî ï ßìîóãîëüíèêîì; (c) äåòàëüíîå èçîá àæåíèå ô àãìåíòà, âûäåëåííîãî íà èñóíêå (b)
190 Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü â åìåíè çàõâàòà öèëèíä îì âèõ ß îò íà àëüíûõ êîî äèíàò âèõ ß îòíîñèòåëüíî öèëèíä à Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòè â åìåíè çàõâàòà è êîëè åñòâà îáî îòîâ îò ï èöåëüíîãî ïà àìåò à. Ñïëî íîé ëèíèåé îáîçíà åíî τ cap(x 1, 0), ïóíêòè íîé μ êîëè åñòâî îáî îòîâ n(x 1, 0), ñîâå àåìûõ âèõ åì äî îò ûâà îò öèëèíä à èçîá àæåí íà èñóíêå 3, a, ìû ï èâîäèì íà èñóíêàõ 3, b è 3, c ïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè åííûå èçîá àæåíèß ô àãìåíòà, âûäåëåííîãî ï ßìîóãîëüíîé ã àíèöåé íà èñõîäíîé çàâèñèìîñòè. Îòìåòèì, òî îäíèì èç ï îßâëåíèé ñëîæíîé äèíàìèêè àññìàò èâàåìîé ñèñòåìû ñëóæèò èíòå âàë d (0.50482, 0.50598), ãäå τ cap =0. Ä óãàß îñîáåííîñòü, êîòî ó íåîáõîäèìî îòìåòèòü, μ òî íàëè èå ìåëêîìàñ òàáíûõ ñêà êîîá àçíûõ èçìåíåíèé â åìåíè çàõâàòà íà ôîíå ïëàâíîãî óáûâàíèß, êîòî îå îáóñëîâëåíî óìåíü åíèåì èíòåíñèâíîñòè âçàèìîäåéñòâèß âèõ ß
Õàîòè åñêîå àññåßíèå òî å íîãî âèõ ß ê óãîâûì öèëèíä è åñêèì òâå äûì òåëîì 191 Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü â åìåíè çàõâàòà τ cap(x 1,y 1) îò êîî äèíàò íà àëüíîãî ïîëîæåíèß âèõ ß îòíîñèòåëüíî öèëèíä à Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòü êîëè åñòâà îáî îòîâ n(x 1,y 1) îò êîî äèíàò íà àëüíîãî ïîëîæåíèß âèõ ß îòíîñèòåëüíî öèëèíä à è îá àçà ï è óâåëè åíèè àññòîßíèß ìåæäó íèìè. Íàêîíåö, ï è óâåëè åíèè ìàñ òàáà ( èñ. 3, c) îò åòëèâî âèäíî íàëè èå îñîáåííîñòåé ôóíêöèè τ cap (d), êîòî ûå èìå ò õà àêòå ïîë ñîâ àññåßíèß. Ï èìå àñèìïòîòè åñêîãî ïîâåäåíèß â åìåíè çàõâàòà ïîêàçàí ñ ïîìîùü âå òèêàëüíîé ï ßìîé L, ê êîòî îé, ñóäß ïî äàííûì èñëåííûõ êñïå èìåíòîâ, çàâèñèìîñòü â åìåíè çàõâàòà ñò åìèòñß êñïîíåíöèàëüíî. Îñîáåííîñòè
192 Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòü â åìåíè çàõâàòà τ cap (x 1,y 1 ) ï è y 1 = 1.5, x 1 ( 1, 1) ñ àãîì 0.0001 ôóíêöèè àññåßíèß ñãóùà òñß íà íàêëîííûõ ó àñòêàõ. òîáû îïèñàòü äåòàëüíî õà àêòå çàâèñèìîñòè â åìåíè çàõâàòà öèëèíä à âèõ åì îò âçàèìíîãî àñïîëîæåíèß âèõ ß è öèëèíä à, à òàêæå ó åñòü âëèßíèå íà âèä ôóíêöèè àññåßíèß ã àâèòàöèîííîãî ïîëß, ìîæíî àññìîò åòü ôóíêöè τ cap (x 1,y 1 ), ãäå (x 1,y 1 ) μ êîî äèíàòû âèõ ß îòíîñèòåëüíî öåíò à öèëèíä à. Âíå íèé âèä ïîäîáíîé ôóíêöèè ïîêàçàí íà èñóíêå 4. Íà àëüíûå êîî äèíàòû âèõ ß x 1 ( 5, 5), y 1 ( 5, 5), ï îñò àíñòâåííîå àç å åíèå ïî x 1 è y 1 àâíî 0.01, â åìß àíàëèçà t (0, 20), àã ïî â åìåíè 0.000001, äëß èñëåííîãî èíòåã è îâàíèß ñèñòåìû èñïîëüçîâàí ìåòîä Äî ìàíäà Ï èíñà. å íûé ê óã â öåíò å èñóíêà îáîçíà àåò ìåñòîíàõîæäåíèå öèëèíä à è åãî 0.3-îê åñòíîñòü. Îòòåíêè áåëîãî íà èñóíêå àñï åäåëåíû ïî ï îäîëæèòåëüíîñòè â åìåíè çàõâàòà μ åì áîëü å â åìß æèçíè ñâßçàííîãî ñîñòîßíèß, òåì ñâåòëåå îòòåíîê. å íûé îáîçíà àåò íóëåâîå â åìß çàõâàòà, áåëûé μ çàõâàò ï îäîëæèòåëüíîñòü íå ìåíåå 3.5 (â èññëåäóåìîé îáëàñòè τ cap íå ï åâûñèëî 3.667). Â ï îöåññå èññëåäîâàíèé áûëà âûäâèíóòà ãèïîòåçà î ñâßçàííîñòè îñöèëëßöèé ôóíêöèè τ cap (d) ñ óâåëè åíèåì êîëè åñòâà îáî îòîâ, ñîâå àåìûõ âèõ åì âîê óã öèëèíä à (â ñèñòåìå êîî äèíàò, ñâßçàííîé ñ öèëèíä îì), îäíàêî åçóëüòàòû êñïå èìåíòîâ, îäèí èç êîòî ûõ ï èâåäåí íà èñóíêå 5,íå ïîäòâå äèëè äàííîé ãèïîòåçû μ â åìß çàõâàòà èñïûòûâàåò ñêà êè äàæå ï è íåèçìåííîì êîëè åñòâå îáî îòîâ. Îòìåòèì, òî äëß òîãî, òîáû èçîá àçèòü îáå ôóíêöèè âîäíîì äèàïàçîíå èçìåíåíèß, çíà åíèå ôóíêöèè τ cap (d) áûëî óìíîæåíî íà 5. Äëß îòîá àæåíèß îäíîâ åìåííî â åìåíè çàõâàòà è êîëè åñòâà îáî îòîâ, ñîâå àåìûõ âèõ- åì âîê óã öèëèíä à, ìîæíî àññìîò åòü åùå îäíó àçíîâèäíîñòü ôóíêöèè àññåßíèß. Ïóñòü ïîä â åìåíåì çàõâàòà τ cap ïîíèìàåòñß â åìß îò íà àëà äâèæåíèß è äî ìîìåíòà, êîãäà àññòîßíèå ìåæäó öèëèíä îì è âèõ åì ñòàíîâèòñß â ñ åäíåì íåóáûâà ùåé ôóíêöèåé â åìåíè. Óñëîâèå íåóáûâàíèß â ñ åäíåì ßâëßåòñß íåîáõîäèìûì, ïîñêîëüêó äàæå ï è ñ àâíèòåëüíî áîëü- îì óäàëåíèè âèõ ß îò öèëèíä à öèëèíä ìîæåò ñîâå àòü âå òèêàëüíûå êîëåáàíèß, ïå åñåêàß ãî èçîíòàëüíó ï ßìó, ï îâåäåííó å åç âèõ ü. Â òàêîì ñëó àå àññòîßíèå ìåæäó öèëèíä îì è âèõ åì ìîæåò íåçíà èòåëüíî óáûâàòü, îäíàêî áóäåò íåóáûâà ùèì â ñ åäíåì. Íà èñóíêå 6 ï åäñòàâëåí âèä ôóíêöèè τ cap (x 1,y 1 ), ïîëó åííîé ñòåìèæå óñëîâèßìè, òî áûëè ï è ïîñò îåíèè τ cap (x 1,y 1 ) íà èñóíêå 4. Íà èñóíêå 7 ï èâåäåíà çàâèñèìîñòü êîëè åñòâà
Õàîòè åñêîå àññåßíèå òî å íîãî âèõ ß ê óãîâûì öèëèíä è åñêèì òâå äûì òåëîì 193 Ðèñ. 9. Ò àåêòî èè öèëèíä à è âèõ ß, ñîîòâåòñòâó ùèå òî êå 1 íà ã àôèêå 8(x 1 = 0.0808). Ñïëî íîé ëèíèåé îáîçíà åíà ò àåêòî èß öèëèíä à, ïóíêòè íîé μ âèõ ß Ðèñ. 10. Ò àåêòî èè öèëèíä à è âèõ ß, ñîîòâåòñòâó ùèå òî êå 2 íà ã àôèêå 8(x 1 = 0.0807). Ñïëî íîé ëèíèåé îáîçíà åíà ò àåêòî èß öèëèíä à, ïóíêòè íîé μ âèõ ß îáî îòîâ n(x 1,y 1 ) âèõ ß âîê óã öèëèíä à â çàâèñèìîñòè îò íà àëüíûõ êîî äèíàò âèõ ß, âû- èñëåííàß ï è àíàëîãè íûõ óñëîâèßõ. Ñòîèò îòìåòèòü, òî âñå èç ïå å èñëåííûõ çàâèñèìîñòåé ( èñ. 4, 6, 7) îáëàäà ò ßâíîé àñèììåò èåé. Î åâèäíî, òî ñâßçàíî ñ âûáî îì îï åäåëåííîãî çíàêà èíòåíñèâíîñòè âèõ ß. Îòîá àæåíèå çàâèñèìîñòè τ cap (x 1,y 1 ) íà èñóíêå 6 îáëàäàåò äîñòàòî íî íèçêèì àç å åíèåì ïî êîî äèíàòàì. Äëß äåòàëüíîãî ï åäñòàâëåíèß õà àêòå à çàâèñèìîñòè â åìåíè çàõâàòà îò ï èöåëüíîãî ïà àìåò à àññìîò èì ô àãìåíò èñóíêà 6 ï è y 1 = 1.5, x 1 ( 1, 1), ñ àãîì ïî x 1, àâíûì 0.0001. Íà èñóíêå 8 ï åäñòàâëåí ã àôèê â åìåíè çàõâàòà â çàâèñèìîñòè îò x 1. Äàííûå çíà åíèß x 1 è y 1 áûëè âûá àíû, ïîñêîëüêó öèëèíä ïîä äåéñòâèåì ñèëû òßæåñòè ïàäàåò íà âèõ ü, òî ï èáëèæàåò àññìîò åíèå ê êëàññè åñêîé ïîñòàíîâêå çàäà è àññåßíèß. Íà èñóíêå 8 âèäíî, òî â åìß çàõâàòà äëß òî êè 1 ñóùåñòâåííî ìåíü å, åì äëß òî êè 2, íåñìîò ß íà èõ áëèçîñòü (â òî êå 1 êîî äèíàòà x 1 = 0.0808, à â òî êå 2 ñîîòâåòñòâåííî x 1 = 0.0807). Ýòî îáóñëàâëèâàåòñß òåì, òî â òî êå 1 ( èñ. 9) öèëèíä è âèõ ü ïîñëå â àùåíèß íåêîòî îå â åìß äâèæóòñß âìåñòå, à çàòåì àçëåòà òñß, òîãäà êàêâòî êå 2 öèëèíä è âèõ ü ïîñëå â àùåíèß äâèæóòñß ïà àëëåëüíî, à çàòåì ñíîâà ñáëèæà òñß è ñîâå à ò åùå îäèí âèòîê ( èñ. 10). Â åìß äâèæåíèß âäîëü ò àåêòî èé íà èñóíêàõ 9 è 10 îäèíàêîâî è àâíî 2.5.
194 Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ Êàê è â àáîòàõ [18, 25, 26], îïè àßñü íà âû åïå å èñëåííûå ñâîéñòâà ôóíêöèè àññåßíèß, ìû ìîæåì ñäåëàòü çàêë åíèå î íå åãóëß íîì õà àêòå å àññåßíèß è, âèäèìî, îá îòñóòñòâèè äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèòè åñêîãî èíòåã àëà. 6. Çàêë åíèå Â äàííîé àáîòå àññìîò åíà çàäà à î ïàäåíèè â ïîëå òßæåñòè â èäåàëüíîé æèäêîñòè ìàññèâíîãî ê óãîâîãî öèëèíä à, âçàèìîäåéñòâó ùåãî ñ òî å íûì âèõ åì, â àñòíîì ñëó àå íóëåâîé öè êóëßöèè. Ïîêàçàíî, òî â îòëè èå îò ñëó àß öè êóëßöèîííîãî îáòåêàíèß â îòñóòñòâèå òî å íûõ âèõ åé, ï è íàëè èè âèõ åé è Γ=0öèëèíä òîíåò. Èññëåäîâàíà çàäà à àññåßíèß âèõ ß íà öèëèíä å. Âèä ïîëó åííîé ôóíêöèè àññåßíèß ñâèäåòåëüñòâóåò î õàîòè åñêîì õà àêòå å ï îöåññà àññåßíèß. Àâòî û âû àæà ò áëàãîäà íîñòü çà ïëîäîòâî íûå îáñóæäåíèß À. Â. Áî èñîâó è È. Ñ. Ìàìàåâó. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Maxwell J.K. On a particular case of descent ofaheavy body in a resisting medium // Camb.and Dubl. Math.Journ.1854.Vol.9.P.145 148. 2. Æóêîâñêèé Í.Å. Î ïàäåíèè â âîçäóõå ëåãêèõ ï îäîëãîâàòûõ òåë, â àùà ùèõñß îêîëî ñâîåé ï îäîëüíîé îñè.ñòàòüß ïå âàß // Ñîá.ñî.: Â 7 ò.ì. Ë., 1937.Ò.5.Ñ.72 80. 3. Æóêîâñêèé Í.Å. Î ïàäåíèè â âîçäóõå ëåãêèõ ï îäîëãîâàòûõ òåë, â àùà ùèõñß îêîëî ñâîåé ï îäîëüíîé îñè.ñòàòüß âòî àß // Ñîá.ñî.: Â 7 ò.ì. Ë., 1937.Ò.5.Ñ.100 115. 4. Êîçëîâ Â.Â. Ê çàäà å î ïàäåíèè òßæåëîãî òâå äîãî òåëà â ñîï îòèâëß ùåéñß ñ åäå // Âåñòíèê ÌÃÓ.Ñå.Ìàòåìàòèêà.Ìåõàíèêà.1990. 1.Ñ.79 86. 5. Borisov A.V., Mamaev I.S. On the motion of a heavy rigid body in an ideal fluid with circulation // Chaos.2006.Vol.16.Issue 1.013118. 6. Borisov A. V., Kozlov V.V., Mamaev I.S. Asymptotic stability and associated problems of failing rigid body // Regular and Chaotic Dynamics.2007.Vol.12. 5.P.531 565. 7. àïëûãèí Ñ.À. Î âëèßíèè ïëîñêîïà àëëåëüíîãî ïîòîêà âîçäóõà íà äâèæóùååñß â íåì öèëèíä è- åñêîå ê ûëî // Ïîëí.ñîá.ñî.Ò.3.Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1933.Ñ.3 64. 8. Êîçëîâ Â.Â. Î ïàäåíèè òßæåëîãî öèëèíä è åñêîãî òâå äîãî òåëà â æèäêîñòè // Èçâåñòèß ÐÀÍ. Ìåõàíèêà òâå äîãî òåëà.1993. 4.Ñ.113 117. 9. Ðàìîäàíîâ Ñ.Ì. Î âëèßíèè öè êóëßöèè íà õà àêòå ïàäåíèß òßæåëîãî òâå äîãî òåëà â æèäêîñòè // Èçâåñòèß ÐÀÍ.Ìåõàíèêà òâå äîãî òåëà.1996. 5.Ñ.19 24. 10. Êè õãîô Ã.Ìåõàíèêà.Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè åñêîé ôèçèêå.ì.: ÀÍ ÑÑÑÐ, 1962. 11. Borisov A.V., Mamaev I.S. An integrability of the problem on motion of cylinder and vortex in the ideal fluid // Regular and Chaotic Dynamics.2003.Vol.8. 2.P.163 166. 12. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices // Discrete and Contin.Dyn.Syst.B.2005.Vol. 5. 1. P.35 50. 13. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamic interaction of point vortices and a two-dimensional cylinder // J.Math.Phys.2007.Vol.48. 6.065403. 14. Shashikanth B.N. Poisson brackets for the dynamically interacting system of a 2D rigid cylinder and N point vortices: the case of arbitrary smooth cylinder shapes // Regular and Chaotic Dynamics. 2005. Vol.10. 1.P.1 14. 15. Michelin S., Smith S.G.L. Falling cards and flapping flags: understanding fluid-solid interaction using an unsteady point vortex model // Theor.Comput.Fluid Dyn.2010.Vol.24.P.195 200. 16. Jones M.A., Shelly M.J. Falling cards // J.Fluid Mech.2005.Vol.540.P.393 425. 17. Kadtke J.B., Novikov E.A. Chaotic capture of vortices by a moving body. I. The single point vortex case // Chaos.1993.Vol.3. 4.P.543 553. 18. Luithardt H.H., Kadtke J. B., Pedrizzetti G. Chaotic capture of vortices by a moving body. II. Bound pair model // Chaos.1994.Vol.4. 4.P.681 691. 19. Ñîêîëîâ Ñ.Â., Ðàìîäàíîâ Ñ.Ì. Äâèæåíèå ê óãîâîãî öèëèíä è åñêîãî òâå äîãî òåëà, âçàèìîäåéñòâó ùåãî ñ òî å íûì âèõ åì, â ïîëå ñèëû òßæåñòè // Íåëèíåéíàß äèíàìèêà. 2012. Ò. 8. 3. Ñ.617 628. 20. Sokolov S.V., Ramodanov S.M. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with a point vortex // Regular and Chaotic Dynamics.2013.Vol.18. 1 2.P.184 193.
Õàîòè åñêîå àññåßíèå òî å íîãî âèõ ß ê óãîâûì öèëèíä è åñêèì òâå äûì òåëîì 195 21. Ñîêîëîâ Ñ.Â. Äâèæåíèå ê óãîâîãî öèëèíä è åñêîãî òâå äîãî òåëà, âçàèìîäåéñòâó ùåãî ñ N òî- å íûìè âèõ ßìè, â ïîëå ñèëû òßæåñòè // Íåëèíåéíàß äèíàìèêà.2014.ò.10. 1.Ñ.1 14. 22. Sokolov S.V. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with N point vortices // Nonlinear Dynamics and Mobile Robotics.2014.Vol.2. 1.P.99 113. 23. Ñîêîëîâ Ñ.Â. Äâèæåíèå ê óãîâîãî öèëèíä à, âçàèìîäåéñòâó ùåãî ñ âèõ åâîé ïà îé, â ïîëå ñèëû òßæåñòè â èäåàëüíîé æèäêîñòè // Âåñòíèê Óäìó òñêîãî óíèâå ñèòåòà. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Êîìïü òå íûå íàóêè.2014. 2.Ñ.86 99. 24. FΞoppl L.Wirbelbewegung hinter einem Kreiszylinder // Sitzungsberichte der BaΞayrischen Akademie der Wissenschaften.1913. 25. Ìàíàêîâ Ñ.Â., Ùó Ë.Í. Ñòîõàñòè íîñòü â äâóõ àñòè íîì àññåßíèè // Ïèñüìà â ÆÝÒÔ. 1983. Ò.37. 1.Ñ.45 48. 26. Tophøj L., Aref H. Chaotic scattering of two identical point vortex pairs revisited // Phys. of Fluids. 2008.Vol.20.093605. Ïîñòóïèëà â åäàêöè 02.04.2015 Ñîêîëîâ Ñå ãåé Âèêòî îâè, ê.ô.-ì.í., âåäóùèé íàó íûé ñîò óäíèê, Èíñòèòóò ìà èíîâåäåíèß èì.à.à. Áëàãîí àâîâà ÐÀÍ, 101990, Ðîññèß, ã.ìîñêâà, Ìàëûé Õà èòîíüåâñêèé ïå., 4. E-mail: sokolovsv72@mail.ru Êîëüöîâ Èâàí Ñå ãååâè, ìëàä èé íàó íûé ñîò óäíèê, Èíñòèòóò ìà èíîâåäåíèß èì.à.à. Áëàãîí àâîâà ÐÀÍ, 101990, Ðîññèß, ã.ìîñêâà, Ìàëûé Õà èòîíüåâñêèé ïå., 4. E-mail: ivankolt@gmail.com S. V. Sokolov, I. S. Koltsov Chaotic scattering of the point vortex by falling circular cylinder Keywords: point vortices, rigid body, chaotic scattering, Hamiltonian systems, reduction. MSC: 70Hxx, 70G65 We consider a system which consists of a circular cylinder subject to gravity interacting with a point vortex in a perfect fluid.in contrast to previous works, in this paper the circulation about the cylinder is assumed to be zero.the governing equations are Hamiltonian and admit evident integrals of motion: the horizontal and vertical components of the momentum; the latter is obviously non-autonomous.using autonomous integral we reduce the order of the system by one degree of freedom in a case of zero circulation which early was not considered.unlike nonzero circulation in the absence of point vortices when the cylinder moves inside a certain horizontal stripe it is shown that in the presence of vortices and with circulation equal to zero a vertical coordinate of the cylinder is unbounded decreasing.we then focus on the numerical study of dynamics of our system.in a case of zero circulation trajectories are noncompact.the different kinds of the scattering function of the vortex by cylinder were obtained.the form of these functions argues to chaotic behavior of the scattering which means that an additional analytical integral is absent. REFERENCES 1. Maxwell J.K. On a particular case of descent ofaheavy body in a resisting medium, Camb. and Dubl. Math. Journ., 1854, vol.9, pp.145 148. 2. Zhukovski N.E. On light elongated bodies that fall in the air while rotating around the longitudinal axis: I, Complete Works in 7 vol., Moscow Leningrad: Glav.Red.Aviats.Lit., 1937, vol.5, pp.72 80 (in Russian). 3. Zhukovski N.E. On light elongated bodies that fall in the air while rotating around the longitudinal axis: II, Complete Works in 7 vol., Moscow Leningrad: Glav.Red.Aviats.Lit., 1937, vol.5, pp.100 115 (in Russian). 4. Kozlov V.V. On the problem of a heavy rigid body falling in a resistant medium, Vestn. Mosk. Univ., Ser. Mat. Mekh., 1990, no.1, pp.79 86 (in Russian).
196 Ñ. Â. Ñîêîëîâ, È. Ñ. Êîëüöîâ 5. Borisov A.V., Mamaev I.S. On the motion of a heavy rigid body in an ideal fluid with circulation, Chaos, 2006, vol.16, no.1, 013118. 6. Borisov A.V., Kozlov V.V., Mamaev I.S. Asymptotic stability and associated problems of failing rigid body, Regular and Chaotic Dynamics, 2007, vol.12, no.5, p.531 565. 7. Chaplygin S.A. On the effect of a plane-parallel air flow on a cylindrical wing moving in it, Complete Works: Vol. 3, Leningrad: Izd.Akad.Nauk SSSR, 1933, pp.3 64 (in Russian). 8. Kozlov V.V. On a heavy cylindrical body falling in a fluid, Izv. Ross. Akad. Nauk, Mekh. Tverd. Tela, 1993, no.4, pp.113 117 (in Russian). 9. Ramodanov S.M. The effect of circulation on the fall of a heavy rigid body, Izv. Ross. Akad. Nauk, Mekh. Tverd. Tela, 1996, no.5, pp.19 24 (in Russian). 10. Kirchhoff G.R. Vorlesungen Ξuber mathematische physik, Teubner, Leipzig, 1876, vol.i. 11. Borisov A.V., Mamaev I.S. An integrability of the problem on motion of cylinder and vortex in the ideal fluid, Regular and Chaotic Dynamics, 2003, vol.8, no.2, pp.163 166. 12. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices, Discrete and Contin. Dyn. Syst. B, 2005, vol.5, no.1, pp.35 50. 13. Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamic interaction of point vortices and a two-dimensional cylinder, J. Math. Phys., 2007, vol.48, no.6, 065403. 14. Shashikanth B.N. Poisson brackets for the dynamically interacting system of a 2D rigid cylinder and N point vortices: the case of arbitrary smooth cylinder shapes, Regular and Chaotic Dynamics, 2005, vol.10, no.1, pp.1 14. 15. Michelin S., Smith S.G.L. Falling cards and flapping flags: understanding fluid-solid interaction using an unsteady point vortex model, Theor. Comput. Fluid Dyn., 2010, vol.24, pp.195 200. 16. Jones M.A., Shelly M.J. Falling cards, J. Fluid Mech., 2005, vol.540, pp.393 425. 17. Kadtke J.B., Novikov E.A. Chaotic capture of vortices by a moving body.i.the single point vortex case, Chaos, 1993, vol.3, no.4, pp.543 553. 18. Luithardt H.H., Kadtke J.B., Pedrizzetti G. Chaotic capture of vortices by a moving body. II. Bound pair model, Chaos, 1994, vol.4, no.4, pp.681 691. 19. Sokolov S.V., Ramodanov S.M. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with a point vortex, Nelineinaya dinamika, 2012, vol.8, no.3, pp.617 628 (in Russian). 20. Sokolov S.V., Ramodanov S.M. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with a point vortex, Regular and Chaotic Dynamics, 2013, vol.18, no.1 2, pp.184 193. 21. Sokolov S.V. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with N point vortices, Nelineinaya dinamika, 2014, vol.10, no.1, pp.1 14 (in Russian). 22. SokolovS.V. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with N point vortices, Nonlinear Dynamics and Mobile Robotics, 2014, vol.2, no.1, pp.99 113. 23. Sokolov S.V. Falling motion of a circular cylinder interacting dynamically with a vortex pair in a perfect fluid, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2014, no.2, pp.86 99 (in Russian). 24. FΞoppl L. Wirbelbewegung hinter einem Kreiszylinder, Sitzungsberichte der BaΞayrischen Akademie der Wissenschaften, 1913. 25. Manakov S.V., Shchur L.N. Stochastic aspect of two-particle scattering, JETP Lett., 1983, vol.37, no.1, pp.54 57. 26. Tophøj L., Aref H. Chaotic scattering of two identical point vortex pairs revisited, Phys. of Fluids, 2008, vol.20, 093605. Received 02.04.2015 Sokolov Sergei Viktorovich, Candidate of Physics and Mathematics, Leading Researcher, Institute of Machines Science named after A.A. Blagonravov of the Russian Academy of Sciences, Malyi Khariton'evskii per., 4, Moscow, 101990, Russia. E-mail: sokolovsv72@mail.ru Koltsov Ivan Sergeevich, Junior Researcher, Institute of Machines Science named after A.A. Blagonravov of the Russian Academy of Sciences, Malyi Khariton'evskii per., 4, Moscow, 101990, Russia. E-mail: ivankolt@gmail.com