Χειρισμός προβλημάτων με ποσοστά Στα προβλήματα με ποσοστά υπάρχει πάντα μία αρχική τιμή, μία μεταβολή της αρχικής τιμής (αύξηση ή μείωση), το ποσοστό της μεταβολής (αύξησης ή μείωσης) της αρχικής τιμής και η τελική τιμή η οποία προκύπτει από την αρχική τιμή αν προσθέσουμε σε αυτή την αύξηση ή αν αφαιρέσουμε τη μείωση. Αρχική τιμή Μεταβολή (αύξηση ή μείωση) Σε ποσοστό Σε ποσό (πάνω στην αρχική τιμή) Τελική τιμή Για την περίπτωση που έχουμε αύξηση, η σχέση που συνδέει την αρχική και την τελική τιμή είναι: Α) Τελική τιμή = Αρχική τιμή + Αύξηση Για την περίπτωση που έχουμε αύξηση, η σχέση που συνδέει την αρχική και την τελική τιμή είναι: Β) Τελική τιμή = Αρχική τιμή Μείωση Η κατάστρωση και η επίλυση των προβλημάτων με ποσοστά μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους, όπως, με τη χρήση τύπων, με εξίσωση, με αναγωγή στη μονάδα. Εδώ προτείνεται η χρήση της απλής (και της σύνθετης) μεθόδου των τριών. Είναι πιο γενική και αποτελεσματική σε όποια εκδοχή και αν τεθεί το πρόβλημα και ταυτόχρονα αναδεικνύει το μαθηματικό υπόβαθρο αυτών των προβλημάτων, που είναι η αναλογική σκέψη.
Παράδειγμα προβλήματος στο οποίο η μεταβολή είναι αύξηση Το κόστος ενός προϊόντος είναι ευρώ. Σε αυτό προστίθεται φόρος %, που σε ποσό είναι 10 ευρώ και έτσι η τελική του τιμή είναι 60 ευρώ. Στο πρόβλημα, συνήθως δίνονται δύο από τα παραπάνω και τα άλλα δύο ζητούνται. Παραλλαγές του προβλήματος: 1) Δίνονται: αρχική τιμή ( ) και αύξηση (σε ποσοστό) (%). Ζητούνται: αύξηση (σε ποσό) και τελική τιμή. Ποσοστά: Αρχική τιμή: Αύξηση: Τελική τιμή: 1 Ποσά: Αρχική τιμή: Αύξηση: x Τελική τιμή: y x y y = 1 1 = 10 y = = 60 2) Δίνονται: αρχική τιμή ( ) και αύξηση (σε ποσό) (10 ). Ζητούνται: αύξηση (σε ποσοστό) και τελική τιμή. Τελική τιμή = Αρχική τιμή + αύξηση = + 10 = 60 Ποσοστά: Αρχική τιμή: Αύξηση: x Ποσά: Αρχική τιμή: Αύξηση: 10 10 10 = % 3) Δίνονται: αρχική τιμή ( ) και τελική τιμή (60 ). Ζητούνται: αύξηση (σε ποσό) και αύξηση (σε ποσοστό). Αύξηση (σε ποσό) = Τελική τιμή Αρχική τιμή = 60 = 10 Ποσοστά: Αρχική τιμή: Αύξηση: x Ποσά: Αρχική τιμή: Αύξηση: 10 10 10 = %
4) Δίνονται: αύξηση (σε ποσό) (10 ) και αύξηση (σε ποσοστό) (%). Ζητούνται: αρχική τιμή και τελική τιμή. Ποσοστά: Αρχική τιμή: Αύξηση: Τελική τιμή: 1 Ποσά: Αρχική τιμή: x Αύξηση: 10 Τελική τιμή: y x 10 10 y 10 y = 1 10 10 = y = 1 10 = 60 5) Δίνονται: αύξηση (σε ποσό) (10 ) και τελική τιμή (60 ). Ζητούνται: αρχική τιμή και αύξηση (σε ποσοστό). Αρχική τιμή = Τελική τιμή Αύξηση (σε ποσό) = 60 10 = Ποσοστά: Αρχική τιμή: Αύξηση: x Ποσά: Αρχική τιμή: Αύξηση: 10 10 10 = % 6) Δίνονται: αύξηση (σε ποσοστό) (%) και τελική τιμή (60). Ζητούνται: αρχική τιμή και αύξηση (σε ποσό). Ποσοστά: Αρχική τιμή: Αύξηση: Τελική τιμή: 1 Ποσά: Αρχική τιμή: x Αύξηση: y Τελική τιμή: 60 x 60 y 60 1 60 1 y = 60 60 60 = y = 1 1
Με ανάλογο τρόπο χειριζόμαστε το πρόβλημα όταν η μεταβολή είναι μείωση. Παράδειγμα προβλήματος στο οποίο η μεταβολή είναι μείωση Το κόστος ενός προϊόντος είναι ευρώ. Σε αυτό γίνεται έκπτωση %, που σε ποσό είναι 10 ευρώ και έτσι η τελική του τιμή είναι 40 ευρώ. Στο πρόβλημα, συνήθως δίνονται δύο από τα παραπάνω και τα άλλα δύο ζητούνται. Παραλλαγές του προβλήματος: 1) Δίνονται: αρχική τιμή ( ) και μείωση (σε ποσοστό) (%). Ζητούνται: μείωση (σε ποσό) και τελική τιμή. Ποσοστά: Αρχική τιμή: Μείωση: Τελική τιμή: 80 Ποσά: Αρχική τιμή: Μειωση: x Τελική τιμή: y x y y = 80 80 = 10 y = 2) Δίνονται: αρχική τιμή ( ) και μείωση (σε ποσό) (10 ). Ζητούνται: μείωση (σε ποσοστό) και τελική τιμή. Τελική τιμή = Αρχική τιμή μείωση = 10 = 40 Ποσοστά: Αρχική τιμή: Μείωση: x Ποσά: Αρχική τιμή: Μείωση: 10 10 10 = % 3) Δίνονται: αρχική τιμή ( ) και τελική τιμή (40 ). Ζητούνται: μείωση (σε ποσό) και μείωση (σε ποσοστό). Μείωση (σε ποσό) = Αρχική τιμή Τελική τιμή = 40 = 10 Ποσοστά: Αρχική τιμή: Μείωση: x Ποσά: Αρχική τιμή: Μείωση: 10 10 10 = %
4) Δίνονται: μείωση (σε ποσό) (10 ) και μείωση (σε ποσοστό) (%). Ζητούνται: αρχική τιμή και τελική τιμή. Ποσοστά: Αρχική τιμή: Μείωση: Τελική τιμή: 80 Ποσά: Αρχική τιμή: x Μείωση: 10 Τελική τιμή: y x 10 10 y 10 y = 80 10 10 = y = 80 10 = 40 5) Δίνονται: μείωση (σε ποσό) (10 ) και τελική τιμή (40 ). Ζητούνται: αρχική τιμή και μείωση (σε ποσοστό). Αρχική τιμή = Τελική τιμή + Μείωση (σε ποσό) = 40 + 10 = Ποσοστά: Αρχική τιμή: Μείωση: x Ποσά: Αρχική τιμή: Μείωση: 10 10 10 = % 6) Δίνονται: μείωση (σε ποσοστό) (%) και τελική τιμή (40). Ζητούνται: αρχική τιμή και μείωση (σε ποσό). Ποσοστά: Αρχική τιμή: Μείωση: Τελική τιμή: 80 Ποσά: Αρχική τιμή: x Μείωση: y Τελική τιμή: 40 x 40 y 40 80 40 80 y = 40 40 80 = y = 40 80 = 10