TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ

Transcript

1 TA ΚΛΑΣΜΑΤΑ ME ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Τα κλάσµατα ανέκαθεν ταν ένα δύσκολο κοµµάτι κάθε µαθητ. Μπως όµως απλά έχουµε παρεξηγσει κάποια πράγµατα; Ας περιπλανηθούµε µαζί στον «παράξενο» κόσµο των κλασµάτων, µε τη βοθεια κάποιων βασικών θεµάτων από τα κλάσµατα. λ λ ΚΑΝΟΝΑΣ: Τα ενος ποσου α, ειναι ισα µε α ν ν Α. Μια ποδοσφαιρικ οµάδα αποτελείται από παίκτες. Από αυτούς το είναι τερµατοφύλακες, το αµυντικοί, το µέσοι και οι υπόλοιποι είναι επιθετικοί. Να βρείτε πόσους παίκτες έχει η οµάδα σε κάθε θέση. Τερµατοφύλακες: = =, Αµυντικοί: = = 6, Μέσοι: = =, Επιθετικοί: 6 = 6 = = 7. Αναγωγ στην µονάδα Α. Σε ένα τµµα της Α Γυµνασίου τα των παιδιών είναι κορίτσια µε πλθος. Να βρείτε πόσα παιδιά έχει το τµµα και πόσα είναι τα αγόρια. Αφού τα των παιδιών είναι, έχουµε ότι αν τα παιδιά χωρισθούν σε οµάδες και πάρουµε τις έχουµε παιδιά, δηλαδ, οι τρεις οµάδες αποτελούνται από παιδιά, συνεπώς η µία θα αποτελείται από : = 6 παιδιά. Εποµένως όλη η τάξη που αποτελείται και από τις οµάδες, θα έχει 6 = 0 παιδιά. Συνεπώς τα αγόρια που είναι οι από τις οµάδες, θα είναι 6 = παιδιά. Α. Μια οικογένεια παραγγέλνει µια πίτσα, όπου ο πατέρας έφαγε τα 7 της πίτσας, η µητέρα τα 7 της πίτσας και το παιδί το υπόλοιπο. Αν το µέρος της πίτσας που έφαγε το παιδί κοστίζει,6 ευρώ, να βρείτε πόσο κόστισε ολόκληρη η πίτσα; Ουσιαστικά έχουµε χωρίσει την πίτσα σε 7 κοµµάτια, από τα οποία ο πατέρας έφαγε τα, η µητέρα έφαγε τα, οπότε το παιδί έφαγε 7 ( + ) = 7 = κοµµάτια.

2 Από την άσκηση έχουµε ότι τα δύο κοµµάτια κοστίζουν,6 ευρώ, οπότε το ένα κοστίζει,6: = 0,6 ευρώ. Τότε η πίτσα (που αποτελείται από 7 κοµµάτια) κοστίζει 7 0,6 =,76 ευρώ. Απλοποίηση κλασµάτων Ορισµοί:. Ισοδύναµα λέγονται τα κλάσµατα που εκφράζουν το ίδιο κοµµάτι ενός µεγέθους.. Απλοποίηση ενός κλάσµατος λέγεται η διαδικασία που κάνουµε για να «µικρύνουµε» τον αριθµητ και τον παρονοµαστ ενός κλάσµατος, ώστε να προκύψει ισοδύναµο κλάσµα.. Ανάγωγο λέγεται κάθε κλάσµα που δεν απλοποιείται άλλο (αλλιώς που ο ΜΚ του αριθµητ και του παρονοµαστ είναι ).. Σύνθετο λέγεται κάθε κλάσµα που δεν είναι ανάγωγο (αλλιώς που ο ΜΚ του αριθµητ και του παρονοµαστ δεν είναι ). Για να κάνουµε απλοποίηση σε ένα κλάσµα, υλοποιούµε έναν από τους δύο τρόπους: ος τρόπος: ιαιρούµε τον αριθµητ και τον παρονοµαστ του κλάσµατος µε τον ΜΚ τους. Αν διαιρέσουµε απλά µε έναν κοινό τους διαιρέτη, πρέπει να κάνουµε πάλι την ίδια διαδικασία, µέχρι να καταλξουµε σε ανάγωγο κλάσµα. ος τρόπος: Αναλύουµε τον αριθµητ και τον παρονοµαστ του κλάσµατος σε γινόµενο πρώτων παραγόντων και διαγράφουµε τους ίδιους όρους από τον αριθµητ και τον παρονοµαστ. Αν αναλύσουµε απλά σε γινόµενα, πρέπει να κάνουµε πάλι την ίδια διαδικασία, µέχρι να καταλξουµε σε ανάγωγο κλάσµα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Σε οποιαδποτε άσκηση εµφανίζεται ένα σύνθετο κλάσµα, κάνουµε απλοποίηση, ανεξαρττως αν µας το ζητούν. Α. Να γίνουν οι απλοποισεις στα ακόλουθα κλάσµατα: α) 6 60, β), γ), δ), ε) ος τρόπος ος τρόπος α) : : : : : 6 6 : 6 6 β) : 0 0 : 0 γ) 6 6 : 6 = : 6 6 : : 6 : : 6 6 : :

3 δ) : 6 6 : : : 6 6 : 6 6 : : 9 9 : ε) : : = Πράξεις µε κλάσµατα Ορισµός: Οµώνυµα λέγονται τα κλάσµατα που έχουν τον ίδιο παρονοµαστ. Όταν έχουµε πρόσθεση αφαίρεση κλασµάτων κάνουµε υποχρεωτικά οµώνυµα τα κλάσµατα. Όταν έχουµε πολλαπλασιασµό διαίρεση κλασµάτων δεν κάνουµε οµώνυµα τα κλάσµατα. Α. Να γίνουν οι ακόλουθες πράξεις: α) + 6, β), γ) 7 + +, δ) 6, ε) 0 7 ζ) : 7, η) :, θ) :, ι), ια) , ιβ) 9 α) = 6 =, β) = = = =, γ) + + = + + = + + =, , στ), δ) = = =, ε), στ) = = 9, ζ) 7 : = = 7 =, η) : = = =, θ) : =, ι), 7 9.

4 ια) =, ιβ) =. Εξισώσεις µε κλάσµατα Α6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x x x = 0, β) =, γ) x =, δ) =, ε) x =, στ) x =. α) Αφού ένα κλάσµα ισούται µε 0, όταν ο αριθµητς είναι 0, x για να ισχύει η εξίσωση 0 = 0, αρκεί x = 0, = 0, α 0. α δηλαδ, x =. β) Αφού ένα κλάσµα ισούται µε, όταν ο αριθµητς είναι ίσος µε τον παρονοµαστ, για να ισχύει η εξίσωση α = x, α 0 =, αρκεί x =, δηλαδ, x = + x = 7. α γ) Η εξίσωση x =, έχει λύση όταν x = σύµφωνα λ α = λ, α 0 µε τον τύπο που βλέπετε δίπλα. Εποµένως: α x = 0, δηλαδ, x = 0 + x =. δ) Αφού ένα κλάσµα ισούται µε τον αριθµητ του, όταν ο παρονοµαστς είναι ίσος µε, για να ισχύει η εξίσωση α = α x =, αρκεί x =, δηλαδ, x = + x = 7. ε) Αφού ψάχνουµε έναν αριθµό που όταν πολλαπλασιάζεται µε το, δίνει γινόµενο, αναζητούµε τον αντίστροφο του, δηλαδ, η εξίσωση x = έχει λύση x =. στ) Αφού ψάχνουµε έναν αριθµό που όταν πολλαπλασιάζεται µε το, δίνει γινόµενο, αναζητούµε τον αντίστροφο του, δηλαδ, η εξίσωση x = έχει λύση x =. Προβλµατα Α7. Σε κάθε στρατιωτικ µονάδα υπηρετούν αξιωµατικοί, υπαξιωµατικοί και έφεδροι στρατιώτες. Σε µια στρατιωτικ µονάδα το των ανθρώπων που υπηρετούν είναι

5 αξιωµατικοί και το είναι υπαξιωµατικοί. Να βρεθεί ποιο µέρος της µονάδας είναι οι έφεδροι. Αξιωµατικοί και υπαξιωµατικοί: + = + = + =. Εποµένως οι έφεδροι είναι οι υπόλοιποι, δηλαδ, 7 τα = = της µονάδας. Α. έκα φίλοι έπαιξαν ένα δελτίο ΛΟΤΤΟ και κέρδισαν.000 ευρώ. Κατόπιν συµφωνίας µεταξύ τους ο Χρστος µε τον Κώστα θα πάρουν ο καθένας από το του ποσού, ο Νίκος, ο Πέτρος και ο Παύλος θα πάρουν συνολικά το του ποσού και οι άλλοι θα µοιρασθούν εξίσου το υπόλοιπο ποσό. α) Πόσα χρµατα θα πάρει ο Χρστος; β) Πόσα χρµατα θα πάρει ο Πέτρος; γ) Ποιο µέρος του ποσού θα πάρει κάθε ένας από τους τελευταίους τυχερούς; α) Ο Χρστος θα πάρει το.000 =.000 = 6.000ευρώ. β) Αφού ο Νίκος, ο Πέτρος και ο Παύλος θα πάρουν συνολικά το του ποσού, κάθε ένας από αυτούς θα πάρει το : = = του ποσού. 6 Εποµένως ο Πέτρος θα πάρει.000 =.000 =.000 ευρώ. 6 6 γ) Ο Χρστος µε τον Κώστα θα πάρουν ο καθένας από το του ποσού, άρα και οι δύο µαζί θα πάρουν το του ποσού. Εποµένως ο Χρστος, ο Κώστας, ο Νίκος, ο Πέτρος και ο Παύλος θα πάρουν τα + = + = 7 του ποσού. 7 7 Συνεπώς οι πέντε τελευταίοι παίρνουν τα = = του ποσού, άρα κάθε ένας από αυτούς θα πάρει : = = του ποσού. Α9. Οι µαθητές και οι µαθτριες της Α Γυµνασίου ενός σχολείου διοργανώνουν µια γιορτ για τα Χριστούγεννα και παραγγέλνουν χυµούς (πορτοκάλι, ροδάκινο και µλο) σε συσκευασίες των 0, λίτρων. Τα 6 των χυµών είναι πορτοκάλι, το είναι ροδάκινο και οι υπόλοιποι είναι µλο. α) Ποιο µέρος των χυµών ταν χυµοί µλο;

6 β) Αν οι χυµοί πορτοκάλι που αγοράσθηκαν ταν 0,9 λίτρα, πόσες συσκευασίες µε χυµούς παργγειλαν συνολικά και πόσους από κάθε είδος; 6 6 α) Οι χυµοί µλο είναι το: + = + = = β) Αφού οι χυµοί πορτοκάλι που αγοράσθηκαν ταν 0,9 λίτρα, αυτό σηµαίνει ότι: τα των χυµών είναι 0,9 λίτρα, 6 άρα το 6 οπότε τα 6 των χυµών είναι 0,9 : = 0,99 λίτρα, των χυµών είναι: 0,99 6 =, λίτρα. 6 Εποµένως αγόρασαν:, : 0, = συσκευασίες µε χυµούς, όπου: Χυµοί πορτοκάλι: συσκευασίες, 6 6 Λύστε µόνοι σας Χυµοί ροδάκινο: = = συσκευασίες, Χυµοί µλο: = = συσκευασίες. 6 6 Α0. Ένας κτηνοτρόφος έχει 0 ζώα. Από αυτά τα 7 είναι αγελάδες, τα 0 είναι πρόβατα, το είναι κοκόρια και οι υπόλοιπες είναι κότες. Να βρείτε πόσα ζώα έχει από το κάθε είδος. (όπως άσκηση Α απάντηση: 60 αγελάδες, 6 πρόβατα, 6 κοκόρια κότες) Α. Σε ένα τµµα της Α Γυµνασίου στην ώρα της Γυµναστικς, τα των παιδιών ασχολούνται µε το ποδόσφαιρο, ενώ τα υπόλοιπα µε το µπάσκετ. Αν τα παιδιά που ασχολούνται µε το µπάσκετ είναι, να βρείτε πόσα παιδιά έχει το τµµα. (όπως ασκσεις Α, Α απάντηση: παιδιά) Α. Ο Κώστας στον κπο του σπιτιού του έχει λουλούδια, όπου τα είναι τριαντάφυλλα, τα γαρδένιες και τα υπόλοιπα είναι γαρίφαλα. Αν έχει τριανταφυλλιές, να βρείτε πόσες γαρδένιες και πόσες γαριφαλιές έχει; (όπως ασκσεις Α, Α απάντηση: γαρδένιες, 7 γαριφαλιές) Α. Να γίνουν οι απλοποισεις στα ακόλουθα κλάσµατα: α) , β), γ), δ), ε) Α. Να γίνουν οι ακόλουθες πράξεις: (όπως άσκηση Α απάντηση: α), β) 9, γ), δ), ε) 7 ) 6

7 α) +, β) ζ) :, η) 9 :, γ) 7 + +, δ) 6 9, θ) 6 :, ι), ια), ε) , ιβ), στ) 7, (όπως άσκηση Α απάντηση: α) 7, β) 7, γ), δ) 9 6, ε) 6, στ) 0 7, ζ) 6, η), θ), ι), ια), ιβ) ) Α. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x x x = 0 +, β) =, γ) x + =, δ) =, ε) x =, στ) x =. 7 (όπως άσκηση Α6 απάντηση: α) x =, β) x =, γ) x =, δ) x =, ε) x =, στ) x = ) 7 Α6. Τα των βιβλίων ενός βιβλιοπωλείου είναι αστυνοµικά, κατασκοπείας και επιστηµονικς φαντασίας. Αν έχει 0 αστυνοµικά βιβλία που είναι το των βιβλίων και τα βιβλία κατασκοπείας είναι το των βιβλίων, να βρείτε: α) ποιο µέρος των βιβλίων είναι επιστηµονικς φαντασίας. β) πόσα βιβλία έχει το βιβλιοπωλείο εκτός των τριών κατηγοριών. (όπως άσκηση Α7 απάντηση: α) 9, β).0) 0 Α7. Πέντε εργάτες αναλαµβάνουν την ολοκλρωση ενός έργου για το οποίο θα πρέπει να σκάψουν µέτρα. Ο πρώτος από αυτούς έσκαψε το, ο δεύτερος. τα 9 και το υπόλοιπο έργο υλοποιθηκε εξίσου από τους άλλους τρεις. α) Πόσα µέτρα έσκαψε ο δεύτερος; β) Ποιο µέρος του έργου έσκαψε κάθε ένας από τους τελευταίους; (όπως άσκηση Α απάντηση: α) µέτρα, β) 7 ) Α. Σε ένα διαγώνισµα Μαθηµατικών το των µαθητών έγραψε από 7 ως 0, τα των µαθητών από ως 7 και το κάτω από τη βάση. Αν οι µαθητές που έγραψαν από 0 ως ταν, να βρείτε πόσοι ταν οι µαθητές της τάξης και πόσοι µαθητές έγραψαν πάνω από ; (όπως άσκηση Α9 απάντηση: µαθητές, µε 9 µαθητές πάνω από ) Α9. Ένας µαθητς της Α Γυµνασίου αφιερώνει κάθε Τρίτη 0 λεπτά για να διαβάσει Μαθηµατικά, που είναι τα του συνολικού χρόνου που αφιερώνει την Τρίτη για διάβασµα. 7

8 α) Πόσο χρόνο διαβάζει κάθε Τρίτη; β) Αν για την Ιστορία αφιερώνει τα του χρόνου που αφιερώνει για τα Μαθηµατικά, να βρείτε πόσο χρόνο διαβάζει Ιστορία; γ) Αν για τα Αρχαία αφιερώνει λεπτά, να βρείτε το µέρος του συνολικού χρόνου διαβάσµατος που αφιερώνει για τη µελέτη των Αρχαίων. (όπως άσκηση Α9 απάντηση: α) 7 λεπτά, β) λεπτά, γ) = ) 7