Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.. Έστω 0 < a <. Θεωρήστε τη σειρά Fourier της -περιοδικής συνάρτησης με τύπο {, αν x < a f(x = 0, αν a < x < και, εφαρμόζοντας το Θεώρημα.4, υπολογίστε το άθροισμα + sin(x n για κάθε x. Συγκλίνει ομοιόμορφα στο R η σειρά Fourier της f; Λύση. Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο διάστημα (, ] εκτός από τα σημεία ±a και. Αυτό δεν πειράζει διότι τα τρία αυτά σημεία αποτελούν σύνολο μηδενικού μέτρου. Υπολογίζουμε: f(n = f(xe πinx dx = (, ] f(x a + a a { a, αν n = 0 e πinx dx = sin(a, αν n 0 sin(a e πinx, όπου το σύμβολο δηλώνει ότι η συνάρτηση f(x στην αριστερή πλευρά έχει σειρά Fourier την σειρά της δεξιάς πλευράς. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα που πρέπει να υπολογίσουμε είναι (μετά από αλλαγή συμβόλου από x σε a ουσιαστικά ίσο με το άθροισμα της σειράς Fourier για x = 0. Γι αυτό θα βρούμε το άθροισμα της σειράς Fourier για x = 0. Παρατηρούμε ότι η f είναι συνεχής στο x = 0 και παραγωγίσιμη στο x = 0., για x = 0 έχουμε: a + sin(a e πin0 = f(0, οπότε a + sin(a =. Βλέπουμε ότι οι όροι της σειράς έχουν ίδιες τιμές για n και για n, οπότε + a + sin(a =. + sin(a n = ( a π. Τώρα θα δούμε πώς συμπεριφέρεται η σειρά για οποιονδήποτε x (, ].
Αν x (, ] και x ±a και x, τότε η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στον x. a + sin(a ( e πinx = f(x για x (, a ( a, a a,. ( Αν x = a, η f δεν είναι καν ορισμένη στον a, οπότε βλέπουμε αν έχει πεπερασμένα πλευρικά όρια και πεπερασμένες πλευρικές παραγώγους στον a. Πράγματι, και f( a =, για x = a έχουμε: lim f(x = x a a + Αν x = a, κάνουμε τα ίδια: και, για x = a έχουμε: f ( a = f +( a = f(a f(x =, x a x a lim 0 = 0, f( a+ f(x = x a x a+ f(x f( a 0 0 lim x a x ( a x a x + a = 0, f(x f( a+ lim x a+ x ( a x a+ x + a = 0. lim = x a+ sin(a e πin( a f( a + f( a+ = =. ( f (a f(x f(a x a x a f +(a x a+ a + f(x f(a+ x a f(a+ f(x 0 = 0 x a+ x a+ x a x a = 0, 0 0 x a+ x a = 0. sin(a e πina f(a + f(a+ = =. (3 Τέλος, παρατηρούμε ότι μπορεί να μην είναι ορισμένη η f στον αλλά, αν θέσουμε f( = 0, τότε η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στον., για x = έχουμε: a + sin(a ( e πin = f = 0. (4 Συνολικά, από τις ( - (4 έχουμε a + sin(a e πinx = 0, αν < x < a, αν x = a, αν a < x < a, αν x = a 0, αν a < x Τα προηγούμενα ισχύουν στο διάστημα (, ]. Δηλαδή η σειρά συγκλίνει στο διάστημα αυτό στην συνάρτηση που βλέπουμε με τον πολλαπλό τύπο στην δεξιά πλευρά της τελευταίας εξίσωσης. Επειδή η σειρά είναι -περιοδική, συγκλίνει σε ολόκληρο το R στην συνάρτηση που παίρνουμε επεκτείνοντας -περιοδικά την τελευταία αυτή συνάρτηση από το (, ] σε ολόκληρο το R. Τώρα βλέπουμε ότι η -περιοδική συνάρτηση στην οποία συγκλίνει η σειρά Fourier στο R δεν είναι συνεχής στο R και, συγκεκριμένα, στα σημεία x = ±a + k με k Z. Αν η σύγκλιση της σειράς ήταν ομοιόμορφη, τότε, επειδή κάθε όρος-συνάρτηση της σειράς είναι συνεχής, θα ήταν και η οριακή συνάρτηση συνεχής. η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη.
. Έστω t 0. Θεωρήστε τη σειρά Fourier της -περιοδικής συνάρτησης με τύπο και, εφαρμόζοντας το Θεώρημα.4, αποδείξτε ότι f(x = e πtx για < x < + t + n = π e πt + e πt t e πt e πt t, Συγκλίνει ομοιόμορφα στο R η σειρά Fourier της f; + ( n t + n = πt (eπt e πt t (e πt e πt. Λύση. Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο διάστημα (, ] εκτός από το σημείο. Αυτό δεν πειράζει διότι το σημείο αυτό αποτελεί σύνολο μηδενικού μέτρου. Υπολογίζουμε: f(n = f(xe πinx dx = (, ] e π(t inx dx = eπ(t in e π(t in π(t in = ( n (e πt e πt. π(t in f(x ( n (e πt e πt e πinx, π(t in όπου το σύμβολο δηλώνει ότι η συνάρτηση f(x στην αριστερή πλευρά έχει σειρά Fourier την σειρά της δεξιάς πλευράς. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε x (,. έχουμε ( n (e πt e πt e πinx = f(x = e πtx για π(t in < x <. (5 Τώρα, η συνάρτηση δεν είναι καν ορισμένη στον, οπότε βλέπουμε αν έχει πεπερασμένα πλευρικά όρια και πεπερασμένες πλευρικές παραγώγους στον. Εδώ θα μας βοηθήσει να σκεφτούμε ότι, επειδή η συνάρτηση είναι -περιοδική, όταν υπολογίζουμε όρια στον από την δεξιά πλευρά του, τότε μπορούμε να χρησιμοποιούμε τις τιμές της συνάρτησης κοντά στον και από την δεξιά πλευρά του (για να μην χρειαστεί να γράψουμε τον τύπο που πρέπει να έχει η συνάρτηση στο διάστημα (, 3. Πράγματι, ( ( f f(x e πtx = e πt, f x x + f(x e πtx = e πt x + x + και f + f ( ( f(x f( e πtx e πt x x x x f(x f( + e πtx e πt x + x x + x + = πte πt, = πte πt., για x = έχουμε: ( n (e πt e πt e πin f( = + f( + π(t in = eπt + e πt. (6 Συνολικά, από τις (5 και (6, ( n (e πt e πt e πinx = π(t in { e πtx, αν < x < e πt +e πt, αν x = (7 3
Τα προηγούμενα ισχύουν στο διάστημα (, ]. Δηλαδή η σειρά συγκλίνει στο διάστημα αυτό στην συνάρτηση που βλέπουμε με τον πολλαπλό τύπο στην δεξιά πλευρά της τελευταίας εξίσωσης. Επειδή η σειρά είναι -περιοδική, συγκλίνει σε ολόκληρο το R στην συνάρτηση που παίρνουμε επεκτείνοντας -περιοδικά την τελευταία αυτή συνάρτηση από το (, ] σε ολόκληρο το R. Τώρα βλέπουμε ότι η -περιοδική συνάρτηση στην οποία συγκλίνει η σειρά Fourier στο R δεν είναι συνεχής στο R και, συγκεκριμένα, στα σημεία + k με k Z. Αν η σύγκλιση της σειράς ήταν ομοιόμορφη, τότε, επειδή κάθε όρος-συνάρτηση της σειράς είναι συνεχής, θα ήταν και η οριακή συνάρτηση συνεχής. η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη. Για να αποδείξουμε τους δυο ειδικούς τύπους θα χρησιμοποιήσουμε τα αθροίσματα της σειράς Fourier για x = 0 και για x =. Κατ αρχάς, γράφουμε οπότε η σειρά Fourier γράφεται: Για x = 0 η σειρά Fourier γράφεται: t in = t + in t + n, ( n (e πt e πt e πinx = eπt e πt ( n (t + in π(t in π t + n e πinx. (8 e πt e πt π ( n (t + in t + n = eπt e πt t π ( n t + n + eπt e πt i π ( n n t + n. Παρατηρούμε ότι οι συμμετρικοί όροι στο πρώτο άθροισμα της δεξιάς πλευράς είναι ίσοι ενώ οι συμμετρικοί όροι στο δεύτερο άθροισμα της δεξιάς πλευράς είναι αντίθετοι. για x = 0 η σειρά Fourier γράφεται (αφού ξεχωρίσουμε τον όρο που αντιστοιχεί στον n = 0: e πt e πt π t + eπt e πt π + t ( n t + n. Σύμφωνα με την (5 ή την (7, αυτό το άθροισμα είναι ίσο με e πt0 =. e πt e πt π + t ( n t + n = eπt e πt π t, οπότε + ( n t + n = πt (eπt e πt t (e πt e πt. Για x = η σειρά Fourier στην (8 γράφεται: e πt e πt t + in π t + n = eπt e πt t π t + n + eπt e πt i n π t + n. Παρατηρούμε ότι, πάλι, οι συμμετρικοί όροι στο πρώτο άθροισμα της δεξιάς πλευράς είναι ίσοι ενώ οι συμμετρικοί όροι στο δεύτερο άθροισμα της δεξιάς πλευράς είναι αντίθετοι. για x = η σειρά Fourier γράφεται (αφού ξεχωρίσουμε τον όρο που αντιστοιχεί στον n = 0: e πt e πt π t + eπt e πt π 4 + t t + n.
Σύμφωνα με την (6 ή την (7, αυτό το άθροισμα είναι ίσο με eπt +e πt. e πt e πt π + t t + n = eπt + e πt eπt e πt π t, οπότε + t + n = π e πt + e πt t e πt e πt t. 3. Θεωρήστε την συνάρτηση με τύπο f(x = x για 0 < x <. [α] Πώς θα αναπτύξετε την f ως σειρά ημιτόνων + b n sin(x στο διάστημα (0, ; Σκεφτείτε ότι, αν γίνει κάτι τέτοιο, τότε η f θα έχει μια συγκεκριμένη περιοδικότητα (ποιά; και ότι θα έχει ένα επιπλέον χαρακτηριστικό (ποιό; ως συνάρτηση. [β] Πώς θα αναπτύξετε την f ως σειρά συνημιτόνων στο διάστημα (0, ; a 0 + + a n cos(x Λύση. [α] Η συνάρτηση που ορίζεται από μια σειρά ημιτόνων είναι αναγκαστικά -περιοδική και περιττή., κατ αρχάς, θα επεκτείνουμε την δοσμένη συνάρτηση στο συμμετρικό διάστημα (, 0 ώστε να είναι περιττή και, κατόπιν, θα την επεκτείνουμε -περιοδικά. Θα την ορίσουμε και στον x = 0 να έχει τιμή f(0 = 0, οπότε θα είναι συνεχής στον 0. η συνάρτησή μας έχει τύπο f(x = x για < x <. Η f είναι ορισμένη στο διάστημα (, ] εκτός από το σημείο. Αυτό δεν πειράζει διότι το σημείο αυτό αποτελεί σύνολο μηδενικού μέτρου. Υπολογίζουμε f(n = f(x xe πinx dx = { ( n πin, αν n 0 0, αν n = 0 ( n πin eπinx, όπου το σύμβολο δηλώνει ότι η συνάρτηση f(x στην αριστερή πλευρά έχει σειρά Fourier την σειρά της δεξιάς πλευράς. Τώρα, η σειρά Fourier γράφεται: ( n πin eπinx = ( n πin cos(x + i ( n πin sin(x. 5
Παρατηρούμε ότι οι συμμετρικοί όροι στο πρώτο άθροισμα της δεξιάς πλευράς είναι αντίθετοι ενώ οι συμμετρικοί όροι στο δεύτερο άθροισμα της δεξιάς πλευράς είναι ίσοι. η σειρά Fourier γράφεται: + ( n sin(x. Τέλος, επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσμη σε κάθε x (0,, συνεπάγεται + ( n sin(x = f(x = x για 0 < x <. παίρνουμε b n = ( n [β] Δική σας υπόθεση. Η λύση είναι παρόμοια. για n N. 4. Έστω -περιοδική f L ([0,. [α] Αν k N και n k f(n < +, αποδείξτε ότι η f είναι σ.π. ίση με μια συνάρτηση η οποία είναι k φορές συνεχώς παραγωγίσιμη. Αντιστρόφως, αν η f είναι σ.π. ίση με μια συνάρτηση η οποία είναι k φορές συνεχώς παραγωγίσιμη, αποδείξτε ότι n k f(n < +. Μπορείτε, στην τελευταία σχέση, το k να το κάνετε k ; [β] Αποδείξτε ότι η f είναι σ.π. ίση με μια συνάρτηση η οποία είναι άπειρες φορές συνεχώς παραγωγίσιμη αν και μόνο αν n k f(n < + για κάθε k. Λύση. [α] Θα θεωρήσουμε μόνο την περίπτωση k = και δεν θα ασχοληθούμε με το [β]. Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι n f(n < +. Θεωρούμε τις σειρές f(ne πinx, πin f(ne πinx. (9 Για τους όρους - συναρτήσεις της δεύτερης σειράς έχουμε ότι πin f(ne πinx = π n f(n, οπότε, βάσει της υπόθεσης και του κριτηρίου του Weierstrass για ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων, συνεπάγεται ότι η δεύτερη σειρά στην (9 συγκλίνει ομοιόμορφα στο R. Επίσης, για κάθε x έχουμε f(ne πinx = f(n f(0 + n f(n < +, 6
οπότε και η πρώτη σειρά στην (9 συγκλίνει για κάθε x (ένα μόνο x είναι αρκετό. Σύμφωνα με ένα γνωστό θεώρημα, συμπεραίνουμε ότι η πρώτη σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στο R και ορίζει συνάρτηση, έστω g, παραγωγίσιμη στο R έτσι ώστε η παράγωγος της g ταυτίζεται με την συνάρτηση που ορίζεται από την δεύτερη σειρά στην (9. Δηλαδή g(x = f(ne πinx, g (x = πin f(ne πinx για κάθε x. Τώρα, λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης της σειράς που ορίζει την g, έχουμε ότι η σειρά αυτή είναι η σειρά Fourier της g, δηλαδή ĝ(n = f(n για κάθε n Z. g(x = f(x για σ.κ. x. Τέλος, επειδή η δεύτερη σειρά στην (9 συγκλίνει ομοιόμορφα και κάθε όρος - συνάρτηση είναι συνεχής στο R, η συνάρτηση g είναι συνεχής στο R. η f είναι σ.π. ίση με μια συνάρτηση, την g, η οποία είναι μια φορά συνεχώς παραγωγίσιμη. Τώρα, αντιστρόφως, έστω ότι f = g σ.π., όπου η g είναι μια φορά συνεχώς παραγωγίσιμη. Τότε γνωρίζουμε ότι υπάρχει κάποια σταθερά c ανεξάρτητη του n ώστε να είναι ĝ(n c n Επειδή f = g σ.π., έχουμε f(n = ĝ(n για κάθε n, οπότε f(n c n για κάθε n Z, n 0. για κάθε n Z, n 0. (0 n f(n = n f(n c + n = c n < +. Τώρα, μας ζητούν να αποδείξουμε, αν γίνεται, ότι n f(n < +, δηλαδή f(n < +. Είναι σαφές ότι η (0 δεν αρκεί για κάτι τέτοιο. H g είναι, λόγω υπόθεσης, συνεχής, οπότε αφ ενός g L ([0, αφ ετέρου ĝ (n = πinĝ(n για κάθε n Z. Από την ταυτότητα Parseval έχουμε ĝ (n = g < + 7
και, επομένως, και, επομένως, n ĝ(n < + n f(n < +. Τώρα έχουμε δυο δυνατότητες. Η πιο fancy είναι να χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα του Cauchy: f(n = n n f(n ( ( n n f(n < +. Η άλλη δυνατότητα είναι να χρησιμοποιήσουμε την πιο απλή ανισότητα ab a + b για να πάρουμε και, κατόπιν, f(n = n n f(n f(n n + n + n f(n n f(n < +. Όπως να ναι, έχουμε αποδείξει ότι f(n < +. 5. Έστω n N. Υπολογίστε τους αριθμούς a 0, a,..., a n ώστε η παράσταση να έχει την ελάχιστη δυνατή τιμή. 0 a0 + a cos(πx + + a n cos(π(n x cos n (πx dx Λύση. Επειδή οι συναρτήσεις που εμφανίζονται στην παράσταση που θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε είναι άρτιες, η παράσταση γράφεται a 0 + a cos(πx + + a n cos(π(n x cos n (πx dx. Ένας ακόμη λόγος να επεκταθούμε στο διάστημα (, είναι ότι όλες οι συναρτήσεις είναι -περιοδικές ενώ τουλάχιστον η cos(πx δεν είναι -περιοδική. Αν θέσουμε f 0 (x =, f (x = cos(πx,..., f n (x = cos(π(n x και f(x = cos n (πx, τότε η παράσταση γράφεται (a 0 f 0 + a f + + a n f n f. ( Επειδή οι συναρτήσεις f 0, f,..., f n αποτελούν ορθοκανονικό σύστημα στον L((, ], γνωρίζουμε ότι η νόρμα στην ( ελαχιστοποιείται αν και μόνο αν a k = f, f k = cos n (πx cos(πkx dx για k = 0,,..., n. Τα ολοκληρώματα αυτά μπορούν να υπολογιστούν σχετικά εύκολα αν γράψουμε cos(iθ = eiθ +e iθ και κάνουμε πράξεις. Αλλά δεν χρειάζεται να γίνει κάτι τέτοιο, διότι έχουμε καταλήξει σε συγκεκριμένους τύπους για τους a k. 8