ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ"

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ. Όριο και συνέχεια συνάρτησης Ασύμπτωτες ευθείες γραφικών παραστάσεων.. 9 Παράγωγος μελέτη και γραφική παράσταση συναρτήσεων με παραγώγους.. 11 Γραφικές παραστάσεις ρητών συναρτήσεων Το Αόριστο ολοκλήρωμα. Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων 36 Το Ορισμένο ολοκλήρωμα Γενικές ασκήσεις στα ολοκληρώματα 46 1

3 ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω y =f(x) μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, με πεδίο ορισμού D(f ) ℝ. Θεωρούμε ένα σημείο xo ϵ ℝ. Θα λέμε ότι η f(x) συγκλίνει ή τείνει προς ένα σημείο l ϵ ℝ, ενώ το x τείνει προς το xo, αν και μόνο αν οι τιμές της f(x) πλησιάζουν όλο και περισσότερο προς το l, όταν το x πλησιάζει όλο και περισσότερο προς το xo, χωρίς να μπορεί να γίνει ποτέ ίσο με το xo. Συμβολικά γράφουμε: = l. To xo μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού D(f, μπορεί όμως και να μην ανήκει. Αν το x τείνει προς το xo από μικρότερες τιμές, τότε το όριο αυτό λέγεται αριστερό πλευρικό όριο. Συμβολικά γράφεται:. Αν το x τείνει προς το xo από μεγαλύτερες τιμές, τότε το όριο αυτό λέγεται δεξιό πλευρικό όριο. Συμβολικά γράφεται:. Για να υπάρχει το όριο της f(x) στο σημείο xo, θα πρέπει να υπάρχουν και τα δυο πλευρικά όρια και να είναι ίσα. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ =, c ℝ. = = =, εφ όσον, εφ όσον Παραδείγματα: i) iii) ℝ. =4 = 0. ii) =2 = 1. 2

4 ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - Θα λέμε ότι μια συνάρτηση τείνει προς το θετικό άπειρο, ενώ το x τείνει σε ένα σημείο xo, (, αν και μόνον αν οι τιμές της παραμένουν μεγαλύτερες από οποιονδήποτε θετικό αριθμό, ενώ το x πλησιάζει προς το xο. - Θα λέμε ότι μια συνάρτηση τείνει προς το αρνητικό άπειρο, ενώ το x τείνει σε ένα σημείο xo, (, αν και μόνον αν οι τιμές της παραμένουν μικρότερες από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό, ενώ το x πλησιάζει προς το xο. Επίσης η μεταβλητή μπορεί να τείνει προς το θετικό ή το αρνητικό άπειρο, αν αυτό επιτρέπεται από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Οπότε, εκτός από τα παραπάνω, μπορούμε να έχουμε και όρια των μορφών:,, Παράδειγμα: = 0,. =+ Επιτρεπτές πράξεις: =+, = 0, όπου ν Ν. =+, αν ν άρτιος, =-, αν ν περιττός. = 0. ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Υπάρχουν περιπτώσεις, στις οποίες οι ιδιότητες των ορίων μας οδηγούν σε απροσδιοριστία. Οι κυριότερες απροσδιόριστες μορφές είναι:,, + -, 0, 0 3

5 ΑΡΣΗ ΤΗΣ ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑΣ Α) Απροσδιοριστία της μορφής Όταν καταλήξουμε σε απροσδιοριστία μορφής, θα πρέπει με κατάλληλες μετατροπές να αλλάξουμε τη μορφή της συνάρτησης. Παραδείγματα: 1) =. Αν όμως παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή θα έχουμε: = = = 2. 2) = = =. 3) = = = =. B) Απροσδιοριστία της μορφής Εδώ παρουσιάζονται τρεις περιπτώσεις: Ι. Αν ο αριθμητής και ο παρανομαστής είναι πολυώνυμα ίδιου βαθμού, τότε το όριο είναι το πηλίκο των συντελεστών των μεγιστοβαθμίων όρων( δηλαδή των όρων που έχουν το μεγαλύτερο εκθέτη). Παραδείγματα: 1) = = = =. 4

6 2) = = = = -. ΙI. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του παρανομαστή, τότε το όριο είναι το + ( ή το - ). Παραδείγματα: 1) = = = =+. 2) = = =+. ΙII. Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή, τότε το όριο είναι το 0. Παραδείγματα: 1) = = = = = = = 0. 2) = = = = = 0. 5

7 Γ) Απροσδιοριστία της μορφής + - Η περίπτωση αυτή μετατρέπεται σε μορφή ή, χρησιμοποιώντας τη συζυγή παράσταση. Δ) Απροσδιοριστία της μορφής 0 ( ) ή ( ) 0 Οι περιπτώσεις αυτές επίσης μετατρέπονται σε μια από τις μορφές ή. Παράδειγμα: = = = = = = = = = 2 Παρατήρηση: Οι περιπτώσεις απροσδιοριστίας και μπορούν επίσης να αντιμετωπισθούν και με εφαρμογή του Κανόνα δούμε και στο επόμενο κεφάλαιο., όπως θα Πράγματι στις παραπάνω περιπτώσεις, αν ο αριθμητής και ο παρανομαστής αποτελούν παραγωγίσιμες συναρτήσεις και επίσης αν υπάρχει το, τότε ισχύει : =. Επίσης ισχύει: = και =. 6

8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός: Έστω y =f(x) μια πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, με πεδίο ορισμού D(f ) R. Η f(x) θα λέγεται συνεχής σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα υποσύνολο του πεδίου ορισμού της, ή σε όλο το πεδίο ορισμού της, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος αυτού ή του πεδίου ορισμού της. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το R. 2. Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. 3. Η συνάρτηση f (x)= είναι συνεχής για κάθε x για το οποίο ισχύει Η συνάρτηση f (x)= είναι συνεχής για κάθε x R. 5. Αν οι συναρτήσεις f (x) και είναι συνεχείς σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού τους, τότε είναι συνεχείς στο xo και οι συναρτήσεις και. ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Η f(x) θα λέγεται, συνεχής από τα δεξιά σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το δεξιό πλευρικό όριο και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα λέγεται συνεχής από τα αριστερά, σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το αριστερό πλευρικό όριο και ισχύει: = f(xο). Η f(x) θα είναι συνεχής σε ένα σημείο xo του πεδίου ορισμού της αν υπάρχουν τα δυο πλευρικά όρια και συμπίπτουν, δηλαδή αν: = = f(xο). 7

9 Παραδείγματα: 1. Η συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής στο σημείο 2. H συνάρτηση f(x) = είναι συνεχής από τα δεξιά στο σημείο. 3. H συνάρτηση f(x) = 0 είναι συνεχής από τα αριστερά στο σημείο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Να βρεθούν τα όρια: α β γ 2. Επίσης τα όρια: α β γ) δ) ε ζ η). Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια, η συνάρτηση: 4. Ομοίως για τη συνάρτηση: f(x) = 5. Ομοίως για τη συνάρτηση: f(x) = 6. Να βρεθεί το α, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση: 8

10 AΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ Αν Cf είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = f(x), τότε μια ευθεία y = αx+β θα λέγεται ασύμπτωτη ευθεία της Cf, αν η καμπύλη Cf πλησιάζει διαρκώς την ευθεία, χωρίς να τη συναντήσει ποτέ. 1. Αν = + (ή - ), τότε η κατακόρυφη ευθεία στο σημείο x = xo είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη της f(x). 2. Αν = β, τότε η ευθεία y = β είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη της f(x). 3. Αν β ] = 0 για α 0 (1) τότε η ευθεία με εξίσωση y = αx+β είναι μια πλάγια ασύμπτωτη της f(x). Σε αυτή την περίπτωση, από τη σχέση (1) θα έχουμε: ή - α - ] = 0 ή - α - = 0 ή = α (2) Επίσης από την (1) θα έχουμε: β ] = 0 β] = 0 ή ] = β (3) Άρα ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η ευθεία y = αx+β, α 0, πλάγια ασύμπτωτη της Cf, είναι να ισχύουν ταυτόχρονα οι ισότητες (2) και (3). Οι ισότητες αυτές είναι οι τύποι που μας δίνουν τους συντελεστές της εξίσωσης της ασύμπτωτης ευθείας y = αx+β. Αν το α 0, τότε η ασύμπτωτη είναι πλάγια. Αν το α = 0, τότε η ασύμπτωτη είναι οριζόντια που είναι η ευθεία y = β. Άρα αν η f(x) έχει οριζόντια ασύμπτωτη δεν μπορεί να έχει πλάγια και αντιστρόφως. 9

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 1. Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη: α) f(x) = β) g(x) = 2. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες ευθείες της γραφικής παράστασης των συναρτήσεων: α) f(x) = β) g(x) = γ) h(x) = δ) r(x) = ε) στ) s(x) = ζ) t(x) = 3. Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια και να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης των παρακάτω συναρτήσεων: α) β) g(x) = γ) h(x) = t(x) = 4. Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) = ; Α) y = 0 Β) y = 1 Γ) y = x + 1 Δ) y = -1 Ε) y = 2 10

12 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση y =f(x) ορισμένη σε ένα διάστημα α, β R και xo ϵ α, β. Η συνάρτηση f(x) λέγεται παραγωγίσιμη στο xο, όταν ο λόγος μεταβολής έχει πεπερασμένο όριο στο xο, δηλαδή υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός. Συμβολικά γράφουμε: f (xo) = = x = Αν τώρα πάρουμε όλα εκείνα τα x ϵ α, β για τα οποία υπάρχει η παράγωγος της f(x) και σε κάθε ένα από αυτά αντιστοιχίσουμε την παράγωγο της σ εκείνο το σημείο, τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, που συμβολίζεται με f (x) και λέγεται παράγωγος συνάρτηση της f ή απλά παράγωγος της f. Η νέα συνάρτηση θα έχει πεδίο ορισμού το σύνολο εκείνων των x ϵ α, β, για τα οποία υπάρχει η παράγωγος της f. Εξ άλλου, αν θεωρήσουμε ένα hϵ R, τέτοιο ώστε +h) ϵ α, β, τότε ο λόγος μεταβολής της f, μεταξύ και +h, γράφεται και ως συνάρτηση του h:. Και η παράγωγος στο x0 θα είναι: f (xo) =. 2. Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση f έχει παράγωγο ή είναι παραγωγίσιμη) σε ένα σημείο xο, τότε είναι συνεχής σ αυτό το σημείο. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή αν είναι η f(x) συνεχής σ ένα σημείο xο τότε δεν υπάρχει πάντα η παράγωγος της σ αυτό το σημείο. 11

13 . Γεωμετρική σημασία της παραγώγου 4. Παράγωγοι ανώτερης τάξης. Η συνάρτηση παράγωγος της f(x, μπορεί να είναι επίσης παραγωγίσιμη οπότε ορίζεται: - η δεύτερη παράγωγος f (x), - η τρίτη παράγωγος f (x), κ.λπ. Και γενικότερα μπορεί να υπάρχει μια ν-οστή παράγωγος της f(x), f (v) (x), όπου ν N, ν ) 12

14 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων I. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης y = c είναι το μηδέν. Π.χ Αν y = f(x) = τότε f (x) = 0 II. Παράγωγος μονωνύμου : Αν f (x) = x n τότε f (x) = nx n-1 Π.χ Αν f (x) = x 3 τότε f (x) = 3x 2 Αν f (x) = 3x 2 τότε f (x) = x = 6x Αν f (x) = x τότε f (x) = x o III. Παράγωγος ρίζας Αν f (x) =, τότε f (x) = x ϵ ο, Αν f (x) =, τότε f (x) = ν ϵ N. IV. Αν f (x ημx τότε f (x συν χ V. Αν f(x συν x τότε f x) = -ημ x VI. Αν f(x εφ x τότε f x) = = 1+ VII. Αν f(x σφ x τότε f x) = = - (1+ ) VIII. Αν f(x) =, τότε f x) =, όπου = 2,71828 IX. Αν f(x) =, τότε, Από τη γνωστή ισότητα: =, θα έχουμε: ( ) =( (xlna lna ή ο, Παρατήρηση: Εδώ εφαρμόστηκε ο κανόνας παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης που θα αποδειχθεί παρακάτω: Δηλ. = [f(g(x f g(x g x) X. Αν f(x) = ln x, τότε f x) = x>o. XI., ό, ο, Διότι = τύπος αλλαγής βάσης λογαρίθμων 13

15 Κανόνες παραγώγισης Ι. [α f(x α f x) ΙΙ. [f(x g(x f x g x) ΙΙΙ. [f(x g(x f x g(x) + f(x g x) IV. = και = V. =. Κανόνας της αλυσίδας Εφαρμογές των παραγώγων I. Άρση της απροσδιοριστίας ώ Αν έχουμε δύο συναρτήσεις f, g, παραγωγίσιμες σ ένα σημείο xo με g (xo 0 και f(x) = 0, 0, και επίσης αν υπάρχει το, τότε ισχύει : =. Το θεώρημα ισχύει και για όρια των συναρτήσεων στο ή -. II. Θεώρημα Fermat): Αν μια συνάρτηση f, i) Είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα ii) Παρουσιάζει τοπικό ακρότατο μέγιστο ή ελάχιστο σ ένα σημείο xo ϵ D(f και iii) Είναι παραγωγίσιμη στο xo, τότε ισχύει f (xo )=0 III. Θεώρημα Rolle: Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία υποθέτουμε ότι: i) Είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β. ii) Είναι παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β. iii) Ισχύει f(α) = f β, Τότε υπάρχει σημείο xo ϵ α, β, για το οποίο η παράγωγος είναι μηδέν : f (xo ) = 0 14

16 IV. Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού: Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα α, β, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο xo ϵ α, β τέτοιο ώστε: f (xo) = V. Μονοτονία συνάρτησης: 1) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα α, β και για κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος α, β υπάρχει η παράγωγος και είναι θετική, τότε η f είναι αύξουσα στο α, β. 2) Αν η f είναι συνεχής στο α, β, παραγωγίσιμη στο α, β και η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε σημείο του α, β, τότε η f είναι φθίνουσα στο α, β. 3) Αν η παράγωγος f της f μηδενίζεται σε ένα σημείο αλλάζοντας πρόσημα δεξιά και αριστερά του σημείου αυτού, τότε στο σημείο αυτό υπάρχει ακρότατη τιμή, μέγιστο ή ελάχιστο. VI. Η Σημασία της δεύτερης παραγώγου για τα τοπικά ακρότατα μέγιστα ή ελάχιστα. Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία υπάρχει η παράγωγος και η δεύτερη παράγωγος σ ένα σημείο xο. Αν όπως προαναφέρθηκε, η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο στο xo, τότε η f έχει ακρότατη τιμή στο xo. Σ αυτή την περίπτωση, το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου αποτελεί ένα κριτήριο για το αν η ακρότατη αυτή τιμή είναι μέγιστο ή ελάχιστο (Κριτήριο δεύτερης παραγώγου ). Πιο συγκεκριμένα ισχύει: 1. Αν η f (xo 0 τότε η f έχει ελάχιστο στο xo. 2. Αν η f ( xo 0 τότε η f έχει μέγιστο στο xo. 15

17 Γεωμετρική σημασία της δεύτερης παραγώγου 1. Αν η f (x 0 τότε η καμπύλη της f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Π.χ 2. Αν η f (x 0, τότε η καμπύλη της f, στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Π.χ Σημείο Καμπής Αν η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο σε ένα σημείο xο, τότε το σημείο αυτό λέγεται σημείο καμπής. Π.χ Το xο είναι σημείο καμπής αν f (xo δεξιά του xο. 0 και η f αλλάζει πρόσημο αριστερά και 16

18 Παράδειγμα: Αν f(x) =, τότε f (x) = και f (x) =, f (x) = ή Η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει μέγιστο στο xο 0, το σημείο 0, 0 0,. Επίσης έχει ελάχιστο στο xo, το σημείο, f ) = (4, -24). Η καμπύλη έχει σημείο καμπής στο σημείο xo, το σημείο, = (2, -8). x f x) f x) f(x) max 8 min -8 Σ. καμπής -24 Ασκήσεις 1. Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία καμπής και να γίνει μελέτη ως προς τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 0 9) 10) 11) 12) 13) 14) 17

19 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν η συνάρτηση είναι της μορφής, λέγεται ρητή ή κλασματική. Τότε το πεδίο ορισμού είναι το R - ύ ώ ή Στις ρητές συναρτήσεις παρουσιάζονται ασύμπτωτες ευθείες. Η μελέτη και η γραφική παράσταση μιας ρητής συνάρτησης, ακολουθεί την ίδια διαδικασία, όπως και στις πολυωνυμικές, αλλά επί πλέον θα πρέπει να προσδιοριστούν και οι ασύμπτωτες ευθείες, κατακόρυφες και οριζόντιες κ πλάγιες, όπως αναφέρεται στη σελίδα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1. Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση 1. Πεδίο ορισμού R 2. Κατακόρυφες ασύμπτωτες: κατακόρυφη ασύμπτωτη Άρα η ευθεία x είναι Οριζόντιες πλάγιες Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη. 0 0 Άρα η ευθεία α β με α 0, β, δηλαδή η ευθεία 0 ή y = 1 είναι οριζόντια ασύμπτωτη. 18

20 3. Μονοτονία ακρότατα: 0 Η παράγωγος είναι αρνητική για κάθε x στο πεδίο ορισμού της f, άρα δεν υπάρχουν μέγιστα ή ελάχιστα Άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής Άρα η είναι θετική για. 4. Τομές με άξονες: Για 0,. Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, -3). Για 0 έ 0 0 Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x x στο σημείο,0 5. Πίνακας μεταβολών μονοτονίας Γραφική παράσταση 19

21 II. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης: Λύση: 1. Για να βρούμε το πεδίο ορισμού, βρίσκουμε τις ρίζες του παρανομαστή και τις αποκλείουμε Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι το R, 2. Βρίσκουμε τις τομές της καμπύλης με τους άξονες Για 0, 0. Άρα η καμπύλη τέμνει τον άξονα y y στο σημείο 0, Για 0 θα έχουμε 0 0 = = 4 Άρα. Άρα η καμπύλη θα τέμνει τον άξονα x x στα σημεία,0 και,0. 20

22 3. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, επειδή είναι ρητή. 4. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή ούτε περιοδική 5. Ασύμπτωτες α Κατακόρυφες Άρα υπάρχουν δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες και είναι οι ευθείες x = -1και x= 5. β Οριζόντιες πλάγιες Αν υπάρχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη, θα είναι της μορφής, όπου α = β β 0 Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη και είναι η ευθεία y = 1 6. Μονοτονία - ακρότατα Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης 21

23 Ρίζες πρώτης παραγώγου 0 0 Πρόσημο πρώτης παραγώγου Οι παράγοντες και είναι θετικοί και δεν επηρεάζουν το πρόσημο. Άρα μπορούμε να τους διαγράψουμε διαιρώντας με αυτούς και τα δυο μέλη της ανίσωσης. Οπότε η ανίσωση θα γίνει: Άρα: Άρα το είναι ακρότατη τιμή διότι η παράγωγος μηδενίζεται αλλάζοντας πρόσημο. Κατόπιν βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο: = = = =. 22

24 Ρίζες δεύτερης παραγώγου Άρα η δεύτερη παράγωγος δεν έχει ρίζες, άρα δεν υπάρχουν σημεία καμπής. Πρόσημο δεύτερης παραγώγου Οι παράγοντες, και είναι μονίμως θετικοί άρα μπορούν να διαγραφούν με διαίρεση και των δυο μελών, χωρίς να επηρεαστεί το πρόσημο της ανίσωσης. Άρα η ανίσωση θα γίνει : 0 ή Συγκεντρώνουμε τα συμπεράσματα μας στον παρακάτω πίνακα μονοτονίας της συνάρτησης και βάσει του πίνακα αυτού σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση. ΠΙΝΑΚΑΣ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ 23

25 III. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση 1. Πεδίο ορισμού είναι το R 2. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, ως ρητή. 3. Δεν είναι άρτια ούτε περιττή αφού 4. Τομές με άξονες Τέμνει τον άξονα y y για 0. Θέτοντας 0, θα έχουμε 0, άρα τέμνει τον y y στο σημείο 0,. Τέμνει τον άξονα x x για 0. Θέτοντας 0, θα έχουμε: Άρα τέμνει τον x x στα σημεία,0 και,0. 24

26 5. Ασύμπτωτες α Κατακόρυφες Άρα η ευθεία x 0 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη β Οριζόντιες - πλάγιες Αναζητούμε την, όπου α και α 0. β 0. Άρα υπάρχει οριζόντια ασύμπτωτη, και είναι η ευθεία y=1. 6. Μονοτονία - ακρότατα Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης, τις ρίζες της και το πρόσημο της: /

27 Πίνακας μεταβολών 26

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕΣΩ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ I. Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) ΙΙ. Έστω η συνάρτηση πεδίου ορισμού της στα οποία η. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο σημεία του παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. ΙΙΙ. Αν η συνάρτηση στο x0, ποιο από τα παρακάτω είναι το m; Α -3 Β -2 Γ -1 Δ Ε έχει ένα τοπικό ελάχιστο IV. Έστω η συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι έχει δυο σημεία καμπής και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων αυτών. V. Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με α, βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. VI. Δίνεται η συνάρτηση. Αν γνωρίζετε ότι η παράγωγος της έχει τοπικό ελάχιστο -, βρείτε ποια από τις παρακάτω είναι η θετική τιμή του α ; Α 0 Β Γ Δ Ε VΙI. Δίνονται οι συναρτήσεις: και. Να βρείτε το α ϵ R, ώστε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της βρίσκεται πάνω στην πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της x. να, όταν 27

29 ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Η εύρεση του ολοκληρώματος μια συνάρτησης είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση θα λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα ή παράγουσα της συνάρτησης, αν η παράγωγος της είναι η, δηλαδή αν ισχύει:. Παράδειγμα 1 Η είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα ή μια παράγουσα της συνάρτησης, διότι. Αν η είναι αόριστο ολοκλήρωμα της, τότε και κάθε άλλη συνάρτηση της μορφής, με c ϵ R, είναι επίσης αόριστο ολοκλήρωμα της αφού η παράγωγος σταθερού αριθμού είναι μηδέν και θα ισχύει: 0. Το αόριστο ολοκλήρωμα της συμβολίζεται Έτσι, για το προηγούμενο παράδειγμα θα έχουμε:, c ϵ R. Η σταθερά c μπορεί να προσδιοριστεί αν μας δοθεί κάποια αρχική συνθήκη. Παράδειγμα : Αν μας δοθεί στο προηγούμενο παράδειγμα ότι, τότε θα έχουμε ή. Λύνουμε ως προς c και βρίσκουμε ή. 28

30 Η ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Η συνάρτηση είναι μια γραμμική συνάρτηση, δηλαδή ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Οι παραπάνω δυο ισότητες μπορεί να ισχύουν συγχρόνως: Ι Επίσης η Ι μπορεί να γενικευθεί για n συναρτήσεις, όπου n Ν: Παράδειγμα Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ Στην οικονομία η παράγωγος εκφράζει το οριακό κόστος, ενώ το ολοκλήρωμα εκφράζει το συνολικό κόστος. Παράδειγμα Αν το οριακό κόστος παραγωγής ποσότητας Q ενός προϊόντος είναι και αν για την, παραγωγή μιας μερικής μονάδας του προϊόντος το συνολικό κόστος είναι 0, να βρεθεί το συνολικό κόστος παραγωγής. Λύση: Το συνολικό κόστος παραγωγής θα είναι το αόριστο ολοκλήρωμα του οριακού κόστους: Και επειδή C 0 έπεται ότι: 0, άρα 0, άρα 0. Άρα τελικά το συνολικό κόστος θα είναι:. 29

31 ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ διότι 4., όπου, α ϵ R x ϵ,

32 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Από τη θεωρία των παραγώγων γνωρίζουμε ότι ό ί ά ώ Αν συμβολίσουμε με και τις πολύ μικρές οριακές τιμές μεταβολής των x και f(x), προκύπτει ο συμβολισμός της παραγώγου του Leibnitz, δηλαδή ότι: ά ϵ ί ί Από την ταύτιση των δυο συμβολισμών που μας δείχνει αυτή η ισότητα δηλαδή από τη σχέση έπεται ότι (1) Η ποσότητα, δηλαδή το γινόμενο λέγεται διαφορικό της. Αν στη σχέση πάρουμε το ολοκλήρωμα και στα δυο μέλη και εφαρμόσουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος, θα έχουμε: Αυτό σημαίνει ότι τα σύμβολα και d αλληλοαναιρούνται με τη σειρά που είναι γραμμένα. Ακόμα ισχύει: Για κάθε c ϵ R, και Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων 1) 2) 3) (3 1)

33 ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Α. Ολοκλήρωση κατά παράγοντες ή Παραγοντική ολοκλήρωση Αν f(x και g(x είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, από τη σχέση της παραγώγισης γινομένου και τη γνωστή σχέση που συνδέει τους δύο συμβολισμούς της παραγώγου και ορίζει το διαφορικό μιας συνάρτησης, δηλαδή από τη σχέση: θα έχουμε:, Αν πάρουμε το ολοκλήρωμα κατά μέλη, θα έχουμε: ή ή (1) Αυτός ο τύπος είναι ο τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης και εφαρμόζεται για να αλλάξει η συνάρτηση που πρέπει να ολοκληρωθεί και να γίνει έτσι ευκολότερος ο υπολογισμός του ολοκληρώματος ισχύει όταν οι συναρτήσεις έχουν συνεχείς παραγώγους. Παραδείγματα α Tα παρακάτω ολοκληρώματα έχουν υπολογισθεί με παραγοντική ολοκλήρωση:

34 = β Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:. Λύση: = =. 33

35 Β. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Στη μέθοδο αυτή δεν υπάρχει γενικός κανόνας, απλώς γίνεται αλλαγή μεταβλητής με σκοπό να γίνει πιο απλός ο τύπος της συνάρτησης και έτσι να υπολογισθεί πιο εύκολα το ολοκλήρωμα. Παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων με αντικατάσταση. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα αυτό θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής. Αυτό σημαίνει ότι θα επιλέξουμε να συμβολίσουμε ένα μέρος του τύπου της συνάρτησης μας με άλλη μεταβλητή και θα εκφράσουμε ολόκληρο τον τύπο συναρτήσει της νέας μεταβλητής. Συγκεκριμένα θέτουμε: (1). Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη της. Από τη γνωστή σχέση ή ή. έπεται: Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα: 34

36 2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Θέτουμε. Παίρνουμε τα διαφορικά και στα δύο μέλη: Αντικαθιστούμε:.. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:. Λύση: Θέτουμε, άρα ή ή Αντικαθιστούμε:. 35

37 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν έχουμε να ολοκληρώσουμε μια ρητή συνάρτηση δηλαδή μια συνάρτηση της μορφής όπου τα f(x και g(x είναι μη μηδενικά πολυώνυμα, τότε θα πρέπει να προσέξουμε το βαθμό των πολυωνύμων f(x και g(x). Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον βαθμό του παρανομαστή τότε θα πρέπει να γίνει η διαίρεση των πολυωνύμων και να γραφτεί το κλάσμα σύμφωνα με την ισότητα της διαίρεσης, δηλαδή το γνωστό τύπο του Ευκλείδη: Οπότε το κλάσμα, ό 0 ή, 0 θα αναλυθεί σε άθροισμα ενός πολυωνύμου πηλίκο και ενός άλλου κλάσματος στο οποίο ο βαθμός του αριθμητή θα είναι μικρότερος από το βαθμό του παρανομαστή. Κατόπιν ο παρανομαστής θα αναλυθεί σε άθροισμα απλών κλασμάτων, δηλαδή κλασμάτων της μορφής: πραγματικές,τις. όταν ο παρανομαστής είναι τριώνυμο β βαθμού και έχει ρίζες Γενικότερα στο άθροισμα που θα προκύψει, επειδή μπορεί να υπάρχουν και διπλές ρίζες ή ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας λ, σε κάθε πραγματική ρίζα ρ του παρανομαστή, αντιστοιχούν τα κλάσματα,,,, αν η ρίζα έχει πολλαπλότητα λ. Συνήθως ασχολούμαστε με περιπτώσεις όπου λ, ή. Επίσης μπορεί να υπάρχουν στον παρανομαστή παράγοντες της μορφής 0 Σε κάθε τέτοιο παράδειγμα αντιστοιχούν τα κλάσματα:,,, 36

38 Παραδείγματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: και το ολοκλήρωμα θα γίνει: =. Για το εφαρμόζουμε τη μέθοδο αντικατάστασης: Θέτουμε, άρα, άρα και επομένως + c. Επίσης είναι βασικός κανόνας ολοκλήρωσης ότι:. Άρα τελικά θα έχουμε: 2. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: Λύση: Επειδή ο παρανομαστής έχει διπλή ρίζα η ρητή συνάρτηση θα χωριστεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 37

39 1 x Οπότε το ολοκλήρωμα θα γίνει: 3. Επίσης το ολοκλήρωμα: Λύση: Το ολοκλήρωμα γράφεται: και επειδή το είναι μόνιμα θετική παράσταση, δηλαδή δεν έχει ρίζες πραγματικές, η συνάρτηση θα αναλυθεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 1 x 2 +1 x Οπότε θα έχουμε: 38

40 ή ή 0 0 Α, Β -, Γ 0. και το ολοκλήρωμα θα είναι: 4. Επίσης το ολοκλήρωμα: Λύση: Το ολοκλήρωμα γράφεται: =. Και επειδή το έχει αρνητική διακρίνουσα ( <0), δηλαδή δεν έχει ρίζες πραγματικές, η συνάρτηση θα αναλυθεί σε απλά κλάσματα ως εξής: 1 x Β Γ Β Α Γ 39

41 0 Άρα:. Ασκήσεις Με τον ίδιο τρόπο να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: 1) 2) 3) 5) 6) 7) 40

42 ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρούμε μια συνάρτηση, ορισμένη και συνεχή σε ένα κλειστό διάστημα,. Αν πάρουμε μια διαμέριση του διαστήματος, δηλαδή ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων,, του,, για το οποίο ισχύει: και συμβολίσουμε τα μήκη των υποδιαστημάτων που δημιουργούνται μέσα στο, ως διαφορές:,,,, τότε αν τα μήκη αυτά τα θεωρήσουμε ίσα, το κάθε ένα από αυτά θα είναι:,,.. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν Ε της επιφάνειας που περικλείεται από την καμπύλη και τις ευθείες,, κατασκευάζουμε ορθογώνια παραλληλόγραμμα πλευράς Δx και ύψους ίσου με την ελάχιστη τιμή της στο αντίστοιχο υποδιάστημα. 41

43 Θέτουμε στο διάστημα,. Όταν το, τότε 0 Τότε το άθροισμα των εμβαδών όλων των παραπάνω ορθογωνίων πλησιάζει, παραμένοντας μικρότερο, το ζητούμενο εμβαδόν Ε. Γράφουμε: Το σύμβολο του απείρου αθροίσματος μπορεί να αντικατασταθεί από το σύμβολο του ολοκληρώματος και το εμβαδόν αυτό που αποτελεί το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των στοιχειωδών αυτών ορθογωνίων, λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης στο διάστημα, και συμβολίζεται Το ορισμένο ολοκλήρωμα έχει μια ορισμένη τιμή σε αντίθεση με το αόριστο ολοκλήρωμα που είναι συνάρτηση. Η τιμή αυτή μπορεί να υπολογισθεί αν χρησιμοποιήσουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού (Newton-Leibnitz), το οποίο αναφέρει ότι: Αν είναι το αόριστο ολοκλήρωμα ή παράγουσα της στο διάστημα,, τότε το ορισμένο ολοκλήρωμα της είναι ίσο με Συμβολικά γράφουμε: (1) Με τη βοήθεια του θεωρήματος αυτού το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τη σχέση ή παράγουσα της., αφού πρώτα βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα 42

44 Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος , όπου Υπολογισμός εμβαδών Όπως αναφέρεται και παραπάνω, το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ίσο με το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες και, καθώς και από τον άξονα x x. Αυτό όμως ισχύει όταν 0. Γενικότερα το εμβαδόν αυτό θα είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος: Παραδείγματα = [x Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα x x και τις ευθείες και. Λύση

45 Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι θετική στο διάστημα, Άρα:. διότι 0 4. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα χ χ και τις ευθείες x = -2 και x = 1. Λύση: Θα κάνουμε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση τέμνει τον άξονα x x για 0. 0, δηλαδή όταν 44

46 Το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι: = = = [ - x 2-3 ] - [ - x 2-3 ] = = ( )] [ -1-3-( )] = = [ ] [ ] = = - [ = - = + 6 = =. 45

47 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: α β γ δ ε στ ζ η 2. Επίσης τα ολοκληρώματα: ( x 1) dx 3 α) 2 x 2x β) 2 4 x dχ γ) δ) 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τις ευθείες, και τον άξονα x x 4. Ομοίως το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τις ευθείες 0, και τον άξονα x x 5. Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τη καμπύλη και την ευθεία. 6. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :. 46

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ & ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0 5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις

Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής. Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Η θεωρία στα Μαθηματικά Προσανατολισμού: Θετικών Σπουδών Σπουδών Οικονομίας -Πληροφορικής Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήματα Αποδείξεις Επιμέλεια: Μπάμπης Στεργίου / Παπαμικρούλης Δημήτρης (αποκλειστικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να μελετήσουμε και να χαράξουμε τη γραφική παράταση μιας συνάρτησης ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της.. Εξετάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας

Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας 1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. "ΑΙΧΜΗ" Κ. Καρτάλη 28 Βόλος τηλ. 242 32598 Φροντιστήριο Μ. Ε. «ΑΙΧΜΗ» Μαθηματικά Προσανατολισμού

Διαβάστε περισσότερα

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες

( x ), x είναι ίσες. x,x είναι ίσες. x 5, x δεν είναι ίσες (1). ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Απαντήστε με σωστό ή λάθος) Να διευκρινίσουμε το εξής σημείο. Αν η ερώτηση είναι πχ, η συνάρτηση φ ικανοποιεί το τάδε, εννοείται η λέξη ΠΑΝΤΑ, οπότε αν υπάρχει έστω και μία φ που δεν

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ασύμπτωτες. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Ασύμπτωτες. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Ασύμπτωτες Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Άπειρα όρια: Οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες Έστω η f()=1/, τότε παρατηρούμε ότι: καθώς +, (1/) 0 & καθώς -, (1/) 0 & 1 lim ( ) = 0 + 1 lim ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos http://lar.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 69795 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Άσκηση. (5 μονάδες) i) ( μονάδες) Υπολογίστε την παράγωγο για κάθε μία από τις επόμενες συναρτήσεις: a)

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

2.2 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Πότε μια συνάρτηση λέγεται : α Παραγωγίσιμη στο σύνολο Α β Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα αβ γ Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ αβ ] Β δ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ),

Προτεινόμενες λύσεις. f (x) f (x ) f (x) f (x ) f (x) f (x ) (x x ). f (x) f (x ) lim[f (x) f (x )] lim (x x ) lim[f (x) f (x )] 0 lim f (x) f (x ), Πανελλαδικές Εξετάσεις 8 Μαθηματικά Προσανατολισμού /6/8 ΘΕΜΑ Α Προτεινόμενες λύσεις Α Αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ισχύει ότι: Για κάθε έχουμε: Επομένως ισχύει ότι: Δηλαδή:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1 Ασύµπτωτες γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως Ασύµπτωτες της γραφικής παραστάσεως συναρτήσεως y f ( ) ονοµάζονται οι ευθείες που για πολύ µικρές ή µεγάλες τιµές των, y προσεγγίζουν ικανοποιητικά την γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα συνάρτησης

Ολοκλήρωμα συνάρτησης Ολοκλήρωμα συνάρτησης Έννοια Υπολογισμός Χρήση Αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα εισαγωγικό παράδειγμα οριακού κόστους Έστω η συνάρτηση οριακού κόστους μιας επιχείρησης δίνεται από τη σχέση ΜC(q)=3q 2 +4

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης

Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης 7 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η διαδικασία με την οποία προσδιορίζουμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά μιας συνάρτησης ονομάζεται μελέτη συνάρτησης Αυτή συνίσταται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα