M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

Transcript

1 Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές συναρτήσεις και αρκετά καλές συναρτήσεις ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Καλή συνάρτηση είναι αυτή η οποία είναι παντού παραγωγίσιμη οσεσδήποτε φορές και τέτοια ώστε αυτή και όλες οι παράγωγοί της να είναι O( x N ) καθώς x για όλα τα N. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η e x2 είναι καλή συνάρτηση. ΟΡΙΣΜΟΣ 2. Αρκετά καλή συνάρτηση είναι αυτή η οποία είναι παντού παραγωγίσιμη οσεσδήποτε φορές και τέτοια ώστε αυτή και όλες οι παράγωγοί της να είναι O( x N ) καθώς x για κάποιο N. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Οποιοδήποτε πολυώνυνο είναι αρκετά καλή συνάρτηση. ΘΕΩΡΗΜΑ 1. Η παράγωγος μιας καλής συνάρτησης είναι καλή συνάρτηση. Το άθροισμα δύο καλών συναρτήσεων είναι καλή συνάρτηση. Το γινόμενο μιας αρκετά καλής συνάρτησης και μιας καλής συνάρτησης είναι καλή συνάρτηση. Η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη. ΘΕΩΡΗΜΑ 2. Αν f(x) είναι μια καλή συνάρτηση, τότε ο μετασχηματισμός Fourier (Μ.F.) τής f(x), δηλαδή η είναι καλή συνάρτηση. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Παραγώγιση p φορές και ολοκλήρωση κατά μέρη N φορές δείχνει ότι g (p) (y) = 1 d N (2πiy) N dx N {( 2πix)p f(x)} e 2πixy dx (2π)p N d N y N dx N {xp f(x)} dx = O( y N ), (2) το οποίο αποδεικνύει το θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 3. Αν f(x) είναι μια καλή συνάρτηση με Μ.F. g(y), τότε ο Μ.F. τής f (x) είναι 2πiyg(y), και ο Μ.F. τής f(x + b) είναι 1 e 2πiby/ g(y/). * Τίτλος πρωτότυπου: An introduction to Fourier nlysis nd generlised functions, Cmbridge University Press, Cmbridge, 1958.

2 16 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη, ο οποίος πρέπει να προσέξει τις ειδικές περιπτώσεις = 1, = 1 και b = 0. ΘΕΩΡΗΜΑ 4. (Θεώρημα αντιστροφής του Fourier για καλές συναρτήσεις). Αν g(y) είναι ο Μ.F. μιας καλής συνάρτησης f(x), τότε f(y) είναι ο Μ.F. της g( x). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Οποιαδήποτε από τις καθιερωμένες αποδείξεις του θεωρήματος αντιστροφής του Fourier εφαρμόζεται χωρίς καμία δυσκολία για καλές συναρτήσεις. Μια απλή εκδοχή είναι να αποδείξουμε με στοιχειώδεις χειρισμούς ότι ο Μ.F. της e ɛx2 g( x) διαφέρει από την f(y) κατά ( π ɛ ) 1 2 e π2 (y t) 2 /ɛ {f(t) f(y)} dt ( π mx f (x) ɛ και στη συνέχεια να θέσουμε ɛ 0. ) 1 2 e π2 (y t) 2 /ɛ y t dt = O(ɛ 1 2 ), (3) ΘΕΩΡΗΜΑ 5. (Θεώρημα του Prsevl για καλές συναρτήσεις). Αν f 1 (x) και f 2 (x) είναι καλές συναρτήσεις, και g 1 (y) και g 2 (y) είναι οι Μ.F. τους, τότε g 1 (y)g 2 (y) dy = f 1 ( x)f 2 (x) dx. (4) ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Και τα δύο μέλη μπορούν να γραφούν σαν το απόλυτα συγκλίνον διπλό ολοκλήρωμα από το θεώρημα 4. g 1 (y)f 2 (x) e 2πixy dx dy, (5) ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Το θεώρημα αυτό θα χρησιμοποιηθεί επίσης (στο θεώρημα 11 πιο κάτω) στην περίπτωση που η f 1 (x) είναι καλή συνάρτηση και η f 2 (x) είναι οποιαδήποτε συνάρτηση απόλυτα ολοκληρώσιμη από ως. Η απόδειξη ισχύει στην περίπτωση αυτή λέξη προς λέξη, αφού το διπλό ολοκλήρωμα παραμένει απόλυτα συγκλίνον Γενικευμένες συναρτήσεις. Η δέλτα συνάρτηση και οι παράγωγοί της ΟΡΙΣΜΟΣ 3. Μια ακολουθία f n (x) καλών συναρτήσεων ονομάζεται κανονική αν, για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x), το όριο υπάρχει. f n (x) F (x) dx (6) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Η ακολουθία f n (x) = e x2 /n 2 είναι κανονική. (Το όριο στην περίπτωση αυτή είναι F (x) dx.)

3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER 17 ΟΡΙΣΜΟΣ 4. Δύο κανονικές ακολουθίες καλών συναρτήσεων ονομάζονται ισοδύναμες αν, για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x), το όριο (6) είναι το ίδιο για κάθε ακολουθία. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Η ακολουθία e x4 /n 4 είναι ισοδύναμη με την ακολουθία e x2 /n 2. ΟΡΙΣΜΟΣ 5. Μια γενικευμένη συνάρτηση f(x) ορίζεται σαν κανονική ακολουθία f n (x) καλών συναρτήσεων, αλλά δύο γενικευμένες συναρτήσεις λέγονται ίσες αν οι αντίστοιχες κανονικές ακολουθίες είναι ισοδύναμες. Έτσι, κάθε γενικευμένη συνάρτηση είναι στην πραγματικότητα η κλάση όλων των κανονικών ακολουθιών που είναι ισοδύναμες με μια δεδομένη κανονική ακολουθία. Το ολοκλήρωμα f(x) F (x) dx (7) του γινομένου μιας γενικευμένης συνάρτησης f(x) και μιας καλής συνάρτησης F (x) ορίζεται ως f n (x) F (x) dx. (8) Αυτό είναι επιτρεπτό επειδή το όριο είναι το ίδιο για όλες τις ισοδύναμες ακολουθίες f n (x). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Η ακολουθία e x2 /n 2 και όλες οι ισοδύναμες ακολουθίες ορίζουν μια γενικευμένη συνάρτηση I(x) τέτοια ώστε I(x) F (x) dx = F (x) dx. (9) Η γενικευμένη αυτή συνάρτηση I(x) θα συμβολίζεται πιο απλά με 1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Οι ισοδύναμες με την e nx2 (n/π) 1 2 ακολουθίες ορίζουν μια γενικευμένη συνάρτηση δ(x) τέτοια ώστε δ(x) F (x) dx = F (0). (10) ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αν F (x) είναι οποιαδήποτε καλή συνάρτηση, e nx2 (n/π) 1 2 F (x) dx F (0) = e nx2 (n/π) 1 2 {F (x) F (0)} dx mx F (x) e nx2 (n/π) 1 2 x dx = (πn) 1 2 mx F (x) 0 καθώς n.

4 18 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. Αν δύο γενικευμένες συναρτήσεις f(x) και h(x) ορίζονται από τις ακολουθίες f n (x) και h n (x), τότε το άθροισμά τους f(x) + h(x) ορίζεται από την ακολουθία f n (x) + h n (x). Επίσης, η παράγωγος f (x) ορίζεται από την ακολουθία f n(x). Επίσης, η f(x + b) ορίζεται από την ακολουθία f n (x + b). Επίσης, η φ(x)f(x), όπου φ(x) είναι αρκετά καλή συνάρτηση, ορίζεται από την ακολουθία φ(x)f n (x). Επίσης, ο Μ.F. g(y) της f(x) ορίζεται από την ακολουθία g n (y), όπου g n (y) είναι ο Μ.F. τής f n (x). ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΠΕΙΑΣ. Σε κάθε μέρος του ορισμού αυτού πρέπει να επαληθεύσουμε (i) ότι η εν λόγω ακολουθία είναι ακολουθία καλών συναρτήσεων, αυτό όμως προκύπτει αμέσως από τα θεωρήματα 1 και 2 (ii) ότι η εν λόγω ακολουθία είναι κανονική ακολουθία και (iii) ότι διαφορετικές επιλογές ισοδύναμων κανονικών ακολουθιών για τον ορισμό των γενικευμένων συναρτήσεων f και h οδηγούν σε ισοδύναμες ακολουθίες που ορίζουν τη νέα γενικευμένη συνάρτηση. Τώρα, όσον αφορά στο πρώτο μέρος, για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x) {f n (x) + h n (x)}f (x) dx = f n (x) F (x) dx + h n (x) F (x) dx, (11) και έτσι το όριο στα αριστερά υπάρχει, επαληθεύοντας το (ii). Επίσης, τα ό- ρια στα δεξιά είναι ανεξάρτητα από το ποιές από τις διαφορετικές ισοδύναμες ακολουθίες καλών συναρτήσεων f n και h n χρησιμοποιούνται για τον ορισμό των f και h. Συνεπώς όλες οι προκύπτουσες ακολουθίες f n + h n είναι ισοδύναμες, επαληθεύοντας το (iii). Επίσης, f n (x) F (x) dx = f n (x) F (x) dx, (12) και, αφού η F (x) είναι καλή συνάρτηση (από το θεώρημα 1), το όριο στα δεξιά υπάρχει και είναι το ίδιο (από τους ορισμούς 3 και 4) για όλες τις ισοδύναμες κανονικές ακολουθίες f n (x). Συνεπώς όλες οι ακολουθίες f n (x) είναι ισοδύναμες και κανονικές, όπως έπρεπε να δειχθεί. Το ίδιο ακριβώς επιχείρημα εφαρμόζεται στο f n (x + b) F (x) dx = 1 ( ) x b f n (x) F dx, (13) και {φ(x) f n (x)} F (x) dx = g n (y) G(y) dy = f n (x){φ(x) F (x)} dx (14) f n (x) F ( x) dx, (15)

5 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER 19 όπου στην (15) η G(y) είναι ο Μ.F. της F (x) και έχει χρησιμοποιηθεί το θεώρημα 5. Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη ότι η άθροιση, η παραγώγιση, η γραμμική αντικατάσταση, ο πολλαπλασιασμός με μια αρκετά καλή συνάρτηση και ο μετασχηματισμός Fourier μπορούν καθένα να εφαρμοστούν σε οποιαδήποτε γενικευμένη συνάρτηση, και ότι το αποτέλεσμα σε κάθε περίπτωση εξακολουθεί να είναι γενικευμένη συνάρτηση. * ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Ο Μ.F. της δ(x) είναι 1. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Ο Μ.F. της e nx2 (n/π) 1 2 εύκολα βρίσκεται ότι είναι e π 2 y 2 /n, η οποία είναι προφανώς μια από τις ακολουθίες που ορίζουν τη γενικευμένη συνάρτηση 1. ΘΕΩΡΗΜΑ 6. Κάτω από τις συνθήκες του ορισμού 6, έχουμε για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x) (με Μ.F. G(y)) f (x) F (x) dx = f(x) F (x) dx, f(x + b) F (x) dx = 1 ( ) x b f(x) F dx, (16) {φ(x) f(x)} F (x) dx = g(y) G(y) dy = f(x) {φ(x) F (x)} dx, f(x) F ( x) dx. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν αμέσως από τις εξισώσεις (12) έως (15). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Αν F (x) είναι οποιαδήποτε καλή συνάρτηση, δ (n) (x) F (x) dx = ( 1) n F (n) (0). (17) ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αυτό προκύπτει με n-πλή εφαρμογή της πρώτης των εξισώσεων (16) («ολοκλήρωση κατά μέρη»), ακολουθούμενη από την εξίσωση (10). Στο σημείο αυτό μπορεί κάποιος, αν είναι απαραίτητο, να αποδείξει ένα ολόκληρο σύνολο από αποτελέσματα όπως d dx {f(x) + h(x)} = f (x) + h (x), d dx {φ(x) f(x)} = φ (x) f(x) + φ(x) f (x), d dx f(x + b) = f (x + b), φ(x + b) f(x + b) = h(x + b) αν φ(x) f(x) = h(x), * Από την άλλη μεριά, δεν υπάρχει ικανοποιητικός ορισμός για το γινόμενο δύο γενικευμένων συναρτήσεων για παράδειγμα, με το συμβολισμό του ορισμού 6, η f n (x) h n (x) δεν είναι γενικά κανονική ακολουθία.

6 20 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ κ.λπ., τα οποία δεν αξίζει να τιμήσουμε με θεώρημα, αφού είναι σχεδόν αδύνατο να φανταστούμε λογικούς ορισμούς με τους οποίους δεν θα ήταν αληθείς θα χρησιμοποιούνται χωρίς αναφορά, και η απόδειξη είναι σύντομη και εύκολη σε κάθε περίπτωση. Η πιο μακροσκελής είναι όπως παρακάτω. Αν F (x) είναι οποιαδήποτε καλή συνάρτηση, τότε F (x) d {φ(x) f(x)} dx dx = F (x) φ(x) f(x) dx d = {F (x) φ(x)} f(x) dx + F (x) φ (x) f(x) dx dx = F (x) {φ(x) f (x) + φ (x)f(x)} dx. Τα πιο χρήσιμα αποτελέσματα για μετασχηματισμούς Fourier, όμως, συλλέγονται σε θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ 7. Αν f(x) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση με Μ.F. g(y), τότε ο Μ.F. τής f(x + b) είναι 1 e 2πiby/ g(y/). Επίσης, ο Μ.F. τής f (x) είναι 2πiyg(y). Τέλος (θεώρημα αντιστροφής του Fourier για γενικευμένες συναρτήσεις), f(y) είναι ο Μ.F. της g( x). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Το ισχυρό αυτό θεώρημα προκύπτει αμέσως από τον ορισμό 6 και τα θεωρήματα 3 και 4. Για παράδειγμα, για να αποδείξουμε το θεώρημα αντιστροφής, έστω ότι η ακολουθία f n (x) ορίζει την f(x) τότε, από τον ο- ρισμό 6, η g n (y), ο Μ.F. τής f n (x), ορίζει την g(y), ενώ η g n ( x) ορίζει την g( x). Αλλά, από το θεώρημα 4, ο Μ.F. τής g n ( x) είναι f n (y). Συνεπώς ο Μ.F. τής g( x) είναι f(y). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9. Ο Μ.F. της δ(x c) είναι e 2πicy, από το παράδειγμα 7 και το θεώρημα 7. Συνεπώς, από το τελευταίο μέρος του θεωρήματος 7, ο Μ.F. τής e 2πicx είναι δ(y c). ΘΕΩΡΗΜΑ 8. Αν f(x) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση και f (x) = 0, τότε η f(x) είναι μια σταθερά (δηλαδή, η f(x) είναι ίση με μια σταθερά επί την γενικευμένη συνάρτηση 1). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αν η F (x) είναι καλή συνάρτηση, τότε προφανώς η F 1 (x) = x F (x) dx

7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER 21 είναι καλή συνάρτηση αν και μόνο αν F 2 (x) = x {F (x) e x2 π F (x) dx = 0. Προκύπτει ότι η F (t) dt } dx (18) είναι πάντα καλή συνάρτηση, αφού η συνάρτηση στις κυκλικές αγκύλες είναι καλή συνάρτηση της οποίας το ολοκλήρωμα από ως μηδενίζεται. Συνεπώς, ( f(x) F (x) dx = = C f(x) e x2 dx π F (x) dx ) F (t) dt + f(x) F 2(x) dx f (x) F 2 (x) dx, (19) όπου C είναι σταθερά. Το τελευταίο ολοκλήρωμα στην (19) μηδενίζεται, αφού f (x) = 0. Συνεπώς, f(x) = C. ΘΕΩΡΗΜΑ 9. Αν g(y) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση και yg(y) = 0, τότε η g(y) είναι μια σταθερά επί δ(y). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Το θεώρημα αυτό προκύπτει αμέσως από το θεώρημα 8 παίρνοντας τους μετασχηματισμούς Fourier (χρησιμοποιώντας το δεύτερο μέρος του θεωρήματος 7 και το παράδειγμα 7). Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ανεξάρτητα όπως παρακάτω. Αν η G(y) είναι καλή συνάρτηση, τότε η G 1 (y) = είναι καλή συνάρτηση. Συνεπώς g(y) G(y) dy = G(0) G(y) G(0) e y2 y g(y) e y2 dy + yg(y) G 1 (y) dy = CG(0), (21) όπου C είναι σταθερά, και το τελευταίο ολοκλήρωμα μηδενίζεται επειδή yg(y) = 0. Συνεπώς g(y) = Cδ(y) Συνήθης συναρτήσεις σαν γενικευμένες συναρτήσεις ΟΡΙΣΜΟΣ 7. Αν f(x) είναι μια συνάρτηση του x με τη συνήθη έννοια, τέτοια ώστε η (1 + x 2 ) N f(x) να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη από ως για κάποιο N, τότε η γενικευμένη συνάρτηση f(x) ορίζεται από την ακολουθία f n (x) έτσι έτσι ώστε για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x) f n (x) F (x) dx = (20) f(x) F (x) dx. (22)

8 22 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Το ολοκλήρωμα στα δεξιά είναι ολοκλήρωμα με τη συνήθη έννοια, το οποίο υπάρχει σαν το ολοκλήρωμα του γινομένου της (1+x 2 ) N f(x), η οποία είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη, και της (1 + x 2 ) N F (x), η οποία είναι καλή συνάρτηση. Εφόσον η γενικευμένη συνάρτηση f(x) έχει οριστεί, το ολοκλήρωμα αυτό έχει σημασία επίσης στη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων, και η εξίσωση (22) δηλώνει ότι οι δύο αυτές σημασίες είναι ίδιες. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΠΕΙΑΣ. Πρέπει να δειχθεί ότι μια τέτοια ακολουθία υπάρχει. Παίρνουμε την * f n (x) = f(t) S{n(t x)} n e t2 /n 2 dt, (23) όπου η «συνάρτηση επιλογής» S(y) είναι οποιαδήποτε καλή συνάρτηση που είναι μηδενική για y 1 και θετική για y < 1 και ικανοποιεί την = 1. Για παράδειγμα, η S(y) μπορεί να επιλεγεί σαν e 1/(1 y2 ) 1 1 S(y) dy { 1 1 e dz} 1/(1 z2) (24) 1 για y < 1 και μηδέν για y 1 σημειώστε ότι με τον ορισμό αυτό υπάρχουν όλες οι παράγωγοι της S(y) ακόμη και στο y = ±1 (είναι όλες μηδενικές εκεί). Πρέπει τώρα να δείξουμε ότι οι f n (x) είναι καλές συναρτήσεις, και ότι η εξίσωση (22) ικανοποιείται. Κατ αρχήν, f n (p) (x) = f(t)( n) p S (p) {n(t x)} n e t2 /n 2 dt n p+1 mx S (p) (y) e ( x 1)2 /n 2 {1 + ( x + 1) 2 } N (1 + t 2 ) N f(t) dt = O( x ) M καθώς x για κάθε M, (25) όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι εκεί που το ολοκληρωτέο είναι μή-μηδενικό x 1 < t < x + 1. * Ο παράγοντας S στο ολοκλήρωμα «επιλέγει» την f πάνω σε ένα μικρό διάστημα (x n 1, x + n 1 ). Ο παράγοντας e t2 /n 2 την κάνει «καλή» στο άπειρο.

9 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER 23 Κατά δεύτερο λόγο, f n (x) F (x) dx = 1 1 mx 1 n y <1 { S(y) dy f(t) f(t) f(x) F (x) dx f(t) e t2 /n 2 F { f(t) e t2 /n 2 F { 1 n ( t y ) dt f(t) F (t) dt} n ( t y ) } F (t) dt n f(t) F (t)(1 e t2 /n 2 ) dt } mx F (x) dt + f(t) F (t) 1 + t2 x t <1 n 2 dt A (1 + t 2 ) N dt + 1 B n 2 f(t) (1 + t 2 ) N dt 0 καθώς n, (26) όπου A και B είναι σταθερές και έχουν χρησιμοποιηθεί ξανά το ότι η F (x) είναι καλή συνάρτηση και η (1 + t 2 ) N f(t) είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη. Αυτό συμπληρώνει την απόδειξη της συνέπειας. Ο ορισμός 7 αυξάνει δραματικά το εύρος των γενικευμένων συναρτήσεων που μας είναι διαθέσιμες. Όχι μόνο όλες οι συνήθεις συναρτήσεις f(x) με (1 + x 2 ) N f(x) απόλυτα ολοκληρώσιμο από ως μπορούν να χρησιμοποιούνται σαν γενικευμένες συναρτήσεις, αλλά μπορεί κάποιος να παράγει από αυτές νέες γενικευμένες συναρτήσεις με παραγώγιση σε συμφωνία με τον ορισμό 6. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10. Η ασυνεχής συνάρτηση sgn x, η οποία είναι ίση με 1 για x > 0 και με 1 για x < 0, είναι γενικευμένη συνάρτηση, και d sgn x/dx = 2δ(x). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Η sgn x ικανοποιεί τη συνθήκη του ορισμού 7 (με N = 1) και, για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x), d sgn x dx F (x) dx = = 0 sgn x F (x) dx 0 F (x) dx + F (x) dx = 2F (0). (27)

10 24 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ 10. Αν f(x) είναι μια συνήθης παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώ- στε τόσο η f(x) όσο και η f (x) να ικανοποιούν τη συνθήκη του ορισμού 7, τότε η παράγωγος της γενικευμένης συνάρτησης που σχηματίζεται από την f(x) είναι η γενικευμένη συνάρτηση που σχηματίζεται από την f (x). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Το θεώρημα αυτό, το οποίο δείχνει ότι ο συμβολισμός f (x) μπορεί να χρησιμοποιείται χωρίς κίνδυνο σύγχυσης, προκύπτει από το γεγονός ότι και οι δύο ορισμοί της ικανοποιούν την f (x) F (x) dx = f(x) F (x) dx (28) για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x). Με το δεύτερο ορισμό, η εξίσωση (28) υποθέτει ότι f(x) F (x) 0 καθώς x + ή x. Όμως, το γινόμενο πρέπει να τείνει σε κάποιο πεπερασμένο όριο σε κάθε περίπτωση, αφού το f(x) F (x) dx + f (x) F (x) dx υπάρχει, επομένως καί τα δύο όρια πρέπει να είναι μηδενικά αφού το ολοκλήρωμα f(x) F (x) dx υπάρχει. ΘΕΩΡΗΜΑ 11. Αν f(x) είναι μια συνήθης συνάρτηση απόλυτα ολοκληρώσιμη από ως, έτσι ώστε ο Μ.F. της g(y) να υπάρχει με τη συνήθη έννοια, τότε ο Μ.F. της γενικευμένης συνάρτησης f(x) είναι η γενικευμένη συνάρτηση g(y). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Η γενικευμένη συνάρτηση g(y) υπάρχει επειδή η g(y) ικανοποιεί τη συνθήκη του ορισμού 7 με N = 1 το ολοκλήρωμα dy 1 + y 2 f(x) e 2πixy dx (29) παραμένει συγκλίνον όταν κάθε όρος αντικατασταθεί με το μέτρο του. Αλλά, από τη σημείωση που ακολουθεί το θεώρημα 5, η συνήθης συνάρτηση g(y) ικανοποιεί την g(y) G(y) dy = f(x) F ( x) dx (30) για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x) με Μ.F. G(y). Συνεπώς, από τον ορισμό 7, η γενικευμένη συνάρτηση g(y) επίσης ικανοποιεί την (30). Συνεπώς, α- πό το θεώρημα 6, είναι ο Μ.F. της γενικευμένης συνάρτησης f(x). Το θεώρημα αυτό πάλι εξαλείφει πιθανότητες σύγχυσης, αυτή τη φορά μεταξύ διαφορετικών χρήσεων της έκφρασης «μετασχηματισμός Fourier».

11 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Ισότητα γενικευμένης συνάρτησης και συνήθους συνάρτησης σε διάστημα ΟΡΙΣΜΟΣ 8. Αν h(x) είναι μια συνήθης συνάρτηση και f(x) μια γενικευμένη συνάρτηση, και f(x) F (x) dx = b h(x) F (x) dx (31) για κάθε καλή συνάρτηση F (x) που είναι μηδενική έξω από το < x < b (εδώ, τα και b μπορεί να είναι πεπερασμένα ή άπειρα, και υποθέτουμε την ύπαρξη του δεξιά μέλους της (31) σαν σύνηθες ολοκλήρωμα για όλες τις F (x), θέτοντας έτσι κάποιο περιορισμό στη συνάρτηση h(x) στο < x < b, παρόλο που μπορεί ούτε να μην ορίζεται αλλού), τότε γράφουμε f(x) = h(x) για < x < b. (32) ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΕΠΕΙΑΣ. Ο ορισμός είναι συνεπής με το απόφθεγμα ότι οτιδήποτε είναι ίσο με τον εαυτό του, αφού αν η h(x) ικανοποιεί τη συνθήκη του ορισμού 7, τότε η γενικευμένη συνάρτηση h(x) είναι ίση (με την έννοια του ορισμού 8) με τη συνήθη συνάρτηση h(x) σε οποιοδήποτε διάστημα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11. δ(x) = 0 για 0 < x < και για < x < 0. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αν η F (x) μηδενίζεται έξω από ένα από τα δύο διαστήματα, τότε F (0) = 0, και έτσι από την εξίσωση (10) δ(x) F (x) dx = 0. ΘΕΩΡΗΜΑ 12. Αν η h(x) και η παράγωγός της h (x) είναι συνήθης συναρτήσεις που και οι δύο ικανοποιούν τον περιορισμό που τέθηκε στην h(x) στον ορισμό 8, και f(x) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση ίση με την h(x) στο < x < b, τότε f (x) = h (x) στο < x < b. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αν η F (x) είναι καλή συνάρτηση η οποία είναι μηδενική έξω από το < x < b, τότε f (x) F (x) dx = f(x) F (x) dx = b h(x) F (x) dx = b h (x) F (x) dx, (33) το οποίο αποδεικνύει το θεώρημα. Η υπόθεση στην τελευταία ολοκλήρωση κατά μέρη ότι h(x) F (x) 0 καθώς x (και, όμοια, καθώς x b) α- ποδεικνύεται ακριβώς όπως η αντίστοιχη υπόθεση στην απόδειξη του θεωρήματος 10. Το γινόμενο πρέπει να τείνει σε κάποιο πεπερασμένο όριο για

12 26 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x) που μηδενίζεται έξω από το < x < b, και αν = το όριο είναι μηδενικό επειδή το b h(x) F (x) dx υπάρχει. Αν >, όμως, είναι μηδενικό επειδή διαφορετικά το h(x) F (x)/(x ) δεν θα έτεινε σε πεπερασμένο όριο, παρόλο που η ίδια η F (x)/(x ) είναι καλή συνάρτηση που μηδενίζεται έξω από το < x < b. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12. Οποιαδήποτε επαναληπτική παράγωγος δ (n) (x) της δέλτα συνάρτησης είναι ίση με 0 για 0 < x < και για < x < 0 (από το θεώρημα 12 και το παράδειγμα 11). Προκύπτει αμέσως ότι οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός των δ (n) (x) μηδενίζεται όμοια παντού εκτός του x = 0, το οποίο είναι ενδιαφέρον για το ότι δείχνει πόσο ευρεία ποικιλία από διαφορετικές γενικευμένες συναρτήσεις μπορεί να είναι όλες ίσες σε όλα τα σημεία εκτός από ένα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13. Αν οι f(x), g(x) είναι γενικευμένες συναρτήσεις τέτοιες ώστε xf(x) = g(x), και αν η g(x) είναι ίση με τη συνήθη συνάρτηση h(x) σε ένα διάστημα < x < b που δεν περιέχει το x = 0, τότε f(x) = x 1 h(x) στο < x < b. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αν η F (x) είναι καλή συνάρτηση η οποία είναι μηδενική έξω από το < x < b, τότε το ίδιο είναι και η x 1 F (x). Συνεπώς, f(x) F (x) dx = = xf(x) x 1 F (x) dx g(x) x 1 F (x) dx = b h(x) x 1 F (x) dx, (34) το οποίο αποδεικνύει το αποτέλεσμα. Σημειώστε ότι, από το θεώρημα 9, οι διάφορες συναρτήσεις f(x) με xf(x) = g(x) όλες διαφέρουν κατά σταθερά πολλαπλάσια της δ(x), το οποίο δεν ακυρώνει το αποτέλεσμα αφού δ(x) = 0 σε ένα τέτοιο διάστημα Άρτιες και περιττές γενικευμένες συναρτήσεις ΟΡΙΣΜΟΣ 9. Η γενικευμένη συνάρτηση f(x) λέγεται άρτια (ή περιττή, αντίστοιχα) αν F (x). f(x) F (x) dx = 0 για όλες τις περιττές (ή άρτιες) καλές συναρτήσεις ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14. Η δ(x) είναι άρτια. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. F (0) = 0 για όλες τις περιττές καλές συναρτήσεις F (x).

13 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER 27 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15. Αν η f(x) είναι άρτια (ή περιττή) συνήθης συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη του ορισμού 7, τότε η γενικευμένη συνάρτηση f(x) είναι άρτια (ή περιττή). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αυτό προκύπτει αμέσως από τον ορισμό 9. ΘΕΩΡΗΜΑ 13. Αν η γενικευμένη συνάρτηση f(x) είναι άρτια (ή περιττή, αντίστοιχα), τότε η παράγωγός της f (x) είναι περιττή (ή άρτια), ο Μ.F. της g(y) είναι άρτιος (ή περιττός), ενώ η φ(x) f(x) είναι άρτια (ή περιττή) όταν η αρκετά καλή συνάρτηση φ(x) είναι άρτια, και περιττή (ή άρτια) όταν η φ(x) είναι περιττή. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αυτό προκύπτει αμέσως από το θεώρημα 6 και τα αντίστοιχα αποτελέσματα για καλές συναρτήσεις. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 16. Η δ (n) (x) είναι άρτια αν το n είναι άρτιο και περιττή αν το n είναι περιττό. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αυτό προκύπτει από το παράδειγμα 14 και με επαναληπτική εφαρμογή του θεωρήματος 13. ΘΕΩΡΗΜΑ 14. Αν f(x) είναι μια άρτια (ή περιττή) γενικευμένη συνάρτηση, ίση με τη συνήθη συνάρτηση h(x) στο διάστημα < x < b, τότε f(x) = ±h( x) στο b < x <, (35) με το πάνω πρόσημο αν η f(x) είναι άρτια και το κάτω αν η f(x) είναι περιττή. ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αν η F (x) είναι μηδενική έξω από το b < x <, τότε η F ( x) είναι μηδενική έξω από το < x < b, και επίσης η F (x) F ( x) είναι περιττή (ή άρτια). Συνεπώς f(x) F (x) dx = ± = ± b το οποίο αποδεικνύει το θεώρημα. f(x) F ( x) dx h(x) F ( x) dx = ± 2.6. Όρια γενικευμένων συναρτήσεων b h( x) F (x) dx, ΟΡΙΣΜΟΣ 10. Αν f t (x) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση του x για κάθε τιμή της παραμέτρου t, και f(x) είναι μια άλλη γενικευμένη συνάρτηση, τέτοια ώστε, για οποιαδήποτε καλή συνάρτηση F (x), τότε λέμε ότι t c f t (x) F (x) dx = f(x) F (x) dx, (36) f t c t (x) = f(x). (37)

14 28 ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εδώ, το c μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο, και το t μπορεί να τείνει στο c μέσω όλων των πραγματικών τιμών ή (όταν c = ) μέσω ακέραιων τιμών μόνο. ΘΕΩΡΗΜΑ 15. Κάτω από τις συνθήκες του ορισμού 10, t c f t (x) = f (x), f t c t (x + b) = f(x + b), φ(x) f t c t (x) = φ(x) f(x), για οποιαδήποτε αρκετά καλή συνάρτηση φ(x), και (38) όπου g t (y) και g(y) είναι οι Μ.F. των f t (x) και f(x). g t(y) = g(y), (39) t c ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Η απόδειξη του αξιοσημείωτου αυτού θεωρήματος δεν έχει δυσκολίες, και ακολουθεί τις γραμμές της απόδειξης συνέπειας του ορισμού 6. Για παράδειγμα, αν F (x) είναι οποιαδήποτε καλή συνάρτηση, t c f t (x) F (x) dx = t c f t (x) F (x) dx = f(x) F (x) dx = f (x) F (x) dx, (40) από όπου προκύπτει από τον ορισμό 10 το πρώτο αποτέλεσμα και όμοια με τα άλλα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 17. ɛ 0 ɛ x ɛ 1 = 2δ(x). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Αυτό προκύπτει με παραγώγιση του αποτελέσματος ɛ 0 x ɛ sgn x = sgn x (41) και χρησιμοποιώντας το παράδειγμα 10 και το θεώρημα 15. Για να αποδείξουμε την (41), έστω F (x) οποιαδήποτε καλή συνάρτηση. Τότε ( x ɛ 1) sgn x F (x) dx 1 2 ɛ log x (1 + x ɛ ) F (x) dx = O(ɛ) (42) καθώς ɛ 0, όπου η ανισότητα tnh z z έχει εφαρμοστεί στο z = 1 2ɛ log x. Δύο ιδιαίτερα χρήσιμα είδη πράξεων με όρια παίρνουν τώρα τα συνηθισμένα ειδικά τους ονόματα και σύμβολα.

15 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER 29 ΟΡΙΣΜΟΣ 11. Αν f t (x) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση του x για κάθε τιμή της παραμέτρου t, ορίζουμε t f f t1 (x) f t (x) n t(x) =, f t1 t t 1 t t (x) = f t (x), (43) με την προϋπόθεση σε κάθε περίπτωση ότι η οριακή συνάρτηση υπάρχει. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 18. Αν η ( / t) f t (x) υπάρχει, τότε η { } t x f t(x) υπάρχει και είναι ίση με { } x t f t (x). ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Από το θεώρημα 15, t 1 t f t 1 (x) f t(x) t 1 t t=0 = d dx t 1 t t=0 f t1 (x) f t (x) t 1 t ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Όμοια, ο Μ.F. της ( / t) f t (x) είναι ( / t) g t (y). Το θεώρημα 15 δείχνει επίσης ότι μπορούμε να παραγωγίζουμε ή να παίρνουμε μετασχηματισμούς Fourier σειρών, όρο προς όρο. Το γεγονός αυτό θα χρησιμοποιείται συνεχώς στο κεφάλαιο 5. ΑΣΚΗΣΗ 1. Δείξτε ότι x n δ (m) (x) = ( 1) n m! (m n)! δ(m n) (x) (m n), 0 (m < n). (44) Δείξτε ότι η γενική λύση της f (n) (x) = 0 είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n 1. Παίρνοντας μετασχηματισμούς Fourier του αποτελέσματος αυτού, ή με άλλο τρόπο, δείξτε ότι η γενική λύση της x n f(x) = 0 είναι γραμμικός συνδυασμός της δ(x) και των (n 1) πρώτων παραγώγων της. ΑΣΚΗΣΗ 2. Αν φ(x) είναι οποιαδήποτε αρκετά καλή συνάρτηση, δείξτε ότι φ(x) δ(x) = φ(0) δ(x). (45) Πιο γενικά, από τα αποτελέσματα του παραδείγματος 8 και της άσκησης 1, ή με άλλο τρόπο, δείξτε ότι m φ(x) δ (m) (x) = ( 1) n m! n!(m n)! φ(n) (0) δ (m n) (x). (46) n=0 ΑΣΚΗΣΗ 3. Αν f(x) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση και g(y) είναι ο Μ.F. της, βρείτε το Μ.F. της x n f(x). ΑΣΚΗΣΗ 4. Δείξτε ότι sin nx = δ(x). (47) πx ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Αυτός είναι ο Μ.F. ενός πολύ απλούστερου αποτελέσματος.