Απεικόνιση δεδομένων (data visualization) Χρήση γραφικών για την αναπαράσταση δεδομένων από διάφορες πηγές Ιατρικές εφαρμογές (π.χ. αξονική τομογραφία) Μαθηματικά μοντέλα και συναρτήσεις Προσομοίωση διεργασιών Μετρήσεις διαφόρων μεγεθών
Απεικόνιση μαθηματικών συναρτήσεων Απεικόνιση συναρτήσεων της μορφής z=f(x,y) Παριστάνει επιφάνεια στις 3 διαστάσεις Απεικόνιση τοπογραφικών δεδομένων (height fields) Ή δισδιάστατα δεδομένα που μεταβάλλονται με το χρόνο
Απεικόνιση μαθηματικών συναρτήσεων Απεικόνιση πεπλεγμένων συναρτήσεων δύο μεταβλητών g(x,y)=c Παριστάνει καμπύλη (καμπύλες) στο επίπεδο Μπορεί να θεωρηθεί ως καμπύλη σταθερού z (z=c) για την επιφάνεια g(x,y)=z
Πολυγωνικά πλέγματα Απεικόνιση της επιφάνειας z=f(x,y) με βάση δείγματα της πάνω σε ένα τετραγωνικό πλέγμα ως προς τα x,y: z ij =f ij =f(x i,y j ) x i =x 0 +iδx, i=0, N y j =y 0 +jδy, j=0, M Απεικόνιση με χρήση τετραγωνικού ή τριγωνικού πλέγματος
Πολυγωνικά πλέγματα Χρήση γειτονικών σημείων z ij, z i+1,j, z i,j+1, z i+1,j+1 για το σχηματισμό τετραπλεύρου ή δύο τριγώνων
Πολυγωνικά πλέγματα Συνολικά ΝΜ τετράπλευρα ή 2ΝΜ τρίγωνα Πιθανή υποδειγματοληψία για καλύτερη απεικόνιση πολλών δεδομένων. Απεικόνιση με OpenGL ως πολύγωνα (GL_QUADS) και ως πολυγωνικές γραμμές. Το γεγονός ότι τα δεδομένα είναι διατεταγμένα (δομημένα) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόκρυψη κρυμμένων επιφανειών χωρίς z-buffer. 2 1/2 dimensional data
Πολυγωνικά πλέγματα Χρήση polygon offset mode για αποφυγή απόκρυψης των γραμμών από τα πολύγωνα Μετακινούν τις πολυγωνικές γραμμές σε σχέση με τα πολύγωνα Χρήση σκίασης, απεικόνισης υφής
Ισοϋψείς - ισοσταθμικές καμπύλες Απεικόνιση επιφάνειας με καμπύλες f(x,y)=c i που κάθε μία αντιστοιχεί σε σταθερό z αντίστοιχα με τους τοπογραφικούς χάρτες
Ισοϋψείς Αν ξέρουμε την έκφραση της f(x,y) και μπορούμε να λύσουμε μπορούμε να ζωγραφίσουμε τις ισουψείς f(x,y)=c σαν ευθύγραμμα τμήματα. Αν έχουμε δείγματα f ij =z ij της επιφάνειας μπορούμε να βρούμε μια προσέγγιση των ισουψών από τα δείγματα με τον αλγόριθμο marching squares
Marching squares z ij =f(x i,y j ) x i =x 0 +iδx, i=0, N y j =y 0 +jδy, j=0, M Θέλουμε να βρούμε μια προσέγγιση με πολυγωνική γραμμή της ισουψούς f(x,y)=c Εξετάζουμε κάθε κελί που δημιουργείται από 4 γειτονικά σημεία του πλέγματος
Marching squares Οι τιμές f ij της συνάρτησης στις 4 κορυφές κάθε κελιού χρησιμοποιούνται για να βρεθεί εάν η ισουψής περνάει από το κελί
Marching squares Προσεγγίζουμε την ισουψή εντός του κελιού με ευθύγραμμο τμήμα Μεταξύ των κέντρων των αντίστοιχων πλευρών Μεταξύ σημείων στις πλευρές που υπολογίζονται με γραμμική παρεμβολή σε σχέση με τις τιμές της συνάρτησης στις άκρες του ευθύγραμμου τμήματος
Marching squares x = x + i ( a c) Δx a b Ή εξέταση κάθε κελιού μπορεί να γίνει ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα: παραλληλοποίηση Υπάρχουν 2 4 διαφορετικές διατάξεις άσπρων/μαύρων κορυφών.
Marching squares
Marching squares Υπάρχουν συμμετρικές περιπτώσεις Περιστροφή Εναλλαγή μαύρων/άσπρων Τελικά καταλήγουμε σε 4 μοναδικές περιπτώσεις από τις οποίες προκύπτουν οι άλλες
Marching squares Η τελευταία περίπτωση έχει δύο λύσεις Τυχαία επιλογή, υιοθέτηση της ίδιας πάντα λύσης, υποδιαίρεση του κελιού σε 4 μικρότερα
Marching squares Διαφορετικές επιλογές λύσης οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα
Απεικόνιση βαθμωτών πεδίων Βαθμωτό πεδίο: συνάρτηση 3 μεταβλητών με βαθμωτή τιμή f(x,y,z)=w Αποδίδει μια τιμή σε κάθε σημείο του χώρου όπου ορίζεται. Απορρόφηση ακτινών Χ από το σώμα στην αξονική τομογραφία Πυκνότητα υλικού
Απεικόνιση βαθμωτών πεδίων Δυσκολότερη απεικόνιση Μεγαλύτερος όγκος δεδομένων Η ύπαρξη τριών ανεξάρτητων μεταβλητών δεν δίνει δυνατότητα για την απεικόνιση της τιμής της συνάρτησης
Ογκομετρικά δεδομένα (volumetric data sets) Δομημένα δεδομένα: δείγματα σε κανονικό πλέγμα Μη δομημένα δεδομένα: δείγματα σε τυχαίες θέσεις του χώρου
Ογκομετρικά δεδομένα (volumetric data sets) Δείγματα του βαθμωτού πεδίου σε κανονικό τρισδιάστατο πλέγμα f ijk =f(x i,y j,z k ) x i =x 0 +iδx, y j =y 0 +jδy, z j =z 0 +kδz Το f ijk μέσος όρος της τιμής της συνάρτησης σε παραλληλεπίπεδο: voxel
Ογκομετρικά δεδομένα Απεικόνιση με δύο βασικές μεθόδους Απεικόνιση όγκου (volume rendering): συμμετοχή όλων των voxels στην παραγωγή της εικόνας Με ισοσταθμικές επιφάνειες (isosurfaces) f(x,y,z)=c Προέρχονται είτε από γνώση της εξίσωσης του βαθμωτού πεδίου είτε από διακριτά δεδομένα (voxels)
Απεικόνιση ισοσταθμικών επιφανειών Ισοσταθμικές επιφάνειες που δίνονται ως πεπλεγμένες συναρτήσεις τριών μεταβλητών g(x,y,z)=f(x,y,z)-c=0 Απεικόνιση με ray casting Ευθεία από το κέντρο προβολής και κάθε pixel Υπολογισμός της τομής με την ισοσταθμική Εύκολο για επιφάνειες 2ου βαθμού (quadrics) Απόδοση τιμής στο pixel με βάση απλό μοντέλο φωτισμού
Απεικόνιση ισοσταθμικών επιφανειών Υπολογισμός τομής ακτίνας-ισοσταθμικής με παράσταση της ακτίνας με παραμετρική μορφή p(t)=p 0 +td Απεικόνιση μίας ή περισσοτέρων ισοσταθμικών
Marching cubes Προσέγγιση ισοσταθμικών επιφανειών σε ογκομετρικά δεδομένα (voxel-based) Προσέγγιση των ισοσταθμικών με τριγωνικό πλέγμα Κάθε τρίγωνο προσεγγίζει μέρος της ισοσταθμικής Εξετάζουμε τα δεδομένα σε κύβους 8 γειτονικών voxels
Marching cubes Οι τιμές των voxels καθορίζουν εάν η ισοσταθμική περνάει η όχι από τον υπό εξέταση κύβο.
Marching cubes Χαρακτηρισμός/χρωματισμός των κορυφών ανάλογα με το αν οι τιμές των voxels είναι μεγαλύτερες / μικρότερες από την τιμή c που μας ενδιαφέρει (ισοσταθμική f(x,y,z)=c) Ισοδύναμο με κατωφλίωση 256 περιπτώσεις που με τις συμμετρίες περιορίζονται σε 14 (15) μοναδικές Καθορισμός των τριγώνων σε κάθε περίπτωση Υπολογισμός με γραμμική παρεμβολή των σημείων τομής
Marching cubes
Marching cubes
Marching cubes Κάθε 8άδα voxels επεξεργάζεται χωριστά Ύπαρξη αμφίσημων περιπτώσεων που μπορούν να δημιουργήσουν «τρύπες» στο τριγωνικό πλέγμα που προσεγγίζει την ισοσταθμική
Απλοποίηση πλέγματος Ο αλγόριθμος marching cubes δημιουργεί μεγάλο αριθμό τριγώνων που εξαρτάται από τον αριθμό των δειγμάτων του συνόλου δεδομένων κι όχι από την ομαλότητα της ισοσταθμικής Δυνατότητα δημιουργίας πλέγματος με λιγότερα τρίγωνα και το ίδιο ή παραπλήσιο οπτικό αποτέλεσμα
Απλοποίηση πλέγματος Αποδεκατισμός τριγώνων Επαναδειγματοληψία
Απ ευθείας απεικόνιση όγκου Στην απεικόνιση με ισοσταθμικές συμμετέχουν μόνο ένας αριθμός από voxels. Μετατροπή από όγκο σε τριγωνικό πλέγμα Με την απ ευθείας απεικόνιση όγκων έχω συμμετοχή όλων των voxels. Χρησιμοποιούν αρχές ray tracing και compositing Στις αρχικές προσπάθειες κάθε voxel θεωρούνταν αδιαφανής ή διαφανής κύβος
Απ ευθείας απεικόνιση όγκου Front to back: αποστολή ακτίνων Αν χτυπούσε αδιαφανές voxel απεικονιζόταν ένας κύβος, αλλιώς τίποτα. Back to front: απεικόνιση μόνο των αδιαφανών voxels. Δεν συμμετείχαν όλα τα voxels στην εικόνα Χρήση χρώματος και διαφάνειας.
Απόδοση τιμής χρώματος και αδιαφάνειας Πρέπει να γίνει σε κάθε voxel. Ισοδύναμο με ψευδοχρωματισμό Παράδειγμα: δεδομένα από αξονική τομογραφία (κεφάλι) Απόδοση χρώματος ανάλογα με την πυκνότητα ακτινών X που φτάνουν στο φίλμ Μαύρο χρώμα=μεγάλη πυκνότητα ακτινών=μικρή απορρόφησηαπότοσώμα=σώμα μικρής πυκνότητας Απόδοσηχρώματοςμεβάσητοιστόγραμματων τιμών των voxels και συναρτήσεις αντιστοίχισης πυκνότητας σε χρώμα
Απόδοση τιμής χρώματος και αδιαφάνειας
Απόδοση τιμής χρώματος και αδιαφάνειας Η τιμή αδιαφάνειας ορίζεται με βάση το σε ποια voxels-υλικά θέλουμε να δώσουμε έμφαση Απεικόνιση του εγκεφάλου: απόδοση πλήρους διαφάνειας στα voxels που αντιστοιχούν στο κρανίο Το πρόβλημα της απόδοσης χρώματος & αδιαφάνειας είναι πρόβλημα κατάταξης σε κλάσεις με βάση την τιμή του βαθμωτού πεδίου Μπορεί να γίνει και αλληλεπιδραστικά
Splatting Πρέπει να αποδώσουμε ένα σχήμα σε κάθε voxel και να εφαρμόσουμε μεθόδους σύνθεσης (compositing) Διάσχιση back to front.
Splatting Splatting: απόδοση ενός σχήματος σε κάθε voxel (με συγκεκριμένη αδιαφάνεια και χρώμα) και προβολή στο επίπεδο (splat / footprint )
Splatting Aν έχω παράλληλη προβολή όλα τα ίχνη ίδια ώς προς το σχήμα Αποθηκεύω τις προβολές σε bitmaps Επιλογή σχήματος και ίχνους Κύκλος, εξάγωνο, έλλειψη, 2-D gaussian Πώς συνθέτουμε ένα splat στην εικόνα Τα voxels διατεταγμένα ως προς τον παρατηρητή Τα διατρέχω από πίσω προς τα μπρος και συνθέτω στην εικόνα τη συνεισφορά κάθε voxel.
Splatting Ξεκινώ με μια εικόνα στο χρώμα του φόντου. Xρήση τύπων blending για τον καθορισμό του χρώματος και της διαφάνειας των pixels της εικόνας Το χρώμα/αδιαφάνεια του splat που είναι να απεικονιστεί (source) συνδυάζεται με το χρώμα/αδιαφάνεια του pixel όπου θα απεικονιστεί (destination) και αυτό αποδίδεται σαν χρώμα/αδιαφάνεια στο pixel (destination) d =f(s,d)
Splatting C d =(1-a s )C d + a s C s a d =(1-a s )a d + a s Σύνθεση back to front Aν τοsource (splat) αδιαφανές (a s =1) τότε a d =1 και C d =C s (αποκρύπτει ότι έχει προβλήθεί νωρίτερα) Aν τοsource (splat) διαφανές (a s =0) τότε a d = a d και C d =C d (το pixel διατηρεί το χρώμα και την αδιαφάνεια)
Splatting Χρήση των blending functions της OpenGL Blending κάθε φορά των splats της «φέτας» voxels που σαρώνω με την εικόνα προβολής Αντικατάσταση του χρώματος του splat (source) με ac (a: αδιαφάνεια του splat) Χρήση 1 και 1-a s ως source και destination blending factors C s = a s C s, alpha=a s C d, alpha=a d glblendfunc(gl_one, GL_ONE_MINUS_SRC_ALPHA)
Splatting Θεωρώ ότι τα δεδομένα είναι σωρός από 2-D εικόνες Δεν χρειάζεται να τα έχω όλα στη μνήμη Με την μέθοδο splatting back to front δεν εκμεταλλεύομαι πιθανές ιδιαιτερότητες των δεδομένων που μπορούν να επιταχύνουν την διαδικασία Αν τα μπροστά voxels του όγκου είναι αδιαφανή το back to front θα διασχίσει όλα τα δεδομένα παρόλο που δεν χρειάζεται.
Ray tracing όγκου Τεχνική διάσχισης front to back Στέλνω ακτίνα και συνθέτω στο αντίστοιχο pixel τις επιδράσεις όλων των voxels πάνω στην ακτίνα (με τους ίδιους τύπους)
Ray tracing όγκου Αν βρω αδιαφανές voxel σταματάω να σαρώνω τα πίσω από αυτό Για την εκτέλεση του αλγόριθμου πρέπει να έχω όλα τα δεδομένα στη μνήμη. Back to front με splatting και front to back με ray tracing είναι object oriented και image oriented rendering Η προβολή πρέπει να ξαναυπολογιστεί αν αλλάξει η θέση παρατήρησης