ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΨΗΦΙΔΩΤΑ. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: AΛΕΞΑΝΔΡΑ ΚΟΥΚΙΟΥ

ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΨΗΦΙΔΩΤΑ Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: AΛΕΞΑΝΔΡΑ ΚΟΥΚΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Σημείωση Το παρόν έγγραφο αποτελεί προϊόν αυτόματης δημιουργίας και εκτύπωσης του Ψηφιακού Διδακτικού Σεναρίου με Τίτλο: «ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΨΗΦΙΔΩΤΑ». Δημιουργήθηκε στις 19/06/2017 20:47:22 και έχει υποστηρικτικό ρόλο στο έργο του εκπαιδευτικού. Δεν αντικαθιστά το Ψηφιακό Διδακτικό Σενάριο, το οποίο περιέχει όλο το Διαδραστικό Περιεχόμενο και αξιοποιεί τις ψηφιακές δυνατότητες της Πλατφόρμας «Αίσωπος». Το σενάριο αυτό έχει χαρακτηρισθεί ως «Επαρκές» ύστερα από αξιολόγηση από δύο αξιολογητές και είναι αναρτημένο με το πλήρες ψηφιακό περιεχόμενό του στην Πλατφόρμα «Αίσωπος». Το Διαδραστικό Ψηφιακό Διδακτικό Σενάριο με το πλήρες ψηφιακό περιεχόμενό του βρίσκεται στον σύνδεσμο: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629 Επισημαίνεται ότι τα σενάρια της Πλατφόρμας «Αίσωπος» διακρίνονται σε: Υποδειγματικά Σενάρια: Ψηφιακά Διδακτικά Σενάρια που έχουν προκύψει από επιστημονικές επιτροπές εμπειρογνωμόνων (Εκπαιδευτικοί Αυξημένων Προσόντων, Σχολικοί Σύμβουλοι, Μέλη ΔΕΠ / Επιστημονικό Προσωπικό του ΙΕΠ). Βέλτιστα Σενάρια: Αξιολογημένα Ψηφιακά Διδακτικά Σενάρια εκπαιδευτικών με βαθμολογία άνω των 70 μονάδων. Επαρκή Σενάρια: Αξιολογημένα Ψηφιακά Διδακτικά Σενάρια εκπαιδευτικών με βαθμολογία από 50 έως 70 μονάδες. ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΕΡΓΟΥ ΠΡΑΞΗ: «Ανάπτυξη Mεθοδολογίας και Ψηφιακών Διδακτικών Σεναρίων για τα Γνωστικά Αντικείμενα της Πρωτοβάθμιας και Δευτεροβάθμιας Γενικής και Επαγγελματικής Εκπαίδευσης» - MIS: 479325, ΣΑΕ: 2014ΣΕ24580051. Η πράξη συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (ΕΚΤ) και το Ελληνικό Δημόσιο στο πλαίσιο του ΕΠ «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του ΕΣΠΑ 2007-2013 και υλοποιείται σε σύμπραξη από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής και την Ειδική Υπηρεσία Εφαρμογής Εκπαιδευτικών Δράσεων του Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Η Πλατφόρμα Ανάπτυξης, Σχεδίασης, Υποβολής, Αξιολόγησης και Παρουσίασης Ψηφιακών Διδακτικών Σεναρίων «Αίσωπος», αναπτύχθηκε με ίδια μέσα από το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής στο πλαίσιο του Υποέργου 2: «Ψηφιακό Σύστημα Ηλεκτρονική Πλατφόρμα Υποβολής, Αξιολόγησης, Διαχείρισης και Αξιοποίησης Ψηφιακών Σεναρίων καθώς και καθοδήγησης και Υποστήριξης των Εκπαιδευτικών» της Πράξης. Ομάδα Επιστημονικής και Διοικητικής Εποπτείας της Πράξης: Επιστημονικός Υπεύθυνος Πράξης για τις Δράσεις που αφορούν το Ι.Ε.Π: Ιωάννης Σταμουλάκης, Φιλόλογος, Σύμβουλος Α' Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Υπεύθυνος Υποέργου 1: Ιωάννης Σταμουλάκης, Φιλόλογος, Σύμβουλος Α' Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Υπεύθυνος Υποέργου 2: Νικόλαος Γραμμένος, Πληροφορικός, Σύμβουλος Γ' Ι.Ε.Π. Υπεύθυνος Υποέργου 3: Νικόλαος Γραμμένος, Πληροφορικός, Σύμβουλος Γ' Ι.Ε.Π. Επιστημονική Συντονίστρια των ειδικών επιστημόνων του Υποέργου 1: Βασιλική Καραμπέτσου, Φιλόλογος, Εισηγήτρια Ι.Ε.Π. Σελίδα 2/35

Φύλλα Εργασίας Σεναρίου Το παρόν ψηφιακό σενάριο περιέχει φύλλα εργασίας, τα οποία είναι συννημένα στο αρχείο «PDF» και μπορείτε να τα ανοίξετε κάνοντας διπλό κλικ πάνω στο εικονίδιο. 1η Φάση: 2η Φάση: 3η Φάση: 4η Φάση: Δεν υπάρχει 5η Φάση: Σελίδα 3/35

Γενική Περιγραφή Σεναρίου Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Θεματική ταξινομία: Μαθηματικά (ΔΕ) -> Γεωμετρία -> Κανονικά πολύγωνα Εκπαιδευτικό πρόβλημα: Σήμερα όλο και περισσότερο, γίνεται κατανοητή η ιδιαίτερη εκπαιδευτική αξία της μάθησης ως προσωπικής «περιπέτειας» του μαθητή και η «κατασκευή» της γνώσης από τον ίδιο, αξιοποιώντας το «λάθος» του και αποδίδοντας έμφαση στη συμμετοχή του στη διαδικασία της μάθησης (Papert, 1980). Στο περιβάλλον του χελωνόκοσμου, οι μαθητές μπορούν να χτίσουν πάνω στις διαισθήσεις τους εκμεταλλευόμενοι τη γνώση που έχουν για το πώς κινούνται στο φυσικό χώρο για να μάθουν γεωμετρία. Η κατασκευή σχημάτων μέσα από την κίνηση της χελώνας, καθώς και οι ιδιότητες που προκύπτουν, είναι μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση των πολυγώνων και της γεωμετρίας γενικότερα. Οι μαθητές έχουν μπροστά τους ένα κλασικό παράδειγμα που το περιβάλλον χαρτί-μολύβι δεν μπορεί να αποδώσει. Έχουν στη διάθεσή τους κατάλληλα σχεδιασμένα εργαλεία μεταβολής με τα οποία μπορούν να χειριστούν δυναμικά τα σχήματα που κατασκευάζονται από τη χελώνα μεταβάλλοντας συνεχώς τις τιμές των μεταβλητών των προγραμμάτων σε γλώσσα Logo. Η κίνηση που προσφέρει στα σχήματα ο μεταβολέας του χελωνόκοσμου βοηθά στην ανακάλυψη ιδιοτήτων των πολυγώνων και δεν μπορεί να αποδοθεί με τον κλασικό τρόπο διδασκαλίας. Γενική περιγραφή περιεχομένου: Οι μαθητές δουλεύουν στο περιβάλλον του χελωνόκοσμου και πειραματίζονται με την χελώνα προσπαθώντας να δημιουργήσουν σχήματα. Η συγκεκριμένη δραστηριότητα στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στο εργαλείο μεταβλητότητας (ψηφίδα μεταβολέας του χελωνόκοσμου) που τους επιτρέπει την συνεχή αλλαγή ενός σχήματος, το οποίο έχει δημιουργηθεί με παραμετρικές διαδικασίες. Έτσι οι μαθητές εμπλέκονται ενεργά, αποκωδικοποιούν διαδικασίες και διαμορφώνουν άποψη για την έννοια και το σχήμα του κανονικού πολυγώνου, καθώς και για τα επιμέρους στοιχεία του, όπως η γωνία του κανονικού πολυγώνου, η εξωτερική γωνία, η περίμετρος του πολυγώνου κ.α. Μέσα από χειραπτικά, αλλά και ηλεκτρονικά εργαλεία δημιουργούν ψηφιδωτά με τα κανονικά πολύγωνα με μια παιχνιδιάρικη διάθεση και ανακαλύπτουν σιγά σιγά τους κανόνες που υπάρχουν για να γίνει αυτό. Διδακτικοί Στόχοι: Να γνωρίσουν το λογισμικό χελωνόκοσμος και να εξοικειωθούν με αυτό Να ανακαλύψουν ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου είναι 360 Να ανακαλύψουν τους κανόνες που ισχύουν για να δημιουργήσουν ψηφιδωτά με κανονικά πολύγωνα Να γνωρίσουν οτι τα κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: Κανονικά πολύγωνα γωνίες πολυγώνου ψηφιδωτά Υλικοτεχνική υποδομή: To εργαστήριο των υπολογιστών του σχολείου οπου οι μαθητές θα δουλεύουν ανα 2, το λογισμικό χελωνόκοσμος, φύλλα εργασίας, ψαλίδια και κόλλες για την χαρτοκοπτική Σελίδα 4/35

Τυπικός χρόνος αλληλεπίδρασης με το εκπαιδευτικό σενάριο σε διδακτικές ώρες για δουλειά εντός του σχολείου: 3 ώρες Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί: Το παρόν Ψηφιακό Σενάριο χορηγείται με άδεια "Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.0" (CC BY-NC-SA 3.0 GR) Εκτιμώμενο Επίπεδο Δυσκολίας: Μέτριας δυσκολίας Τύπος διαδραστικότητας : Ενεργός μάθηση Επίπεδο διαδραστικότητας : Πολύ υψηλό Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα του τελικού χρήστη: 15-18 Εκπαιδευτική βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο: Γενικό Λύκειο Σελίδα 5/35

Σύνοψη φάσεων σεναρίου: 1η Φάση: ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Χρονική Διάρκεια: 25 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Αριθμός φύλλων εργασίας: 1 Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. Εντολές logo 2η Φάση: ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO Χρονική Διάρκεια: 40 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Αριθμός φύλλων εργασίας: 1 Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. 2. 3. 4. 5. Αθροισμα εξωτερικών γωνιών πολυγώνου Αθροισμα εξωτερικών γωνιών πολυγώνου Γωνίες πολυγώνου-ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Γωνίες πολυγώνου-ερωτήσεις μοναδικής επιλογής Χελωνόκοσμος πολύγωνα - ψηφιδωτά Σελίδα 6/35

3η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ Χρονική Διάρκεια: 20 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Αριθμός φύλλων εργασίας: 1 Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. 2. 3. 4. 5. ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ Χαρτοκοπτική ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΨΗΦΙΔΩΤΑ Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες : πατείστε πάνω στον κόκκινο κύκλο 4η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO(1) Χρονική Διάρκεια: 25 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. Ψηφιδωτό - διαδικασία logo 2. Συζήτηση 3. vertex configuration 5η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO (2) Χρονική Διάρκεια: 25 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Αριθμός φύλλων εργασίας: 1 Δομικά - Διαδραστικά στοιχεία: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ημικανονικά ψηφιδωτά Ημικανονικά ψηφιδωτά (semi-regular tesselation) vertex configutation Παιχνίδι μνήμης - Ημικανονικά ψηφιδωτά ερωτήσεις ανακεφαλαίωσης Άσκηση σχολικού βιβλίου Σελίδα 7/35

1η Φάση: ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Σελίδα 8/35

1η Φάση: ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ Χρονική Διάρκεια: 25 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Φύλλα εργασίας: Τα φύλλα εργασίας είναι συνημμένα στην 3η σελίδα του εγγράφου. Εναλλακτικά μπορείτε να τα μεταφορτώσετε εκ νέου από τις παρακάτω διαδικτυακές θέσεις. Φύλλο Εργασίας 1 http://www.aesop.iep.edu.gr/sites/default/files/filla-ergasias/fyllo_ergasias_1_2_.docx Εξοικείωση με το λογισμικό-τυχαία πολύγωνα (στόχος 1) Οι μαθητές πειραματίζονται με απλές εντολές προς την χελώνα (μπροστά, δεξιά, αριστερά) και προσπαθούν να σχηματίσουν μια κλειστή πολυγωνική γραμμή. Δημιουργούν ακολουθίες εντολών τις οποίες και εκτελούν σειριακά. Εδώ μπορούν να διατυπωθούν διάφορες λύσεις που έχουν διαφορετικό μήκος και διαφορετικές γωνίες στρέψης. Σε κάθε περίπτωση οι μαθητές καλούνται να συζητήσουν και να εκτιμήσουν προς ποια διεύθυνση πρέπει να στρίψει η χελώνα με ποια γωνία και πόσες κινήσεις πρέπει να κάνει ώστε το σχήμα να κλείσει και να επανέλθει η χελώνα στο αρχικό σημείο. Τις εκτιμήσεις αυτές μπορούν να καταγράψουν στο χαρτί ή να τις συζητήσουν στην τάξη. Προτείνουμε στους μαθητές να κατασκευάσουν τετράγωνο, πεντάγωνο, τρίγωνο. Στην συνέχεια γράφουν και εκτελούν με την σειρά τις εντολές και όταν είναι πλέον βέβαιοι για την λύση που έδωσαν εντάσσουν την ακολουθία σε μια διαδικασία.πχ Για τετράγωνο1 μ 60 δ 90 μ 60 δ 90 μ 60 δ 90 μ 60 δ 90 μ 60 τέλος Επανάληψη κανονικά πολύγωνα ( στόχος 1 και 2) Οι μαθητές αναγνωρίζουν την πολλαπλή χρήση ίδιων εντολών και εισάγεται η «επανάληψη» με σκοπό την βελτίωση της ακολουθίας εντολών που δημιούργησαν στην πρώτη φάση. για τετράγωνο2 επανάλαβε 4[μ 60 δ 90] τέλος Αναλυτικότερα ζητείται από τους μαθητές να αναγνωρίσουν τις εντολές που επαναλαμβάνονται στην διαδικασία που κατασκεύασαν. Η χρήση της «επανάληψης» δίνεται ως λύση διευκόλυνσης. Η λύση για το πρδ του τετραγώνου βρίσκεται εύκολα. Όταν όμως προσπαθούν να βρουν τις εντολές για άλλα πολύγωνα οι μαθητές δυσκολεύονται. Η δυσκολία έγκειται κυρίως στον προσδιορισμό της στροφής της χελώνας. Στο τρίγωνο για πρδ σχεδόν όλες οι πρώτες προσπάθειες στρίβουν τη χελώνα κατά 60, όση είναι η κάθε γωνία του τριγώνου. Στη συνέχεια όμως η σωστή γωνία προσδιορίζεται με διαδοχικές προσπάθειες. Έτσι σιγά σιγά οι μαθητές κατανοούν ότι η χελώνα στρίβει όσο είναι η εξωτερική γωνία του πολυγώνου και καταγράφουν τις διαδικασίες στο φύλλο εργασίας που τους δίνεται. Παραμετροποίηση - όμοια πολύγωνα (στοχος 1 και 5) Ακολουθεί συζήτηση για τις δυνατότητες που έχει η χελώνα με την εκτέλεση της προηγούμενης διαδικασίας. Είναι εύκολα κατανοητό ότι η χελώνα δεν μπορεί να σχηματίσει τίποτα περισσότερο από ένα συγκεκριμένο σχήμα πχ κανονικό εξάγωνο. Ζητάμε από τους μαθητές να κατασκευάσουν τετράγωνα, εξάγωνα κ.α. με διαφορετικό μήκος πλευράς. Οι μαθητές αναγνωρίζουν ότι σε κάθε περίπτωση πρέπει να αλλάζω το «μπροστά 100». Μέσα από συζήτηση εισάγεται η έννοια της παραμετροποίησης με σκοπό να κατασκευαστούν πολύγωνα διαφορετικού μεγέθους. Σελίδα 9/35

Δίνεται στους μαθητές η ακόλουθη διαδικασία για κεξαγ :α επανάλαβε 6[μ :α δ 60] τέλος κεξαγ 90 Παρατηρούν ότι το εξάγωνο έχει τώρα διαφορετικό μήκος. Χρησιμοποιούν τις κινητικές τους δεξιότητες και ανακαλύπτουν σύντομα τον ρόλο του μεταβολέα καθώς πειραματίζονται με τις τιμές του. Το εξάγωνο μικραίνει ή μεγαλώνει αντίστοιχα καθώς αλλάζουν οι τιμές στην μεταβλητή α. Στο σημείο αυτό (και ειδικά στην β λυκείου) μπορούμε να ζητήσουμε από τους μαθητές να συγκρίνουν τα διάφορα πολύγωνα που προκύπτουν καθώς αλλάζει η μεταβλητή της πλευράς. Το ζητούμενο είναι η ομοιότητα και η κατάληξη στο συμπέρασμα πως τα κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια 1. Εντολές logo: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Σειρά ερωτήσεων μοναδικής επιλογής Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4627/#question19059 Διευκρίνιση: Να επιλέξετε την σωστή διαδικασία logo ωστε η χελώνα να κατασκευάσει τα επιθυμητά σχήματα 1η Ερώτηση: Ποια απο τις παρακάτω εντολές πρέπει να δώσεις στην χελώνα ωστε να φτιαξει ένα τετράγωνο Διαθέσιμες απαντήσεις: επαναλαβε 4 μ 80 δ 90 τέλος επαναλαβε 4 [μ 90 δ 80] επανάλαβε 4[μ 80 δ 90] Σελίδα 10/35

2η Ερώτηση: Ποια απο τις παρακάτω εντολές πρέπει να δώσεις στην χελώνα ώστε να φτιάξει ένα κανονικό εξάγωνο Διαθέσιμες απαντήσεις: επαναλαβε 6 [μ 50 δ 120] επαναλαβε 6 μ 50 δ 60] τελος επαναλαβε 6 [μ 50 δ 60] 3η Ερώτηση: Ποια απο τις παρακάτω εντολές πρέπει να δώσεις στην χελώνα ωστε να φτιάξει ένα ισόπλευρο τρίγωνο Διαθέσιμες απαντήσεις: επαναλαβε 3[μ 60 δ 60] επαναλαβε 3[μ 100 δ 30] επαναλαβε 3[μ 60 δ 120] Σελίδα 11/35

2η Φάση: ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO Σελίδα 12/35

2η Φάση: ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO Χρονική Διάρκεια: 40 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Φύλλα εργασίας: Τα φύλλα εργασίας είναι συνημμένα στην 3η σελίδα του εγγράφου. Εναλλακτικά μπορείτε να τα μεταφορτώσετε εκ νέου από τις παρακάτω διαδικτυακές θέσεις. Φύλλο Εργασίας 1 http://www.aesop.iep.edu.gr/sites/default/files/filla-ergasias/fyllo_ergasias_2_2_1.docx Οι γωνίες του πολυγώνου (στόχος 2) Έχοντας εξοικειωθεί οι μαθητές με την παράμετρο τους λέμε ότι θα παίξουμε το παιχνίδι της «άγνωστης μεταβλητής». Δίνουμε δηλαδή μια έτοιμη διαδικασία στον χελωνόκοσμο και οι μαθητές εξερευνούν τι κάνει το γράμμα ν, α και φ σε αυτή για κπολ :ν :α :φ επανάλαβε :ν[μ :α δ :φ] τέλος Η κίνηση του μεταβολέα θα οδηγήσει τους μαθητές σε ανακάλυψη διαφόρων σχημάτων. Αναμένεται οι μαθητές να κατανοήσουν εύκολα ότι η παράμετρος ν είναι το πλήθος των πλευρών του κανονικού πολυγώνου, η μεταβλητή α είναι το μήκος της πλευράς. Αυτό που θα τους δυσκολέψει λίγο είναι η γωνία φ δηλαδή το στρίψιμο της χελώνας και άρα η εξωτερική γωνία του πολυγώνου. Αφού οι μαθητές ανακαλύψουν τον ρόλο της κάθε παραμέτρου τους δίνουμε το παρακάτω φύλλο εργασίας και ζητάμε να κινήσουν τον μεταβολέα και να βρουν τις τιμές των ν και φ για τις οποίες δημιουργούνται τα σχήματα. Ακολουθεί συζήτηση με τους μαθητές συμπεράσματα: για τα παραπάνω ερωτήματα και αναμένουμε να καταλήξουν στα παρακάτω Σχέση εξωτερικής γωνίας φ με το πλήθος των πλευρών ν : φ ν=360 Σχέση εξωτερικής γωνίας φ και εσωτερικής γωνίας θ πολυγώνου: φ+θ=180 Άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών του πολυγώνου: Σφ=360 Άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών του πολυγώνου: Σθ=(ν-2)180 Τέλος ζητάμε, αν μπορούν, να διορθώσουν την διαδικασία κπολ λιγοστεύοντας τις μεταβλητές, ώστε να δημιουργείται πάντα κανονικό πολύγωνο. Στόχος είναι να εντάξουν τα προηγούμενα συμπεράσματα μέσα στην logo και να βρουν : για κπολυγωνο :ν :α επαναλαβε :ν[μ :α δ 360/:ν] τελος κπολυγωνο 6 50 Σελίδα 13/35

Αθροισμα εξωτερικών γωνιών του πολυγώνου(στόχος 3) Στην συνέχεια το παιχνίδι συνεχίζεται με μια νέα πιο πολύπλοκη διαδικασία για άγνωστο :ν :α :ω :χ επανάλαβε :ν[μ :α π :α-:χ δ :ω] τέλος άγνωστο 6 60 50 0 Οι μαθητές παρατηρούν ότι η συγκεκριμένη διαδικασία έχει μικρές διαφορές από την προηγούμενη. Κουνώντας τους μεταβολείς θα βρουν εύκολα ότι οι τρεις πρώτες είναι ίδιες με τις προηγούμενες: ν το πλήθος των πλευρών, α το μήκος της πλευράς και ω η εξωτερική γωνία του πολυγώνου. Τι γίνεται όμως με την μεταβλητή χ; Μετακινούν τον μεταβολέα και παρατηρούν ότι η συγκεκριμένη μεταβλητή, όταν δεν είναι 0, μικραίνει την πλευρά του πολυγώνου και εμφανίζει τις εξωτερικές γωνίες του πολυγώνου. Καθώς το χ μεγαλώνει σχηματίζονται όμοια πολύγωνα με μικρότερη πλευρά. Όταν το χ γίνει ίσο με την πλευρά α τότε το πολύγωνο εκφυλίζεται σε σημείο. Στο σημείο αυτό, μέσα από συζήτηση που γίνεται σε όλη την τάξη, οι μαθητές παρατηρούν ότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου παραμένει αναλλοίωτο και είναι πάντα 360 Η συζήτηση μπορεί να συνεχιστεί ακόμη περισσότερο αν ρωτήσουμε τους μαθητές να μας περιγράψουν τι γίνεται όταν η μεταβλητή χ γίνει μεγαλύτερη από την μεταβλητή α 1. Αθροισμα εξωτερικών γωνιών πολυγώνου: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εικόνα Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4628/#question19072 Διευκρίνιση: Καθώς οι μαθητές κινούν τον μεταβολέα χ γίνεται ολοφάνερο οτι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ένός πολυγώνου είναι 360 Σελίδα 14/35

2. Αθροισμα εξωτερικών γωνιών πολυγώνου: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Διαδραστικό Βίντεο Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4628/#question20370 Αυτό το διαδραστικό εργαλείο περιέχει βίντεο και είναι διαθέσιμο στον παραπάνω υπερσύνδεσμο. 3. Γωνίες πολυγώνου-ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Ερώτηση πολλαπλής επιλογής Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4628/#question19148 Ερώτηση: Σε κάθε κανονικό πολύγωνο η σχέση που συνδέει την γωνία φ που στρίβει η χελώνα (εξωτερική γωνία ) και το πλήθος των πλευρών του ν είναι : Διαθέσιμες απαντήσεις: : : φ ν=180 φ+ν=180 φ ν=360 Σελίδα 15/35

4. Γωνίες πολυγώνου-ερωτήσεις μοναδικής επιλογής: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Σειρά ερωτήσεων μοναδικής επιλογής Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4628/#question19154 1η Ερώτηση: Η σχέση της γωνίας ω ενός πολυγώνου και της εξωτερικής γωνίας του φ είναι : Διαθέσιμες απαντήσεις: φ ω=180 2φ+ω=180 φ+ω=360 φ+ω=180 2η Ερώτηση: Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κανονικού ν-γωνου είναι Διαθέσιμες απαντήσεις: 180 ν 180 (ν-2) 180 360 Σελίδα 16/35

3η Ερώτηση: Το άθροισμα όλων των γωνιών ενός κανονικού ν-γωνου είναι: Διαθέσιμες απαντήσεις: 360 180 (ν-2) 180 ν 180 5. Χελωνόκοσμος πολύγωνα - ψηφιδωτά: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εικόνα με διαδραστικά σημεία Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4628/#question20837 Διευκρίνιση: Πατείστε στον κόκκινο κύκλο Αυτό το εργαλείο περιέχει διαδραστική εικόνα και η λειτουργία διαδραστικότητας παρουσιάζεται στον παραπάνω υπερσύνδεσμο. Σελίδα 17/35

3η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ Σελίδα 18/35

3η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ Χρονική Διάρκεια: 20 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Φύλλα εργασίας: Τα φύλλα εργασίας είναι συνημμένα στην 3η σελίδα του εγγράφου. Εναλλακτικά μπορείτε να τα μεταφορτώσετε εκ νέου από τις παρακάτω διαδικτυακές θέσεις. Φύλλο Εργασίας 1 http://www.aesop.iep.edu.gr/sites/default/files/filla-ergasias/fyllo_xartokoptikis_3.docx Κανονικά ψηφιδωτά (στόχος 4) Με τον όρο ψηφιδωτό ή πλακόστρωση εννοούμε μια διευθέτηση κλειστών σχημάτων, τα οποία καλύπτουν πλήρως το επίπεδο, χωρίς επικαλύψεις ή χάσματα. Εμείς εδώ θα ασχοληθούμε με τα ψηφιδωτά που δημιουργούνται από κανονικά πολύγωνα. Ρωτάμε τους μαθητές να σκεφτούν που συναντούν πολύγωνα στην φύση. Συζητάμε μαζί τους και δείχνουμε τις εικόνες παρακάτω. Αναφέρουμε ακόμη και τα σχέδια στα περσικά χαλιά, τις φολιδώσεις πάνω στο δέρμα κάποιων ερπετών, τους κρυστάλλους και πολλά άλλα. 1. ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εικόνα Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4629/#question19213 Διευκρίνιση: ΔεΙχνουμε στους μαθητές τις παρακάτω εικόνες και τους προκαλούμε να βρουν και άλλες Σελίδα 19/35

2. Χαρτοκοπτική: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Κείμενο Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4629/#question19221 Το μάθημα συνεχίζει με την επίδειξη στους μαθητές κάποιων ψηφιδωτών που σχηματίζονται με την βοήθεια των κανονικών πολυγώνων.παροτρύνουμε τους μαθητές να δημιουργήσουν οι ίδιοι παρόμοια ψηφιδωτά κόβοντας τα κομμάτια απο το φύλλο χαρτοκοπτικής που τους δίνουμε 3. ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΨΗΦΙΔΩΤΑ: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εικόνα Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4629/#question19222 4. Ιστοσελίδες : Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Κείμενο Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4629/#question19225 Σελίδα 20/35

Εναλλακτικά οδηγούμε τους μαθητές να φτιάξουν ψηφιδωτά στις παρακάτω ιστοσελίδες 5. Ιστοσελίδες : πατείστε πάνω στον κόκκινο κύκλο: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εικόνα με διαδραστικά σημεία Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4629/#question19228 Αυτό το εργαλείο περιέχει διαδραστική εικόνα και η λειτουργία διαδραστικότητας παρουσιάζεται στον παραπάνω υπερσύνδεσμο. Σελίδα 21/35

4η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO(1) Σελίδα 22/35

4η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO(1) Χρονική Διάρκεια: 25 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Aπλά-κανονικά ψηφιδωτά (regular tessellation)(στόχος 4) Αφού αφήσουμε τους μαθητές να παίξουν λίγο με τις ιστοσελίδες της προηγούμενης φάσης τους προτείνουμε να προσπαθήσουν να βρουν ποια κανονικά πολύγωνα μπορούν να δημιουργήσουν ένα απλό ψηφιδωτό. Απλό-κανονικό, λέμε το ψηφιδωτό όπου χρησιμοποιούμε μόνο ένα είδος πολύγωνου για την κατασκευή του. Αναμένεται οι μαθητές να ανακαλύψουν ότι υπάρχουν τρία μόνο κανονικά πολύγωνα με τα οποία μπορεί να καλυφθεί το επίπεδο: το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Γιατί όμως είναι μόνο αυτά ; Γυρίζουμε πάλι στον χελωνόκοσμο. Συνεχίζοντας το πρώτο παιχνίδι της άγνωστης μεταβλητής δίνουμε στους μαθητές να αποκωδικοποιήσουν την διαδικασία πολπολ. Τι ακριβώς συμβαίνει με τις μεταβλητές μ και ν;(η διαδικασία κπολύγωνο δόθηκε σε προηγούμενη φάση) για πολπολ :μ :ν επαναλαβε :μ[κπολυγωνο :ν 50 δ 180-360/:ν] τέλος πολπολ 3 4 Μετακινώντας πάλι τον μεταβολέα οι μαθητές κατανοούν ότι η χελώνα φτιάχνει πολύγωνα γύρω από τον εαυτό της. Η διαδικασία πολπολ δηλαδή κατασκευάζει :μ πολύγωνα που το καθένα έχει :ν ίσες πλευρές, γύρω από ένα κομβικό σημείο. Καθώς μετακινούν τους μεταβολείς οι μαθητές θα ανακαλύψουν ενδιαφέροντα σχήματα πχ το πολπολ 10 5. Ζητάμε από τους μαθητές να πειραματιστούν και να βρουν: Ποια πολύγωνα θα μπορούσαν να καλύψουν ακριβώς το επίπεδο χωρίς να γίνεται επικάλυψη ή να μένουν κενά; Να δημιουργήσουν δηλαδή ένα κανονικό ψηφιδωτό; 1. Ψηφιδωτό - διαδικασία logo : Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Διαδραστικές ενεργές περιοχές Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4630/#question19272 Διευκρίνιση: Μπορείτε να τοποθετήσετε τις διαδικασίες πολπολ στο σωστό σχήμα Σελίδα 23/35

Διαθέσιμες επιλογές: πολπολ 3 6 πολπολ 6 3 πολπολ 4 4 πολπολ 3 5 πολπολ 4 5 2. Συζήτηση: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Κείμενο Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4630/#question19277 Οι μαθητές πειραματίζονται στο περιβάλλον του χελωνόκοσμου και θα βρουν ότι μόνο το τρίγωνο το τετράγωνο και το εξάγωνο καλύπτουν ακριβώς τον χώρο. Αντίθετα ο πειραματισμός με το πεντάγωνο προκαλεί επικαλύψεις ή δημιουργεί κενά. Στην συνέχεια ακολουθεί συζήτηση μέσα στην τάξη. Ο καθηγητής εκφράζει απορίες όπως γιατί μπορεί να συμβαίνει αυτό; Γιατί μόνο τα τρία αυτά πολύγωνα καλύπτουν τον χώρο; Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός μ τριγώνων, τετραγώνων, εξαγώνων για να κλείσει ένας κόμβος; Ποια σχέση μπορεί να έχει η γωνία του πολυγώνου με το πλήθος μ; Καθώς η χελώνα κινείται κυκλικά γύρω από τον εαυτό της, οι μαθητές οδηγούνται σιγά σιγά στην απόδειξη: Σε ένα τέτοιο σημείο κόμβο θα πρέπει οι γωνίες των πολυγώνων που ενώνονται να αθροίζονται ακριβώς σε 360.Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με 6 ισόπλευρα τρίγωνα (αφού 6 60 = 360 ) ή 4 τετράγωνα (αφού 4 90 =360 ) ή 3 εξάγωνα (αφού 3 120 =360 ) Για τα κανονικά πεντάγωνα όμως που η γωνία τους είναι 108 και δεν είναι τέλεια η διαίρεση 360 :108, δεν μπορούμε να έχουμε κανονικό ψηφιδωτό. Με τα υπόλοιπα κανονικά πολύγωνα έχουμε το ίδιο πρόβλημα με τα πεντάγωνα. Γενικότερα λοιπόν θα πρέπει μ φ=360 οπου φ η γωνία του πολυγώνου και Σελίδα 24/35

μ ο ελάχιστος αριθμός των πολυγώνων γύρω από έναν κόμβο. Στο σημείο αυτό ενημερώνουμε τους μαθητές ότι από την αρχαιότητα ορισμένοι αριθμοί είχαν ιδιαίτερο συμβολικό νόημα πέρα από την καθαρά πρακτική τους χρήση. Επιπλέον κάθε αριθμός μπορούσε να αντιστοιχηθεί με ένα επίπεδο σχήμα, ένα πολύγωνο, φέρ' ειπείν το τρία στο τρίγωνο, το τέσσερα στο τετράγωνο κοκ. Η ιδέα της αντιστοίχησης αριθμών σε επίπεδα σχήματα προέρχεται από τους πρώιμους Πυθαγόρειους που συνήθιζαν να αναπαριστούν τους αριθμούς με σχέδια από τελείες. Έτσι λοιπόν το ψηφιδωτό που προκύπτει από την κάλυψη του επιπέδου με κανονικά τετράγωνα το ονομάζουμε 4-4-4-4(vertex configuration). Αυτό σημαίνει ότι αν πάρουμε μια κορυφή τα πολύγωνα που συναντιούνται σε αυτή είναι τετράγωνα. (90 +90 +90 +90 =360 ). Καλούμε τους μαθητές να συμπληρώσουν τον παρακάτω πίνακα. 3. vertex configuration: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Διαδραστικές ενεργές περιοχές Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4630/#question19278 Διευκρίνιση: Στον παρακάτω πίνακα κάποιος ανακάτεψε τις απαντήσεις Μπορείτε να τον διορθώσετε Διαθέσιμες επιλογές: 60 +60 +60 +60 +60 +60 =360 3-3-3-3-3-3 Σελίδα 25/35

6-6-6 120 +120 +120 =360 Σελίδα 26/35

5η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO (2) Σελίδα 27/35

5η Φάση: ΨΗΦΙΔΩΤΑ ΜΕ ΤΗΝ LOGO (2) Χρονική Διάρκεια: 25 λεπτά της ώρας Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο υπολογιστών Φύλλα εργασίας: Τα φύλλα εργασίας είναι συνημμένα στην 3η σελίδα του εγγράφου. Εναλλακτικά μπορείτε να τα μεταφορτώσετε εκ νέου από τις παρακάτω διαδικτυακές θέσεις. Φύλλο Εργασίας 1 http://www.aesop.iep.edu.gr/sites/default/files/filla-ergasias/imikanonika_psifidota_0.docx Ημικανονικά ψηφιδωτά (semi-regular tessellation)(στόχος 4) Eάν τώρα θέλουμε να καλύψουμε το επίπεδο μας με διαφορετικά κανονικά πολύγωνα θα πρέπει να σκεφτούμε ότι ο ίδιος αριθμός πολυγώνων θα πρέπει να συναντιούνται σε κάθε κορυφή και ότι εάν ξεκινήσουμε από μία κορυφή και δούμε κυκλικά γύρω της θα πρέπει να συναντήσουμε μία συγκεκριμένη σειρά πολυγώνων και αυτή η σειρά θα πρέπει να ικανοποιείται σε οποιαδήποτε κορυφή. Προκαλούμε λοιπόν τους μαθητές να πειραματιστούν είτε με την χαρτοκοπτική είτε ηλεκτρονικά και να δημιουργήσουν ημικανονικά ψηφιδωτά. Στην συνέχεια να δημιουργήσουν μόνοι τους πια, διαδικασίες στον χελωνόκοσμο στις οποίες θα δημιουργούν την βασική μονάδα ενός ημικανονικού ψηφιδωτού.η όλη διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί στο σπίτι όπου ομάδες μαθητών θα δημιουργήσουν εντυπωσιακά ψηφιδωτά. 1. Ημικανονικά ψηφιδωτά: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εικόνα Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4870/#question19497 Σελίδα 28/35

2. Ημικανονικά ψηφιδωτά (semi-regular tesselation): Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Κείμενο Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4870/#question19505 Ψάχνοντας για όλα τα κανονικά και ημικανονικά ψηφιδωτά του επιπέδου θα οδηγηθούν στο γεγονός ότι μόνο συγκεκριμένα κανονικά πολύγωνα ταιριάζουν μεταξύ τους γύρω από ένα σημείο έτσι ώστε το άθροισμα των γωνιών γύρω από το σημείο να είναι ακριβώς 360. Αφού αφήσουμε τους μαθητές να αυτενεργήσουν και να βρουν όσο περισσότερα ψηφιδωτά μπορούν, τους δίνουμε τον παρακάτω πίνακα των οκτώ τύπων ημικανονικών ψηφιδωτών και ζητάμε να συμπληρώσουν τον παρακάτω πίνακα. Στην συνέχεια μπορούν να παίξουν με το παιχνίδι μνήμης και να επιβεβαιώσουν τις απαντήσεις τους. 3. vertex configutation: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εικόνα Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4870/#question19520 Διευκρίνιση: Ο παρακάτω πίνακας δίνεται στο φύλλο εργασίας Σελίδα 29/35

4. Παιχνίδι μνήμης - Ημικανονικά ψηφιδωτά: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Παιγνίδι μνήμης Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4870/#question21011 1η Κάρτα Σελίδα 30/35

2η Κάρτα 3η Κάρτα Σελίδα 31/35

4η Κάρτα 5η Κάρτα Σελίδα 32/35

6η Κάρτα 7η Κάρτα Σελίδα 33/35

8η Κάρτα 5. ερωτήσεις ανακεφαλαίωσης: Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Ερώτηση συμπλήρωσης κενών Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4870/#question19507 Συμπληρώστε τα κενά (χρησιμοποιείστε κεφαλαία γράμματα όπου χρειάζεται) Η κεντρική γωνία ενός κανονικού δεκαγώνου είναι μοίρες Η γωνία ενός κανονικού πενταγώνου είναι μοίρες Το πολύγωνο που έχει κεντρική γωνία 60 μοίρες είναι το Το κανονικό πολύγωνο που έχει γωνία 135 μοίρες είναι το Το μόνο κανονικό πολύγωνο που έχει οξεία γωνία είναι το Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 30 μοίρες τοτε το πολύγωνο έχει πλευρές Το ψηφιδωτό που σχηματίζεται με δομική μονάδα τα τέσσερα τετράγωνα το συμβολίζουμε Δύο ισόπλευρα τρίγωνα και δύο κανονικά εξάγωνα δημιουργούν το ψηφιδωτό 6. Άσκηση σχολικού βιβλίου : Τύπος Δομικού/Διαδραστικού Εργαλείου: Εξωτερικό περιεχόμενο Υπερσύνδεσμος: http://www.aesop.iep.edu.gr/node/18629/4870/#question19515 Σελίδα 34/35

Διευκρίνιση: Δινεται στους μαθητές για το σπίτι η άσκηση 1 απο τα σύνθετα θέματα της παραγράφου 11.2 του σχολικού βιβλίου της γεωμετρίας της Β Λυκείου Διεύθυνση ιστοτόπου (URL): http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/dsgl-b109/575/3721,16322/ Σελίδα 35/35 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)