Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 23 / 47

Βαθμοί κορυφών d G (v) = N G (v) [Ορισμός μόνο για απλά γραφήματα.] v 7 v 1 v 2 v 3 v 4 δ(g) = min {d G (v) : v V (G)} (G) = max {d G (v) : v V (G)} d(g) = v V (G) V (G) d G (v) ϵ(g) = E(G) V (G) v 6 v 5 Kορυφή v με d G (v) = 0. Kορυφή v με d G (v) = 1. r r v V (G) ισχύει d G (v) = r Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 24 / 47

Για κάθε γράφημα G ισχύει: i. d G (v) = 2 E(G) v V (G) ii. δ(g) d(g) (G) iii. ϵ(g) = d(g)/2 : i. Πίνακας πρόσπτωσης e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 d(v) v 1 v 2 1 1 1 1 1 3 2 v 3 1 1 1 1 1 5 v 4 1 1 2 v 5 1 1 2 v 1 d(v) 2 2 2 2 2 2 2 14 2 E(G) v 2 e 1 e 4 e 2 v 3 v 5 e 3 e 5 e 6 e 7 v 4 ii. Aπό τον ορισμό των δ(g), d(g) και (G). iii. Aπό τον ορισμό των ϵ(g) και d(g). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 25 / 47

Κάθε γράφημα G έχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού. : } Εστω V 1 V : Σύνολο κορυφών περιττού βαθμού. = V 1 V 2 = V V 2 V : Σύνολο κορυφών άρτιου βαθμού. Ισχύει ότι d G (v) + d G (v) = 2 E(G) v V 1 v V 2 d G (v) είναι άρτιος αριθμός. v V 1 V 1 είναι άρτιο, γιατί d G (v), v V 1 είναι περιττός. Κάθε r-κανονικό γράφημα G έχει : E(G) = d G (v) v V (G) = 2 r V (G) 2 ακμές. r V (G) 2 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 26 / 47

Το γράφημα G έχει ακριβώς δύο κορυφές με περιττό βαθμό, έστω τις u και v. Συνδέονται οι u και v με μονοπάτι; Υπάρχει 3-κανονικό γράφημα G με 9 κορυφές; Υπάρχει 9-κανονικό γράφημα G με 13 κορυφές; Έστω 2 όμιλοι ποδοσφαίρου με 13 ομάδες ο καθένας. Μπορούμε να οργανώσουμε ένα πρωτάθλημα έτσι ώστε κάθε ομάδα να συμμετέχει σε 9 αγώνες με ομάδες του ομίλου της και σε 4 αγώνες με ομάδες του άλλου ομίλου; Έστω ένα r-κανονικό διμερές γράφημα με διαμερίσεις X και Y. Να δειχθεί ότι X = Y. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 27 / 47

Κάθε απλό γράφημα G έχει δύο κορυφές ίδιου βαθμού. : G απλό v V (G) : d G (v) {0, 1,..., n 1} όπου n = V (G). Αλλά, το σύνολο των δυνατών βαθμών για τις κορυφές του G δεν μπορεί να περιέχει ταυτόχρονα τους βαθμούς 0 και n 1. [Η κορυφή με βαθμό n 1 είναι ενωμένη με όλες τις άλλες κορυφές, οπότε δεν υπάρχει κορυφή με βαθμό 0.] Συνεπώς έχουμε n 1 το πολύ δυνατούς βαθμούς για τις n κορυφές. Άρα υπάρχουν δύο κορυφές με τον ίδιο βαθμό [αρχή του περιστερεώνα]. Σε κάθε ομάδα από 2 ή περισσότερους ανθρώπους πάντα υπάρχουν δύο άτομα με τον ίδιο αριθμό φίλων μέσα στην ομάδα. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 28 / 47

Έστω απλό γράφημα G για το οποίο ισχύει ότι δ(g) συνδεδεμένο. V (G) 1 2. Τότε το G είναι : Θα δείξουμε ότι u, v V (G) υπάρχει μονοπάτι από την u στην v. e = (u, v) E Τότε υπάρχει μονοπάτι u v e = (u, v) / E V (G) 1 δ(g) { 2 V (G) 1 N G (u) 2 V (G) 1 N G (v) 2 Παρατηρούμε ότι N G (u) N G (v) (1) Εάν N G (u) N G (v) = N G (u) N G (v) = N G (u) + N G (v) V (G) 1 (2) Αλλά {u, v} / N G (u) N G (v) N G (u) N G (v) V (G) 2 (3) λόγω της (2). (1) w N G (u) N G (v) e 1 = (u, w), e 2 = (w, v) Υπάρχει μονοπάτι u v. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 29 / 47

Κάθε γράφημα G χωρίς βρόγχους έχει διμερές υπογράφημα H G με τουλάχιστον E(G) /2 ακμές. [Κατασκευαστική]: Θα κατασκευάσουμε διμερές υπογράφημα H G με E(G) /2 ακμές. 1. Έστω αυθαίρετη διαμέριση (X, Y ) του V (G) και H G το διμερές επαγόμενο από τα X και Y γράφημα. 2. 2.1 Εάν E(H) E(G) /2 τελειώσαμε. 2.2 Αλλιώς, [E(H) < E(G) /2] Έστω v V (G) : d H (v) < d G (v)/2 (πάντα υπάρχει). Μετέθεσε την v στο άλλο μερίδιο. Προσάρμοσε το H ώστε να είναι διμερές: αφαίρεσε τις ακμές από το H που ενώνονταν με την v πριν την μετάθεση [d H (v) ακμές] και πρόσθεσε τις ακμές που ενώνονται με την v στο G αλλά όχι στο H [>d H (v) ακμές]. Πήγαινε στο 2. Ο αριθμός των ακμών του H αυξάνει μετά από κάθε μετακίνηση. Ο αλγόριθμος τερματίζει. Το γράφημα H είναι διμερές [από κατασκευή]. E(H) E(G) /2 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 30 / 47

E(H) E(G) /2 : Στο τέλος του αλγορίθμου ισχύει v V (G) : d H (v) d G (v)/2. E(H) = 1 d 2 H (v) v V (H) 1 d 2 G (v)/2 [V (H) = V (G)] v V (G) = E(G) /2 Δίνει πάντοτε ο αλγόριθμος το μέγιστο διμερές υπογράφημα; g f h e a d b c H 1 : {a, b, c, d}, {e, f, g, h} E(H 1 ) = 12 H 2 : {g, h, a, b}, {c, d, e, f} E(H 1 ) = 16 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 31 / 47

Κάθε μη τετριμμένο γράφημα G χωρίς βρόγχους έχει διμερές υπογράφημα H G με > E(G) /2 ακμές. [Τετριμμένο γράφημα: γράφημα χωρίς ακμές ή κορυφές] [Επαγωγή ως προς το V (G).]: Βάση V (G) = 2 G = H. Ισχύει. Ε.Υ. Κάθε μη τετριμμένο χωρίς βρόγχους γράφημα G με V (G) k, k 2, έχει διμερές υπογράφημα H G με > E(G) /2 ακμές. Ε.Β. Έστω αυθαίρετο γράφημα G με V (G) = k + 1. Έστω αυθαίρετη κορυφή v V (G). Θεωρώ το G\v [έχει k κορυφές]. Ε.Υ. == H G\v : E(H ) > E(G\v) /2. Έστω X και Y τα μερίδια του H. Προσθέτω την v στην διαμέριση όπου η v συνδέεται με τις λιγότερες ακμές. Γράφημα H Προσθέτουμε στο H τουλάχιστον d G (v)/2 ακμές. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 32 / 47

E(H) E(H ) + d G (v)/2 > E(G\v) /2 + d G (v)/2 = ( E(G\v) + d G (v))/2 = E(G) /2 Έστω A ο πίνακας γειτνίασης ενός απλού γραφήματος G. Να δειχθεί ότι η διαγώνιος του A 2 περιέχει τους βαθμούς των κορυφών του G. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 33 / 47

[Köning-1916] Κάθε γράφημα G είναι επαγόμενο υπογράφημα κάποιου (G)-κανονικού γραφήματος. : Για κάθε γράφημα G ορίζουμε την ποσότητα: ( (G) d G (v)) v V (G) z(g) = V (G) Το z(g) αποτελεί μέτρο του πόσο απέχει το G από το να είναι (G)-κανονικό. Εφαρμόζουμε επαναληπτικά την παρακάτω διαδικασία η οποία μειώνει το z(g). 1. G 1 = G G. 2. Πρόσθεσε ακμές μεταξύ αντίστοιχων κορυφών (σε διαφορετικά αντίγραφα) που έχουν βαθμό < (G). = G G 1 και z(g) > z(g 1 ) 3. Εάν G 1 είναι (G)-κανονικό τελειώσαμε. Αλλιώς, G = G 1 πήγαινε στο 1. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 34 / 47

Γραφική ακολουθία Έστω η ακολουθία (d 1, d 2,..., d n) όπου 0 d i < n, d i N. Με sorted((d 1, d 2,..., d n)) συμβολίζουμε την ακολουθία που προκύπτει από την ταξινόμηση σε φθίνουσα διάταξη της (d 1, d 2,..., d n). Έστω G = (V, E) και s = (d(v 1 ), d(v 2 ),..., d(v n)), v i V (G), V (G) = n η ακολουθία βαθμών του G. Η ακολουθία sorted((d(v 1 ), d(v 2 ),..., d(v n))) ονομάζεται γραφική ακολουθία του G. G v1 v4 v8 v10 Γραφική ακολουθία του G v3 v5 v7 v2 ( 4 3 3 2 2 2 2 1 1 0 ) v6 v9 v 5 v 3 v 7 v 4 v 6 v 8 v 9 v 1 v 2 v 10 Μία φθίνουσα ακολουθία s = (d 1 d 2, d n) ονομάζεται αν υπάρχει γράφημα G(V, E) και μία 1 1 και επί απεικόνιση σ : V {1, 2,..., n}: d(v) = d σ(v). Το γράφημα G υλοποιεί την ακολουθία s. Η ακολουθία s είναι η ακολουθία βαθμών του G. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 35 / 47

Υπάρχουν διμερή γραφήματα με τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών; i. (3, 3, 2, 2, 2) ii. (3, 2, 2, 2, 2, 1) iii. (5, 2, 1, 1, 1) iv. (3, 3, 2, 2) Να δειχθεί ότι για κάθε n 2 η ακολουθία (0, 1, 2,..., n 1) δεν είναι γραφική. Να δειχθεί ότι η ακολουθία (d 1 d 2, d n) είναι γραφική ανν η ακολουθία sorted(n d 1 1, n d 2 1,..., n d n 1) είναι γραφική. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 36 / 47

Έστω κορυφές x, y, z, w V (G) ενός απλού γραφήματος G και (x, y), (z, w) E(G) αλλά (x, z)(y, w) / E(G). Ορίζουμε ως πάνω στο σύνολο {x, y, z, w} την αντικατάσταση στο G των ακμών (x, y), (z, w) από τις (x, z)(y, w). Παράδειγμα: u v w u v w u v w (u,v)(y,x) (v,w)(y,z) x y z x y z x y z Μια μεταγωγή σε ένα σύνολο 4 κορυφών ενός γραφήματος G δεν αλλάζει την ακολουθία βαθμών του G. Έστω η ακολουθία s = (d 1 d 2, d n). Η ακολουθία (d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n) ορίζεται ως η της s. Παράδειγμα: Έστω s = (4, 3, 2, 2, 2, 2, 1). Η ανηγμένη ακολουθία της s είναι η s 1 = (2, 1, 1, 1, 2, 1). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 37 / 47

[Havel-Hakimi] Μία φθίνουσα ακολουθία s = (d 1 d 2, d n) είναι γραφική ανν η ανηγμένη ακολουθία της s είναι γραφική. : Έστω s 1 = (d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n) η ανηγμένη ακολουθία της s και έστω ότι η s 1 είναι γραφική. s 1 γραφική G 1 με V {(G 1 ) = {v 2, v 3,..., v n} d(v i ) = d i 1 2 i d 1 + 1 d i d 1 + 2 i n Κατασκευάζω γράφημα G(V, E): V (G) = V (G 1 ) {v 1 } Ο G υλοποιεί την ακολουθία s. Η ακολουθία s είναι γραφική. E(G) = E(G 1 ) {(v 1, v i ) : 2 i d 1 + 1} Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 38 / 47

Παράδειγμα: v 4 G 1 v 4 v 3 v 3 v 1 v 5 v 6 v 5 v 6 v 2 v 7 v 2 v 7 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 39 / 47

s = (d 1 d 2, d n) είναι γραφική. s = (d 2 1, d 3 1,..., d d1 +1 1, d d1 +2,..., d n) είναι γραφική. s γραφική G = (V, E) με V (G) = {v 1, v 2,..., v n} : d(v i ) = d i, i = 1,..., n u V (G) : d(u) = d 1 και η u είναι γειτονική με κορυφές με βαθμούς d 2, d 3,..., d d1 +1. G\u έχει ακολουθία βαθμών την s. κορυφή u όπως στην περίπτωση 1. Έστω η κορυφή v i έχει βαθμό d(v i ) = d i, i = 1,..., n. Επειδή η v 1 δεν είναι γειτονική με όλες τις v 2, v 3,..., v d1 +1 v j και v k με d j > d k : Λόγω του ότι d(v j ) > d(v k ) κορυφή v l : Η v 1 δεν είναι γειτονική με v j. Ηv 1 είναι γειτονική με v k. Η v l είναι γειτονική με v j. Η v l δεν είναι γειτονική με v k. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 40 / 47

v 1 v k Μία μεταγωγή στις v 1, v k, v j, v l δίνει γράφημα G με ίδια ακολουθία βαθμών με το G. ΑΛΛΑ: το άθροισμα των βαθμών των γειτόνων της v 1 στο G είναι μεγαλύτερο από το ίδιο άθροισμα στο G. v 1 v j v k v l μεταγωγή Συνεχίζοντας, με τον ίδιο τρόπο, θα φτάσουμε στην περίπτωση 1. Η s είναι γραφική. v j v l Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 41 / 47

Παράδειγμα: Είναι η ακολουθία (5, 4, 3, 2, 2, 1, 1) γραφική; Εάν ναι, να δοθεί γράφημα G που την υλοποιεί. s 1 = (5, 4, 3, 2, 2, 1, 1) s 1 = ( 3, 2, 1, 1, 0, 1) s 2 = sorted(s 1 ) s 2 = ( 3, 2, 1, 1, 1, 0) s 2 = ( 1, 0, 0, 1, 0) s 3 = sorted(s 2 ) s 3 = ( 1, 1, 0, 0, 0) Γραφική. G 3 : s 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 G 2 : s 1 3 2 1 1 1 0 3 2 1 1 0 1 G 1 : 5 4 3 2 2 1 1 s 1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 42 / 47

[Erdös-Gallai] Μία φθίνουσα ακολουθία s = (d 1 d 2, d n), n 2, d 1 1 είναι γραφική ανν n k n i. d i είναι άρτιο, και ii. k : 1 k < n, d i k(k 1) + min {k, d i } i=1 i=1 i=k+1 : i. Προφανές. k ii. d i : i=1 V 1 V \V 1 v 1 v 2... v k v k+1... v n E 1 E 2 E 2 : Ακμές από το V 1 στο V \V 1. Κάθε κορυφή u του V \V 1 ενώνεται με: ( ) } Ακμές ανάμεσα Το πολύ με d u κορυφές του V 1. E 1 : 2 στις κορυφές του V 1. Το πολύ με k κορυφές του V 1. Το πολύ με min {k, d u}. k(k 1) n Συνολικά: min {k, d i } i=k+1 k n d i k(k 1) + min {k, d i }, 1 k < n i=1 i=k+1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 43 / 47

Να δειχθεί ότι για πολυγραφήματα ισχύει: Η φθίνουσα ακολουθία n s = (d 1 d 2, d n), n 2, d 1 1 d i είναι άρτιο. i=1 είναι γραφική. Παράδειγμα: Δεδομένου γραφήματος G συμβολίζουμε με D G το των κορυφών του G. G : 2 2 1 3 4 3 s = (4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1) D G = {4, 3, 2, 1} 1 2 2 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 44 / 47

[Kapoor-Polimeni-Wall] Για κάθε σύνολο θετικών ακεραίων S = {a 1, a 2,..., a n}, n 1, με a 1 < a 2 < < a n, υπάρχει γράφημα G με σύνολο βαθμών D G = S. Επιπλέον υπάρχει τέτοιο γράφημα G με V (G) = a n + 1. [Κατασκευαστικά, με επαγωγή ως προς το n.]: Ο βαθμός του G είναι a n + 1. Άρα, θα δείξουμε ότι υπάρχει G με V (G) = a n + 1. n = 1 Το πλήρες γράφημα K an+1 με a n + 1 κορυφές είναι το ζητούμενο. Όλες οι κορυφές του έχουν βαθμό a 1. n = 2 Συμβολίζουμε με A λ το γράφημα με λ κορυφές και χωρίς ακμές. A λ = ({v 1, v 2,..., v λ }, ) Το γράφημα K a1 A a2 a 1 +1 [ : σύνδεση γραφημάτων]: a 1 1 K a1 a 2 a 1 + 1 Βαθμός: a 2 a 1 + 1 a 1 a 1 1 + a 2 a 1 + 1 Βαθμός: = a 2 a 1 Έχει σύνολο βαθμών {a 1, a 2 } V (G) = a 2 a 1 + 1 + a 1 = a 2 + 1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 45 / 47

Ε.Υ. Για κάθε σύνολο θετικών ακεραίων S = {a 1, a 2,..., a m} με a 1 < a 2 < < a m και 1 m < n, ισχύει ότι: i. Υπάρχει γράφημα G με σύνολο βαθμών S. ii. V (G) = a m + 1 Ε.B. Έστω σύνολο S = {a 1, a 2,..., a n, a n+1 } με a i N +, a 1 < < a n < a n+1 Από Ε.Υ., γράφημα G 1 με σύνολο βαθμών {a 2 a 1, a 3 a 1,..., a n a 1 } και V (G 1 ) = a n a 1 + 1. Θεωρήστε το γράφημα G = K a1 (A an+1 a n G 1 ). a 1 1 K a1 a n a 1 + 1 G 1 V (G 1) = a n a 1 + 1 Βαθμοί: {a 2, a 3,..., a n} Βαθμός: a 1 1+ a n a 1 + 1+ a n+1 a n = a n+1 a n+1 a n A an+1 an Έχει σύνολο βαθμών {a 1, a 2,..., a n, a n+1 }. Βαθμός a 1 V (G) = }{{} a 1 + a n+1 a n + a }{{} n a 1 + 1 = a }{{} n+1 + 1 K a1 A an+1 G an 1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 46 / 47

Παράδειγμα: Να κατασκευαστεί γράφημα με 8 κορυφές και σύνολο βαθμών {2, 4, 6, 7}. D 1 = {2, 4, 6, 7} D 2 = {d 2 d 1, d 3 d 1 } = {2, 4} G 2 V (G 2 ) = 5 G 1 a n+1 = 7 G 2 {d 2, d 3 } = {4, 6} K 2 A 3 D G1 = {2, 4, 6, 7} V (G 1 ) = 8 K 2 A an+1 an a 1 = 2 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Φεβρουάριος 2017 47 / 47