Μαθηματικά για το δημοτικό και το Γυμνάσιο: Μια εξελικτική διαδικασία

Σχετικά έγγραφα
Σχολείο: 25 ο Δημ. Σχ. Βόλου Τάξη: Γ Διδακτική Ενότητα: 24 η. Ημερομηνία:19/11/09 Αριθμός Μαθητών: 18 Διδακτική ώρα: 1 η

Από τι αποτελούνται; 4 όροι. Θεωρία. Κλάσμα ονομάζω τον αριθμό που φανερώνει. Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα. Μαθηματικά. Όνομα:

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 25. Δεκαδικά Κλάσματα - Δεκαδικοί Αριθμοί ΟΛΑ ΟΣΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικών Γ τάξη - 4 η Ενότητα Κεφ

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Κεφάλαιο 6. 1η Άσκηση. Εκπαιδευτικός Οργανισμός Ν. Ξυδάς 1. Πως θα σκεφτώ για να λύσω την άσκηση;

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Αριθμητικά Συστήματα = 3 x x x x 10 0

Η προβληματική κατάσταση Χρήστος Πανούτσος

5.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕ ΡΗΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Α+Β Δημοτικού

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

Στόχοι ΑΠΣ για τα μαθηματικά της Ε τάξης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Στ Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

O μετασχηματισμός μιας «διαθεματικής» δραστηριότητας σε μαθηματική. Δέσποινα Πόταρη Πανεπιστήμιο Πατρών

Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

ΝΕΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Παρασχίδης Κυριαζής Σχολικός Σύμβουλος 3 ης Περιφέρειας ν. Ξάνθης

ΤΑΞΗ: Γ. Προτείνεται να αξιοποιηθούν διδακτικά τα παρακάτω «ψηφιακά δομήματα» από τα εμπλουτισμένα σχ. εγχειρίδια. Προτείνεται να μην

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Ενδεικτική Οργάνωση Ενοτήτων. E Τάξη. Α/Α Μαθηματικό περιεχόμενο Δείκτες Επιτυχίας Ώρες Διδ. 1 ENOTHTA 1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Μετασχηματισμοί-Τάξη Δ Δημοτικού (3 ώρες) Προαπαιτούμενα:

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί. Περίοδος περιοδικού δεκαδικού αριθμού. Γραφή των περιοδικών δεκαδικών αριθμών. Δεκαδική μορφή ρητού :

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

Μαθηματικά A Δημοτικού. Πέτρος Κλιάπης Σεπτέμβρης 2007

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο

Γ - Δ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

τα βιβλία των επιτυχιών

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

Αριθμητής = Παρονομαστής

Φεβρουάριος Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 21/2/2013 Β ΤΑΞΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

Μαθηματικά A Γυμνασίου

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. α. 3:8 β. 9:10 γ. 132:234 δ. 45: Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα:

6 Φεβρουαρίου 2016, Λεμεσός

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΚΤΩΝ, ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ, ΣΤΕΡΕΑ

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 1 - Οι φυσικοί αριθμοί

ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΔΙΔΑΚΤΕΑ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Διδακτέα: Πληροφορίες, Έννοιες, Δεξιότητες, Στρατηγικές / Τρόπος Σκέψης

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ. 4 η ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (κεφ ) Πηγή πληροφόρησης: e-selides

3 + 5 = 23 : = 23

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Ο πρώτος ηλικιακός κύκλος αφορά μαθητές του νηπιαγωγείου (5-6 χρονών), της Α Δημοτικού (6-7 χρονών) και της Β Δημοτικού (7-8 χρονών).

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

τα βιβλία των επιτυχιών

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Στο εργαστήρι πληροφορικής. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΑΠΟΙΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

Η διδακτική αξιοποίηση της αριθμητικής γραμμής στα κλάσματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Β. ΕΝΝΟΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Νοέμβρης Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών Β Τάξης Δημοτικού 1/11/2012. Φιλοσοφία διδασκαλίας. What you learn reflects how you learned it.

Ρητοί Αριθμοί - Η ευθεία των αριθμών

ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Να λύσετε τα προβλήματα 1 και 2 και να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Η Έννοια του Κλάσµατος

Transcript:

Μαθηματικά για το δημοτικό και το Γυμνάσιο: Μια εξελικτική διαδικασία John Van De Walle Παρουσίαση: Χρυσούλα Κολέσια

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ Το κλάσμα δεν είναι εύκολη ως έννοια ακόμα και για μαθητές γυμνασίου. Τα περισσότερα ΑΠ διδάσκουν ορισμένες ιδέες των κλασμάτων στην Α και τη Β δημοτικού και τα αναπτύσσουν πλήρως στη Γ και τη Δ δημοτικού. Κλάσμα είναι η έκφραση μιας σχέσης ανάμεσα σε ένα μέρος και ένα όλο. Θέμα της ενότητας είναι να βοηθήσουμε τα παιδιά να κατασκευάσουν τη σχέση μέρους και όλου και να τη συνδέσουν με το συμβολισμό.

3 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Χρήση μοντέλων πρέπει να γίνεται σε όλες τις τάξεις ώστε να αναπτυχθούν επαρκώς οι κλασματικές έννοιες. Μοντέλα περιοχής ή εμβαδού Μια επιφάνεια ή περιοχή υποδιαιρείται σε μικρότερα μέρη. Κάθε μέρος μπορεί να συγκριθεί με το όλο (κύκλοι, ορθογώνια, ο γεωπίνακας ή το χαρτί με διάστικτο καμβά ή τετραγωνάκια, το διπλωμένο χαρτί ή πλαστικά μοντέλα εμβαδού).

Μοντέλα μήκους ή μέτρησης Αντί για εμβαδά συγκρίνονται μήκη (λωρίδες κλασμάτων ή ράβδοι, διπλωμένες λωρίδες χαρτιού).

Μοντέλα συνόλων Το όλο νοείται ως σύνολο αντικειμένων και τα υποσύνολα συνιστούν κλασματικά μέρη. π.χ. 3 αντικείμενα είναι το ¼ ενός συνόλου 12 αντικειμένων. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάθε είδους πούλια, να σχεδιάσουμε Χ και Ο, ή να κόψουμε ένα δίχρωμο χαρτόνι σε τετραγωνάκια των δύο εκ.

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΡΩΝ Πρώτος στόχος στην ανάπτυξη των κλασμάτων είναι να βοηθήσουμε τα παιδιά να κατασκευάσουν την ιδέα των κλασματικών μερών του συνόλου. Η μοναδική ιδέα που μεταφέρουν τα παιδιά στην έννοια των κλασματικών μερών είναι η έννοια της μοιρασιάς, την ιδέα του χωρισμού μιας ποσότητας σε δύο ή περισσότερα μέρη που μπορούν να μοιραστούν μεταξύ φίλων.

Δύο αναγκαίες προϋποθέσεις για τα κλασματικά μέρη Το όλο πρέπει να αποτελείται από το σωστό αριθμό μερών ή μεριδίων. Όλα τα μέρη πρέπει να είναι ίσα ή δίκαια μερίδια, πρέπει, δηλαδή, να έχουν το ίδιο μέγεθος. Τα ονόματα των κλασματικών μερών καθορίζονται από τον αριθμό των δίκαιων μερών που συνιστούν το όλο: τα μισά είναι δύο ίσα μερίδια, τα τρίτα 3 ίσα μερίδια, τα τέταρτα 4 ίσα μερίδια κ.ο.κ.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ Χρησιμοποιούμε κάθε είδους μοντέλο (εκτός από τα σύνολα για πολύ μικρά παιδιά) Διδάσκουμε ανεπίσημα την ορολογία του όλου ή του ενός Οι κλασματικοί όροι (μισά, τέταρτα, πέμπτα κλπ.) χρησιμοποιούνται τόσο προφορικά όσο και ολογράφως. Στην αρχή το βάρος πέφτει στα τρίτα και τα έκτα και όχι το ένα τρίτο ή το ένα έκτο.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ Δραστηριότητα: Τα σωστά μερίδια Δίνουμε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα κλασματικών μερών. Ζητάμε να εντοπίσουν τα σύνολα που είναι σωστά χωρισμένα στα ζητούμενα κλασματικά μέρη, καθώς και σε εκείνα που δεν είναι και να εξηγήσουν το σκεπτικό τους. Να γίνει με διάφορα μοντέλα. Σημαντικότερη φάση ο σχολιασμός των αντιπαραδειγμάτων. Τέταρτα Κυκλώστε τα σωστά σχήματα.

Δραστηριότητα: Βρείτε τα δίκαια μερίδια Δώστε στα παιδιά μοντέλα και πείτε τους να βρουν τέταρτα, πέμπτα, όγδοα ή άλλα κλασματικά μέρη. (με δίπλωμα χαρτιού και όχι με σχεδίαση).

Δίνεται ένα σύνολο. Βρείτε τα κλασματικά μέρη. Διαφορετικό όλο οδηγεί σε διαφορετικά κλασματικά μέρη στο ίδιο μοντέλο.

Απαρίθμηση των κλασματικών μερών Μόλις τα κλασματικά μέρη ή τα ίσα μερίδια καλλιεργηθούν ως ιδέες, τότε μπορούμε να τα απαριθμήσουμε με τον ίδιο τρόπο που θα απαριθμούσαμε μήλα ή άλλα αντικείμενα. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να κατανοήσουμε κλάσματα μεγαλύτερο από ένα όλο. Δραστηριότητα: Απαρίθμηση με κλάσματα Δείχνουμε σε διαφάνειες 5 ή 6 τέταρτα. Τα μετράμε. Μετράμε και άλλες ομάδες με τέταρτα. Ρωτάμε ποια ομάδα είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από ένα όλο ή από 2 όλα. Κάνουμε πρόχειρες συγκρίσεις: γιατί φτάσαμε σχεδόν στα δύο όλα με 7/4 κι όμως δεν έχουν συμπληρώσει ούτε ένα όλο με 7/12; Πώς αλλιώς μπορούμε να ονομάσουμε το 7/3; (2 όλα και 1/3 ή ένα όλο και 4/3).

Η απαρίθμηση κλασματικών μερών θα θέσει τα θεμέλια για την περαιτέρω ανάπτυξη των κλασματικών εννοιών. Η απαρίθμηση μερών διαφορετικού μεγέθους διαλύει την απατηλή σκέψη ότι π.χ. τα όγδοα είναι μικρότερα από τα τρίτα. Απαριθμήσεις συνόλων μεγαλύτερων από το 1 διαλύουν την εντύπωση ότι το κλάσματα είναι μικρότερο από το 1. Με τα μεγαλύτερα παιδιά συζητάμε την παρουσία ισοδύναμων κλασμάτων όπως 6/12 (μισό) ή τα 9/6 (ένα και μισό). Αυτές οι συζητήσεις συνιστούν καλούς προπομπούς των ισοδύναμων κλασμάτων και των μεικτών κλασμάτων.

ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΜΕ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ Τα αφήνουμε για όσο το δυνατόν αργότερα. Και οι 3 πρώτες δραστηριότητες γίνονται προφορικά ή ολογράφως. Γράφουμε τα κλάσματα με οριζόντια διαχωριστική γραμμή και όχι κάθετη. ΠΑΝΩ ΚΑΙ ΚΑΤΩ ΑΡΙΘΜΟΣ VS ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗΣ Ο πάνω αριθμός απαριθμεί. Ο κάτω αριθμός μας λέει τι απαριθμείται. Κανένα παιδί της Γ δημοτικού δε θα μπέρδευε ποτέ τους χαρακτηρισμούς πάνω και κάτω αριθμός. Οι λέξεις, όμως, αριθμητής και παρονομαστής δεν έχουν κανένα κοινό σημείο αναφοράς για τα παιδιά.

ΜΙΚΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Εξηγούμε στα παιδιά ότι 2+1/6 γράφεται συνήθως 2 1/6 και καλείται μικτός αριθμός. Αυτός είναι ένας συμβατικός συμβολισμός. Δε χρειάζεται να διδάξουμε κανόνες για τη μετατροπή των μικτών σε κοινά κλάσματα. Δραστηριότητα: Ονομασίες μικτών κλασμάτων Τους ζητάμε να μετατρέψουν ένα μικτό κλάσμα σε απλό χρησιμοποιώντας οικεία υλικά ή κάνοντας σχέδια και να εξηγήσουν το αποτέλεσμα. Ή αρχίζοντας από ένα κλάσμα μεγαλύτερο του 1 π.χ. 17/4 να προσδιορίσουν το μικτό αριθμό. Σιγά σιγά αποσύρουμε τη χρήση μοντέλων.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΑ Στόχος η κατανόηση των κλασματικών μερών. Χρήση μοντέλων ως αναπαράσταση του όλου και των μερών του Τους δίνουμε δύο από αυτά όλο, μέρος και κλάσμα- με οποιαδήποτε σειρά και τους ζητάμε το τρίτο. Δημιουργούμε απλά προβλήματα που ζητούν το ίδιο. π.χ. Αν η ομάδα κολύμβησης πουλούσε 400 λαχνούς θα έπαιρνε αρκετά χρήματα για να αγοράσει καινούριες φανέλες. Μέχρι στιγμής έχουν πουληθεί τα 5/8 των λαχνών. Πόσοι ακόμα λαχνοί χρειάζεται να πουληθούν;

Μοντέλα εμβαδού Όλο Ποιο κλάσμα του μεγαλύτερου τετραγώνου αναπαριστά το μικρό τετράγωνο; Όλο Ποιο κλάσμα είναι το μεγαλύτερο ορθογώνιο, αν το μικρό είναι το όλο;

Μοντέλα μήκους ΣΚ. ΠΡΑΣΙΝΗ ΚΙΤΡΙΝΗ Αν η σκούρα πράσινη ράβδος είναι το όλο ποιο κλάσμα είναι η κίτρινη ράβδος; ΣΚ. ΠΡΑΣΙΝΗ ΓΑΛΑΖΙΑ Αν η σκούρα πράσινη ράβδος είναι το όλο, ποιο κλάσμα είναι η γαλάζια ράβδος;

Μοντέλα συνόλου Ποιο κλάσμα αυτού του συνόλου είναι πράσινο; (Μην απαντήσετε σε ένατα) Αν τα 10 πούλια είναι το όλο, ποιο κλάσμα του συνόλου είναι τα 6 πούλια; Αυτά τα 16 πούλια είναι ποιο κλάσμα ενός συνόλου με 12 πούλια;

ΑΙΣΘΗΣΗ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΩΣ ΑΡΙΘΜΟΥ η αριθμητική αντίληψη των κλασμάτων απαιτεί περισσότερα από την εστίαση στα κλασματικά μέρη. Απαιτεί από τους μαθητές κάποια διαισθητική κατανόηση των κλασμάτων. Θα πρέπει να ξέρουν περίπου πόσο μεγάλο είναι ένα κλάσμα και να μπορούν να πουν με ευκολία ποιο είναι το μεγαλύτερο μεταξύ 2 κλασμάτων. ΕΥΕΛΙΞΙΑ ΜΕ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΡΗ Τα παιδιά πρέπει μόνα τους να ξεφύγουν από τη λανθασμένη άποψη ότι οι μεγαλύτεροι αριθμοί σημαίνουν «περισσότερο». Δραστηριότητα: Βάζοντας στη σειρά κλασματικές μονάδες Φτιάξτε μια λίστα με κλασματικές μονάδες (1/3, 1/5, 1/8, 1/10). Ζητήστε να τα βάλουν σε σειρά χρησιμοποιώντας μοντέλα και να εξηγήσουν. Ενθαρρύνετε τη χρήση της ορολογίας των μεριδίων (όσα περισσότερα μερίδια τόσο μικρότερο το καθένα). Αυθαίρετοι κανόνες όπως οι μεγαλύτεροι κάτω αριθμοί δηλώνουν μεγαλύτερα κλάσματα» είναι όχι μόνο ακατάλληλοι αλλά και επικίνδυνοι.

Το Μηδέν, το Μισό και το Ένα ως σημεία αναφοράς Δραστηριότητα: Μηδέν, Μισό ή Ένα Γράφουμε 10-15 κλάσματα. Κάποια λίγα μεγαλύτερα του 1 και τα άλλα ανάμεσα στο 0 και το 1. Τα παιδιά κατηγοριοποιούν τα κλάσματα σε 3 ομάδες. Για όσα είναι κοντά στο ½ βάλτε τα να αποφασίσουν αν το κλάσματα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο του ½. Δραστηριότητα: Κοντινά κλάσματα Βάλτε τα παιδιά να βρουν ένα κλάσμα κοντά στο ένα. Έπειτα άλλο ένα πιο κοντά στο ένα. Γιατί πιστεύετε ότι το δεύτερο είναι πιο κοντά στο ένα από το πρώτο; Παρόμοια δοκιμάζουμε με κλάσματα κοντά στο 0 ή στο ½. Τις πρώτες φορές αφήνουμε τα παιδιά να χρησιμοποιήσουν βοηθητικά μοντέλα.

Εντοπίζοντας το μεγαλύτερο Κλάσμα Η ικανότητα αυτή δομείται γύρω από έννοιες σχετικές με τα κλάσματα και όχι με βάση κάποιο αλγόριθμο για τη σύγκριση κλασμάτων. Οι δραστηριότητες σύγκρισης (ποιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο;) μπορούν να βοηθήσουν σημαντικά τα παιδιά να αναπτύξουν τις έννοιες των σχετικών κλασματικών μεγεθών. Ωστόσο, θα πρέπει να πηγάζουν από τις εμπειρίες και τις συζητήσεις των παιδιών.

Δραστηριότητα: Σύγκριση και δοκιμή Συγκρίνουν ζεύγη κλασμάτων και δοκιμάζουν την επιλογή τους με τα μοντέλα. Αιτιολογούν. Δραστηριότητα: Γιατί είναι περισσότερο; Δώστε στα παιδιά ζεύγη κλασμάτων για σύγκριση. Στόχος είναι να βρουν όσο το δυνατόν περισσότερες καλές αιτιολογήσεις για την επιλογή τους. Οι εξηγήσεις καταγράφονται και συζητούνται από όλη την τάξη. (καλή εργασία για το σπίτι αλλά και δραστηριότητα αξιολόγησης). Δραστηριότητα: Βάλτε τα σε σειρά Τα παιδιά βάζουν 4 ή 5 κλάσματα σε σειρά από το μεγαλύτερο στο μικρότερο.

Άλλοι μέθοδοι σύγκρισης Δεν μπορούμε να συγκρίνουμε τα κλάσματα μόνο με την εννοιολογική προσέγγιση. Η συνηθέστερη μέθοδος είναι να μετατρέψουμε το κλάσμα σε κάτι άλλο (Κλάσματα με κοινό παρονομαστή ή αριθμητή, μετατροπή σε δεκαδικό ή ποσοστό).

ΕΚΤΙΜΗΣΗ Υπολογίστε την απάντηση στο 12/13 + 7/8. δεν έχετε χρόνο να λύσετε το πρόβλημα στο χαρτί. Να τι απάντησαν τα 13χρονα παιδιά: 1 7% 2 24% 19 28% 21 27% Δεν ξέρω 14%

Η ορθή αντίληψη των κλασμάτων είναι πιο σημαντική για τους κατά προσέγγιση υπολογισμούς από την τέλεια γνώση των διαδικασιών με χαρτί και μολύβι. Πιο χρήσιμο αποδεικνύεται να γνωρίζουμε αν ένα κλάσμα βρίσκεται πιο κοντά στο 0, στο ½ ή στο 1. Τότε μπορούμε να τους στρογγυλοποιήσουμε και να τους προσθέσουμε εύκολα. Δραστηριότητα: Διαλέξτε το καλύτερο Δείχνουμε κάποια αθροίσματα ή διαφορές γνήσιων κλασμάτων. Ρωτάμε: είναι περισσότερο ή λιγότερο από το 1; Είναι πιο κοντά στο 0, το 1 ή το 2; Δραστηριότητα: Εκτιμήσεις ταχύτητας Δώστε σύντομες ασκήσεις ταχύτητας για την εκτίμηση αθροισμάτων και διαφορών με μικτούς αριθμούς.

ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Η έννοια: 2 κλάσματα είναι ισοδύναμα αν συνιστούν αναπαραστάσεις του ίδιου ποσού ή της ίδιας ποσότητας, αν είναι, δηλαδή, ο ίδιος αριθμός. Ο κανόνας: για να πάρουμε ένα ισοδύναμο κλάσμα πολλαπλασιάζουμε (ή διαιρούμε) τον πάνω και τον κάτω αριθμό με τον ίδιο αριθμό. Ο κανόνας ή αλγόριθμος για τα ισοδύναμα κλάσματα δε συνδέεται διαισθητικά με την αντίστοιχη έννοια. Οι μαθητές θα πρέπει πρώτα να κατανοήσουν σε βάθος την έννοια για να διαπιστώσουν ότι ο αλγόριθμος είναι ένας λογικός και αποδοτικός τρόπος εξαγωγής ισοδύναμων κλασμάτων.

ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΟΝΟΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Δραστηριότητα: Διαφορετικά γεμίσματα Σχεδιάζουμε το περίγραμμα ενός μοντέλου π.χ. ορθογωνίου χωρίς υποδιαιρέσεις για το 2/3, το ½ και το 5/4. Τους ζητάμε να το γεμίσουν με κομμάτια κλασματικών μονάδων. Δραστηριότητα: Διπλώνοντας και ξαναδιπλώνοντας Βάλτε τα παιδιά να διπλώσουν ένα χαρτί σε μισά ή σε τρίτα. Γράψτε το κλάσμα. Τώρα διπλώστε το ξανά. Ξεδιπλώστε και χρωματίστε ένα κλάσμα του χαρτιού. Γράψτε το κλάσμα. Τώρα διπλώστε ξανά και μετά άλλη μια φορά. Είναι διασκεδαστικό να συζητήσετε πριν το ανοίξετε πόσα τμήματα θα έχει όλο το χαρτί και πόσα θα είναι χρωματισμένα. Ανοίξτε το και συζητήστε τα κλασματικά ονόματα που μπορείτε να δώσετε τώρα στη σκιασμένη περιοχή. Είναι πάλι το ίδιο; Γιατί; Δραστηριότητα: Ισοδυναμίες στο διάστικτο χαρτί Ζητήστε από τα παιδιά να σχεδιάσουν να σχεδιάσουν ένα μοντέλο για το όλο και να σκιάσουν κάποιο κλασματικό μέρος που να μπορεί να ορίζεται από τις γραμμές ή τις τελίτσες του χαρτιού. Δείτε πόσα διαφορετικά ονόματα μπορούν να βρουν για το σκιασμένο μέρος με τη βοήθεια των μικρότερων περιοχών του καμβά.

ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΣ ΕΝΑΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟ ΓΙΑ ΤΑ ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Σιγά σιγά τους εισάγουμε στον αλγόριθμο δημιουργίας ισοδύναμων κλασμάτων με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση του πάνω και του κάτω αριθμού χρησιμοποιώντας μοντέλα εμβαδού ή μήκους.

ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ύπαρξη πλοκής ή συγκείμενου απομακρύνει τα παιδιά από τους κανόνες και τα ενθαρρύνει να εξερευνήσουν διάφορες ιδέες με πιο ανοικτό και ανεπίσημο τρόπο. The doorbell rang (Hutchins, 1986) Δύο παιδιά ετοιμάζονται να μοιραστούν ένα πιάτο με 12 κουλουράκια. Μόλις έχουν αποφασίσει πως θα μοιράσουν τα κουλουράκια, χτυπά το κουδούνι και καταφτάνουν κι άλλα παιδιά. Αυτό συμβαίνει ξανά και ξανά, ώσπου τα κουλουράκια είναι πια περισσότερα από τα παιδιά. Η γιαγιά δίνει τη λύση.

Gator Pie (Mathews, 1979) Ο Άλβιν και η Άλις μαζί με άλλους αλιγάτορες μοιράζονται μια πίτα που βρίσκουν στο δάσος. Καθώς καταφτάνουν όλο και περισσότεροι αλιγάτορες γίνεται προφανής η ανάγκη να κόψουν την πίτα σε όλο και περισσότερα κομμάτια, φτάνοντας στο τέλος, στα εκατοστά, οπότε και γίνεται μια καλή σύνδεση ανάμεσα στους δεκαδικούς και τα κλάσματα. The man who counted: A collection of mathematical adventures (Tahan, 1993) Beast of burden (Τα υποζύγια): ένας σοφός μαθηματικός ο Beremiz και ένας αφηγητής ταξιδεύουν πάνω στην ίδια καμήλα. 3 αδέρφια τους ζητούν να λύσουν μια διαφωνία τους. Ο πατέρας τους τους άφησε 35 καμήλες να τις μοιράσουν μεταξύ τους: τις μισές στον έναν αδερφό, το 1/3 στον άλλον και το 1/9 στον άλλον.