Εργαστήριο Τεχνικής Μηχανικής. Φυλλάδιο εργαστηρίου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Εργαστήριο Τεχνικής Μηχανικής Φυλλάδιο εργαστηρίου ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΑΤΡΑ 2005

2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΛΛΑ ΙΟΥ Πρόγραµµα Εργαστηρίων 4 Περίληψη οδηγιών για το πακέτο MSC.Patran/Nastran 5 Σηµείωση για το πακέτο MSC.Patran/Nastran 7 Παράδειγµα 1 : Εισαγωγή στο Πακέτο MSC.Patran/Nastran 9 Άσκηση 1: Ανάλυση Μονοδιάστατου Παραµορφώσιµου Σώµατος - Απλοποιηµένο Πτερύγιο Ελικοπτέρου. 17 Παράδειγµα 2 : Ανάλυση ισδιάστατων Κατασκευών ικτυωµάτων 19 Άσκηση 2 : Ανάλυση ισδιάστατου ικτυώµατος - Πυλώνας µεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. 21 Παράδειγµα 3 : ισδιάστατο Πρόβληµα Παραµορφώσιµου σώµατος 23 Άσκηση 3 : Ανάλυση δισδιάστατου συνεχούς παραµορφώσιµου σώµατος - Αξιολόγηση διαφόρων στοιχείων. 25 Παράδειγµα 4 : Ανάλυση Προβληµάτων Μετάδοσης Θερµότητας 27 Παράδειγµα 5 : Ανάπτυξη διδιάστατων Μοντέλων σύνθετων γεωµετριών. 35 Άσκηση 5 : Ανάλυση διδιάστατης Κατασκευής - Ανάλυση Τάσεων σε Έδρανο Στήριξης. 37 3

Πρόγραµµα Εργαστηρίων Oι ηµεροµηνίες διεξαγωγής των εργαστηρίων βρίσκονται αναρτηµένες στο site του µαθήµατος (www.mech.upatras.gr~fem). 1. Παράδειγµα 1: Εισαγωγή στο Πακέτο MSC.Patran/Nastran Άσκηση 1: Ανάλυση Μονοδιάστατου Παραµορφώσιµου Σώµατος- Απλοποιηµένο Πτερύγιο Ελικοπτέρου. 2. Εργασία πάνω στην Άσκηση 1. Επίλυση Αποριών. 3. Παράδειγµα 2: Ανάλυση ισδιάστατων Κατασκευών ικτυωµάτων Άσκηση 2: Ανάλυση ισδιάστατου ικτυώµατος Πυλώνας µεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. 4. Παράδειγµα 3: ισδιάστατο Πρόβληµα Παραµορφώσιµου σώµατος Άσκηση 3: Ανάλυση δισδιάστατου συνεχούς παραµορφώσιµου σώµατος - Αξιολόγηση διαφόρων στοιχείων. 5. Εργασία πάνω στην Άσκηση 3. Επίλυση Αποριών. 6. Παράδειγµα 4: Ανάλυση Προβληµάτων Μετάδοσης Θερµότητας 7. Παράδειγµα 5: Ανάπτυξη διδιάστατων Μοντέλων σύνθετων γεωµετριών. Άσκηση 5: Ανάλυση διδιάστατης Κατασκευής Ανάλυση Τάσεων σε Έδρανο Στήριξης. 4

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο ΗΓΙΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΚΕΤΟ MSC.PATRAN/NASTRAN Προτού αρχίσετε φτιάξτε ένα σκαρίφηµα του µοντέλου, και ορίστε συστήµατα συντεταγµένων, κόµβους, στοιχεία, στηρίξεις, φορτία, κλπ Με τον τρόπο αυτόν θα γλιτώσετε λάθη και πολύτιµο χρόνο. Φόρτωµα Patran Από το «Start Menu» επιλέξτε: Programs, Applications, MSC.Patran 2004 r2 Προεπεξεργασία (Preprocessing) Επιλέγουµε: File, New και επιλέγουµε που θα αποθηκευτεί το µοντέλο µας. Επιλέξτε το δίσκο U:\ και δώστε ένα όνοµα (καλύτερα χωρίς κενά), πχ ex1.db Στην καρτέλα που εµφανίζεται δεξιά, φροντίστε να υπάρχουν οι επιλογές: Analysis Code: MSC.Nastran Analysis Type: Structural Ορισµός Σηµείων Πατάµε στο Geometry και στην καρτέλα: Action: Create, Object: Point, Method: XYZ Στο κάτω µέρος ορίζουµε τις συντεταγµένες του κάθε σηµείου που θέλουµε να δηµιουργήσουµε και πατάµε το κουµπί APPLY. Ορισµός ευθειών Πατάµε στο Geometry και στην καρτέλα: Action: Create,Object: Curve,Method: Point, Option: 2Point (για ευθεία) Πλησιάζουµε µε το ποντίκι το πρώτο σηµείο και µόλις εµφανιστεί το χρωµατιστό κυκλάκι (που σηµαίνει ότι θα επιλεγεί το συγκεκριµένο σηµείο), πατάµε αριστερό «κλικ». Κάνουµε το ίδιο και για το δεύτερο σηµείο της ευθείας. Αν είναι επιλεγµένη η επιλογή Auto Execute, η ευθεία εµφανίζεται αµέσως, αλλιώς πατάµε το APPLY. Αρίθµηση Για να δείχνει το Patran τον αριθµό του κάθε σηµείου (ή κόµβου κτλ) πηγαίνουµε στο µενού: Display, Entity Color/Label/Render και επιλέγουµε το Point και το Node. ηµιουργία Στοιχείων (Elements) Πατάµε στο Elements και στην καρτέλα: Action: Create, Object: Mesh Seed, Type: Uniform Επιλέγουµε το Number of Elements και βάζουµε κατάλληλη τιµή στο αντίστοιχο κουτάκι. Με το ποντίκι επιλέγουµε την ευθεία που έχουµε δηµιουργήσει. Αν είναι επιλεγµένο το Auto Execute, η ευθεία χωρίζεται αυτόµατα σε επιµέρους τµήµατα ανάλογα µε τον αριθµό στοιχείων που έχουµε ορίσει (αλλιώς πατάµε το APPLY). Στο πάνω µέρος τώρα επιλέγουµε Object: Mesh, Type: Curve, επιλέγουµε την καµπύλη που θέλουµε και πατάµε APPLY. Αυτοµάτως, έχουν δηµιουργηθεί οι κατάλληλοι κόµβοι (φαίνονται µε κόκκινο χρώµα) και τα elements. Φορτία και Συνοριακές Συνθήκες Πατάµε στο Loads/BCs και στην καρτέλα: Αν θέλουµε να ορίσουµε συνοριακές συνθήκες σε κόµβους Action: Create, Object: Displacement, Type: Nodal Στο New Set Name δίνουµε ένα όνοµα της επιλογής µας (πχ FixedSupport) Πατάµε στο Input Data και δίνουµε τις κατάλληλες τιµές. Αν πρόκειται για πάκτωση, δίνουµε Translations: < 0 0 0>, Rotations < 0 0 0>. Στο τέλος πατάµε OK. Επιστρέφουµε στην αρχική καρτέλα και επιλέγουµε Select Application Region. Στο Geometry Filter επιλέγουµε FEM για να ορίσουµε ΣΣ σε κόµβους. Επιλέγουµε µε το ποντίκι τους αντίστοιχους κόµβους και πατάµε OK. Επιστρέφουµε στην αρχική καρτέλα και πατάµε ΟΚ. Στο παράθυρο του µοντέλου πρέπει να φαίνονται οι ΣΣ που βάλαµε. Για να βάλουµε δυνάµεις Action: Create, Object: Force, Type: Nodal Ακολουθούµε την ίδια διαδικασία µε πριν. Για αδρανειακά φορτία Action: Create, Object: Inertial Load Ακολουθούµε την ίδια διαδικασία µε πριν. Ορισµός Υλικού Πατάµε στο Materials και στην καρτέλα: Action: Create, Object: Isotropic 5

(Αν θέλουµε να δηµιουργήσουµε ισότροπο υλικό) ίνουµε ένα όνοµα στο Material Name. Πατάµε στο Input Properties και εισάγουµε τις ιδιότητες του υλικού π.χ. για Μέτρο Ελαστικότητας 6GPa, δίνουµε στο σχετικό κουτάκι: 6.0e9. Πατάµε ΟΚ και στην αρχική καρτέλα APPLY. Ορισµός Κατασκευαστικών Ιδιοτήτων Πατάµε στο Properties και στην καρτέλα: Για να φτιάξουµε στοιχεία τύπου ράβδου, Action: Create, Object: 1D, Type: Rod Στο Property Set Name δίνουµε ένα όνοµα και πατάµε Input Properties. Στη νέα καρτέλα δίνουµε τα σχετικά στοιχεία. Για το Material Name πατάµε το κουµπί στα δεξιά και επιλέγουµε υλικό από τη λίστα. Κάνουµε κλικ µέσα στο Select Members και επιλέγουµε τα στοιχεία που θέλουµε. Πατάµε Add και APPLY. Ανάλυση Πατάµε στο Analysis και στην καρτέλα: Action: Analyze, Object: Entire Model, Type: Full Run Και πατάµε APPLY. Στην περίπτωση που θέλουµε να επιλέξουµε τι αποτελέσµατα θα δούµε στο παράθυρο analysis επιλέγουµε subcases/ δίνουµε ένα subcase name/ output requests/και επιλέγουµε ακριβώς τι αποτελέσµατα θέλουµε να δούµε. Στο παράθυρο analysis/ select subcases/ επιλεγουµε το subcase που θέλουµε. / Apply (χρησιµοποιείται αν θέλουµε να δούµε stresses) ορίζουµε µέτρο ή διεύθυνση και apply. Επιλέγουµε τον κόµβο που θέλουµε. Για να δούµε τα αποτελέσµατα σε αρχείο αποτελεσµάτων: action:create, Object:report, method: append file. Στα επόµενα παράθυρα επιλέγουµε τι ακριβώς θα δούµε στο αρχείο και Apply. To αρχείο που δηµιουργείται, patran.rpt είναι στον ενεργό φάκελο του Patran (στο υπολογιστικό My documents) και το βλέπουµε µε notepad. Μετεπεξεργασία (Postprocessing) Αφού τελειώσει η ανάλυση επιτυχώς, Action: Access Results, Object: Attach XDB, Method: Both Πατάµε στο Results και στην καρτέλα Action: Create, Object: Quick Plot Στο Select Fringe Result, επιλέγουµε το µέγεθος που µας ενδιαφέρει και στο Quantity επιλέγουµε την ακριβή συνιστώσα. Πατάµε APPLY. Για να δούµε τα αποτελέσµατα σε ένα συγκεκριµένο κόµβο επιλεγουµε: action:create, Object:cursor, method:scalar. Στο select cursor results: επιλέγουµε τι θέλουµε να δούµε, Στο quantity 6

Σηµείωση για το πακέτο MSC.Patran/Nastran Η χρήση του πακέτου MSC.Patran/Nastran προϋποθέτει κάποια εξοικείωση του χρήστη τόσο µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων όσο και µε το περιβάλλον εργασίας του προγράµµατος. Για το λόγο αυτό καλό θα είναι οι οδηγίες να ακολουθούνται πιστά. Το Patran είναι, όπως τα περισσότερα προγράµµατα των windows, µια εφαρµογή που στηρίζεται στα διάφορα µενού. Επιλέγοντας διαφορετικά µενού εµφανίζονται διαφορετικά σετ επιλογών και παραµέτρων. Οι επιλογές που είναι διαθέσιµες στο χρήστη µπορεί να είναι µε τη µορφή κουµπιών «on/off» ή πεδία που πρέπει να γραφεί κείµενο. Μια τυπική ανάλυση µε πεπερασµένα στοιχεία ξεκινά συνήθως από το µενού Geometry και ολοκληρώνεται στο µενού Analysis. Στη συνέχεια θα χρησιµοποιηθούν οι εξής συµβάσεις: ΤΜ = Top Menu RM = Right Menu SM = Subordinate Menu Click Έντονα Πλάγια Αναφέρεται στην οριζόντια στο πάνω µέρος της οθόνης Το µενού που εµφανίζεται στο δεξί µέρος της οθόνης µετά από κάποια επιλογή στο TM Το µενού που πιθανώς εµφανίζεται µετά από κάποια επιλογή στο RM Εκτός αν αναφέρεται κάτι άλλο, σηµαίνει απλό αριστερό κλικ µε το ποντίκι Κείµενο που εµφανίζεται στα µενού του Patran Κείµενο που πρέπει να εισάγει ο χρήστης 7

8

Παράδειγµα 1: Εισαγωγή στο πακέτο MSC.Patran/Nastran εδοµένα: 1. Μήκος στοιχείου: L = 10 m 2. Επιφάνεια διατοµής (cross-section area): A = 10 cm 2 3. Μέτρο ελαστικότητας (Young s modulus): Ε = 6 GPa 4. Πυκνότητα (mass density): ρ = 2500 kg/m 3 5. ύναµη στο ελεύθερο άκρο: P = 10 000 N Αναλυτικές οδηγίες επίλυσης του προβλήµατος 1. ηµιουργία νέας database Από το ΤΜ επιλέξτε File Στο µενού που εµφανίζεται επιλέξτε New 2. ηµιουργία γεωµετρίας Εµφανίζεται ένα SM µε το όνοµα New Database Click στο OK. Από το ΤΜ επιλέξτε Geometry Απενεργοποιείστε (no check) το Modify Preferences Επιλέξτε το κατάλληλο directory (πχ My Documents) και δώστε ένα όνοµα αρχείου της επιλογής σας (πχ bar.db) στο πεδίο New Database Name. Εµφανίζεται ένα RM που ονοµάζεται Geometry Ρυθµίστε Ορίστε το Point ID = 1 Action = Create Object = Point Method = XYZ Ορίστε το Reference Coordinate Frame στο Coord 0. Απενεργοποιείστε το Auto Execute Εισάγετε τα παρακάτω σηµεία στο Point Coordinate list: 9

[0,0,0] [10,0,0] [20,0,0] [30,0,0] (Το Patran δέχεται είτε κενά είτε κόµµατα σαν διαχωριστικά) (Σε αυτό το σηµείο πρέπει να έχουν εµφανιστεί 4 σηµεία στο παράθυρο µε τίτλο «bar.db - default_viewport - default_group entity») 3. Σύνδεση των σηµείων µε γραµµές Ενώ είστε ακόµα στο RM Geometry, Ορίστε Action = Create Object = Curve Method = Point Απενεργοποιείστε το Auto Execute αν είναι ενεργοποιηµένο (Στη συνέχεια θεωρούµε ότι τα σηµεία έχουν δηµιουργηθεί µε τη σειρά 1, 2, 3, 4 από αριστερά προς τα δεξιά) Click στο Starting Point List Click στο σηµείο 1 Click στο Ending Point List Click στο σηµείο 2 (Πρέπει να έχει δηµιουργηθεί µια γραµµή από το σηµείο 1 στο σηµείο 2 και να έχει το όνοµα line 1). Επαναλάβετε τη διαδικασία και ενώστε τα σηµεία 2 & 3 και 3 & 4. 4. ηµιουργία πλέγµατος (mesh) Στο ΤΜ επιλέξτε Elements Εµφανίζεται ένα RM που ονοµάζεται Finite Elements Ορίστε Action = Create Object = Mesh Seed Type = Uniform Επιλέξτε Number of Elements και Number = 1 Απενεργοποιείστε το Auto Execute Click στο κουτί Curves List Click στην πρώτη γραµµή (αριστερή). Η φράση Curve 1 γράφεται αυτόµατα στο κουτί. (Οι κύκλοι δείχνουν τα σηµεία στα οποία θα δηµιουργηθούν κόµβοι) Επαναλάβετε τη διαδικασία και για τις άλλες δυο γραµµές. 10

Αφού υποδείξαµε στο πρόγραµµα που πρέπει να δηµιουργηθούν κόµβοι, πρέπει να ορίσουµε και τα στοιχεία. Στο RM Finite Elements ορίστε Action = Create Object = Mesh Type = Curve Click στο Bar2 στο Element Topology Click στο κουτί Curve List Click στην Curve 1 (αριστερή) Επαναλάβετε για τις άλλες δυο Στο RM Finite Elements ορίστε Action = Equivalence Object = All Type = Tolerance Cube (Σκοπός εδώ είναι να γίνει ταύτιση των κόµβων που βρίσκονται ο ένας πάνω στον άλλο) Ορίστε Equivalence Tolerance =.005 (Το Patran θα σας ενηµερώσει ότι διαγράφηκαν 2 «επικαλυπτόµενοι» κόµβοι) 5. ηµιουργία συνοριακών συνθηκών Από το ΤΜ επιλέξτε Load/BCs Εµφανίζεται ένα RM µε το όνοµα Load/Boundary Conditions Ορίστε Action = Create Object = Displacement Type = Nodal Ορίστε Current Load Case = Default Στο πεδίο New Set Name δώστε paktwsi (το όνοµα είναι της επιλογής µας). Click στο Input Data Εµφανίζεται ένα SM Ορίστε Translations: <0, 0, 0> Rotations: <0, 0, 0> Επαληθεύστε ότι το Analysis Coordinate Frame είναι Coord 0 Click στο ΟΚ. (επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM) 11

Click στο Select Application Region Επιλέξτε το Geometry Click στο πεδίο Select Geometric Entities (Ακριβώς δίπλα από αυτό το µενού υπάρχει µια µικρή µπάρα. Επιλέξτε το κουµπί µε το σηµείο) Click στο σηµείο 1 (τέρµα αριστερά) Εµφανίζεται ένα SM (Selection Choices) στο οποίο πρέπει να επιλέξετε το Point 1. Click στο Add και µετά ΟΚ. Επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM (Στο κεντρικό παράθυρο εµφανίζονται οι περιορισµοί κίνησης που εφαρµόσαµε) 6. ηµιουργία φορτίου Κοµβική δύναµη (κατανοµή βάσει των εσωτερικών δυνατοτήτων του προγράµµατος Ενώ βρίσκεστε ακόµα στο Load/BCs Ορίστε Action = Create Object = Force Type = Nodal ώστε όνοµα της επιλογής σας στο New Set Name (πχ P) Click στο Input Data Εµφανίζεται ένα SM Ορίστε: Click στο OK Επιστρέφουµε στο Load/BCs RM Click στο Select Application Region F1 F2 F3: <10000 0 0> (και αφήστε όλα τα άλλα ως έχουν, δηλ. < >) Επιλέγουµε το Σηµείο 4 (το τελευταίο δεξιά) Click στο Add Click στο OK (Εµφανίζεται ένα βέλος που δείχνει τη φορά της δύναµης) Αδρανειακό φορτίο Ενώ βρίσκεστε ακόµα στο Load/BCs Ορίστε Action = Create Object = Inertial Load (Αδρανειακό φορτίο) 12

Type = Element Uniform ώστε όνοµα της επιλογής σας στο New Set Name (πχ Gravity) Click στο Input Data Εµφανίζεται ένα SM Ορίστε: Click στο OK Επιστρέφουµε στο Load/BCs RM Click στο Select Application Region Click στο OK Trans Accel: <9.81 0 0> (και αφήστε όλα τα άλλα ως έχουν, δηλ. < >) (To Patran µας ενηµερώνει ότι το αδρανειακό φορτίο εφαρµόζεται εξ ορισµού σε ολόκληρη την κατασκευή) (Εµφανίζεται ένα βέλος που δείχνει τη φορά του g) 7. ηµιουργία του υλικού της κατασκευής Στο ΤΜ επιλέξτε Materials Εµφανίζεται ένα RM που ονοµάζεται Materials Ορίστε: Action = Create Object = Isotropic Method = Manual Input Click στο πεδίο Material Name και δώστε όνοµα της επιλογής σας (πχ Aluminum) Click στο Input Properties Εµφανίζεται ένα SM µε το όνοµα Input Options Ορίστε: Click στο OK Elastic Modulus = 60e9 Density = 2500 8. Ορισµός ιδιοτήτων για κάθε στοιχείο Στο ΤΜ επιλέξτε Properties Εµφανίζεται ένα RM ονόµατι Properties Ορίστε: Action = Create Dimension = 1d Type = Rod Click στο πεδίο Property Set Name και δώστε όνοµα της επιλογής σας (πχ bar1) Click στο Input Properties και εµφανίζεται ένα SM. 13

Click στο πεδίο Material Name και Click στο κουµπί τέρµα δεξιά Click στη λέξη Aluminum (θα εµφανιστεί το κείµενο m:aluminum) Click στο πεδίο Area και δώστε διατοµή10e-4 Click στο ΟΚ Click στο Select Members Επιλέξτε το πρώτο στοιχείο (η αριστερή γραµµή). Στο πεδίο αναγράφεται το κείµενο Elm 1. Click στο Add. Επαναλάβετε για να επιλέξετε και τα υπόλοιπα στοιχεία. 9. Καθορισµός της ανάλυσης Από το ΤΜ επιλέξτε Analysis Εµφανίζεται το RM Analysis Ορίστε: Action = Analyze Object = Entire Model Method = Full Run Click στο Solution Type Επιλέξτε Solution Type =Linear Static Click στο OK (Το Patran από µόνο του δε βγάζει αποτελέσµατα για τις παραµορφώσεις. Πρέπει να το καθορίσουµε εµείς.) Click στο Subcases εµφανίζεται ένα SM Στο Available subcases Click στο Default Click στο Output Requests Στο Select Result Type Click στο Element Strains OK, Apply, Yes, Cancel Επιστρέφουµε στο Analysis RM (Γίνεται η ανάλυση µπορεί να πάρει λίγα δευτερόλεπτα) Αφού τελειώσει η ανάλυση Ορίστε: Action = Access Results 14

Object = Attach XDB Method = Result Entities 10. Μετεπεξεργασία και εξαγωγή των αποτελεσµάτων Από το ΤΜ επιλέξτε Results Εµφανίζεται το RM Results Ορίστε: Action = Create Εµφανίζεται ένα SM Στο Select Result Case Object = Quick Plot Επιλέξτε το Default, Static Subcase Στο Select Fringe Result Επιλέξτε Displacements, Translational Στο Select Deformation Result Επιλέξτε Displacements, Translational Για να αντιγράψετε την εικόνα σε κάποιο άλλο πρόγραµµα (πχ Word) κάντε κλικ στο κουµπί «Copy to Clipboard». Είναι το 5 ο κουµπι, δίπλα από το κουµπί του εκτυπωτή. Για να πάρουµε τις τάσεις (έστω τη σ Χ ), Στο Select Deformation Result Επιλέξτε Stress tensor, Quantity: X Component (Τα υπόλοιπα ως έχουν) 15

16

Άσκηση 1: Ανάλυση µονοδιάστατου παραµορφώσιµου σώµατος- Απλοποιηµένο πτερύγιο ελικοπτέρου Πτερύγιο ελικοπτέρου έχει οµοιόµορφη διατοµή Α = C Α 0 και άνοιγµα L = C L 0, και περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα Ω = 1 000rpm, περί τον άξονα y, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το υλικό του πτερυγίου είναι Αλουµίνιο µε µέτρο ελαστικότητας Ε = 60GPa, v=0.30, ρ=2500kg/m 3. ίνεται ότι A 0 =5cm 2 και L 0 =3m. Ζητείται να υπολογιστεί η εντατική κατάσταση του πτερυγίου, χρησιµοποιώντας δίκοµβα αξονικά στοιχεία. Συγκεκριµένα: 1. Να βρεθεί η συνεπής διακριτοποίηση της φυγόκεντρης δύναµης, για τυχαίο δίκοµβο στοιχείο. 2. Να υπολογιστούν οι αντίστοιχες διακριτές κοµβικές φυγόκεντρες δυνάµεις για ένα µοντέλο µε 5 στοιχεία, χρησιµοποιώντας: a. Μέσες τιµές πεδιακής δύναµης για κάθε στοιχείο b. Τη συνεπή διακριτοποίηση του ερωτήµατος (1) 3. Να υπολογιστεί η µετατόπιση u και η παραµόρφωση ε x κατά µήκος του πτερυγίου για µοντέλο µε 5 στοιχεία χρησιµοποιώντας το πακέτο MSC.Patran/Nastran µε: a. Μέση σταθερή δύναµη b x για κάθε στοιχείο b. Συνεπή διακριτοποίηση b x c. Τις εσωτερικές δυνατότητες του πακέτου για αδρανειακές δυνάµεις Να γίνουν γραφήµατα u και ε x ως προς x/l. Να σχολιασθεί η µέθοδος που χρησιµοποιείται από το πακέτο. 4. Να µελετηθεί ως προς τη σύγκλιση για a. Τη µετατόπιση στο άκρο b. Την τάση στη βάση Για n = 5, 10, 15, 20 στοιχεία, b x = const. Να γραφούν οι τιµές στον πίνακα και γίνουν τα αντίστοιχα γραφήµατα ως προς τον αριθµό των στοιχείων. Τιµές του συντελεστή C για τη διατοµή και το µήκος, σύµφωνα µε το τελευταίο ψηφίο του Α.Μ. Ψηφίο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Παρατηρήσεις: Η άσκηση να παραδοθεί σε χαρτί Α4, συνδεδεµένο στην πάνω αριστερή γωνία, χωρίς πλαστικά εξώφυλλα ή φακέλους. Η επόµενη σελίδα πρέπει να συµπληρωθεί και θα αποτελεί την 1 η ή 2 η σελίδα του θέµατος. 17

Όνοµα: Όνοµα: Α.Μ.: Α.Μ.: Τιµές διαστάσεων που χρησιµοποιήθηκαν: C = A(cm) = L(m) = Συνεπής διακριτοποίηση γραµµικά µεταβαλλόµενης αδρανειακής δύναµης (Ερ. 1) F b1 = F b2 = ιακριτοποιηµένες αδρανειακές δυνάµεις (Ερ. 2) Κοµβικές δυνάµεις (Ν) Κόµβος ιακριτοποίηση b c = const. Συνεπής διακριτοποίηση Σύγκλιση (Ερ. 4) Αριθµός στοιχείων Μετατόπιση κορυφής (mm) Τάση στη βάση (MPa) 5 10 15 20 18

Παράδειγµα 2: Ανάλυση διδιάστατων κατασκευών δικτυωµάτων Στοιχείο ιατοµή (cm 2 ) 1 10 60 2 20 100 3 20 60 4 10 60 Οδηγίες επίλυσης του προβλήµατος 1. ηµιουργία του παραπάνω µοντέλου Π. Σ. 2. Λύση a. Ορίζονται σύστηµα συντεταγµένων, κόµβοι b. Ορίζονται τα στοιχεία Μέτρο ελαστικότητας (GPa) c. Ορίζονται οι συνοριακές συνθήκες και τα φορτία d. Ορίζονται τα υλικά e. Ορίζονται οι ιδιότητες 3. Παρουσίαση των αποτελεσµάτων Υποδείξεις 1. Τα στοιχεία που θα χρησιµοποιηθούν θα είναι τύπου ράβδου. 2. Θα δηµιουργηθούν δυο υλικά (Ε 1 =60 ε 9, Ε 2 =100 ε 9) 19

3. Θα δηµιουργηθούν τρία σετ ιδιοτήτων (ανάλογα µε το Ε και τη διατοµή) 4. Για τη στήριξη: Trans: <0 0 0> Rot: < > 5. Για την κύλιση (node 2): Trans: <0,,0> Rot: < > Για να δούµε τη µετατόπιση κάποιου συγκεκριµένου κόµβου: Αφού έχουµε ολοκληρώσει την ανάλυση και έχουµε κάνει Access Results κτλ Στο ΤΜ επιλέξτε Results Στο RM ορίστε: Action = Create Object = Cursor Method = Scalar Στο Select Cursor Result επιλέξτε Displacements, Quantity: X Component (Κάνοντας κλικ πάνω στους κόµβους, η τιµή της µετατόπισης x για τον κόµβο αυτό προστίθεται στη λίστα) 20

Άσκηση 2: Ανάλυση διδιάστατου δικτυώµατος-πυλώνας µεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας ίνεται ο πυλώνας µεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, ο οποίος αποτελείται από υποτµήµατα (bays) όπως φαίνεται στο σχήµα. Ο τρόπος στήριξης φαίνεται επίσης στο σχήµα. Ο πυλώνας φορτίζεται στα σηµεία αναρτήσεως των καλωδίων 1 και 2 µε τις δυνάµεις του σχήµατος. Το υλικό κατασκευής είναι χάλυβας µε µέτρο ελαστικότητας Ε=170GPa. Οι διατοµές των στοιχείων είναι: Κατακόρυφα στοιχεία: Οριζόντια στοιχεία: ιαγώνια στοιχεία: Α 1 = 2 Α Α 2 = 1.5 Α Α 3 = Α Οι τιµές που θα χρησιµοποιηθούν για τη διατοµή Α και τη χαρακτηριστική απόσταση L είναι: Α = C. 5 cm 2 L = C. 1 m Όπου το C εξαρτάται από το τελευταίο ψηφίο του αριθµού µητρώου του πρώτου φοιτητή της οµάδας και είναι: Ψηφίο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 21

Χρησιµοποιώντας το πακέτο MSC.Patran/Nastran: 1. Να κατασκευαστεί και να παρουσιαστεί το µοντέλο Π.Σ. για την ανάλυση του προβλήµατος 2. Να παρουσιαστεί το παραµορφωµένο σχήµα του πυλώνα 3. Να γραφούν οι κοµβικές µετατοπίσεις στα σηµεία στήριξης των καλωδίων 1 & 2. 4. Να γραφούν οι αξονικές τάσεις στα στοιχεία του υποτµήµατος της βάσης του πυλώνα (βλ. σχήµα). 5. Να επαληθευτούν µε δικό σας υπολογισµό οι τάσεις στα µέλη 2 και 6 χρησιµοποιώντας τις κοµβικές µετατοπίσεις που δίνει το πακέτο. Τα αποτελέσµατα να παρουσιαστούν περιληπτικά στην επόµενη σελίδα η οποία πρέπει να παραδοθεί µαζί µε τα σχήµατα των ερωτήσεων 1, 2 και τους υπολογισµούς της ερώτησης 5. Όνοµα: Όνοµα: ΑΜ: ΑΜ: Τιµές επιφανειών και µήκους: Α 1 = Α 2 = A 3 = L = Εγκάρσιες κοµβικές µετατοπίσεις στα σηµεία ανάρτησης (1) & (2) σε mm: u 1 = v 1 = u 2 = v 2 = Αξονικές τάσεις στα στοιχεία του υποτµήµατος της βάσης (σε MPa): σ 1 = σ 2 = σ 3 = σ 4 = σ 5 = σ 6 = Αποτελέσµατα υπολογισµών επαλήθευσης (ερώτηµα 5) σ 2 = σ 6 = 22

Παράδειγµα 3: ιδιάστατο πρόβληµα παραµορφώσιµου σώµατος Μπλοκ από χάλυβα µε ιδιότητες Ε = 196.5GPa, v = 0.27 και ρ = 7834.6kg/m 3 καταπονείται µε οµοιόµορφα κατανεµηµένη δύναµη Ρ = 1000 tn. Οι διαστάσεις του µπλοκ είναι L x = L y = 1m. Ερωτήµατα: 1. Να µοντελοποιηθεί και λυθεί το πρόβληµα στο πακέτο MSC.Patran/Nastran χρησιµοποιώντας οµοιόµορφη διακριτοποίηση 4x4 4-κοµβων στοιχείων. Να βρεθούν οι µετατοπίσεις στους κόµβους και οι κατανοµές των τάσεων και παραµορφώσεων. 2. Να επαναληφθεί µοντελοποίηση και η λύση για 3-κοµβα και 8-κοµβα στοιχεία. Να σχολιαστούν οι διαφορές που προκύπτουν. 23

24

Άσκηση 3: Ανάλυση διδιάστατου συνεχούς παραµορφωσίµου σώµατος - Αξιολόγηση διαφόρων στοιχείων Η πακτωµένη ράβδος βάθους β=1m που φαίνεται στο σχήµα φορτίζεται µε διατµητική τάση τ xy = 50 MPa στην ελεύθερη επιφάνεια. Το υλικό είναι αλουµίνιο µε µέτρο ελαστικότητας Ε=60GPa, v = 0.30. ίνεται ότι: h = C. 0.1 m L/h = 5 Η δοκός ζητείται να αναλυθεί χρησιµοποιώντας αρχικά ένα δίκτυο (mesh) από 10x2 σειρές στοιχείων επίπεδης παραµόρφωσης κατά τη διεύθυνση µήκους (x) και ύψους (y) αντίστοιχα. Ζητούνται: 1. Για τη δεδοµένη διακριτοποίηση (10x2) να δηµιουργηθούν µοντέλα µε τα εξής χαρακτηριστικά: a. 3-κοµβο τριγωνικό στοιχείο σε διάταξη παράλληλων γραµµών b. 4-κοµβο τετράπλευρο στοιχείο c. 8-κοµβο τετράπλευρο στοιχείο 2. Για κάθε τύπο στοιχείου να βρεθούν οι ισοδύναµες κοµβικές διατµητικές δυνάµεις στους κόµβους της ελεύθερης επιφάνειας σαν κοµβικές δυνάµεις στα αντίστοιχα µοντέλα. 3. Να συγκριθούν οι εγκάρσια µετατόπιση v που δίνει κάθε µοντέλο στο ελεύθερο άκρο της επιφάνειας (x = L, y = 0). Να δοθούν τα σχήµατα του παραµορφωµένου σώµατος (µέσα από το Patran). 4. Να παρουσιαστούν οι κατανοµές της αξονικής τάσης σ x στη δοκό, και δοθούν τα printouts τάσεων του στοιχείου. 5. Να γίνει µελέτη σύγκλισης για το 3-κοµβο και 4-κοµβο στοιχείο για της εξής πυκνότητες κόµβων: 2x2, 5x2, 10x2, 20x2 και να σχεδιαστεί η εγκάρσια µετατόπιση στο ελεύθερο άκρο (x=l, y=0) για δοκούς µε πάχος L/h = 5, L/h = 20, L/h = 100, χρησιµοποιώντας 10x2 σειρές στοιχείων και: a. 4-κοµβο τετράπλευρο στοιχείο b. 8-κοµβο τετράπλευρο στοιχείο Για την απάντηση των ερωτηµάτων 2 & 3 να χρησιµοποιηθούν οι πίνακες στο πίσω µέρος της σελίδας. Να παραδοθούν 1-2 σελίδες όπου να εξηγείται ο υπολογισµός στο ερώτηµα 2, και να εξηγούνται/σχολιάζονται τα αποτελέσµατα στα ερωτήµατα 3, 5, 6. Οι τιµές για το ύψος προσδιορίζονται από το τελευταίο ψηφίο του Α.Μ.: Ψηφίο 0-4 5-9 C 1 2 25

Όνοµα: Όνοµα: Α.Μ.: Α.Μ.: Τιµές διαστάσεων που χρησιµοποιήθηκαν: C = h = L = ιακριτοποιηµένες επιφανειακές δυνάµεις (Ερ. 2) Τύπος Στοιχείου Κόµβοι επιφάνειας φόρτισης Tri-3 Quad-4 Quad-8 Fx Fy Fx Fy Fx Fy Εγκάρσια µετατόπιση (Ερ. 3) Στοιχείο Tria-3 (Παράλληλες γραµµές) Quad-4 Quad-8 Εγκάρσια µετατόπιση v(mm) Εγκάρσια µετατόπιση (Ερ. 5) Στοιχείο Εγκάρσια µετατόπιση v(mm) L/h = 5 L/h = 20 L/h = 100 Quad-4 Quad-8 26

Παράδειγµα 4: Ανάλυση διδιάστατου προβλήµατος µετάδοσης θερµότητας q=0 Τ=0 Τ=0 q ίνεται ένα απλοποιηµένο 4χ4 διδιάστατο µοντέλο πεπερασµένων στοιχείων, διατοµής ράβδου πυρηνικού καυσίµου. Η ράβδος ψύχεται στις παράπλευρες επιφάνειες έτσι ώστε η θερµοκρασία να παραµένει σταθερή. Στην τρίτη (άνω) επιφάνεια υπάρχει τέλεια µονωση, ενώ στην άλλη (κάτω) επιφάνεια υπάρχει σταθερή επιφανειακή ροή θερµότητας q=500kw/m. Εντός της ράβδου παράγεται θερµότητα q s =10MW/m 2. Η διατοµή της ράβδου είναι τετράγωνη µε διάσταση L=20cm. Η θερµική αγωγιµότητα του υλικού είναι k=1.5kw/m o C. Χρησιµοποιείται µοντέλο 4-κοµβων στοιχείων. 1. Να βρεθούν οι θερµοκρασίες στους κόµβους, και 2. Να παρασταθούν αριθµητικά και γραφικά. 27

Αναλυτικές οδηγίες επίλυσης του προβλήµατος 1. ηµιουργία νέας database Από το ΤΜ επιλέξτε File Στο µενού που εµφανίζεται επιλέξτε New Εµφανίζεται ένα SM µε το όνοµα New Database Click στο OK. 2. Ορισµός θερµικού προβλήµατος Από το ΤΜ επιλέξτε Preferences, Analysis Απενεργοποιείστε (no check) το Modify Preferences Επιλέξτε το κατάλληλο directory (πχ My Documents) και δώστε ένα όνοµα αρχείου της επιλογής σας (πχ therm.db) στο πεδίο New Database Name. Εµφανίζεται ένα RM µε επιλογές για την ανάλυση. Στο Analysis Code επιλέξτε MSC.Nastran Στο Analysis Type επιλέξτε Thermal 3. ηµιουργία γεωµετρίας Από το ΤΜ επιλέξτε Geometry Εµφανίζεται ένα RM που ονοµάζεται Geometry Ρυθµίστε Ορίστε το Point ID = 1 Action = Create Object = Point Method = XYZ Ορίστε το Reference Coordinate Frame στο Coord 0. Απενεργοποιείστε το Auto Execute Εισάγετε τα παρακάτω σηµεία στο Point Coordinate list: [0,0,0] [.20,0,0] [.20,.20,0] [0,.20,0] (Το Patran δέχεται είτε κενά είτε κόµµατα σαν διαχωριστικά) (Σε αυτό το σηµείο πρέπει να έχουν εµφανιστεί 4 σηµεία στο παράθυρο µε τίτλο «bar.db - default_viewport - default_group entity») 4. Σύνδεση των σηµείων µε γραµµές Ενώ είστε ακόµα στο RM Geometry, Ορίστε Action = Create Object = Curve Method = Point Απενεργοποιείστε το Auto Execute αν είναι ενεργοποιηµένο 28

Click στο Starting Point List Click στο σηµείο 1 Click στο Ending Point List Click στο σηµείο 2 (Πρέπει να έχει δηµιουργηθεί µια γραµµή από το σηµείο 1 στο σηµείο 2 και να έχει το όνοµα line 1). Επαναλάβετε τη διαδικασία και ενώστε τα σηµεία 2 & 3, 3 & 4 και 4 &1. Ενώ είστε ακόµα στο RM Geometry, Ορίστε Action = Create Object = Surface Method = Edge Option = 4 Edge Απενεργοποιείστε το Auto Execute αν είναι ενεργοποιηµένο Click στο πεδίο Surface Edge 1 List και Click στην Curve 1. Οµοίως και τις υπόλοιπες. 5. ηµιουργία πλέγµατος (mesh) Στο ΤΜ επιλέξτε Elements Εµφανίζεται ένα RM που ονοµάζεται Finite Elements Ορίστε Action = Create Object = Mesh Seed Type = Uniform Επιλέξτε Number of Elements και Number = 4 Απενεργοποιείστε το Auto Execute Click στο κουτί Curves List Click στην πρώτη γραµµή (κάτω). Η φράση Curve 1 γράφεται αυτόµατα στο κουτί. (Οι κύκλοι δείχνουν τα σηµεία στα οποία θα δηµιουργηθούν κόµβοι) Επαναλάβετε τη διαδικασία και για τις άλλες τρεις γραµµές. Αφού υποδείξαµε στο πρόγραµµα που πρέπει να δηµιουργηθούν κόµβοι, πρέπει να ορίσουµε και τα στοιχεία. Στο RM Finite Elements ορίστε Action = Create 29

Object = Mesh Type = Surface Click στο Quad στο Element Topology Click στο Isomesh στο Mesher Click στο Quad4 στο Topology Click στο κουτί Surface List Click κάπου κοντά στο κέντρο της επιφάνειας Surface 1 Στο RM Finite Elements ορίστε Action = Equivalence Object = All Type = Tolerance Cube (Σκοπός εδώ είναι να γίνει ταύτιση των κόµβων που βρίσκονται ο ένας πάνω στον άλλο) Ορίστε Equivalence Tolerance =.005 (Το Patran θα σας ενηµερώσει αν και πόσοι «επικαλυπτόµενοι» κόµβοι διαγράφηκαν) 6. ηµιουργία συνοριακών συνθηκών Από το ΤΜ επιλέξτε Load/BCs Ορισµός σταθερής θερµοκρασίας στις πλευρές Εµφανίζεται ένα RM µε το όνοµα Load/Boundary Conditions Ορίστε Action = Create Object = Boundary Temperature Type = Nodal Ορίστε Current Load Case = Default Στο πεδίο New Set Name δώστε T1 (το όνοµα είναι της επιλογής µας). Click στο Input Data Εµφανίζεται ένα SM Ορίστε Boundary Temperature: 0 Click στο ΟΚ. (επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM) Click στο Select Application Region Επιλέξτε το Geometry Click στο πεδίο Select Geometric Entities 30

(Ακριβώς δίπλα από αυτό το µενού υπάρχει µια µικρή µπάρα. Επιλέξτε το κουµπί µε την καµπύλη curves or edges) Click στην αριστερή πλευρά Εµφανίζεται ένα SM (Selection Choices) στο οποίο πρέπει να επιλέξετε το Curve 4. Click στο Add Οµοίως και για τη δεξιά πλευρά. Click στο Add και µετά ΟΚ. Επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM (Στο κεντρικό παράθυρο εµφανίζονται οι θερµοκρασίες που εφαρµόσαµε) Ορισµός µηδενικής ροής θερµότητας από το πάνω µέρος Ενώ είστε ακόµα στο RM µε το όνοµα Load/Boundary Conditions Ορίστε Action = Create Object = Applied Heat Type = Element Uniform Option = Normal Fluxes Ορίστε Current Load Case = Default Στο πεδίο New Set Name δώστε q1 (το όνοµα είναι της επιλογής µας). Και ορίστε Click στο Input Data Target Element Type: 2D Εµφανίζεται ένα SM Ορίστε Form Type: Basic Click στο ΟΚ. Surface Option: Top (αν µπαίνει ή βγαίνει η ροή) Top Surf Heat Flux: 0 (επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM) Click στο Select Application Region Επιλέξτε το Geometry Click στο πεδίο Select Geometric Entities Click στην πάνω πλευρά (Surface 1.3) Click στο Add και µετά ΟΚ. Επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM (Στο κεντρικό παράθυρο εµφανίζεται η συνθήκη που εφαρµόσαµε για τη ροή) 31

Οµοίως δηµιουργείται και συνοριακή συνθήκη για την κάτω πλευρά (q=500) 7. ηµιουργία φορτίου (παραγωγή θερµότητας) Ενώ είστε ακόµα στο RM µε το όνοµα Load/Boundary Conditions Ορίστε Action = Create Object = Applied Heat Type = Element Uniform Option = Volumetric Generation Ορίστε Current Load Case = Default Στο πεδίο New Set Name δώστε Qs (το όνοµα είναι της επιλογής µας). Και ορίστε Click στο Input Data Target Element Type: 2D Εµφανίζεται ένα SM Επαληθεύστε ότι το Fixed είναι επιλεγµένο Ορίστε Volumetric Heat Generation: 10e6 Click στο ΟΚ. (επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM) Click στο Select Application Region Επιλέξτε το Geometry Click στο πεδίο Select Geometric Entities Click κάπου κοντά στο κέντρο της επιφάνειας Click στο Add και µετά ΟΚ. Επιστρέψαµε στο Load/Boundary Conditions RM (Στο κεντρικό παράθυρο εµφανίζεται η συνθήκη που εφαρµόσαµε για την παραγωγή θερµότητας) 8. ηµιουργία του υλικού της κατασκευής Στο ΤΜ επιλέξτε Materials Εµφανίζεται ένα RM που ονοµάζεται Materials Ορίστε: Action = Create Object = Isotropic Method = Manual Input Click στο πεδίο Material Name και δώστε όνοµα της επιλογής σας (πχ mat1) Click στο Input Properties Εµφανίζεται ένα SM µε το όνοµα Input Options Ορίστε: Thermal Conductivity = 1.5e3 32

Click στο OK 9. Ορισµός ιδιοτήτων για κάθε στοιχείο Στο ΤΜ επιλέξτε Properties Εµφανίζεται ένα RM ονόµατι Properties Ορίστε: Action = Create Dimension = 2D Type = Shell Click στο πεδίο Property Set Name και δώστε όνοµα της επιλογής σας (πχ props1) Click στο Input Properties και εµφανίζεται ένα SM. Click στο πεδίο Material Name και Click στο κουµπί τέρµα δεξιά για να επιλέξετε το υλικό ώστε µια τιµή για το πάχος (Thickness) έστω 1 m. Click στο ΟΚ Click στο Select Members Επιλέξτε την επιφάνεια. Στο πεδίο θα αναγράφεται Surface 1. Click στο Add. 10. Καθορισµός της ανάλυσης Από το ΤΜ επιλέξτε Analysis Εµφανίζεται το RM Analysis Ορίστε: Action = Analyze Object = Entire Model Method = Full Run Click στο Solution Type Στο Solution Type επιλέξτε STEADY STATE ANALYSIS Click στο OK (Γίνεται η ανάλυση µπορεί να πάρει λίγα δευτερόλεπτα) Αφού τελειώσει η ανάλυση Ορίστε: Action = Access Results Object = Attach XDB 33

Method = Result Entities 11. Μετεπεξεργασία και εξαγωγή των αποτελεσµάτων Από το ΤΜ επιλέξτε Results Εµφανίζεται το RM Results Ορίστε: Action = Create Object = Quick Plot Εµφανίζεται ένα SM Επιλέξτε τα αποτελέσµατα που θέλετε να παρουσιάσετε. 34

Παράδειγµα 5: Ανάπτυξη ιδιάστατων Μοντέλων Σύνθετων Γεωµετριών Πλάκα από χάλυβα µε ελαστικές ιδιότητες Ε = 210 GPa και ν = 0.29 και διαστάσεις 0.2 m x 0.2 m καταπονείται µε δύναµη P = 4000 Nt. Στο κέντρο της πλάκας υπάρχει οπή ακτίνας 2 cm. y P P x L Ζητούµενα: 1. Μοντελοποίηση και λύση στο πακέτο MSC.Patran/Nastran χρησιµοποιώντας συνθήκες συµµετρίας για το µισό µοντέλο. i. ηµιουργία mesh ii. Τεχνικές και µέθοδοι διακριτοποίησης (περιοχές διακριτοποίησης, µεταβλητό βήµα στοιχείου, αυτόµατη διακριτοποίηση). 2. Εύρεση τάσεων, παραµορφώσεων και µετατοπίσεων. Να γίνει γράφηµα της τάσης σ x κατά τον άξονα x και να βρεθεί η κατανοµή της ισοδύναµης τάσης Von-Mises στην πλάκα. 35

36

Άσκηση 5 : Ανάλυση ιδιάστατης Κατασκευής Ανάλυση Τάσεων σε Έδρανο Στήριξης Το στοιχείο στήριξης του σχήµατος ειναι κατασκευασµένο από χάλυβα µε ελαστικές ιδιότητες Ε = 210 GPa και ν = 0.29 καταπονείται µε πίεση που µεταβάλλεται από σ min = 12 MPa σε σ max = 120 MPa. Το όριο διαρροής του συγκεκριµένου χάλυβα είναι 350 MPa. Το πάχος του στοιχείου είναι 10 mm. (1) Να δηµιουργηθεί κατάλληλο πλέγµα στοιχείων (mesh) γαι την επίλυση του προβλήµατος και να δηµιουργηθεί το πλήρες µοντέλο. Να γίνει αιτιολόγηση των επιλογών. (2) Να υπολογιστούν οι παραµορφώσεις και τάσεις von Mises. Να βρεθεί ο συντελεστής ασφάλειας µε βάση το κριτήριο αστοχίας von Mises. Συντ. Ασφάλειας = 1 (σ VM / S Y ) Οδηγίες: Για να βάλετε πίεση χρησιµποποιήστε τις εντολές Loads Apply Structural Pressure on Lines και αφού διαλέξετε το αριστερά τεταρτοκύκλιο βάλτε Value 12 και Optional Value 120, για να δηµιουργήσετε την κατανοµή πίεσης του σχήµατος. Οµοίως για το δεξί τεταρτοκύκλιο, αλλάζοντας Optional Value και Value. Στα options του στοιχείου που θα χρησιµοποιήσετε, επιλέξτε plain stress w/thk, για να βάλετε στη συνέχεια το πάχος στα real constants. ΟΝ/ΕΠΩΝΥΜΟ ΑΜ ΕΤΟΣ ΟΝ/ΕΠΩΝΥΜΟ ΑΜ ΕΤΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΑΠΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ VON MISES 37