Εργαστήριο Επεξεργασίας Σηµάτων και Τηλεπικοινωνιών Κινητά ίκτυα Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό Ετος 2012-2013 Τίτλος Εργασίας Προσοµοίωση Προσαρµοστικού Ισοστάθµιση για Αραιά Κανάλια 1 Εισαγωγή Στην παρούσα εργασία ϑα ασχοληθούµε µε την µελέτη και την υλοποίηση ενός προσαρµοστικού ισοστάθµιση για κανάλια πολυδιόδευσης τα οποία χαρακτηρίζονται από αραιή κρουστική απόκριση. Οπου, αραιή κρουστική απόκριση σηµαίνει ότι τα συγκεκριµένα κανάλια αποτελούνται από πολύ λίγους µη µηδενικούς συντελεστές, σε σχέση µε το συνολικό µήκος της. Στην περίπτωση των κινητών επικοινωνιών, τα ϕαινόµενα του διασκορπισµού και της µετατόπισης Doppler συχνά δηµιουργούν αραιά κανάλια πολυδιόδευσης, όπου οι µη µηδενικοί συντελεστές αντιστοιχούν σε κάθε ένα µονοπάτι. Η λειτουργία της ισοστάθµισης έχει ως στόχο την αντιµετώπιση του ϕαινοµένου της διασυµβολικής παρεµβολής (ISI), που δηµιουργείται εξαιτίας της πολυδιόδευσης σε κανάλια µε µεγάλη χρονική διασπορά. Ενας ισοσταθµιστής ενσωµατώνεται συνήθως στο δέκτη και αναλαµβάνει να αντιµετωπίσει τις παραµορφώσεις που οφείλονται στο κανάλι. Επειδή γενικά το κανάλι είναι άγνωστο και χρονικά µετα- ϐαλλόµενο, ο ισοσταθµιστής πρέπει να είναι προσαρµοστικός, όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 1. Σχήµα 1: ιάγραµµα ϐαθµίδων ενός γραµµικού προσαρµοστικού ισοσταθµιστή 1
2 Περιγραφή Συστήµατος 2.1 Μοντέλο Σήµατος Εάν y(t) είναι το λαµβανόµενο σήµα στο δέκτη ενός τηλεπικοινωνιακού συστήµατος για τη χρονική στιγµή t, τότε µπορεί να εκφραστεί ως : y(t) = N 1 k=0 s(t k)h(k)+n(t), t = 0,...,M 1 (1) όπου s(t) είναι η ακολουθία εκπαίδευσης, h(t) είναι η απόκριση του καναλιού, και n(t) ο λευκός Γκαουσιανός προσθετικός ϑόρυβος µηδενικής µέσης τιµής και διασποράς σ 2. Η εξίσωση (1) µπορεί να γραφεί σε µορφή πινάκων ως εξής : y = Sh+n (2) όπου S είναι ο M N Toeplitz πίνακας µε τα σύµβολα εκπαίδευσης, h είναι το N 1 διάνυσµα απόκρισης καναλιού και y,n είναι τα M 1 διανύσµατα λαµβανόµενου σήµατος και ϑορύβου αντίστοιχα. Ισοδύναµα, η σχέση (2), µπορεί να γραφεί ως εξής : y = Hs+n (3) όπου H είναι ο M N Toeplitz πίνακας του καναλιού. 2.2 Προσαρµοστική Ισοστάθµιση Ο στόχος της προσαρµοστικής ισοστάθµισης είναι ο κατάλληλος σχεδιασµός της κρουστικής απόκρισης του καναλιού, ώστε σε κάθε χρονική στιγµή, η έξοδος του ισοσταθµιστή ˆd(t) να είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο σήµα που µεταδόθηκε s(t). Στην παρούσα εργασία ϑα ασχοληθούµε µε τη µελέτη ενός γραµµικού προσαρµοστικού ισοσταθµιστή, πεπερασµένης κρουστικής απόκρισης w(t). Πιο συγκεκριµένα, ϑα µελετήσουµε τον προσαρµοστικό αλγόριθµο Ελάχιστου Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (Minimum Mean Square Error MMSE)). Συµβολίζοντας µε t την τρέχουσα χρονική στιγµή, ο προσαρµοστικός ισοσταθ- µιστής MMSE εκφράζεται από την ακόλουθη εξίσωση : w(t) = (Ĥ(t)Ĥ(t) H +σ 2 I) 1 Ĥ (t) (4) όπου Ĥ(t) ο Toeplitz πίνακας της εκτίµησης του καναλιού ĥ(t), και Ĥ (t) η στήλη του πίνακα, η παράµετρος καθυστέρησης λόγω αιτιατότητας του συστή- µατος. 2.3 Τεχνικές Εκτίµησης Καναλιού Η εκτίµηση της απόκρισης ενός καναλιού είναι ένα ϐασικό κοµµάτι στις εφαρµογές τηλεπικοινωνιακών συστηµάτων. Η γνώση της απόκρισης του καναλιού µας επιτρέπει να προσαρµόσουµε τις µεταδόσεις µας στις εκάστοτε συνθήκες, µε στόχο την επίτευξη αξιόπιστης επικοινωνίας µε υψηλούς ϱυθµούς µετάδοσης δεδοµένων. Η αραιή κρουστική απόκριση που προκύπτει σε πολλές εφαρµογές αποτελεί ένα κίνητρο για να συνδυαστεί η εκτίµησή της µε τεχνικές που εκµεταλλεύονται 2
2.5 Channel Impulse Responce (CIR) total length 100 symbols, 5 nonzero symbols 2 1.5 CIR 1 0.5 0 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 symbol Σχήµα 2: Κρουστική απόκριση αραιού καναλιού την αραιότητα των σηµάτων [1]. Η σύγχρονη έρευνα σχετικά µε την εκτίµηση αραιών σηµάτων (Συµπιεσµένη Καταγραφή - Compressive Sampling [2] έχει δώσει ώθηση σε νέες τεχνικές για την εκτίµηση αραιών καναλιών. Ενα παράδειγµα απόκρισης αραιού καναλιού απεικονίζεται στο Σχήµα 2. 2.3.1 Εκτιµητής Καναλιού Ελαχίστων Τετραγώνων (LS) Η κλασσική λύση Ελαχίστων Τετραγώνων στο πρόβληµα εκτίµησης του καναλιού δίνεται από την έκφραση : ή ισοδύναµα ĥ LS = argmin h z Sh 2 2 (5) ĥ LS = (S T S) 1 S T z (6) Η λύση αυτή δεν λαµβάνει υπόψιν την αραιότητα των σηµάτων, και ϑα δώσει µη µηδενικές τιµές για κάθε ένα συντελεστή της κρουστικής απόκρισης, όπως απεικονίζεται στο Σχήµα 3. Οι τιµές αυτές, αν και ϐρίσκονται κοντά στο µηδέν, έχουν µία µικρή απόκλιση από την πραγµατική κρουστική απόκριση του καναλιού, αυξάνοντας τη συνολική απόκλιση της προσέγγισης. 3
2.5 2 Channel Impulse Responce (CIR) total length 100 symbols, 5 nonzero symbols CIR LS Reconstructed CIR 1.5 CIR 1 0.5 0 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 symbol Σχήµα 3: Προσέγγιση κρουστικής απόκριση αραιού καναλιού, µε τη µέθοδο Ε- λαχίστων Τετραγώνων (LS) 2.3.2 Εκτιµητής Καναλιού Genie Aided LS Η συγκεκριµένη τεχνική υποθέτει ότι µε κάποιον τρόπο γνωρίζουµε εκ των προτέ- ϱων τη ϑέση των µη µηδενικών συντελεστών της απόκρισης του καναλιού. Φυσικά µια τέτοια τεχνική δεν έχει πρακτική εφαρµογή, απλά την χρησιµοποιούµε ως µέτρο σύγκρισης των υπόλοιπων τεχνικών. Αυτήν την µέθοδο ϑα την καλούµε GA LS (Genie Aided Least Squares) και ϑα δίνεται από την παρακάτω σχέση : ĥ GALS, Λ = argmin h Λ z S Λ h Λ (7) όπου Λ είναι το σύνολο µε τους δείκτες των µη µηδενικών στοιχείων της απόκρισης του καναλιού, και µε S Λ συµβολίζουµε τον πίνακα που προκύπτει επιλέγοντας µόνο τις Λ στήλες του αρχικού πίνακα S. Ισοδύναµα η λύση της GA LS δίνεται από τη σχέση : ĥ GALS, Λ = (S T Λ S Λ) 1 S T Λ z (8) 2.3.3 Εκτιµητής Καναλιού OMP Μία άλλη προσέγγιση στο ϑέµα της εκτίµησης αραιών καναλιών αποτελεί ο greedy αλγόριθµος Orthogonal Matching Pursuit [3], [4]. Βάσει του αλγορίθµου αυτού το πρόβληµα αντιµετωπίζεται αναδροµικά, επιλέγοντας σε κάθε ϐήµα ποιες τιµές του καναλιού δεν είναι µηδενικές και λύνοντας ένα πρόβληµα ελαχίστων τετραγώνων. Μία σύντοµη αλγοριθµική περιγραφή του OMP είναι η εξής : 1. Αρχικοποίηση διανύσµατος υπόλοίπου (residual) ίσο µε τις παρατηρήσεις. r 0 = z 4
Αρχικοποίηση ενός συνόλου µε τους δείκτες των µη µηδενικών στοιχείων του καναλιού που ϑέλουµε να εκτιµήσουµε Λ 0 = 0 2. Συσχετισµός των στηλών του πίνακα S µε το υπόλοιπο r k 1 και επιλογή του στοιχείου µε το µεγαλύτερο µέτρο λ k = argmax S H j r k 1 j 3. Προσθέτουµε τον δείκτη λ k στο σύνολο µε τους δείκτες των µη µηδενικών στοιχείων Λ k = Λ k 1 λ k 4. Υπο τον περιορισµό ότι µόνο οι δείκτες µε τα στοιχεία του h που είναι µη µηδενικά έχουν προστεθεί στο σύνολο, ϐρίσκουµε την εκτίµηση του h η οποία ελαχιστοποιεί την έκφραση z Sĥk 2 2 5. Ανανέωση του υπολοίπου r k = z Sĥk 6. Επανάληψη των ϐηµάτων 2-4 για ένα προκαθορισµένο αριθµό επαναλήψεων ή έως ότου το υπόλοιπο r 2 να γίνει µικρότερο από ένα προκαθορισµένο κατώφλι. 3 Ζητούµενα Στα πλαίσια της άσκησης καλείστε να παραδώσετε µια αναφορά µε απαντήσεις για τα ακόλουθα Ϲητήµατα : Να προσοµοιώσετε ένα σύστηµα τετραδικού QAM ϐασικής Ϲώνης στο ϱυθµό των συµβόλων (δηλαδή χωρίς ϕίλτρα ποµπού/δέκτη και υπερδειγµατοληψία) µε τυχαίο κανάλι συνολικού µήκους 100 στοιχείων µε 5 µη µηδενικά στοιχεία. Υλοποιήστε τις τεχνικές εκτίµησης καναλιού που παρουσιάστηκαν στην πα- ϱάγραφο 2.3. Χρησιµοποιήστε τις τεχνικές εκτίµησης καναλιού, να να πραγµατοποιήσετε MMSE ισοστάθµιση στο δέκτη ενός τηλεπικοινωνιακού συστήµατος. Να συγκρίνετε το Μέσο Τετραγωνικό Σφάλµα των τεχνικών που υλοποιήσατε σε συνάρτηση του πλήθους συµβόλων. Αναφορές [1] Berger, C.R., Zhaohui Wang, Jianzhong Huang, Shengli Zhou, Application of compressive sensing to sparse channel estimation, Communications, IEEE Magazine, vol.48, no.11, pp.164 174, November 2010 5
[2] Emmanuel Candes and Michael Wakin, An introduction to compressive sampling, IEEE Signal Processing Magazine, 25(2), pp. 21 30, March 2008 [3] Tropp, Joel A. and Gilbert, Anna C., Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit, IEEE Transactions on Information Theory, 53 (12). pp. 4655 4666 [4] Thomas Blumensath, Mike E. Davies, On the Difference Between Orthogonal Matching Pursuit and Orthogonal Least Squares, 2007 6