Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων"

Κυριάκος Βιλαέτης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εξίσωση Τηλεπικοινωνιακών Διαύλων ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΜΔΕ ΠΡΟΗΓΜΈΝΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΑ ΣΥΣΤΉΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΑ Ενότητα η Φίλτρα Nyquis Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Wepage: hp://eclass.uop.gr/courses/s305

2 Περιεχόμενα Κανάλια περιορισμένου εύρους ζώνης Διασυμβολική παρεμβολή Διάγραμμα οφθαλμού Σχεδίαση άριστων φίλτρων Επιδόσεις συστήματος PAM Εξισωτές Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

3 Τα ιδανικά φίλτρα επιτρέπουν την μετάδοση σήματος χωρίς παραμόρφωση Σήμα x() εύρους ζώνης BW Ιδανικό LPF φίλτρο Χαρακτηριστική συνάρτηση μεταφοράς: H() = exp(-j 2π 0 ), BW y() = x(- 0 ) Η χρονική διαφορά 0 υπάρχει στην H() ώστε τα το φίλτρο να είναι φυσικά υλοποιήσιμο αιτιατό (casual) Κριτήριο Paley-Wiener:Ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα φίλτρο να είναι αιτιατό είναι ò - ( ) lnéë H + 4p 2 ùû d < Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 2

4 Τα μη ιδανικά φίλτρα δημιουργούν παραμόρφωση (disorion) Στη γενική περίπτωση, η χαρακτηριστικής συνάρτηση μεταφοράς (ΧΣΜ) μπορεί να είναι της μορφής H() = A() exp[-j Φ()] Συνεπώς, η παραμόρφωση μπορεί να οφείλεται Στο πλάτος A() μιας σταθεράς Στη φάσηφ() 2π 0 Ταυτόχρονα στο πλάτος και στη φάση Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3

5 Για παράδειγμα, αν H() = [ + k cos(2π )] exp(-j 2π 0 ), BW, με kκαι κάποιες σταθερές τιμές, τότε y() = x(- 0 ) +0.5 k [x(- 0 -) + x(- 0 +)] Το x(- 0 ) είναι το επιθυμητό σήμα Το x(- 0 ±)είναι παράγωγα με χρονική διαφορά ±Ταπό το επιθυμητό x() H() y() Η χρονική επέκταση του παλμού έξω από το διάστημα του αρχικού δημιουργεί διασυμβολικήπαρεμβολή (inersymol inererence - ISI) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4

6 Στα ασύρματα κανάλια μετάδοσης η ISI προκαλείται λόγω του φαινομένου της πολυδιόδευσης (mulipah) Για παράδειγμα, έστω το παρακάτω μοντέλο δύο ακτινών k x(- 0 -Δ) x() y() = x(- x 0 ) + k x(- 0 -Δ) x(- 0 ) Rx Δ: διαφορά χρόνου άφιξης μεταξύ των δύο ακτίνων, k: σταθερά Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5

7 Η ισοδύναμη ΧΣΜ για το παραπάνω μοντέλο είναι η H() = exp(-j 2π 0 ) + k exp[-j 2π ( 0 +Δ)] = A() exp[-j F()] Παράμετροι: 0 =, Δ = 0.5, k = 0.8 A() σταθερά Φ() 2π 0 Πλάτος της ΧΣΜ Φάση της ΧΣΜ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 6

8 Διατύπωση του προβλήματος Θέλουμε να μεταδώσουμε διαδοχικούς παλμούς διάρκειας Οι παλμοί είναι πεπερασμένου χρόνου, αλλά όχι πεπερασμένου εύρους ζώνης Τα φίλτρα εκπομπής/λήψης και το κανάλι μετάδοσης έχουν πεπερασμένο εύρος ζώνης Συνεπώς, τα φίλτρα εκπομπής/λήψης και το κανάλι προκαλούν παραμόρφωσηστους μεταδιδόμενους παλμούς και άρα ISI Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 7

9 Ναι, υπάρχει δυνατότητα ορθής λήψης των παλμών! Ο ανιχνευτής αποφαίνεται βάσει δειγματοληπτημένων τιμών Η ιδέα είναι να αποφύγουμε την ISI τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες λαμβάνονται δείγματα πριν την ανίχνευση w() Αποδιαμορφωτής Δέκτης y 0 Ανιχνευτής y 0 > 0à y 0 < 0à0 - r() , -.2, -0.5, 0.7 Τιμές χωρίς ISI Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 8

10 m () x() Φίλτρο q() Κανάλι z() εκπομπής H H () C () n() xˆ ( ) ˆ m ( ) = m w() Φίλτρο y() y(m ) λήψης Ανιχνευτής H R () Έστω σύστημα δυαδικού PAM βασικής ζώνης Το k-ιωστό i (0 ή ) διαμορφώνεται σε θετικό ή αρνητικό παλμό Οι παλμοί PAM μορφοποιούνται από το φίλτρο εκπομπής Το κανάλι δρα παραμορφωτικά στους εκπεμπόμενους παλμούς Στο σήμα προστίθεται θόρυβος AWGN Το ενθόρυβο σήμα διέρχεται μέσα από το φίλτρο λήψης όπου δειγματοληπτείται Με βάση τις δειγματοληπτημένεςτιμές, ο ανιχνευτής αποφαίνεται για το ποιο σύμβολο εκπέμφθηκε Ο αποδιαμορφωτής μετατρέπει το σύμβολο στο m-ιωστό i (0 ή ) Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 9

11 m () x() Φίλτρο q() Κανάλι z() εκπομπής H H () C () n() w() Φίλτρο y() y(m ) λήψης Ανιχνευτής H R () = m xˆ ( ) ˆ ( ) m Το k-ιωστό i (0 ή ) διαμορφώνεται σε θετικό ή αρνητικό παλμό Μια μικρή διαφορά σε σχέση με τους παλμούς PAM είναι ότι ο διαμορφωτής στην πραγματικότητα παράγει σύντομους παλμούς p g () (ιδανικά δέλτα) p g () τ x() με τ << Το σήμα την έξοδο του διαμορφωτή είναι å + k=- ( ) = a p ( - k ) με a k = ± ανάλογα αν k = 0 ή x k g - τ + τ τ Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 0

12 m () x() Φίλτρο q() Κανάλι z() εκπομπής H H () C () n() xˆ ( ) ˆ m ( ) = m w() Φίλτρο y() y(m ) λήψης Ανιχνευτής H R () h () Οι σύντομοι παλμοί διέρχονται μέσα από το φίλτρο εκπομπής με κρουστική απόκριση h () Στη συνέχεια διέρχονται μέσα από το κανάλι Το κανάλι μοντελοποιείται ως χαμηλοπερατό φίλτρο x() τ + τ τ εύρους ζώνης BW και παραμορφώνει τους παλμούς Επίσης προστίθεται θόρυβος AWGN - q() 2 2 Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου -

13 m () x() Φίλτρο q() Κανάλι z() εκπομπής H H () C () n() w() Φίλτρο y() y(m ) λήψης H R () = m Ανιχνευτής xˆ ( ) ˆ ( ) m Το σήμα διέρχεται μέσα από το φίλτρο λήψης y å + k=- ( ) = a r( - k ) + n( ) k Το r() αναπαριστά έναν παλμό μετά το φίλτρο λήψης x() τ + τ τ r() = p g () * h () * h C () * h R () r() - 0 o ν() είναι φιλτραρισμένος θόρυβος AWGN - - y() 0 k = 0 k = 2 2 ν() = n() * h R () k = Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 2

14 - Διασυμβολική Παρεμβολή Το σήμα δειγματοληπτείταισε = m και αποκτά την εξής μορφή: y + å ( m ) = a r( m - k ) + n( m ) = a r( 0) + a r[ ( m- k) ] + n( m ) k=- k Ο πρώτος όρος είναι το σύμβολο που αντιστοιχεί στο m-ιωστό i (συνήθως r(0) = ) Ο δεύτερος όρος αντιπροσωπεύει την επίδραση όλων των υπόλοιπων συμβόλων εκτός αυτού που αντιστοιχεί στο m-ιωστό i, γνωστή ως διασυμβολικήπαρεμβολή (inersymol inererence ISI) Ο τρίτος όρος είναι ο φιλτραρισμένος θόρυβος (Gaussian μηδενικής μέσης τιμής) m = 0 m = 2 a 0 0 k = 0 a r(- ) a 0 r( ) a 2 r(- ) k = 2 2 a Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 3 m = k = m + å k=- k¹ m a 2 k a r( )

15 Για να εξαλειφθεί η ISI, πρέπει r[(m-k) ] = 0, για κάθε m k Συνεπώς, θαπρέπει οι παλμοί μετά το φίλτρο λήψης να έχουν την ιδιότητα r ( m ) ì = í î0,, m= 0 m=±, ± 2, ± 3,K r() Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 4

16 Αν ισχύει η παραπάνω συνθήκη, μια εικόνα τριών διαδοχικών παλμών είναι - m = 0 m = 2 a 0 0 k = 0 a r(- ) a 0 r( ) a 2 r(- ) a m = k = a r( ) a 2 2 k = 2 Το δειγματοληπτημένο σήμα γίνεται y ( m ) = a + n( m ) m Το y(m ) περιλαμβάνει μόνο την επίδραση του θορύβου AWGN Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 5

17 Φίλτρα Nyquis Θεώρημα Nyquis για Μηδενισμό της ISI Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουν οι παλμοί μετά το φίλτρο λήψης την ιδιότητα ( m ) είναι να ισχύει σε κάθε συχνότητα ότι r å + k=- ì, m= 0 = í î0, m¹ 0 æ k ö R ç + = è ø R(): ο μετασχηματισμός Fourier ενός παλμού r() μετά το φίλτρο λήψης Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 6

18 Φίλτρα Nyquis Ας θεωρήσουμε παλμούς r() βασικής ζώνης εύρους ζώνης B W æ k ö Για τη διερεύνηση της συνθήκης å + R ç πρέπει να k + = = - è ø δούμε τη σχέση μεταξύ B W και R -B W 0 R() B W å + k= - ( ) Περίπτωση Ι:Αν < / (2 B W ), το R + k αποτελείται από μη επικαλυπτόμενα αντίγραφα του R() και δεν υπάρχει τρόπος να μηδενιστεί η ISI X() = 0 X ( ) å + = = - k æ Rç è + k ö ø - / -B W -/ +B W -/ -B W 0 B W / -B W / / +B W Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 7

19 Φίλτρα Nyquis Περίπτωση ΙΙ:Αν = / (2 B W ), δηλαδή ρυθμό Nyquis: R = / = 2 B W,υπάρχει μόνο ένα φάσμα πλάτους παλμού, R(), κατάλληλο ώστε να μηδενιστεί η ISI με ΧΣΜ R( ) ì, < BW = í î0, διαφορετικά ( ) å + X = k =- æ Rç è + k ö ø -B W 0 B W -/ / -2B W -B W B 0 W 2B W Ο μετ/μος Fourier του R() είναι ένας παλμός sinc Είναι δύσκολα υλοποιήσιμος Έχει αργό ρυθμό εξασθένισης προς το μηδέν / r() r æ ö ( ) = sin cç ø è Αυξημένη ISI σε περίπτωση κακού συγχρονισμού / Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 8

20 Περίπτωση ΙΙΙ:Αν > / (2 B W ), το αποτελείται από επικαλυπτόμενα αντίγραφα του R() και υπάρχουν πολλές επιλογές για να μηδενιστεί η ISI Μία από τις ποιο συνήθεις επιλογές είναι να χρησιμοποιηθούν παλμοί με φάσμα δύναμης συνημιτόνου (raised cosine RC) Το φάσμα πλάτους RCκαι η μορφή του παλμούστο πεδίο του χρόνου είναι Χαρακτηριστικό του παραπάνω παλμού είναι η παράμετρος α(0 α ) (roll-o acor) Η παράμετρος αχαρακτηρίζει το πλεονάζων εύρος ζώνης (excess andwidh) του παλμού πέραν της συχνότητας Nyquis (π.χ. όταν α = 0.5, το πλεονάζων εύρος ζώνης είναι 50%) Φίλτρα Nyquis Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 cos sin c rc a a r - ø ö ç ç è æ = p ( ) å + - = + k k R ( ) ï ï ï î ï ï ï í ì + ³ + - ú ú û ù ê ê ë é ø ö ç ç è æ = rc a a a a a a R 2 0, 2 2, 2 2 cos 2 0, 2 p

21 Φίλτρα Nyquis R rc () α = 0 α = 0.25 α = 0.5 α = - / - / (2 ) 0 / (2 ) / Φάσμα Πλάτους Παλμών RCγια α= 0, 0.25, 0.5 και Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 20

22 Φίλτρα Nyquis r rc () Ρυθμοί εξασθένισης / / 3 α = α = 0.5 α = 0 α = ΚυματομορφήΠαλμών Φάσματος RCγια α= 0, 0.25, 0.5 και Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 2

23 Φίλτρα Nyquis Ακολουθία i 000, διαμόρφωση PAM καιπαλμούς RC α = 0 Ακολουθία i 000, διαμόρφωση PAM καιπαλμούς RC α = 0.5 Ακολουθία i 000, διαμόρφωση PAM καιπαλμούς RC α = Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 22

24 Φίλτρα Nyquis Προσδιορισμός παραμέτρου α και τάξης διαμόρφωσης, M Θεωρούμε ως δεδομένα: Το ρυθμό μετάδοσης i, R Το εύρος ζώνης του καναλιού μετάδοσης, BW Το εύρος ζώνης του παλμού, B W, που θα χρησιμοποιήσουμε πρέπει να ισούται με το εύρος ζώνης του καναλιού μετάδοσης, BW = B W Όπως φαίνεται στο σχήμα με το φάσμα των παλμών RC,το εύρος ζώνης του παλμού πρέπει ναείναι μεταξύ R s /2 και R s, δηλαδή B W = (α + ) R s / 2 Συνεπώς, R s /2 BW R s ή BW R s 2 BW Δεδομένου του παραπάνω περιορισμού και χρησιμοποιώντας τη σχέση R s = R / log 2 (M), προσδιορίζουμε τα κατάλληλα ζεύγη Mκαι R s Αν βρεθούν δύο ή περισσότερα ζεύγη, επιλέγουμε το ζεύγος με τις υψηλότερες τιμές Τέλος, ισχύει ότι BW = (α + ) R s /2, και άρα a = 2 BW / R s Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου 23

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 6 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst215